1 Generelle Eigenschaften el. Maschinen

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1 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 1 von 8 1 Generelle Eigenschaften el. Maschinen 1.1 Generelle Formeln von el. Maschinen Name Formel Einheit Permeabilität µ = µ 0 µ r = µ r 4 π 10 7 V s Am = µ r µh m = B H µh m = V s An Magn. Flussdichte B = F Q v = Hµ, wobei v B V s m = T (Tesla) 2 Lorentzkraft F = Q( v B) = I( l B) F = Q v B sin α N Ampèresches Gesetz Drehmoment von Schleifen F = Q2 v2 Q1 v1 µ r 2 4π M m ax = 2 F F d 2 = F d = N B I d l = P Mech n 0 Nm; n 0 = Drehzahl 3-Finger-Regel: Hand) (rechte F = Daumen, v = Zeigefinger, B = Mittelfinger Bei Q < 0 wechselt Richtung von B! Magnetische Feldstärke H = B µ A m Magnetische Spannung V mab = H(s) ds (Vm ist abhängig vom Weg) A Durchflutung Magnetischer Fluss Θ = H ds = J da Ik = V m A }{{} =NI Φ = B da V s = W b (Weber) Φ = B A cos(γ) B homogen Maxwell-Gesetz Füllfaktor B da = 0 (vgl. Kirchhoff 1 ( I = 0)) F = A EffektivF e A T ot [ ] Magn. Widerstand R m = Vm Φ = Θ Φ = l µa Magn. Leitwert Λ = 1 R m = Φ V m = Φ Θ A W b V s A = H (Henry) (Im Formelbuch als A L ) Verketteter Fluss Ψ = Φ (meist Ψ = NΦ) [Ψ] = [Φ] = V s = W b Induktivität L = Ψ I Bei idealer Koppl.: L = ΛN 2 = N 2 R m [L] = V s A = H Gegeninduktivität M = M 21 = M 12 Bei idealer Koppl. M = L 1 L 2 vorder Index = Wirkung, M 21 = Ψ21 I 1 (meist M 21 = N2Φ21 I 1 ) hinterer = Ursache Kopplungsfaktor k = M L1L 2 Bei idealer Kopplung: k = 1 [ ] Streukoeffizient σ = 1 k 2 = 1 M 2 L 1L 2 Bei idealer Kopplung: σ = 0 [ ] Kreis-r in M-Feld abgelenkte Q r = m Q v Q B m, m e = 9, kg Spannung U = L i = z B l v V Wirkungsgrad η = P2 P 1 = abgegebenep aufgenommenep = P1 P V erluste P 1 - Verluste: Hysterese f B 2 Wirbelstrom f 2 B 2 Lüfter n 3 Erreger= I 2 E R e

2 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 2 von Übersicht über Motorenarten Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau El. Maschinen 2 Gleichstrommaschinen (GSM) 2.1 Funktionsprinzip Ein Gleichstrom ist im Prinzip eigendlich nur eine stromdurchflossene Schleife, welche sich in einem Magnetfeld befindet. Durch die Lorenzkraft wirkt auf die Schleife ein Drehmoment, welche sie in eine maximal halbe Drehung versetzt. Danach muss man den Schleifenstrom umpolisieren, um die Drehung weiter zu führen. Abbildung 2: Funktion eines GSM mit Stromwender Abbildung 3: Erstzschema der 4 Schaltungsarten

3 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 3 von 8 Um ein gleichmässiges Drehmoment erreichen zu können, kann folgende Wicklung angewendet werden Abbildung 4: Entstehung eienr Schleifenwicklung Abbildung 5: Alle Drehmomente zusammen ergeben ein gleichmässiges Drehmoment 2.2 Nebenschluss Maschinen Drehzahl n = U k R A M 1 Φ k 1 k 2 Φ U 2 I E M IE 2 = bei I E = 0 und M = 0 n Drehmoment Leistung Anlaufmoment M A = k1 Φ U R 1 Leerlaufmoment n 0 = U k 1 Φ 2.3 Reihenschluss Maschine M = k2 Φ U Anker R Anker I E U A IE 2 n P = U i I ± I 2 R A (+ bei Motor; - bei Generator) k1 k2 φ2 n R A Drehmoment M = U Induziert I A 2 π = k1 k E I 2 A 2 π = k1 k E 2 π ( U R A +R E +k 1 k E n )2 3 Grundlagen Drehfeldmaschinen 3.1 Dreiphasenwechselstrom (Drehstrom) Zeiger drehen mit ωt im Gegenuhrzeigersinn (ω > 0). U 2 ist gegenüber U nacheilend, U 3 gegenüber U Somit gilt (bei symmetrischer Belastung): U 2 = U 1 e j( 120 ) ; U 3 = U 1 e j( 240 ) = U 1 e j(120 ) Stern- (Y) / Dreieckschaltung ( ) Sternschaltung (Y) Dreieckschaltung ( ) Verkettete Spannung U = U Str 3 U = U Str 3 e j30 U = U Str U = U Str Aussenleiterströme I = I Str I = I Str I = I Str 3 I = I Str 3 e j30 Gesamt-Scheinleistung S = 3 S Str = 3 U I in [V A] S = 3 S Str = 3 U I in [V A] Scheinleistung pro Strang S Str = U Str I Str in [V A] Wirkleistung P = S cos ϕ = 3 U I cos ϕ in [W ] Blindleistung Q = S sin ϕ = 3 U I sin ϕ in [var]

4 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 4 von Stern-Dreieck-Umwandlung Umwandlung Y : Z ac Z bc Z c = Z ab + Z bc + Z ac Umwandlung Y : Y a Y c Y ac = Y a + Y b + Y c Bei gleichen Widerständen: R Y = R 3 Bei gleichen Kapazitäten: C Y = C 3 Bei gleichen Induktivitäten: L Y = L Feld in einer Drehstrommaschine Bei einem Drehfeld entsteht zu jedem Zeitpunkt gleichgrosses Magnetisches Feld, woraus dann ein gleichmässiges Drehmoment resultieren kann. Nach dem obrigen Bild dreht sich das Feld in einer Periode um die eigene Achse. Verwendet man mehrere Polpaare wird die Drehzahl reduziert Drehfelddrehzahl = n d = 1 p p = f p Abbildung 6: Entstehung eines Drehfeldes in einem elmaschine Schlupf Als Schlupf bezeichnet man die Beziehung zwischen Drehfelddrehzahl und Läuferdrehzahl. Sie wird mit folgender Formel beschrieben: Schlupf = s = n d n n d Das heisst bei einer Läuferdrehzahl n d in Drehfeldrichtung ist der Schlupf 0 s 1 Abbildung 7: Schlupfgerade

5 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 5 von 8 4 Drehstrom- Synchronmaschinen(DSM) 4.1 Aufbau der DSM - Innenpolmaschine: Der Läufer ist ein Dauermagnet, oder wird mit Gleichstrom und über Schleifer zu einem solchem gemacht. Dieser läuft mit dem aussen alsiegendem Drehfeld mit - Aussenpolmaschine: Der Läufer erzeugt ein Drehfeld, welches sich immer am konstanten Statorfeld ausrichtet. Worauf sich des Läufer dreht - Turbomaschine: Die Schleiferlose Variante. Mit Hilfe eines Hilfsgenerator auf der gleichen Welle wird ein Drehstrom erzeugt, welcher auf dem Läufer selbst gleichgerichtet wird. Damit wird dan ein konstantes Magnetfeld (Dauermagnet) erzeugt (wie die Innenpolmaschine) 4.2 Ersatzschaltbild Abbildung 8: Ersatzschaltung DSM Es gibt 2 Unterteilungen: - Wirkleistung: Gibt die DSM leistung ab oder nimmt sie auf. Zu erkennen ist das am Phasenwinkel zwischen U KL und U P. Ist U P voreilend, so ist es ein Generator, anderseits ein Motor. - Blindleistung: Blindleistung Auf- oder Abgabe. Bei Übererregung oder auch kapazitiven Betrieb gibt der DSM Blindleistung ab. Bei Untererregung oder auch induktiven Betrieb nimmt er auf. Abbildung 9: Betriebszustände einer DSM 4.3 Betriebsverhalten Leerlauf I E = U P 3 I E0N U N Die Formel ist für die liniarisierte Gerade I E :Erregerstrom U P :verkettete Nennspannung des DS- Netzes I E0N :Leerlauferregerstrom für Nennspannung Abbildung 10: Im Betriebspunkt liniarisierte Leerlaufgerade

6 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 6 von 8 Kurzschluss X d = U P I K0 Gilt unter Vernachlässigung des Wicklungswiderstand Die Kurzschlussgerade ist liniar Abbildung 11: Kurzschlussgerade Inselbetrieb Abbildung 13: Regulierungskennlinie für konst. U Kl Abbildung 12: Belastungskennlinie bei konst. Erregerstrom Die Klemmenspannung nimmt bei kapazitiven Lasten zu, bei induktiven stark ab. Für eine konstante U Kl muss der Erregerstrom wie die Regulierungskennlinie angepasst werden Netzbetrieb Im Netzbetrieb wird die Frequenz, Klemmenspannung, Umlaufsinn und Phasenlage vom Netz vorgegeben. Das heisst bevor man mit einer DSM ans Netz will, muss man sie so synchronisieren, dass alle jene Parameter mit dem Netz überreinstimmen. Sind die Maschine und Netz synchronisiert und zusammengeschaltet, kann mit Hilfe von I E und der mechanischen Leistung der Blindstromanteil eingestellt werden: Abbildung 14: Ortskurve einer DSM im starren Netz - Da U Kl = U 1 konstant ist, ist der Ursprung des Zeigers j Up X d immer am gleichen Ort. - Mit dem Erregerstrom kann man die Länge des Zeigers j Up X d einstellen. - Die mechanische Leistung ist proportional zum Abstand der Zeigerspitze zur Imaginärachse. - Die Blindleistung ist proportional zum Abstand der Zeigerspitze zur Reelenachse. - Ist nun die mechanische Leistung konstant und man ändert den Erregerstrom, so wandert die Zeiger auf einer Linie parallel zur Imag-Achse hin und her. - Überschreitet der Zeiger die Stabilitätslinie, schlipft der Läufer durch und es gibt grosse Lärm- und Wärmeentwicklung, da die mechanische Leistung zu gross wird für den Erregerstrom. - Bleibt der Erregerstrom konstant und die mechanische Leistung ändert sich, so wandert der Zeiger auf dem Kreis um (0, U Kl j X d ). Jedoch wiederum nur bis zur Stabilitätsgrenze, da dort die Wirkleistung für diesen Erregerstrom maximal ist. U 2 U P = Netz 3 + Xd 2 I2 + 2 UNetz 3 X d X d I sin(ϕ)

7 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 7 von 8 5 Drehstrom- Asynchronmaschinen (DAM) 5.1 Aufbau der DAM Name Aufbau Positiv Negativ Schleifringläufer Ständerwicklung und Mit deiesem Widerstand Die Schleifkontakte reduzieren Läuferwicklung sind für lässt sich die Drehzahl regulieren den Verschleiss. den Wirkungsrad und erhöhen Drehfelder gewickelt. Die Läuferwicklunganschlüsse sind rausgezogen, um einem Wider- Kurzschlussläufer / Käfigläufer 5.2 Funktionsprizip stand einzuschliessen. Die Läuferwicklungen sind immer kurzgeschlossen. Es kann ein beinahge reibungsloser und verschleisfreier Betrieb ermöglicht werden Die Drehzahl ist beinahe die Drehfeldfrequenz durch die Polzahl Das vom Ständer erzeugter Drehfeld erzeugt im stillstehenden, kurzgeschlossenen Läufer einen Drehstrom. Der Schlupf ist bei einem stillstehendem Läufer 1. Dieser Drehstrom erzeugt im Läufer ein Drehmoment. Dieses Drehmoment beschleunigt den Läufer.Durch verringert sich Schlupf, was wiederum ein kleineres Drehmoment nachsichtzieht. Bei einem Läufergeschwindigkeit, welche gelcih schnell ist wie das Drehfeld, reslutiert eine relative Geschwindigkeit von 0 (Schlupf von 0) kein Drehmoment. Das heisst der DAM bewegt sich immer mit möglichst kleinem Schlupf. 5.3 Ersatzschaltbild Da der DAM nach dem Induktionsgesetz funktionniert, kann man ihn gut als Trafo- Ersatzschaltbild darstellen. Der veränderliche Wirkwiderstand (Lastwiderstand) ist die mechanische Last. Das heisst die Verlustleistung über dem Widerstand ist die Mechanische Nutzleistung (minus die Reibungsverluste). Diese ist, wie man sieht von dem Schlupf abhnängig. Abbildung 15: Ersatzschaltbild des DAM mit Last

8 Elekrische Maschinen - Formelsammlung (Revision : powered by LATEX) Seite 8 von Ortskurve des DAM, Heyland- Kreis Abbildung 16: Heylandkreis mit Leistungs- und Momenteneinteilung 1. Den Massstab für den Strom wählen Abbildung 17: Heylandkreis mit Schlupfskalierung 2. s = 0 s 0 messen und einzeichnen 3. s = 1 s 1 messen und einzeichnen 4. Verlustleistung bei s 0 herauslesen (P F e ) und mit P F E = U I W irk den Leistungs-Massstab bestimmen. 5. vom Mittelpunkt von s 0 s 1 6. Schnittpunkt auf s 0 Achse(Richtung j) = M 7. Kreis um M mit Schnittpunkt s 0 und s 1 8. I N = Tangente auf dem Kreis 9. P v2 bei s 1 ausrechnen = P R1 und von s 1 nach unten abtragen. 10. Verbindung des Punktes zu s 0 verlängern s 11. Bei Vereinfachung R Cu = 0 : s 0 auf Imaginär- Achse; s auf Imaginär-Achse 12. Schlupf- Skalierung: auf s M 13. Schnittpunkt mit Verlängerung s 1 s = Schnittpunkt mit s 0 s = Dazwischen lineare Unterteilung 5.5 Drehmomentkennlinie Abbildung 18: M = f(s) M K = Kippmoment = MaximalesDrehmoment M K 3 U π n 1 X σ X σ = X σ1 + X σ1 M M K 2 s s + s k k s s k = R 2 R 2 1 +X 2 1 R 2 X σ