Der Dirichletsche Primzahlsatz anhand von Beispielen

Transkript

1 Der Dirichletsche Primzahlsatz anhand von Beisielen Im Neuen Jahr 2009 jährt sich der Todestag von Gustav Peter Lejeune Dirichlet zum 50. Mal. Als Erinnerung an sein mathematisches Werk will ich seine Arbeit ins Gedächtnis rufen: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Das Ziel besteht darin, bei Personen, die in der Zahlentheorie weniger geübt sind, anhand von Beisielen ein Verständnis für die Aussage des Dirichletschen Satzes zu wecken.. Eine Beobachtung von Euler aus dem Jahr 737 Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt: Jede natürliche Zahl n lässt sich auf genau eine Weise zerlegen als Produkt von Potenzen a i i > der Größe nach geordneter Primzahlen i ( i r). Darin ist nach einer Konvention als Sonderfall r 0 das leere Produkt zur Beschreibung der enthalten. Als Verallgemeinerung der divergenten harmonischen Reihe n /n kann die (Riemannsche) Zetafunktion ζ(s) n, s > s n angesehen werden. Diese Reihe konvergiert auf jedem Intervall [ + δ, [, δ > 0 gleichmäßig; deswegen ist ζ insbesondere stetig auf dem Intervall ], [. Der Fundamentalsatz der Arithmetik ergibt für natürliche x die Identität n n x n s x m0 ms x / s. In den beiden Produkten läuft über die angegebenen Primzahlen, während in der Summe links eine Bedingung an die Primteiler des Summationsindex n steht. Durch Grenzübergang x gewinnt man die folgende Darstellung als absolut konvergentes Eulerrodukt ζ(s) / s. Nach den Regeln der absolut konvergenten Produkte ist somit ζ(s) nullstellenfrei, weil solche Produkte nur dort verschwinden, wo einer der Faktoren verschwindet. Durch Logarithmieren ergibt sich nun log ζ(s) log / s + s ( log / ). s s

2 Wegen der Abschätzung des Logarithmus durch x + x gilt für die rechte Summe 0 ( log / ) s s log( + x) x (x > ) ( ) < n2 n(n ). Hieraus folgt die Divergenz der Reihe /, eine Beobachtung von Euler, mit der er Schlüsse aus der Analysis in die Zahlentheorie einführte. Sie ist weit mehr als ein neuer Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge P. 2. Vergleich der Primzahlmengen mod3 und mod3 Im Jahr 837, genau hundert Jahre nach der eben besrochenen Beobachtung Eulers, gelang Dirichlet ein Beweis seines Satzes über die Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Zur Vorbereitung der Diskussion seiner Methoden behandeln wir den einfachsten nichttrivialen Fall auf direktem Wege. Mit Legendre setzen wir für ganze Zahlen n das n nach 3 gesrochene Legendre-Symbol ( ) n 0, bzw. je nachdem, ob n durch 3 teilbar ist oder 3 ob n beim Teilen durch 3 den Rest bzw. lässt. ( ) n Die auf der Menge Z aller ganzen Zahlen erklärte Funktion n ist konstant auf jeder 3 Restklasse modulo 3 und sie ist vollständig multilikativ, d.h. ( ) ( )( ) mn m n für alle m, n Z Dirichlet ordnet ihr die L-Reihe L(s) n ]0, [ als alternierende Leibnizreihe und es ist ( ) n 3 n s zu. Sie konvergiert auf dem Intervall > L() > /2 > 0 sowie lim s L(s). ( ) Auf jedem Teilintervall [δ, [, (δ > 0) ist die Konvergenz gleichmäßig. Dagegen ist Z(s) n n 0mod 3 n s ( 3 s ) ζ(s) auf ], [ konvergent, aber divergent im Punkt s. Mittels des Fundamentalsatzes der Arithmetik gewinnt man analog zum Eulerrodukt der Zetafunktion im Intervall ], [ die Zerlegungen in absolut konvergente Produkte L(s) 3 ( 3)/, Z(s) s /. s 3

3 Dort besitzen wieder beide Funktionen einen stetigen Logarithmus, der sich wegen L() > 0 für die L-Funktion stetig nach s fortsetzen lässt. Wegen ( ) ist log L(s) auf dem Intervall [, [ sogar beschränkt. Aus der für x < gültigen Taylorreihe log x x k ergibt k k sich die grobe Abschätzung log x x x 2. Daraus erkennt man für Primzahlen x 3 und für alle s im Intervall ], [ : ( ) log ( ) s 2s 3 / s 3 ( ) 3 s ( ). Insbesondere ist die Differenz der beiden Seiten log L(s) ( ) auf dem Intervall 3 s ], [ beschränkt, was wir hier und künftig durch das Symbol ausdrücken. Nach dem aus ( ) gezogenen Schluss ist hier bemerkenswerter Weise die linke Seite auf ], [ beschränkt, und wegen der Äquivalenz auch die rechte Seite. Analog zum ersten Teil ergibt sich log Z(s) erhalten wir die beiden Äquivalenzen ( ) log Z(s) ± log L(s) s 2 ±mod 3 / s. Durch Addition bzw. Subtraktion 2 log Z(s) log ζ(s). 2 In diesem Sinne sind die Primzahlen auf die beiden Restklassen ± mod 3 gleichverteilt. 3. Die Trennung der ganzen Zahlen nach ihrem Rest modulo 5 Es gibt vier invertierbare Restklassen modulo 5, nämlich + 5Z, 2 + 5Z, 3 + 5Z, 4 + 5Z. Sie bilden zusammen mit der Nullrestklasse 5Z unter der üblichen Addition und Multilikation von Restklassen den Körer F 5 Z/5Z der Elementezahl 5. Die multilikative Grue F 5 ist zyklisch von der Ordnung 4. Eine Primitivwurzel modulo 5 ist beisielsweise 2; denn die Potenzen 2, 2 2 4, 2 3 3, 2 4 mod5 bilden ein Vertretersystem aller Restklassen in F 5. Die durch folgende Vorschrift ϕ(n) 0 bzw. ϕ(n) i k, oder ob n 2 k mod 5 gilt ( k 4) je nachdem, ob n durch 5 teilbar ist definierte Funktion ϕ : Z C ist konstant auf jeder Restklasse modulo 5 und sie trennt mit ihren verschiedenen Werten die verschiedenen Restklassen voneinander. Überdies ist ϕ vollständig multilikativ, d.h. ϕ(mn) ϕ(m)ϕ(n) für alle Paare m, n Z. Damit kann ϕ verstanden werden als Charakter von F 5, d.i. ein Homomorhismus der (multilikativen) Grue F 5 in die multilikative Grue C der von Null verschiedenen komlexen Zahlen, (fortgesetzt durch den Wert 0 auf die Nullrestklasse). Übrigens ist jeder Homomorhismus χ : F 5 C vollständig bestimmt durch seinen Wert bei 2 + 5Z, weil die Potenzen dieser Restklasse die ganze Grue F 5 ausfüllen. Die Kongruenz 2 4 mod5 erzwingt, dass der Wert χ(2) eine vierte Einheitswurzel ist, also χ(2) {, i,, i}. Damit sind sämtliche Charaktere von F 5 bekannt, es sind gerade die vier verschiedenen Potenzen χ ϕ, ϕ2, ϕ 3 ϕ, ϕ 4 ϕ 0 von ϕ.

4 Tafel der Charakterwerte χ(k) χ \ k ϕ 0 ϕ i i ϕ 2 ϕ 3 ϕ i i Es gelten offensichtlich die als Orthogonalitätsrelationen bezeichneten Formeln 4 k χ(k) 0 oder 4 je nachdem, ob χ ϕ0 oder ob χ ϕ 0 ist. χ χ(k) 0 oder 4 je nachdem, ob k mod5 oder ob k mod5 ist. Darin läuft χ in der zweiten Summe über alle Charaktere von F Die L-Reihen modulo 5 und ihre Logarithmen Zu jedem Charakter χ modulo 5 wird seine L-Reihe definiert durch die Formel χ(n) L(s, χ). n s Diese komlexwertigen Reihen sind absolut konvergent im Intervall ], [. Diejenige unter ihnen zum Hautcharakter χ ϕ 0 hängt eng mit der Zetafunktion zusammen: L(s, ϕ 0 ) n s /. s 5 n n 0mod 5 Die übrigen L-Reihen zu den Charakteren χ ϕ 0 konvergieren, dass ist eine ihrer Besonderheiten, auf dem Intervall ]0, [, und zwar gleichmäßig auf jedem Intervall [δ, [, δ > 0. Das ergibt sich durch abelsche artielle Summation; wegen der zweiten Orthogonalitätsrelation sind die folgenden Summen beschränkt: n A n χ(k), (n N). k Nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik und aufgrund der vollständigen Multilikativität der Charaktere χ existiert für s ], [ das Eulerrodukt L(s, χ) n χ()/ s. ( ) Insbesondere ist L(s, χ) stetig auf das Intervall ]0, [ und nullstellenfrei auf [, [ fortsetzbar. Wir zeigen jetzt L(, χ) 0, das Nichtverschwinden der L-Reihen zu den Charakteren χ ϕ 0 im Punkte s. Es sei zunächst χ ϕ 2. Dann ist χ reellwertig und über die Folge der seziellen Partialsummen S 5k erhalten wir L(, ϕ 2 ) n [ k0 ϕ 2 (n) n [ 5k+ 5k+2 5k+3 + ] 5k+4 ] k0 (5k+)(5k+2) (5k+3)(5k+4) k0 20k + 0 (5k+)(5k+2)(5k+3)(5k+4) > 0.

5 Die Charaktere χ ϕ und χ ϕ 3 ϕ sind komlex konjugiert zueinander. Sodann zeigt die Formel ( ) [ L(, ϕ) + L(, ϕ) 2 5k + ] 3 5k + 4 (5k + )(5k + 4), k0 dass der Realteil von L(, ϕ) und von L(, ϕ) ositiv ist. Daher sind beide Werte von Null verschieden. Eine elementare Folgerung aus der Existenz stetiger lokaler Umkehrfunktionen der komlexen Exonentialfunktion ex : C C lautet: Jede auf einem Intervall I stetige und nullstellenfreie Funktion f : I C besitzt einen stetigen Logarithmus log f : I C mit der charakteristischen Eigenschaft ex ( log f ) f. Überdies ist der stetige Logarithmus bis auf ein additives konstantes Vielfaches von 2πi eindeutig, m.a.w. der stetige Logarithmus von f ist durch seinen Wert an einer beliebigen Stelle festgelegt. 5. Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes für den Modul 5 Da für die Nichthautcharaktere χ ϕ 0 mod 5 die L-Funktion s L(s, χ) auf I [, [ stetig und nullstellenfrei ist, und da lim s L(s, χ) gilt, wird aufgrund des Eulerroduktes die Reihe log χ()/ s mit (durch lim s log χ()/ s 0 normierten) Summanden der durch lim s log L(s, χ) 0 normierte Logarithmus von L(s, χ) auf ], [. Der Logarithmus ist wie in Abschnitt 2 stetig auf das abgeschlossene Intervall [, [ fortsetzbar und ist dort beschränkt, falls χ ϕ 0 ist. Zuerst führen wir eine Äquivalenzrelation in der Menge der stetigen Funktionen f, g : ], [ C ein: Es bedeute f g, dass die Differenz f g dort beschränkt ist. Nach der Überlegung am Schluss des letzten Abschnittes ist log L(s, χ) 0 für jeden Nichthautcharakter χ mod 5. Und die Beziehung zwischen L(s, ϕ 0 ) und ζ(s) hat die Äquivalenz k0 log L(s, ϕ 0 ) log ζ(s) zur Folge. Wir bezeichnen mit a für jede der Zahlen a, 2, 3, 4 diejenige unter ihnen, die die inverse Restklasse von a + 5Z reräsentiert, für die also das Produkt aa mod 5 ist. Dann besagt die zweite Orthogonalitätsrelation der Charaktere in Abschnitt 3: ( ) χ(a)χ() χ(a) χ() χ(a) log L(s, χ). s 4 s 4 s 4 χ χ χ amod 5 Die Summen über durchlaufen die Primzahlen, evtl. mit den angegebenen Bedingungen, und die Summen über χ durchlaufen die Charaktere mod 5. Aus der Vorbemerkung zum Äquivalenzbegriff erhalten wir für jeden der Reste a, 2, 3, 4: amod 5 log ζ(s). s 4

6 Man kann hieraus eine Konsequenz über die letzte Dezimalstelle der Primzahlen ziehen: Keine Primzahl lässt beim Teilen durch 0 einen der Reste 0, 4, 6, 8. Genau eine Primzahl lässt den Rest 2 und genau eine den Rest 5. Das ist selbstverständlich. Dagegen kommt beim Teilen von Primzahlen durch 0 jeder der Reste a, 3, 7, 9 gleich oft vor, insbesondere also unendlich oft. Das ist das Besondere. 6. Die Grue G der invertierbaren Restklassen modulo 24 und ihre duale Grue Ĝ Das Quadrat einer ungeraden Zahl a 2m + ist a 2 4m(m + ) + ; es lässt beim Teilen durch 8 den Rest, da m oder m + gerade ist. Das Quadrat einer nicht durch 3 teilbaren Zahl a 3k ± ist a 2 3k(3k ± 2) + ; es lässt beim Teilen durch 3 den Rest. Mithin liegt das Quadrat jeder nicht durch 2 noch 3 teilbaren Zahl in der Restklasse + 24Z. Dies bedeutet, dass die Grue G (Z/24Z) der invertierbaren Restklassen mod 24 neben dem neutralen Element nur Elemente der Ordnung 2 enthält. Die kleinsten natürlichen Zahlen in den invertierbaren Restklassen mod 24 sind, 5, 7,, 3, 7, 9, 23. Insbesondere hat G die Ordnung 8 und ist isomorh zum direkten Produkt C 2 C 2 C 2 dreier zyklischer Gruen der Ordnung 2. Eine Basis für solche Untergruen bilden beisielsweise die Restklassen von a 7, a 2 3, a 3 7. Jeder Charakter χ von G, also jeder Homomorhismus χ : G C, hat seine Werte nur in der Menge {, }. Er ist bestimmt durch die drei Werte bei a i + 24Z (i, 2, 3). Umgekehrt kann dieses Wertetriel beliebig gewählt werden. Also bilden unter unktweiser Multilikation die Charaktere von G selbst eine zu G isomorhe Grue Ĝ, die duale Grue von G. Das Einselement von Ĝ wird der Hautcharakter von G genannt. Wir bezeichnen ihn mit χ0. Beisiele von Charakteren auf G liefern die folgenden Funktionen ϕ, ψ, λ, definiert durch ϕ(n) ( ) 2 (n ), ψ(n) ( ) 8 (n2 ), λ(n) ( ) n 3 für zu 24 teilerfremde n, während für durch 2 oder 3 teilbare n ihr Wert gleich 0 gesetzt wird. Die vollständige Multilikativität von λ wurde in Abschnitt 2 bemerkt. Sodann gelten für ungerade m, n die Kongruenzen (mn ) (m ) (n ) (m )(n ) 0 mod 4, (m 2 n 2 ) (m 2 ) (n 2 ) (m 2 )(n 2 ) 0 mod 6. Daraus folgt die vollständige Multilikativität von ϕ sowie von ψ. χ \ k ϕ ψ λ Wertetabelle der Basiswerte Die nebenstehenden Werte der drei Charaktere zeigen uns, dass wir mit ϕ, ψ, λ die zu a, a 2, a 3 duale Basis der dualen Grue gefunden haben.

7 Zu jedem vom Einselement e + 24Z verschiedenen Element x G gibt es, wie z.b. die Basisdarstellung zeigt, einen Charakter χ Ĝ mit χ (x). Diese Trennungseigenschaft der Charaktere beschert uns die zweite Orthogonalitätsrelation S(x) χ bgχ(x) 8 oder 0, je nachdem, ob x e oder ob x e ist. Im Fall x e sind alle Summanden. Ist aber x e, dann besagt χ (x), da auch χ χ mit χ einmal durch Ĝ läuft, dass S(x) χ bg χ(x) χ bg( χ χ ) (x) χ (x) S(x) gilt, woraus S(x) 0 folgt. Dagegen bezeichnet man als erste Orthogonalitätsrelation der Restklassencharaktere χ mod 24 die Identität 24 k χ(k) 8 oder 0, je nachdem, ob χ χ 0 oder ob χ χ 0 ist. Dabei ist wie üblich χ(k) 0, sobald k durch 2 oder durch 3 teilbar ist. 7. Die Relation L(, χ) 0 für Charaktere χ χ 0 modulo 24 Tafel der Charakterwerte χ(k) modulo 24 χ \ k χ 0 ϕ ψ λ ϕψ ϕλ ψλ ϕψλ Für vom Hautcharakter χ 0 modulo 24 verschiedene Dirichletcharaktere χ konvergiert L(, χ), wie man mittels abelscher artieller Summation aufgrund der ersten Orthogonalitätsrelation einsehen kann. Für diese sieben Charaktere zeigen wir, dass folgende Ausdrücke σ k (χ) a 24 χ(a) 24k + a (k 0) sämtlich ositiv sind. Damit ist dann auch deren Summe ositiv: σ k (χ) k0 n χ(n) n L(, χ).

8 Im Fall χ ϕ gilt σ k (ϕ) > 24k+ + 24k+5 24k+7 24k+ + 24k k+7 24k+9 6 (24k+)(24k+7) + 6 (24k+5)(24k+) + 6 (24k+3)(24k+9) + 6 (24k+7)() 24 (24k+7)(), Sodann ergibt sich σ k (ψ) 24k+ 24k k+7 24k+ 24k k+7 24k (24k+7)(24k+) 8 (24k+3)(24k+7) > 0. Die von Null verschiedenen Glieder der Reihe L(, λ) bilden eine alternierende Leibnizreihe mit den Anfangsgliedern, /5,.... Also ist L(, λ) > 4/5. Die Diskussion von L(, ϕψ) verschieben wir an den Schluss. Danach bleibt σ k (ϕλ) σ k (ψλ) > 0 ; > σ k (ϕψλ) > 24k+ 24k+5 24k k+ + 24k+3 24k+7 24k (24k+)(24k+5) 4 (24k+7)(24k+) + 4 (24k+3)(24k+7) 4 (24k+9)() 24k+ + 24k k k+ 24k+3 24k+7 24k k k + 3 > 0 ; 24k+ + 24k+5 24k+7 24k+ 24k+3 24k k (24k+)(24k+7) + 6 (24k+5)(24k+) 6 (24k+3)(24k+9) 6 (24k+7)() 2 (24k+5)(24k+) 2 (24k+3)(24k+9) > 0. Im verbleibenden Fall χ ϕψ ist σ k (ϕψ) 24k+ 24k+5 24k k+ 24k k k+9 4 (24k+)(24k+5) 4 (24k+7)(24k+) 4 (24k+3)(24k+7) + 4 4[24k ] A(k) 4[24k ] A(k+/2) wo folgendes Polynom vierten Grades eingeht ( 4k A(k) 4k + 3 A(k+/2) (24k+9)() ), A(x) (24x+)(24x+5)(24x+7)(24x+) 24 4 x x x x+385. Seine Ableitung ist A (x) x x x

9 Insbesondere sind A und A als reelle Funktionen auf dem Intervall [0, [ ositiv und wachsen strikt monoton. Nach dem Mittelwertsatz gilt auf [0, [ daher mit assendem ξ ]x, x+/2[ A(x+/2) A(x) + 2 A (ξ) A(x) + 2 A (x). Daraus erhalten wir für alle x 0: ( ) (4x + )A(x + /2) (4x + 3)A(x) 2 xa (x) A(x) + 2 A (0) > 0 ; Das ergibt stets σ k (ϕψ) > 0 und beendet den Beweis für L(, χ) Die Verteilung der Primzahlen auf die invertierbaren Restklassen Zunächst beschränken wir uns auf die Restklassen modulo 24. Wir verwenden wieder die in Abschnitt 5 eingeführte Äquivalenzrelation für die auf dem Intervall ], [ stetigen Funktionen. Die Reste a, 5, 7,, 3, 7, 9, 23 vertreten die acht invertierbaren Restklassen modulo 24. Wie wir am Anfang von Abschnitt 6 gesehen haben, ist für jeden dieser Reste a wegen a 2 mod24 a a der Vertreter der zu a + 24Z inversen Restklasse, m.a.w. jede invertierbare Restklasse mod 24 ist zu sich selbst invers. Aus der zweiten Orthogonalitätsrelation ergibt sich für jede Primzahl und für jeden der Reste a χ(a)χ() 0 oder 8, je nachdem, ob a mod24 oder ob a mod24 gilt. χ Somit folgt für jeden der Reste a: ( s 8 amod 24 χ χ(a) 8 χ ) χ(a)χ() s χ() s 8 χ(a) log L(s, χ). Wegen L(, χ) 0 und lim s L(s, χ) für alle χ χ 0 existiert ein stetiger Logarithmus auf dem abgeschlossenen Intervall I [, [, und dieser ist dort beschränkt. Dagegen ist die L-Reihe zum Hautcharakter χ 0 mit der Riemannschen Zetafunktion verbunden: L(s, χ 0 ) ( 2 )( 3 ) ζ(s). s s Während log L(s, χ) im Fall χ χ 0 auf ], [ beschränkt ist, gilt log L(s, χ 0 ) log ζ(s). Deshalb lautet für alle Reste a, 5, 7,, 3, 7, 9, 23 das Ergebnis amod 24 χ log ζ(s). s 8 In diesem Sinn sind die Primzahlen auf die invertierbaren Restklassen modulo 24 gleichverteilt. Damit ist das Hautziel des Artikels erreicht. Der von Dirichlet bewiesene Satz in allgemeiner Version lautet

10 Bei allen ganzen Zahl m > gilt für jeden Divisionsrest a, (0 a m), der mit m den größten gemeinsamen Teiler ggt(a, m) besitzt, im Intervall ], [ des Parameters s die Äquivalenz amod m s log ζ(s). ϕ(m) Darin läuft über die Primzahlen, die bei Division mit m den Rest a lassen, und der Wert ϕ(m) bezeichnet die Anzahl der invertierbaren Restklassen modulo m. Ein unverzichtbares Werkzeug für die Trennung der invertierbaren Restklassen nach dem Modul m > hat sich in der Charaktergrue Ĝm der Grue G m aller invertierbaren Restklassen modulom gezeigt. Mit jedem Charakter χ Ĝm ist die L-Reihe L(s, χ) n χ(n) n s verknüft, sowie ihr in s > absolut konvergentes Eulerrodukt L(s, χ) χ()/ s. Der Kern des Dirichletschen Beweises besteht in der Begründung des Nichtverschwindens aller L-Reihenwerte L(, χ) für die vom Hautcharakter χ 0 verschiedenen Charaktere χ der Grue G m aller invertierbaren Restklassen modulom. Dirichlet zeigt zunächst L(, χ) 0 für nichtreelle Charaktere χ unter Beachtung der Tatsache, dass dann der konjugiertkomlexe Charakter χ einerseits von χ verschieden und andererseits (als Inverses von χ) ein Element von Ĝm ist. Die Hautschwierigkeit besteht im Nachweis der Eigenschaft L(, χ) 0 für reelle Charaktere χ χ 0. Dirichlet behebt sie durch die Beobachtung, dass dann L(, χ) als ein Faktor einer gewissen Klassenzahl h auftritt, die definitionsgemäß eine natürlich Zahl ist und deshalb nicht verschwindet. Unsere Studierenden mittlerer Semester besitzen heute soviele Kenntnisse über holomorhe Funktionen, dass sie auch bei geringerer Vorbildung in der Zahlentheorie Zugang zum Dirichletschen Satz über die Primzahlen in arithmetischen Progressionen finden. Eine ausgefeilte Darstellung in dieser Richtung steht beisielsweise bei Serre [S]. Wir skizzieren grob die wesentlichen Schritte. Sämtliche L-Reihen L(s, χ) sind holomorh in der Halbebene Res > 0, mit Ausnahme eines einzigen Pols bei s im Fall χ χ 0, und dann ist dies ein einfacher Pol. Dies lässt sich mit den ersten Sätzen über Dirichlet-Reihen begründen. Damit ist bei jeder natürlichen Zahl m > das Produkt Z m (s) L(s, χ) χ G b m ebenfalls holomorh in Res > 0 mit Ausnahme höchstens eines einfachen Pols bei s. Dieser Pol würde nicht auftreten, wenn auch nur eine der L-Reihen eine Nullstelle bei s besäße. Indes liefert das Eulerrodukt der L(s, χ) eine Darstellung von Z m (s) als Dirichletreihe mit ositiven ganzen Koeffizienten a n : Z m (s) n a n n s,

11 deren Konvergenzgebiet nicht über die Halbebene Re s > hinausgeht. Dies folgt aus einer eleganten Proosition über die Konvergenz von Dirichlet-Reihen mit Koeffizienten a m 0. Zum Abschluss unserer Betrachtungen wählen wir als Exerimentierfeld für Interessierte eine Sammlung von drei Rechenbeisielen, die im Zusammenhang mit dem direkten Nachweis des Nichtverschwindens von L(, χ) 0 in Sezialfällen stehen. Beisiel. Zeigen Sie für den Charakter χ modulo 8, der durch χ(n) ( ) 2 (n ) ( ) 8 (n2 ) definiert ist, die Tatsache L(, χ) 0. für ungerade n Z Beisiel 2. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen L(s, χ) von Beisiel und der L-Funktion L(s, ϕψ) aus Abschnitt 7 über deren Eulerrodukte her, um L(, ϕψ) 0 zu begründen. Beisiel 3. Prüfen Sie für die Nichthautcharaktere χ modulo7 auf direktem Wege L(, χ) 0. Literaturbeisiele [BS] S.Borewicz, I.R. Šafarewič. Zahlentheorie, Birkhäuser-Verlag 966. [B] J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie, Sringer-Verlag 995 [D] G. Lejeune Dirichlet: Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften von 837, S Werke, Bd I, [S] J.-P. Serre: A Course in Arithmetic, Sringer-Verlag, Graduate Text in Mathematics 7, 973.