Motivation. Motivation. Motivation. Inhalt. Motivation. Einführung. Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller

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1 Practical Animation of Liquids Practical Animation of Liquids N. Foster, R. Fedkiw, Proceedings of SIGGRAPH '01 Proceedings of SIGGRAPH '01 Die Autoren Nick Foster, PDI/Dreamworks Seminar "Physically-based methods for 3D games and medical applications" Wintersemester 02/03 Marco Fischer Ronald Fedkiw, Stanford University 2 Inhalt Einführung Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller Algorithmus, Foster & Fedkiw Computeranimation Zusammenfassung Ausschnitt aus Shrek 3 N. Foster, R. Fedkiw. Practical Animation of Liquids, Proceedings of SIGGRAPH '01 4 1

2 D. Enright, S. Marschner, R. Fedkiw. Animation and Rendering of Complex Water Surfaces, SIGGRAPH '02 5 D. Enright, S. Marschner, R. Fedkiw. Animation and Rendering of Complex Water Surfaces, SIGGRAPH '02 6 Inhalt Einführung Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller Algorithmus, Foster & Fedkiw Computeranimation Zusammenfassung Aussschnitt aus Shrek PDI/Dreamworks, Shrek 7 8 2

3 Einführung Physikalisch basierte Animationstools Gesetze aus der Physik, um die reale Welt zu modellieren Ziel der Computergrafik sind coole und schnelle Animationen Manchmal auf Kosten der physikalischen Korrektheit Trotzdem muss es plausibel aussehen Im Bereich Flüssigkeiten ist die Entwicklung in vollem Gang Komplex, rechenintensiv Nicht direkt umsetzbar (wie bspw. Feder-Masse-Modelle) Verhalten von Flüssigkeiten modellieren Aus den Gesetzen der Fluiddynamik Einführung - Flüssigkeitsmodelle Erste Flüssigkeitsmodelle in der Computergrafik berücksichtigten nur die Die Bewegung der Flüssigkeit darunter wurde ignoriert Wirklichkeitsnahe Simulation von Flüssigkeiten ist rechenintensiv! Zwei Alternativen zur Modellierung:» Partikel, Kräfte aus der Physik: Lagrange» Unterteilung in Raumelemente, Differentialgleichungen beschreiben den Fluss zwischen benachbarten Elementen: Euler Berechnungsaufwand mindestens proportional zur Auflösung 3! Fluiddynamik (Computational Fluid Dynamics, CFD) Wie werden diese Differentialgleichungen gelöst? Computergrafik Die Resultate müssen plausibel aussehen, dabei ist aber die Geschwindigkeit meist wichtiger als physikalisch korrekte Berechnung Diskretisierung, Approximation 9 10 Flüssigkeitsmodelle Lagrange oder Euler? Überblick Inhalt des Papers Zwei Ansätze: Lagrange Fluid als Menge von Partikeln Jedes Partikel besitzt eine Geschwindigkeit Euler Raum in Voxel unterteilt Geschwindigkeitsvektoren zu jedem Nachbarn Druckvariable im Zentrum Allgemeines Verfahren Modellierung und Animation von Flüssigkeiten Auf die Bedürfnisse der Computeranimation ausgelegt Flüssigkeiten unterschiedlicher Viskosität (Wasser bis dicker Schlamm) Bewegen sich in einer 3D-Umgebung Interagieren mit graphischen Primitiven (parametrische Kurven, bewegte Polygone) Verhalten lässt sich (eingeschränk beeinflussen Neue Ideen Hybrider Ansat um die Bewegung der zu verfolgen: Partikel in Kombination mit einer impliziten (Level Se

4 Inhalt Einführung Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller Algorithmus, Foster & Fedkiw Computeranimation Physik Computational Fluid Dynamics (CFD) Computergrafik Alternativen der Modellierung: Lagrange(Partikel) oder Euler(Raumelemente) Hybrider Ansatz (Foster, Fedkiw) Kombination Lagrange, Euler Zwei kontinuierliche Grössen Dichtefeld Skalarfeld: Geschwindigkeitsfeld Vektorfeld: u ( x, ρ( x, [kg/m 3 ] v( x, v( x, t ) w( x, t ) [m/s] Zusammenfassung Aussschnitt aus Shrek Inkompressible Fluids: ρ( x, Navier-Stokes Gleichungen An jedem Punkt x: Massenerhaltung Impulserhaltung ρ + ( ρv) 0 Lokale Änderung der Dichte Fluss aus dem Element hinaus D ρ v p + ρg + µ 2 v Dt Inkompressible Fluids v 0 ρ( x, 1 Nabla Operator,, x z Vektorfeld Skalarfeld u( x, v v( x, w( x, p ( x, Divergenz u w v + + x z v,, x z Gradient p p x p p z Laplace Operator: p p p p p x m a Kraft

5 Navier-Stokes Gleichungen Navier-Stokes Gleichungen Newton (pro elemen: m a Kraft Newton (pro elemen: m a Kraft D ρ Dt v 2 p + ρg + µ v D ρ Dt v 2 p + ρg + µ v Beschleunigung: (verallgemeinerte Kettenregel) Dv x z v( x( t ), y(, z (, t ) Dt x z u + v + w + x z v v + 17 Externe Kräfte: Masse Beschleunigung Gravitationskraft 18 Navier-Stokes Gleichungen Navier-Stokes Gleichungen Newton (pro elemen: m a Kraft Newton (pro elemen: m a Kraft D ρ Dt v 2 p + ρg + µ v D ρ Dt v 2 p + ρg + µ v Druck: px p py p z Für isotherme Fluids: pv const k p kρ V Vereinfachte Viskosität für inkompressible Fluids: uxx + u µ v µ vxx + v wxx + w yy + uzz + vzz + w zz yy 2 µ yy (skalar): Viskosität des Fluids

6 Schliesslich Inhalt v 0 ρ + v v k ρ + ρg + µ Umformen: v 2 v 0 k µ v v ρ + g + ρ ρ v 2 v v Einführung Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller Algorithmus, Foster & Fedkiw Computeranimation Zusammenfassung Aussschnitt aus Shrek Navier-Stokes Gleichungen v 0 v k µ v v ρ + g + 2 v ρ ρ Algorithmus Überblick Gleichungen werden über die Zeit gelöst Verhalten einer Flüssigkeit () kann modelliert werden 6 Schritte: modellieren II. Modellierung der Flüssigkeit mit einer Kombination aus einer impliziten Für jeden Zeitschritt: : Gleichung lösen IV. Geschwindigkeiten anpassen aufgrund bewegter Objekte gewährleisten v 0 VI. Mit dem neuen Geschwindigkeitsfeld die Position der Flüssigkeit Die Welt, in der sich die Flüssigkeit bewegt, wird in ein Grid von Voxeln mit Seitenlänge unterteilt τ Nicht zwingend senkrecht, aber geringer Overhead bei leeren Zellen Druckvariable im Zentrum jeder Zelle Zusammen mit jeder Nachbarzelle ein Geschwindigkeitsvektor Im Zentrum jeder Seitenfläche definiert Repräsentiert die normale Komponente der Fliessgeschwindigkeit Jede Zelle ist entweder leer oder vollständig gefüllt mit einem undurchlässigen, statischen Objekt Trotz dieser groben Auflösung des Flüssigkeitsvolumens kann eine glatte realisiert werden

7 Modellierung der Flüssigkeit 4 Teile Partikel Isofläche Dynamische Level Sets Hybrides nmodell Flüssigkeitsverteilung im Grid repräsentiert durch implizite Modellierung der Flüssigkeit Isofläche liefert glatte Partikel bieten Detail für Spritzer, Tropfen Implizite Funktion hergeleitet aus Kombination von dynamischer Isofläche 25 N. Foster, R. Fedkiw. Practical Animation of Liquids, Proceedings of SIGGRAPH '01 26 Partikel Im Grid plaziert (oder von einer Quelle zugefüg gemäss einer initialen Flüssigkeitsverteilung Partikelgeschwindigkeit direkt aus dem Geschwindigkeitsgrid berechnet (trilineare Interpolation) Jedes Partikel wird nach folgender Gleichung bewegt: dx p dt v v x : Fluid-Geschwindigkeit an der Stelle x p Vorteile Relativ geringer Berechnungsaufwand Repräsentieren das sich ändernde Geschwindigkeitsfeld Nachteile Fürs Rendering brauchen wir die Alle Partikel zu Dreiecken verbinden» Schwierig, die Konnektivität und die ndreiecke zu finden x 27 Isofläche der Flüssigkeit kann aus Isofläche einer impliziten Funktion gewonnen werden: Implizite Funktion Implizite Funktion an der Stelle x p mit Radius r: φ (x) p ( x x i pi 2 2 ) + ( x x ) + ( x x Jedes Partikel als Zentrum einer implizit definierten Kugeloberfläche wo φ p ( x) 0 Implizite Funktion über alle Partikel, φ (x) jeweils der Wert des Partikels mit dem kleinsten Abstand zu x. j pj k pk 2 ) r 28 7

8 Isofläche Möglichkeit: polygonale mit Marching Cubes Ausgleichen, glätten um Ecken abzuschwächen Level Sets anschaulich... nnormale: n φ φ Glatte Isofläche für jedes Frame: besseres nmodell im Vergleich zu Partikeln Trotzdem Nachteile:» Hohe Partikeldichte an der (bei φ ( x) 0) notwendig, damit die glatt aussieht» Partikel werden auch im Rest des s benötigt, obwohl sie keinen Einfluss auf das Aussehen der haben Zwei Gebiete, getrennt durch Grenzfläche (-linie) Ziel: die Grenzfläche mit variabler Geschwindigkeit in Richtung n bewegen Dreiecksnetze ungeeignet für grosse Veränderungen Grenzfläche durch Partikel beschrieben Keine Nachbarschaft definiert Normale muss heuristisch gefunden werden Jedes Partikel bewegt sich unabhängig in seine Normalenrichtung Partikelkonzentration kann schwanken Lösungsansatz:» Funktion φ einmal erstellen und dann die Bewegung verfolgen mit Levelset Methode: implizite Beschreibung der Grenzfläche demselben Geschwindigkeitsfeld wie die Partikel Fläche bei Funktion 0 zero level Bewegung der Funktion beschrieben als PDE in Abh. der Zeit Levelset Funktion im Raum definiert» Temporally smoothed dynamic isosurface: A level set 29 Gesamplet auf regulärem Grid 30 C. Sigg. Framework for Levelset Methods, Diploma Thesis, ETH Zurich Dynamische Level Sets φ direkt über die Zeit entwickeln mit dem Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit φ gemäss Physik von Flüssigkeiten: φ + u φ 0 t Verschiedene Techniken, um diese Gleichung zu lösen Nachteile:» verlust kann auftreten» Tropfen, die sich vom Rest der Flüssigkeit lösen, sind zu klein, um vom Level Set aufgelöst zu werden» Für Gas oder Rauch kein Problem, für Flüssigkeiten unbrauchbar! Die Level Set Methode muss angepasst werden, um erhaltung zu gewährleisten Hybrides nmodell Partikel: Lagrange Level Set: Euler Komplementäre Stärken und Schwächen - Level Set: verlust - Partikel: Artefakte, wenn Anzahl Partikel zu gering + Level Set: Immer glatt + Partikel: genügend Detail unabhängig von Komplexität Vorschlag: Kombination der beiden Ansätze Ideen:» Partikel innerhalb der Flüssigkeit und genügend weit von der entfernt: Partikel löschen» Zellen nahe bei 0, mit zu wenigen Partikeln: Partikel erzeugen φ

9 Hybrides nmodell Kombination der beiden Ansätze Hybrides nmodell Partikel verlassen die» Krümmung der berechnen III. Geschwindigkeitsfeld III. Geschwindigkeitsfeld» Kleine Krümmung: glatte : Level Set Partikel ignorieren» Grosse Krümmung: Spritzer, Tropfen: Partikel können lokal verändern φ VI. Flüssigkeit VI. Flüssigkeit» Einzelne Partikel verlassen die» Können direkt als kleine Tropfen gerendert werden 33 unten: Partikel als kleine Kugeln gerendert 150 x 75 x 90 Zellen, Berechnungszeit ca. 4 Minuten für ein Frame! N. Foster, R. Fedkiw. Practical Animation of Liquids, Proceedings of SIGGRAPH '01 34 Hybrides nmodell Movie Partikel als kleine Kugeln gerendert Hybrides nmodell Movie Partikel als kleine Kugeln gerendert IV. Bewegte Objekte IV. Bewegte Objekte VI. Flüssigkeit VI. Flüssigkeit N. Foster, R. Fedkiw. Practical Animation of Liquids, Proceedings of SIGGRAPH '01 35 N. Foster, R. Fedkiw. Practical Animation of Liquids, Proceedings of SIGGRAPH '

10 Geschwindigkeitsfeld 1 u t v ( u ) ( u ) u p + g ρ Auf Geschwindigkeitsfeld anwenden Euler-Integrationsschritt Navier Stokes 3 Schritte I. t berechnen CFL (Courant-Friedrichs-Levy)-Bedingung t muss kleiner sein als min. Zeit, in welcher etwas signifikantes passiert Hier: ein Partikel soll keine Zelle des Grids überspringen können, Bewegte Objekte Existierende Methoden erfordern ein sehr feines Grid Für Animation nicht geeignet Wenn ein Objekt in eine Zelle mit Flüssigkeit eindringt: I. Die Flüssigkeit soll nicht ins Objekt hinein fliessen» Relative Geschwindigkeit zwischen nnormale und Flüssigkeitsgeschwindigkeit > 0 II. ( u ) u t < τ / u integrieren (semi-lagrange-methode) II. Kein Einfluss auf Komponente tangential zur des Objekts III. Restliche Terme integrieren (Zentrale Differenzen) Geschwindigkeitsfeld zum Zeitpunkt leider ohne Massenerhaltung! t + t 37 III. Weder Partikel noch Level Set Fläche dürfen die des Objekts durchdringen Partikel werden geschoben Isofläche wird durch das Geschwindigkeitsfeld angepasst 38 Massenerhaltung Nach Integration der Navier-Stokes Gleichung v 0 Geschwindigkeitsfeld erfüllt die Bedingung nicht mehr (ist nicht divergenzfrei) Einzige Möglichkeit:» Inkompressibilitätsbedingung für jede Grid-Zelle erfüllen Lineares Gleichungssystem:» Lokale Druckänderung gekoppelt mit Divergenz jeder Zelle 2 ρ u p t Flüssigkeit Aktualisiertes Geschwindigkeitsfeld ist berechnet Position des Flüssigkeitsvolumens (einen Zeitschritt weiter bewegen) Partikel und implizite Diskretisieren, Lösen Preconditioned Conjugate Gradient-Methode Resultierendes Geschwindigkeitsfeld erhält die Masse (ist divergenzfrei) und erfüllt die Navier-Stokes Gleichungen 39 Ende der Schleife

11 Inhalt Computeranimation Steuerung, Kontrolle Einführung Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller Algorithmus, Foster & Fedkiw Computeranimation Zusammenfassung Aussschnitt aus Shrek 6 Schritte I. II. Partikel und implizite 41 Einfluss wünschenswert für Animationsanwendungen Physikalisch basierte Animation Steuerung vs. realistisches Verhalten Gleichungen geben vor, dass sich alles bewegt, dreht und mischt solange die Kräfte nicht im Gleichgewicht sind Nur beschränkten Einfluss auf den Ablauf Natur der nichtlinearen Simulation Ansatz Geschwindigkeiten statt Kräfte Bspw. Unsichtbare Flächen oder Punkte PDI/Dreamworks,» Normalen und Geschwindigkeiten, steuern die Flüssigkeit Shrek, 3 min/frame Oder parametrische Kurven in 3D» Geschwindigkeit an jedem Punkt» Einfluss durch Ändern der Position, Normalen oder Geschwindigkeit 42 Inhalt Zusammenfassung Practical Animation of Liquids N. Foster, R. Fedkiw, Proceedings of SIGGRAPH '01 Einführung Fluiddynamik Auszüge aus den Slides von Matthias Müller Algorithmus, Foster & Fedkiw Computeranimation Steuerung nur bedingt möglich Natur der nichtlinearen Simulation Physikalisch basierte Animation Flüssigkeiten Computational Fluid Dynamics, Navier Stokes Gleichungen Computeranimation Kombination aus, Level Sets Interaktion mit bewegten Objekten Wie geht es weiter... Animation and Rendering of Complex Water Surfaces Enright, Marschner, Fedkiw, SIGGRAPH '02 Zusammenfassung Kontrolle vs. realistisches Verhalten Ausschnitt aus Shrek bspw. parametrische Kurven in 3D

12 So viel Geduld soll belohnt werden