Fliessen von Gletschern. Fliessen von Gletschern. Eisfluss in einem Querschnitt. Q is der Eisfluss [m 3 /Jahr] in einem Querschnitt

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1 Eisfluss in einem Querschnitt Rhonegletscher 2006 Q is der Eisfluss [m 3 /Jahr] in einem Querschnitt Wovon hängt der Eisfluss Q ab? Q Eisdicke[m] Breite[m] Fliessgeschwindigkeit [m/jahr] Querschnittsflaeche S Wovon hängt die mittlere Fliessgeschwindigkeit ū im Querschnitt ab? Gletscherdicke Form des Gletscherbettes im Querschnitt Oberflächenneigung Eiseigenschaften (Temperatur > Viskosität) Eigenschaften des Gletscherbettes (Temperatur, Rauhigkeit) Modellergebnisse: Rhonegletscher 2009 (links) und 2100 (rechts) ū(x) = h(x,y) W(x) u(x,y,z)dzdy 0 0 S Q(x) = ū(x)s

2 Massenerhaltung Massenerhaltung Sofern der Gletscher im Gleichgewicht und das Eis inkompressibel ist, erlaubt uns das Prinzip der Massenerhaltung folgendes zu schreiben: Generell gilt: (Q 2 Q 1 )+b W x = 0 Im Akkumulationsgebiet gilt: h t = Q+B (Q 2 Q 1 )+b W x = h t h t + 1 W Q x = b S t + Q x = bw W x Im Gleichgewicht gilt: h t Im Ablationsgebiet gilt: h t = (Q 2 Q 1 ) +B } x {{} Q>0 = 0 und B = Q >0 Dies ist die sogenannte Kontinuitätsgleichung, welche das beschreibt. h t = (Q 4 Q 3 ) +B } x {{} Q<0 Im Gleichgewicht gilt: B = Q <0

3 Ein einfaches Gletscherfliessmodell Die Schwerkraft ist der Motor des Gletscherfliessens Voraussetzungen zur Berechnung des Gletscherfliessens: Für ein gegebene Gletschergeometrie müssen die Spannungen und die Deformationen berechnet werden können. h(x,t) Q(x,t) = b(x, t) x t W (x,t) Dafür sind folgende Grundlagen notwendig: Gegeben sei: Spannungen und Deformationen in einem Festkörper müssen berechnet werden können Gletschertopographie zum Zeitpunkt t0 Eine Zeitreihe der Klimaentwicklung > b(x, t) t = t0...tn Gesucht: Gletschertopographie für t = tn Lösung mit der Methode der finiten Differenzen, explicit scheme. Dafür wird der Gletscher in seiner Länge in i = 1...N Querschnitten discretisiert. t Qi 1 t Q ht+1 hti i t = bt+1 i i Wi Wi 1 xi xi 1 > ht+1 =... mit t = 1 Tag und x = 20 m. i Die Art und Weise wie sich Gletchereis als Funktion von Spannungen deformiert muss bekannt sein (Stoffgesetz für Gletchereis)

4 Gegeben sei ein Gletscher auf einer schiefen Ebene ( unendlich ausgedehnte Platte ) mit folgenden Gegebenheiten: In Fliessrichtung unendlich ausgedehnt Senkrecht zur Fliessrichtung unendlich ausgedehnt Spannungen Konstante Eisdicke Im Innern eines Gletscher entstehen Spannungen wegen: dem Gewicht des darüber liegenden Eises der Form der Gletcheroberfläche In diesem Gletscher herrschen Spannungen Diese Spannungen verursachen Verformungen Für diese einfache Gletschergeometrie können die Spannungen analytisch berechnet werden, die den Gletscher im Gleichgewicht halten. Spannung = Kraft Einheitsflaeche = F A = σ Einheit: Kraft/Fläche: 1 [ N m 2 ] = 1 [Pa] = 10 5 [bar] Zugspannung (σ > 0); Druckspannung (σ < 0) Aus diesen Spannungen kann die Fliessbewegung des Gletschers mit einem Fliessgesetz (Zusammenhang zwischen Spannung und Deformation) berechnet werden.

5 Spannungen Spannungen Weil Kraft und Einheitsfläche eine Orientierung haben, gilt dies auch für die Spannung Eine Kraft kann: 1. Entweder normal auf eine Einheitsfläche Es entsteht hydrostatischer Druck wenn alle Kräfte Normalspannungen: σ english: normal stress gleich sind Es entstehen Normalspannungen wenn die Kräfte Schub-/Scherspannungen: τ english: shear stress genauen Bezeichung mit Indizen: σ ij / τ ij ungleich sind 2. Oder parallel zur Einheitsfläche gerichtet sein Konventionen: Es entstehen Scherspannungen Bei der unendlich ausgedehnten Platte mit Neigung α ist die Scherspannung auf einer Einheitsfläche parallel zur Gletscheroberfläche in Tiefe z: τ = ρg(h z) sinα ρ und g sind die Dichte des Eises (900 kg/m 3 ) und die Erdbeschleunigung (9.81 m/s 2 ) a) Indizes: τ xy 1. Index bez. Richtung der Flächennormale 2. Index bez. Richtung der Kraft b) Vorzeichen: 1. Zugspannung positiv (+) Druck negativ (-) 2. Schubspannung τ xy positiv, wenn die Flächennormale und die Kraft in positive Achsenrichtungen weisen oder wenn beide in negative Achsenrichtung weisen.

6 Spannungen Verformungs-/Deformationsrate Beispiel zur Berechnung einer Scherspannung in einem Gletscher τ zx (z) = ρg(h z) sinα Scherspannung am Gletscherbett: z = 0 und h = 130 m α = 5 o τ zx = 900 kg m m s 2 130m sin(5 o ) = 10 5 Pa = 1 bar Dies ist eine typische Grösse für Scherspannungen in Gletschern Fliessgeschwindigkeitsvektor: u = (u,v) mit den x- und z-komponenten (u,v). Gradient der Fliessgeschwindigkeit in Fliessrichtung: (l+ l) l ė x = l t = l l t = u 2 u 1 = u x 2 x 1 x u ė x = lim x 0 x = u x = ǫ x Die Einheit der Verformungsrate ǫ ist [ 1 Zeiteinheit Meistens wird in der Glaziologie das Jahr als Zeiteinheit ( t) benützt. ] Typische Grösse für ǫ ist Jahr

7 Fliesseigenschaften von Eis Verformungen Begriff Symbol Definition Massdeutsch englisch einheit Verformung strain ǫ ǫ = (relative) Deformation (Dehnung, Verzerrung) γ Laengenaenderung Laenge Allgemeiner: Verschiebungsgradient ǫ x = Vx x = l l [1] Scherversuch τ = P : Scherspannung. Sie wird konstant gehalten. F γ: Scherwinkel Flüssigkeit: verformt sich unbegrenzt wenn Schubspannungen auf sie wirken. Schubverzerrung γ = Vy x Dehnungs- strain ǫ ǫ = Deformation per Zeiteinheit rate rate γ = l /t l oder Geschwindigkeitsgradient ǫ x = u x sec 1 a (Jahr) 1 Koordinatenrichtungen : x,y,z Dehnungen : ǫ x,ǫ y,ǫ z [1] Dehnungsraten : ǫ x, ǫ y, ǫ z [1/sec] Schubverzerrungen : γ xy,γ xz,γ yz [1] Schubverzerrungsraten : γ xy, γ xz, γ yz [1/sec] Schubverformung : ǫ xy,ǫ xz,ǫ yz [1] Schubverformungsraten : ǫ xy, ǫ xz, ǫ yz [1/sec] Fliessgeschwindigkeiten: u,v,w [m/sec] Festkörper: es entstehen nur endliche Verformungen wenn Schubspannungen auftreten.

8 Fliesseigenschaften von Eis Fliesseigenschaften von Eis Hieraus ergibt sich und als Gleichung P Fdv dh Die beiden parallel angeordnete Platten der Fläche F weisen einen Abstand dh auf. Zwischen diesen Platten liegt eine Flüssigkeit, die an beiden Platten haftet. Die Flüssigkeit ist in Schichten unterteilt. Wird nun die obere Platte mit der Geschwindigkeit dv bewegt, so bewegt sich die unter der Platte liegende Schicht auf Grund der Haftung ebenfalls mit der Geschwindigkeit dv. Da die untere Platte ruht, ruht auch ihre Nachbarschicht. Die innenliegenden Flüssigkeitsschichten gleiten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aneinander vorbei. Die Geschwindigkeit nimmt von der ruhenden Platte zur bewegten zu. Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit. Von der obersten, an der Platte haftenden Schicht geht eine Tangentialkraft auf die darunterliegende Schicht aus. Diese bewegt sich folglich und wirkt auf die darunterliegende usw. Im Experiment lässt sich zeigen, dass die Kraft P, die nötig ist, um die obere Platte zu bewegen, proportional zu ihrer Fläche F, ihrer Geschwindigkeit dv und antiproportional zum Abstand der Platten dh ist: P = ηf dv dh Die Proportionalitätskonstante η ist die dynamische Viskosität. Häufig wird sie einfach Viskosität bezeichnet. Die Viskosität η ist ein Mass für die Zähflüssigkeit eines Fluids. Der Kehrwert der Viskosität η 1 η = A ist die Fluidität A, ein Mass für die Fliessfähigkeit eines Fluids. Je grösser die Viskosität, desto dickflüssiger (weniger fliessfähig) ist das Fluid; je niedriger die Viskosität, desto dünnflüssiger (fliessfähiger) ist es. Ein Stoff hat also die Viskosität 1 Ns/m 2, wenn bei einer Plattenfläche von 1 m 2 und einem Abstand dh von 1 m eine Kraft P von 1 N benötigt wird, um die Platten mit einer Geschwindigkeit dv von 1 m/s gegeneinander zu verschieben. Physikalische Einheit: 1 N=[η] (m 2 m ms ) [η] = Ns m 2 = Pas. Ist η unabhängig von der Geschwindigkeit dv, so wird die Flüssigkeit als newtonsche Flüssigkeit bezeichnet. Ist η von dv abhängig, so bezeichnet man sie als nicht-newtonsch. P F und P dv und P 1 dh

9 Fliesseigenschaften von Eis Flüssigkeiten zeichnen sich gegenüber Festkörpern dadurch aus, dass sie einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgeben. Es gilt: Fliesseigenschaften von Eis Scherversuch bei polycristallinem Eis: γ = τ für Festkörper G(τ) γ = τ für Flüssigkeiten η(τ) G: effektiver Schubmodul, η: effektive dynamische Viskosität. effektiv weil G und η von τ abhängen. Polycrystallines Eis: Experimente suggerieren folgende Beziehung zwischen Scherspannung τ und Scherrate γ: γ = Aτ n wobei A Fluidität genannt wird. Die Viskosität η = 1/A ist der Kehrwert der Fluidität. Für polycristallines Eis gilt n = 3. Für eine newton sche Flüssigkeit gilt ein linearer Zusammenhang zwischen τ und γ: 1. Elastischer Bereich 2. Primäres Kriechen: γ nimmt mit der Zeit ab und erreicht ein Minimum. 3. Sekundäres Kriechen: γ variiert mit der Zeit nicht. 4. Beschleunigung der Kriechdeformation (dynamische Rekristalization). 5. Tertiäres Kriechen setzt nach Jahren ein. τ = P F = η γ Experimente zeigen das polycristallines Eis nicht-linear verhaltet und wird deshalb als nicht-newtonsch bezeichnet. Das bedeutet, dass die Viskosität des Eises spannungsabhängig ist: η = 1 Aτ n 1 Mit zunehmender Spannung nimmt die Viskosität η ab (oder die Fluidität A nimmt zu) und das Eis wird fliessfähiger. Bei einer newton schen Flüssigkeit ist der Zusammenhang zwischen γ und τ linear (linear viskoses Fluid mit n=1).

10 Fliesseigenschaften von Eis Drei verschiedene rheologische Gesetze: Fliesseigenschaften von Eis Die Rheologie von Gletschereis kann in den folgenden 3 Varianten beschrieben werden: (1) Linear viskos (konstante Viskosität): ǫ = 1 η τ Damit ist die Verformungsrate ǫ proportional zur Spannung τ. Ist vor allem bei kleinen Spannungen zulässig. (2) Perfekt plastisch: fürτ <τ 0 ist ǫ = 0 sonst ist ǫ unbeschränkt Somit fliesst das Eis für τ < τ 0 gar nicht. Mit τ τ 0 fliesst das Eis unbeschränkt. Mit dieser Rheologie kann die Scherspannung am Gletscherbett nichtτ 0 überschreiten. Diese Annäherung erlaubt (in erster Annäherung) die Variabilität der Eisdicke in einem Gletscher entlang einer zentralen Fliesslinie abzuschätzen: h = τ 0 ρ i g sinα. τ 0 kann bei Gletschereis zwischen 0.5 und 2 bar variieren. (3) Potenz-Gesetz: τ = η ǫ = 1 Aτ n 1 ǫ entspricht am ehesten dem Fliessverhalten von Gletschereis. Allerdings versagt diese Beziehung wenn die Spannungen τ 0, weil dann die Viskosität η unendlich gross wird. Abhängigkeit der Viskosität η von Gletschereis von der effektiven Spannung τ eff und der Temperatur θ Die Viskosität des Eises nimmt mit zunehmender Spannung nicht-linear stark ab; das Eis wird mit zunehmender Belastung fliessfähiger; die Viskosität nimmt zwischen 0.1 und 1 bar um 4 Grössenordnungen ab (bei 0 o C)! Je grösser die Spannung, desto kleiner die Viskosität! Bei sehr kleinen Spannungen wird die Viskosität sehr gross! Je kälter das Eis, desto grösser die Viskosität (weniger fliessfähig)! Zwischen 0 und -10 o C nimmt die Viskosität (bei einem bar) um 1 Grössenordnung zu!

11 Gradient der Fliessgeschwindigkeit mit der Tiefe Für die unendlich ausgedehnte Platte gilt: Schubverzerrungswinkel = Schubverzerrung + Starrkörperrotation γ xz = ǫ xz + ω xz γ xz = 2 ǫ xz > ω xz = ǫ xz = 1 2 γ xz 1 u ǫ xz = lim z 0 2 z = 1 u 2 z Mit dem Glen schen Fliessgesetz gilt: ǫ xz = 1 2 u z = Aτn xz A= 0.1 bar n a 1 und n=3 (1 bar = 1 kg cm 2 = 10 5 N m 2 (Pa)) Diese Gleichung gilt nur bei Scherdeformation und laminarem Fliessen (Bewegungsvektoren parallel zur Oberfläche; es gibt nur die horizontale Komponente u des Bewegungsvektor, keine Vertikalkomponente v). Für komplexere Spannungsfelder gilt das allgemeine Fliessgesetz: ǫ ij = Aτ n 1 eff σ ij wobei ij die Komponenten des Spannungs- (σ) resp. Verzerrungstensors ( ǫ), τ eff = I 2 die effektive Spannung und die 2. Invariante des deviatorischen Spannungstensors und σ die deviatorische Komponente davon sind. Kräftegleichgewicht in x und z-richtung Gewichtskomponente = äussere Kräfte In x-richtung: +ρgdxdzsinα + σ x x dxdz + τ zx z dzdx = 0 In z-richtung: ρgdxdzcosα + σ z z dzdx+ τ zx x dxdz = 0 σ x x + τ zx z σ z z + τ zx x = ρg sinα = +ρg cosα

12 Laminares Gletscherfliessen Laminares Fliessen: Fliesslinien // zur Oberfläche Konstante Dicke Keine Spannungsgradienten in x- und y-richtung Keine Dehnungen in x- und y-richtung τ zx z σ z z Laminares Gletscherfliessen = ρg sinα = +ρg cosα = τ zx = ρg sinα z +c 1 σ z = +ρg cosα z +c 2 } Die Spannungen werden an der Oberfläche (z = h) gleich null. Damit werden die Konstanten c 1 und c 2 bestimmt. Es folgt: = τ zx = +ρg sinα(h z) σ z = ρg cosα(h z) = σ x = σ y ǫ zx = 1 2 u z = Aτn zx } σ x x + τ zx z σ z z + τ zx x = ρg sinα = +ρg cosα Fliessen von Eis bei einer einfachen Scherrung: ǫ zx = A (ρg(h z) sinα) n z = u(z) = 2 ǫ zxdz 0 ǫ zx = Aτ n zx (n = 3) = 2A n+1 (ρg sinα)n (h z) n+1 +k

13 τ zx = +ρg sinα(h z) u(z) = 2A n+1 (ρg sinα)n (h z) n+1 +k Mit u (z=0) = u b folgt: u(z) = u b + 2A n+1 (ρg sinα)n ( h n+1 (h z) n+1) Der Eisdurchfluss q ist (für eine Einheitsbreite): k = 2A n+1 (ρg sinα)n h n+1 +u b q(z) = z 0 u(z)dz Damit wird: u(z) = u b + 2A ( (ρg sinα)n h n+1 (h z) n+1 ) } n+1 {{} ( ) = u b z + 2A n+1 (ρg sinα)n h n+1 z + (h z)n+2 +c n+2 ( q(z = 0) = 0 >c = n+1 2A (ρg sinα)n h n+2 n+2 q(z) = u b z+ n+1 2A (ρg ( ) sinα)n h n+1 z + (h z)n+2 h n+2 n+2 ( ) q(z = h) = u b h+ n+1 2A (ρg sinα)n h n+2 hn+2 n+2 ) = u b h+ 2A n+2 (ρg sinα)n h n+2 u(z = h) = u b + 2A n+1 (ρg ( sinα)n h n+1) = u bd u d u d : Fliessgeschwindigkeit an der Oberfläche infolge Kriechbewegung u b : Gleitgeschwindigkeit u bd = u b +u d Die mittlere Fliessgeschwindigkeit im Querschnitt ū ist: ū = q(z=h) h = u b + 2A n+2 (ρg sinα)n h n+1 u dm = u b + n+2 n+1 u d = u b +0.8u }{{ d } u dm (für n=3)

14 Beispiel: Ein temperierter Gletscher mit konstanter Dicke h=1000 m und Neigung α=1 o bewegt sich an der Oberfäche mit 500 m/jahr. Wie gross ist der Gleitbetrag u b? A= 0.1 bar n a 1 und n=3 1 bar = 1 kg cm 2 = 105 N m 2 (Pa) u(z=h) = u b + 2A n+1 (ρgsinα)n( h n+1) 2A n+1 = = [ ( N m 2 ) 3 1a ] (ρg) n = ( 900 kg m m ) [ 3 ( ) ] s = N 3 2 m 3 u(z=h) =u bd = u b (sinα) 3 h }{{ 4 = 500 m/a } u d =183 m/a u b = = 317 m/a Kräftegleichgewicht nach x: A xρg sinα P x τ b = 0 > τ b = ρg A P h h sinα = f τ ρgh sinα Hier istτ b die basale Schubspannung die das Gletscherbett auf den Gletscher ausübt. Dabei handelt es sich um einen Vektor und nicht einer Komponente des Spannungstensors (basal drag).

15 Für einen parabel-förmigen Querschnitt gilt (Nye, 1965): W: half-width/depth u dm : mean creep flow velocity over the cross section (mittlere Fliessgeschwindigkeit im Querschnitt infolge Kriechbewegung) u ds : mean creep flow surface velocity (mittlere Fliessgeschwindigkeit an der Oberfläche infolge Kriechbewegung) τ b = f τ ρgh sinα Dabei wird f τ = A P h Formfaktor gennant. f τ = 0.5 für einen kreisförmigen Querschnitt und f τ = 1 für die -ausgedehnte Platte. Wir nehmen an, dassτ b in der Mitte des Querschnittes τ b entspricht und dass: τ zx = h z h τ b = h z h τ b > τ zx = f τ ρg(h z) sinα u(z) = u b + 2A n+1 (f τ ρg sinα) n ( h n+1 (h z) n+1) u(z = h) = u b + 2A n+1 (f τ ρg sinα) n( h n+1) = u bd u d u d : creep flow surface velocity at the centerline (Fliessgeschwindigkeit an der Oberfläche in der Mitte des Querschnittes infolge Kriechbewegung) f τ : shape factor for the shear stress: τ zx = f τ ρg sinαh u b : Gleitgeschwindigkeit W f τ u dm /u ds u dm /u d u ds /u d Der Eisdurchfluss Q durch den Querschnitt ist: Q(z = h) = Sū = S(u b +u dm )

16 Beispiel: Wenn wir für Gletschereis plastisches Verhalten voraussetzen, dann können wir für die Gleichung: τ zx (z = 0) = f τ ρg sinαh τ zx = τ 0 = 100 kpa annehmen. Unter dieser Voraussetzung und wenn f τ = 1 gilt: τ 0 ρg = 11m Diese plastische Annahme erlaubt es, die lokale Eisdicke eines Gletschers nur aus der Neigung der Gletscheroberfläche abzuschätzen. Dabei gilt: h sinα = Konstante Das bedeutet, dass ein Gletscher dick ist wo er flach ist, und dünn wo er steil ist.