Oldenburger Forschungsprojekte zur Umsetzung von Solvency II bei KMVU

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1 Oldenburger Forschungsprojekte zur Umsetzung von Solvency II bei KMVU 1. Oldenburger Versicherungstag Angelika May, Dietmar Pfeifer, Doreen Straßburger

2 Gliederung 1. Warum Forschung mit / für KMVU? 2. Risikomessung unter Solvency II 3. Probleme mit der Wurzelformel 4. Zusammenfassung und Ausblick Seite 2 von 41

3 1. Warum Forschung mit / für KMVU? Seite 3 von 41

4 1. Warum Forschung mit / für KMVU? Regionaler Bezug: ein großer Teil der klein(st)en VVaG im nordwestdeutschen Raum (Schleswig-Holstein / Niedersachsen / Westfalen) befinden sich in räumlicher Nähe zur Universität Oldenburg Verstärkung der von der Universität gewünschten Kooperation mit der regionalen Wirtschaft KMVU besitzen eine überschaubare Struktur, meist mit einer Konzentration auf wenige Sparten im Sachversicherungsbereich Reduktion in der Komplexität aktuarieller Modelle, bessere Validierbarkeit KMVU verfügen in der Regel über keine spezialisierten Mathematiker (Aktuare) Hilfestellung zur Bewältigung neuer Anforderungen (z.b. im Zusammenhang mit Solvency II / Risikomanagement) Seite 4 von 41

5 1. Warum Forschung mit / für KMVU? Win-Win-Situation: KMVU profitieren wirtschaftlich von einer neutralen Kooperation, die Universität profitiert von finanzieller Unterstützung außerhalb der üblichen klassischen Förderwege (DFG, BMBF, ) Fokussierung auf Methodenentwicklung, nicht auf kommerzielle Software- Lösungen! höhere Transparenz, Validierbarbarkeit, Erfahrungsaustausch mit Verbänden / Aufsichtsbehörden Seite 5 von 41

6 1. Warum Forschung mit / für KMVU? Aktueller Förderantrag über EFRE (Europäischer Fonds zur regionalen Entwicklung) Entwicklung eines Solvency II-kompatiblen quantitativen Risikomanagement-Modells für kleine Versicherungsunternehmen, insbesondere regionale VVaG s Seite 6 von 41

9 1. Warum Forschung mit / für KMVU? Themenschwerpunkte: Reserverisiko: Abwicklungsdreiecke, Schätzung der Reserveverteilung, Implementierung von IFRS-Aspekten [Diskontierung, Cost of Capital-Ansatz] Prämienrisiko: Entwicklung geeigneter Methoden zur Bestimmung statistischer Schadenverteilungen aus vorhandenen Zeitreihen (Homogenisierung durch Indizierung mit Bestandsveränderung [Versicherungssummen, Vertragszahlen] und ggf. weiteren ökonomischen Kenngrößen [z.b. Inflation, Baukostenindex], angemessene Einordnung von Großschäden [Schäden zu hohen Wiederkehrperioden]) aus physikalischen Modellen (Schadenfrequenzen, Einzelschadenhöhen; Kombinationen für unterschiedliche Gefahren) Abgleich verschiedener Ansätze ( use test ) Auswirkungen gegenseitiger Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Sparten / Risiken Seite 9 von 41

11 2. Risikomessung unter Solvency II Seite 11 von 41

12 2. Risikomessung unter Solvency II Risikomessung unter Solvency II Solvency Capital Requirement (SCR) je Risiko wird hier im Sinne von Sandström (2006) verstanden als Differenz zwischen einem geeigneten Risikomaß und gewissen Eigenmitteln (etwa Netto-Prämien = Erwartungswert als Basisgröße). Bei normalverteilten Risiken ist das SCR in der Regel ein Vielfaches der Standardabweichung des Risikos, dessen Größe nur vom Risikoniveau abhängt Das SCR für das Gesamtrisiko wird als Wurzel der Summe von Quadraten der einzelnen SCR s dargestellt ( Wurzelformel der NAIC / IAA; Standardmodell). Seite 12 von 41

13 2. Risikomessung unter Solvency II Definition (kohärentes Risikomaß): Ein Risikomaß R auf einer geeigneten Menge D Z der reellwertigen Zufallsvariablen (Risiken) heißt kohärent im Sinne von ARTZNER, DELBAEN, EBER und HEATH (1999), wenn es die folgenden Eigenschaften besitzt: [1] R ist positiv homogen, d.h. ( ) = c R( X ) R cx für alle c> 0 und X D; [2] R ist translationsinvariant, d.h. ( c) ( ) R X + =R X + c für alle X D und c ; [3] R ist monoton, d.h. ( ) ( ) R X R Y für alle X, Y D mit X Y; [4] R ist subadditiv, d.h. ( ) ( ) ( ) R X + Y R X + R Y für alle XY, D. Seite 13 von 41

14 2. Risikomessung unter Solvency II Die internationale Diskussion über Risikomaße als Basis für die Bestimmung des Zielkapitals für Solvency II (IAA, DAV, SST) in Bezug auf das versicherungstechnische Gesamtrisiko S konzentriert sich im Wesentlichen auf Value at Risk: VaR ( ) ( ) 1 α S : = q1 S F α = S ( 1 α) = inf{ x FS( x) 1 α} [in der Versicherungstechnik bekannt unter: und Probable Maximum Loss (PML) zur Wiederkehrperiode 1/α ] Expected Shortfall (auch Tail Value at Risk genannt): 1 α ES α( S) : = E( S S VaR α( S) ) = FS ( x) dx VaR u( S). α = α du 1 α 0 ; Seite 14 von 41

15 2. Risikomessung unter Solvency II μ ES α : Mittel aller Werte oberhalb von VaRα Seite 15 von 41

16 2. Risikomessung unter Solvency II Wurzelformel: SCR n 2 gesamt= SCRi + 2 ρi j SCRi SCRj ì= 1 i< j n 2 ( ( ) μ ) 2 ( ) i i ij i i= 1 i< j ( i) ( ( j) j) = R X + ρ R X μ R X μ unter Berücksichtigung von Abhängigkeiten, z.b. paarweisen Korrelationen ρ ij ( i j) E( Xi) E( X j) Var( Xi ) Var( X j ) E X X = Seite 16 von 41

17 2. Risikomessung unter Solvency II Eine Idee der Wurzelformel ist die Darstellung des Value at Risk (VaR) als Risikomaß zur Berechnung des erforderlichen Risikokapitals für ein Einzelrisiko X als VaR ( i) = μ i + i α, k α σ k, α i mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ 0. i i Sind die Risiken X normalverteilt, gilt i k α 1 ( Φ ( ) = exp = ϕ( ) =Φ 1 α) mit x 2 u π 2 wobei k α unabhängig von μ i und σ für i= 1,, n ist. 1 x du u du 2 i, x Seite 17 von 41

18 2. Risikomessung unter Solvency II Ähnlich: Der Expected Shortfall (ES) für normalverteilte Einzelrisiken durch ( k ) 2 α 2 e ES () = μi + σi = i + 1 α i μ τασ i mit k α =Φ ( 1 α). 2πα X i ist gegeben Kommentar: 1 Bei Normalverteilung ist VaR ein kohärentes Risikomaß für k α 0 α. 2 Bei Normalverteilung ist die gegenseitige Abhängigkeitsstruktur der Risiken vollständig und eindeutig durch die paarweisen Korrelationen bestimmt. ES ist stets ein kohärentes Risikomaß (unter jeder Verteilungsannahme). Seite 18 von 41

19 2. Risikomessung unter Solvency II Folgerung: Bei Normalverteilung ist die Wurzelformel konsistent mit der Definition des SCR, und zwar sowohl für VaR als auch für ES. Aber: Bei Nicht-Normalverteilung ist VaR im Allgemeinen kein kohärentes Risikomaß. Bei Nicht-Normalverteilung ist das der Wurzelformel zu Grunde liegende Prämienprinzip (Standardabweichungsprinzip) nicht kohärent ( Monotonie verletzt) Bei Nicht-Normalverteilung ist die gegenseitige Abhängigkeitsstruktur der Risiken nicht eindeutig durch die paarweisen Korrelationen bestimmt. Seite 19 von 41

20 2. Risikomessung unter Solvency II Wie die Portfoliotheoretiker bislang Risiken gemessen haben, wird der Wirklichkeit nicht gerecht. Dem zugrunde liegen viele falsche Annahmen darunter die der Gaußschen Normalverteilung. Im Ergebnis werden Risiken an den Finanzmärkten signifikant unterschätzt. Honorar-Professor Benoit B. Mandelbrot, Yale University Uns ist durchaus bewusst, dass die klassischen Risikomaße keinesfalls die tatsächlichen Gegebenheiten des Marktes widerspiegeln. Langfristig wollen wir uns anderer Verteilungsfunktionen zur Berechnung des Value-at-Risks bedienen, die hohen Verlustereignissen höhere Wahrscheinlichkeiten zuordnen, um somit das Risiko noch besser steuern zu können. Richard Peters, Vorstand der Versorgungsanstalt des Bundes und der Länder aus: Deutsche Pensions- und Investment-Nachrichten vom Seite 20 von 41

21 2. Risikomessung unter Solvency II Beispielrechnung für einen VVaG für Sturm mit Extremwertverteilung: Seite 21 von 41

24 2. Risikomessung unter Solvency II Rückversicherung! (Standardformel??) Seite 24 von 41

25 3. Probleme mit der Wurzelformel Seite 25 von 41

26 3. Probleme mit der Wurzelformel Wesentlicher Aspekt eines Standard-Modells (in Einklang mit der IAA): Die Eigenkapitalausstattung des Versicherungsunternehmens muss so beschaffen sein, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Unternehmen innerhalb des nächsten Jahres seinen Verpflichtungen nicht nachkommen kann, höchstens α beträgt. Aktuell wird bei VaR als Risikomaß α = 0.005, bei ES α = 0.01 als sinnvoll angesehen. Das bedeutet: die Berechnung des SCR (insbesondere über die Wurzelformel) muss sich an dieser Forderung messen lassen! Aber Beobachtung: speziell bei rechts-schiefen Verteilungen unterschätzt die Wurzelformel den Kapitalbedarf deutlich! Seite 26 von 41

27 3. Probleme mit der Wurzelformel Beispiel 1: Überprüfung der Wurzelformel bei Beta-Verteilungen: Wir betrachten zwei unabhängige Beta-verteilte Risiken X 1 und X 2 mit den Dichten αi 1 βi 1 x (1 x) fi ( x) = für 0 x 1, i = 1, 2. B ( α, β ) i i Für ganzzahlige Werte von α kann die Dichte g der Summe explizit i, βi S = X1+ X2 als stückweise definiertes Polynom bestimmt werden; beispielsweise ergibt sich für α = 2, β = 3, α = 1, β 4 : = gz ( ) z 56z + 48z z + 4z z z = z + z z + z z + 7 für 0 z 1 für 1 z 2. Seite 27 von 41

28 3. Probleme mit der Wurzelformel α = 1, β = α = 2, β = Graphen der Dichten f (rot) und 1 f 2 (grün) sowie der Summendichte g Seite 28 von 41

29 3. Probleme mit der Wurzelformel Legt man als Risikomaß den VaR zu Grunde, so ergibt sich für die Einzelrisiken: 1 1 αi SCRi = Fi (0.995) μi = Fi (0.995) α + β i i, i =1,2 mit den Verteilungsfunktionen F( x) = f ( u) du, 0 x 1. i x 0 i Die Quantile können trotz der polynomialen Form der Dichten bei ganzzahligen Parametern im Allgemeinen nur numerisch berechnet werden. Die folgende Tabelle zeigt die jeweiligen Kapitalbedarfe ( SCR-Levels) K 0.005, zum Einen nach Wurzelformel K = μ + μ + SCR + SCR, zum Anderen exakt (als VaR für das Summenrisiko). Seite 29 von 41

30 3. Probleme mit der Wurzelformel α1 1 2 β2 β α Dichte g der Summe K VaR Abw. in % , , , ,77 Seite 30 von 41

34 Aus der Modellbeschreibung des GDV: 3. Probleme mit der Wurzelformel Wichtiges Ziel bei einer umfassenden Risikobetrachtung ist die Berücksichtigung von Korrelationseffekten zwischen verschiedenen Teilrisiken. Eine Bezugnahme auf die Gesamtrisikosituation des Versicherungsunternehmens ohne eine solche Betrachtung entspricht nicht dessen tatsächlicher Risikosituation. Anmerkung: Korrelationseffekte alleine reichen leider auch nicht aus, die Gesamtrisikosituation des Versicherungsunternehmens angemessen abzubilden! Seite 34 von 41

35 3. Probleme mit der Wurzelformel Abhängigkeit vs. Korrelation: Beispiel: Zufallsvariablen X, Y und Z mit identischen (uniformen) Randverteilungen und gleichen Korrelationen L L ρ ( X, Y ) ρ ( X, Z) = =7/15 aber verschiedener gemeinsamer Verteilungsstruktur Seite 35 von 41

36 3. Probleme mit der Wurzelformel Beispiel 2: SCR-Berechnung für unkorrelierte, aber abhängige Risiken X 1 und X 2 : Dichten des Summenrisikos für verschiedene Situationen Seite 36 von 41

37 3. Probleme mit der Wurzelformel zugehörige Verteilungsfunktionen Seite 37 von 41

38 3. Probleme mit der Wurzelformel In den drei Fällen erhält man folgende Werte für die Risikomaße: pos. abhängig unabhängig neg. abhängig Wurzelformel VaR ES VaR ES VaR ES Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES) mit α= 0.1, α= 0.01, und α = Seite 38 von 41

39 3. Probleme mit der Wurzelformel Abweichungen in % (bezogen auf Wurzelformel): pos. abhängig unabhängig neg. abhängig Wurzelformel VaR ES VaR ES VaR ES Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES) mit α= 0.1, α= 0.01, und α = Seite 39 von 41

40 4. Zusammenfassung und Ausblick Seite 40 von 41

41 4. Zusammenfassung und Ausblick Ein Standardansatz ist nicht ausreichend für eine angemessene Beurteilung der wahren Risikosituation eines KMVU Ein Standardansatz ist kein geeignetes Instrument für ein unternehmensinternes Risikomanagement Das ORSA (Säule 2) erfordert künftig spezifischere Betrachtungsweisen Angemessene (partiell-)interne Modelle können die Eigenmittelanforderungen an KMVU unter Solvency II gegenüber dem Standardansatz senken Angemessene (partiell-)interne Modelle können zur Optimierung der Rückversicherungsordnung eines KMVU eingesetzt werden Begleitende wissenschaftliche Forschung + firmeninterne Weiterbildung können die Kosten der Umsetzung von Solvency II bei KMVU deutlich senken Begleitende wissenschaftliche Forschung mit / für KMVU erleichtert einen Vergleich von Standardansatz und internem Modell und kann wegen der geringeren Komplexität die Schwächen eines Standardansatzes besser verdeutlichen Seite 41 von 41