Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg

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1 Heinz Rapp Jörg Matthias Rapp Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen. Auflage

2 Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg

3 Heinz Rapp Jörg Matthias Rapp Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen., überarbeitete und erweiterte Auflage

4 Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp Winterbach, eutschland ISBN OI 0.007/ ISBN (ebook) ie eutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der eutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische aten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 05 as Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. as gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ie Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. er Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Lektorat: Thomas Zipsner Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

5 Vorwort Mathematische Grundkenntnisse lassen sich durch ständiges Üben und Wiederholen festigen. em vielfachen Wunsch, für das Lehrbuch Mathematik für die Fachschule ein Lösungsbuch bereitzustellen, in dem der Lösungsweg mit allen Zwischenschritten dargelegt ist, wird mit diesem Übungsbuch entsprochen. ie ausführlichen Lösungen der Aufgaben sind in diesem Buch enthalten. Gleichzeitig wurden noch neue Aufgaben hinzugenommen. as Übungsbuch hat das Ziel, vielen, die aus der Mathematik Lücken mitbringen, zu einem besseren mathematischen Verständnis zu verhelfen. Bei dem Gebrauch des Buches wird empfohlen, die Aufgaben erst selbst mit einem eigenen Lösungsweg zu lösen. Vielfach wird sich zeigen, dass es auch noch andere Lösungswege gibt, als sie in diesem Buch dargelegt sind. as Buch kann hilfreich sein für die Vorbereitung auf Klausuren und Prüfungen. a der Stoff bis zur Hochschulreife und teilweise darüber hinaus geht, kann es auch eine Hilfe sein für die Anfangssemester in den verschiedenen Studiengängen einer Hochschule. Wir wünschen allen Benutzern ein gutes Arbeiten mit diesem Buch und einen guten Erfolg insbesondere auch beim Selbststudium. Stuttgart, im Mai 05 Heinz Rapp Jörg Matthias Rapp

6 Ein besonderes Wort des ankes an... den Verlag für die Neugestaltung des Buches. Herrn ipl.-ing. Thomas Zipsner vom Lektorat des Verlages, der durch seine wertvollen mathematischen Hinweise sehr zum Gelingen des Buches beigetragen hat.

7 Inhaltsverzeichnis I Algebra Elementare Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und ivision Potenzen, Wurzeln und Logarithmen... 5 Algebraische Gleichungen Lineare Gleichungen Quadratische Gleichungen Wurzelgleichungen Ungleichungen Einfache lineare Ungleichungen Bruchungleichungen... Lineare Gleichungssysteme Konventionelle Lösungsverfahren Gauß sches Eliminationsverfahren (Gauß scher Algorithmus) eterminantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen Lineares Optimieren Exponential- und Logarithmusgleichungen Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen... 8 II Geometrie 7 Längenberechnungen am reieck Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) Pythagoras Trigonometrie Winkelfunktionen am rechtwinkligen reieck Winkelfunktionen am schiefwinkligen reieck Analytische Geometrie Geraden und Strecken Kreis und Gerade... 59

8 VIII Inhaltsverzeichnis 0 Flächenberechnung (Planimetrie) Geradlinig begrenzte Flächen Kreisförmig begrenzte Flächen Volumenberechnung (Stereometrie) Prismatische Körper Pyramidenförmige und kegelförmige Körper Kugelförmige Körper... 7 III ifferentialrechnung Funktionen und Relationen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Exponentialfunktionen.... Trigonometrische Funktionen ifferentiation elementarer Funktionen Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen... 5 Allgemeine Ableitungsregeln Produktregel Quotientenregel Kettenregel Logarithmische Ableitung Anwendung der ifferentialrechnung auf ganzrationale Funktionen Tangente und Normale Kurvendiskussion Funktionssynthese Extremwertaufgaben Newton sches Näherungsverfahren Ganzrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Gebrochenrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Kurvendiskussion Funktionssynthese

9 Inhaltsverzeichnis IX 8.3 Extremwertaufgaben Exponentialfunktionen Kurvendiskussion Funktionsgleichungen aus Vorgaben... 3 IV Integralrechnung 0 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung Ganzrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen Vertiefung der ifferential- und Integralrechnung Rotationsvolumen Rotation um die x-achse Rotation um die y-achse V Vektorrechnung 3 Vektoroperationen (Vektoralgebra) Vektorbetrag, Addition, Subtraktion Produkte von Vektoren Analytische Geometrie auf Vektorbasis Geraden Ebenen Anwendungen der Vektorrechnung VI Komplexe Rechnung 6 Komplexe Arithmetik Anwendungen der komplexen Rechnung... 5 Serviceteil Sachverzeichnis... 0

10 I Algebra Kapitel Elementare Rechenoperationen 3 Kapitel Algebraische Gleichungen 3 Kapitel 3 Ungleichungen 39 Kapitel Lineare Gleichungssysteme 3 Kapitel 5 Lineares Optimieren 63 Kapitel 6 Exponential- und Logarithmusgleichungen 75

11 3 Elementare Rechenoperationen H.Rapp,J.M.Rapp,Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, OI 0.007/ _, Springer Fachmedien Wiesbaden 05. Addition, Subtraktion, Multiplikation und ivision >Lehrbuch Kapitel.. Berechnen Sie den Wert der Bruchdifferenz Brüche lassen sich zusammenfassen, wenn sie gleichnamig sind. eshalb wollen wir die Brüche durch Erweitern gleichnamig machen: C 3/ 0 73 Ein Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. adurch werden oppelbrüche beseitigt Berechnen Sie den Bruchterm x x C x x x x a wir es hier mit oppelbrüchen zu tun haben, müssen wir diese der Reihe nach durch Erweitern und Zusammenfassen in Einfachbrüche umwandeln. x x C x x x x x x C x. xx x x/x x x C x x x

12 Kapitel Elementare Rechenoperationen Jetzt können die gleichnamigen Brüche des Nenners zusammengefasst werden. x x x C x x C x x x..3 Berechnen Sie den Bruchterm acb ab ab acb b acb b.ba/ a CabCb Um die oppelbrüche in einen Einfachbruch umwandeln zu können, müssen die Brüche des Zählers und die Brüche des Nenners zusammengefasst werden. ies ist aber nur möglich, wenn sie durch Erweitern mit dem Hauptnenner gleichnamig gemacht worden sind..acb/.acb/.ab/.acb/.ab/.ab/.acb/.ab/ b.acb/.acb/.acb/ b.ba/ a CabCb a CabCb.a abcb / a b a b abcb.b ab/ a CabCb a CabCb ab a b ab.acb/ iese oppelbrüche vereinfachen wir, indem wir den Bruch des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren und den Bruch durch Kürzen vereinfachen. ab.a C b/ ab.a C b/.a C b/.a C b/ a b ab ab.a b/.a C b/.a b/.. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R der parallel geschalteten Widerstände aus R R C R C R 3 iese Aufgabe lässt sich auf verschiedene Weise lösen:. Wir lösen die Gleichung unmittelbar nach R auf und erhalten einen oppelbruch, der in der gewohnten Weise umgeformt werden muss. R R C R C R 3 R R R 3 R R R 3 R R C R C R 3 R R R 3 R R 3 C R R 3 C R R. Wir addieren die Brüche auf der rechten Seite. iese müssen jedoch wieder durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. R R R 3 R R R 3 C R R 3 R R R 3 C R R R 3 R R R R 3 C R R 3 C R R R R R 3

13 . Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 5 urch Multiplizieren mit dem Hauptnenner RR R R 3 und Umformung erhalten wir R R R 3 R R R 3 C R R 3 C R R Anmerkung Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man die Brüche einfach umdreht, d. h. auf jeder Gleichungsseite Zähler und Nenner vertauscht. ies ist jedoch nur möglich, wenn auf jeder Seite nur noch ein Bruch steht und der Bruchstrich gleichsam die gemeinsame rehachse darstellt. Beispiel: x C C 3 und daraus x 3. ie Rechnung x C 6 ist bekanntlich falsch.. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen >Lehrbuch Kapitel 6, 7 und 8.. Fassen Sie folgende Terme zusammen e x C e x e x e x e x C e x e x e x.ex C e x /.e x e x /.ex / C e x e x C.e x /.e x / C e x e x.e x /.. Berechnen Sie die Wurzelwerte von a) p 0 5p 5 5p 65 q p 3 b) ab.ab/ ab 6p.ab/ 5 a) Wir wandeln die Wurzeln um in Potenzen und fassen diese zusammen. p 0 5p 5 5p 65.0/.5/ 5.65/ 5..7/ /..5/ 3 / 5..5/ / p 5

14 6 Kapitel Elementare Rechenoperationen b) q p 3 ab ab.ab/ p ab.ab/ 3 ab 6.ab/ 5.ab/ 6 5 ab a b a 3 b 3 a 5 6 b 5 6 Nun fassen wir die Potenzterme mit den gleichen Grundzahlen zusammen und kürzen den Bruch so weit wie möglich. a C 3 b C 3 ab a 5 6 b a 6 b 5 6 ab a 5 6 b 5 6 ab..3 Fassen Sie folgende Terme zusammen x p x C x p x Wenn im Nenner Binome (zweigliedrige Terme) vorkommen, wird der Bruchterm entsprechend der binomischen Formel.a b/.a C b/ a b so erweitert, dass die Wurzel im Nenner wegfällt. Wir machen den Nenner wurzelfrei und damit rational durch Erweitern mit dem geeigneten Binom. x p x C x p x C p x x p x C p x C x p x x C p x p x C x p x x C p x. x / ƒ x C x p x C p x C x p x C x.. Fassen Sie folgende Terme zusammen.a b/ p 3a p 3b p p a C b Wir machen den Nenner wieder wurzelfrei und damit rational durch Erweitern mit dem geeigneten Binom (vgl. vorige Aufgabe!).a b/ p 3a p 3b p a C p b.a b/p 3a p 3b p a p b p a C p b p a p b.a b/p 3 p a p b p 3 p a p b a b

15 . Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 7..5 Fassen Sie folgende Terme zusammen ax a C p a C x p a a 8 a.x / a ax a C p a C x p a a.x / a 8 a ax.a p a/.a C p a/.a p a/ C x p a a.x /.a / a ax.a p a/ a. p C x p a a.x / ax.a p a/ a/.a / a a a ax.a p a/ C x p a ax a a.a / a a x.a p a/ a ax x p a C x p a ax C a a a a C x p a a C x p a a ax a a ax a a..6 Fassen Sie folgende Wurzelterme so weit wie möglich zusammen q ancbn q.x C y/ acb C anbn.x C y/ ab. Wurzeln lassen sich in Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen umwandeln und umgekehrt: np am a m n. Werden Potenzen oder Wurzeln addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, so haben die Rechenoperationen 3. Ordnung Vorrang. Im vorliegenden Fall wandeln wir die Wurzeln in Potenzen um und vereinfachen die Hochzahl durch Kürzen..x C y/ acb ab acb ancbn C.x C y/ anbn.x C y/ n.acb/ C.x C y/ n.ab/ ab.x C y/ n C.x C y/ n iese Potenzen wandeln wir wieder in Wurzeln um: p p n x C y C n n x C y p x C y..7 Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie die Terme a a C x C x a.a C x / C.a x /.x/.a x / x q.a x /.a C x /.a Cx /

16 8 Kapitel Elementare Rechenoperationen Wir wollen zunächst den Wurzelradikanden und damit die Wurzel durch Zusammenfassen umformen: s.a x /.a C x / s s.a C x /.a C x /.a x /.a C x /.a C x /.a x /.a C x / s s..a C x /.a x //..a C x / C.a x //.a C x / x a.a C x / ax a C x amit können wir den daraus entstandenen oppelbruch mit dem Kehrwert formulieren und wir erhalten: a a C x C x a.a C x / C.a C x /.a x /.x/.a x / x ax.a C x / araus ergibt sich durch Kürzen und Zusammenfassen: a a C x C x a.a C x / C ax.a x /.x/.a C x / a a C x C x a.a C x / C a.a x /./.a C x / iese Brüche müssen nun auf gleichen Nenner gebracht werden, damit sie zusammengefasst werden können. a a a.a C x / C x a.a C x / C.a x /./ a C x a C x a.a C x / a.a C x / x a.a C x /..8 Aus einer Extremwertaufgabe q ergaben sich für einen Kegel folgende optimale Größen h V und Radius r 3 V r. Wie verhält sich die Höhe h zum urchmesser d r des Grundkreises? Bildet man das Verhältnis h=d, so erhält man: h d V r q 3 V V 3 p V q 3 V V q q 3 V 3 V V q q 3 V 3 q V 3 V 3 Wir fassen die dritten Wurzeln zusammen nach der Beziehung 3p a 3p a 3p a a 3p a 3p 3p a a a a3 a

17 . Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 9 oder 3p a 3p a 3p a a 3 p a3 a und erhalten h d V V V V W d. h. urchmesser d und Höhe h müssen gleich sein. Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen benötigen wir folgende Logarithmengesetze, die sich aus den Potenzgesetzen ergeben. log c.a b/ log c a C log c b a log c log b c a log c b log c a n n log c a p log n c a n log c iese Logaritmengesetze gelten für alle Logarithmensysteme..9 Berechnen Sie die Summe folgender Logarithmen ln e C lg 0;00 C lb 3 C log 3 8. Wir haben es hier mit Logarithmen aus verschiedenen Logarithmensystemen zu tun. amitdemtaschenrechnerüblicherweisenurzehnerlogarithmen(lg...)undnatürliche Logarithmen (ln...) berechenbar sind, müssen Logarithmen mit einer anderen Basis in diese Logarithmensysteme umgerechnet werden entsprechend der Beziehung log a x lg x lg a oder log a x ln x ln a amit erhalten wir folgende Umformung ln e C lg 0;00 C lb 3 C log 3 8 ln e C lg 0;00 C lg 3 lg C lg 8 lg 3 3 C ;5055 0;3003 C ; ;77 3 C 5 C 0

18 0 Kapitel Elementare Rechenoperationen. Einfacher kommen wir in diesem Fall zum Ergebnis, wenn die Argumente der Logarithmen als Potenzen geschrieben werden. Mit Anwendung der Logarithmengesetze lg a n n lg a und ln e n n ƒ ln e n ergibt sich: ln e C lg 0;00 C lb 3 C log 3 8 log e.e/ C log 0.0/ 3 C log./ 5 C log 3.3/ ƒ ln e C.3/ lg 0 C5 log ƒ C log ƒ 3 3 ƒ 3 C 5 C 0..0 Vereinfachen Sie folgenden Term s! 6 x lg 3p y p 3.y /3.y y C / Wir wandeln zunächst die Wurzeln in Potenzen um. s! 6 x lg 3p y 6 x.y / 3 p lg 3.y /3.y y C /..y / 3.y / / 3 lg 6 x.y / 3.y / 5 3! lg 6 C lg x C 3 lg.y / 5 3 lg.y /! lg C lg x 3 lg.y / lg C lg x lg.y / 3 lg C lg x lg.y / 3 x lg p 3.y / Anmerkung lg.a b/ lg a lg b (ein häufiger Fehler!), denn lg a lg b lg a,d.h.lg.y / kann nicht weiter b umgeformt werden... Vereinfachen Sie folgenden Term 0 B q b p a.a c/.ac/.a accc / r b C A a

19 . Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Wir wandeln wiederum die Wurzeln in Potenzen um. 0 p r 0 B a.a c/ b C q A lg b a.ac/.a accc c//.b.a c/ 3 / lg a.a c/ b b.a c/ 3 a lg a c b p a b A a!.a c/ lg b a Anmerkung er Bruchterm könnte auch auf folgende Weise umgeformt werden. s p s r s r a.a c/ b q a.a c/ b a b a b a.a c/ b a b.ac/.a accc /.ac/.ac/.a c/ a a b b.a c/ a b a p c b a.. er Schweredruck unserer Luft berechnet sich unter der Voraussetzung, dass in jeder Höhe die gleiche Temperatur herrscht, nach der barometrischen Höhenformel p p 0 e 0 g p 0 h abei ist für eine Lufttemperatur # 0 0 ı Cderruckp 0 ; Pa und 0 ;93 kg. m 3 In welcher Höhe h ist der Luftdruck nur noch halb so groß? Um den Potenzterm zu isolieren, bringen wir den Faktor p 0 auf die linke Seite der Gleichung: p p 0 e 0 g p h 0. Um die Höhe h berechnen zu können, logarithmieren wir jede Seite der Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus, da wir die Grundzahl e haben. enn es gilt ln e a a ƒ ln e a. p ln p 0 h ln p p 0 0g p 0 ln e 0 g p h 0 0 g h p 0 p 0 ;93 kg Mit den Zahlenwerten ist der Exponent 0g m 3 9;8 m s ;58 0 m. ; Pa Ist der Luftdruck nur noch halb so groß, so ist p p 0. araus ergibt sich h ln 5537 m ;58 0 m h 5;5 km

20 3 Algebraische Gleichungen H.Rapp,J.M.Rapp,Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, OI 0.007/ _, Springer Fachmedien Wiesbaden 05. Lineare Gleichungen >Lehrbuch Kapitel 3.. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x 7 x 5 3x C 5 3x Wir machen die Brüche gleichnamig und multiplizieren die Gleichung mit dem Hauptnenner. 3.x / x 5/ 3 3.3x C 5/ 3. 3x/ 6.x / 3.x 5/ 3.3x C 5/. 3x/ x 6 6x C 5 9x C 5 8 C 6x 6x C 9 5x C 7 9x x 9 L 9.. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ax a 3x C a 9c c