Zielsetzung. Problematik

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1 Kreditrisiko-Modellierung für Versicherungsunternehmen Tamer Yilmaz 21. November 2007

2 Zielsetzung Die Ermittlung der Eigenkapitalhinterlegung für das Kreditrisiko, die auf das Versicherungsunternehmen bei Ausfall von Rückversicherern zukommt. 2

3 Motivation zur quantitativ ausgerichteten Kreditrisiko-Modellierung für VU Eigenkapitalhinterlegung nach Solvency II Solvency I zu Solvency II Grund: mehr Verantwortung an die VU abgeben 3-Säulen-Prinzip von Bedeutung 1.Säule: EK-Anforderungen Standardansatz und internes Modell von Bedeutung internes Modell, um eine genauere Abschätzung des Risikos abzugeben Beziehung zwischen Erst- und Rückversicherern 3

4 Grundlegende Komponente für die Kreditrisiko-Modellierung Ausfallwahrscheinlichkeiten (PD) Migrationswahrscheinlichkeiten Verlustquote (LGD) bzw. Rückzahlungsrate (RR) Ausfallbedrohter Betrag (EAD) 4

5 Ausfallwahrscheinlichkeiten (PD) Berechnung der Ausfallwahrscheinlichkeit von Moody s erfolgt anhand der Formel: PD X AnzahlderDefault-Unternehmenin X-Klasse = PX( D = 1) = Gesamtanzahlder Unternehmenin X-Klasse Die Ermittlung vom Erwartungswert und der zugehörigen Standardabweichung der einzelnen Ratingklassen aus den Moody s Daten, um die empirischen Verteilungen zu bilden und in das Modell zu integrieren. 5

6 Migrationswahrscheinlichkeiten Theorie erfolgt nach homogenen Markov-Ketten für diskrete Zeit Praxis erfolgt nach Aufteilung der N(0;1) und darauf folgende Simulation 6

7 Verlustquote (LGD) bzw. Rückzahlungsrate (RR) Berechnung der Verlustquote mit der Formel LGD = 1 RR = 1 Rückzahlungen Nominalwert Rückzahlungsraten werden nach Priorität untergliedert: Senior Secured Senior Unsecured Senior Subordinated Subordinated Junior Subordinated 7

8 Ausfallbedrohter Betrag (EAD) Rückstellungen der Rückversicherer: Beitragsüberträge (UPR) Abrechnungsforderungen (Ledger) Deckungsrückstellungen (O/S) Rückstellungen für noch nicht abgewickelte Versicherungsfälle (IBNR) Sonstige Rückstellungen Zuordnung der Rückstellungen auf die Schuldarten, wie zum Beispiel die Beitragsüberträge werden mit Senior Secured simuliert. 8

9 Risikomaße für die Eigenkapitalhinterlegung Erwartungswert als absolutes Mindestkapital (MCR) Value-at-Risk 99,5 % Tail-Value-at-Risk 99,5 % als Zielkapital (SCR) Nur Tail-Value-at-Risk erfüllt alle Eigenschaften (Subadditivität, Positive Homogenität, Monotonie, Translationsinvarianz) für ein kohärentes Risikomaß 9

10 Theorie und Praxis der Kreditrisikomessung Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Momentenmethode Monte-Carlo-Simulation Basis-Modell ohne Berücksichtigung von Korrelationsfaktoren Ein-Faktor-Modell zur Berücksichtigung eines einzigen Korrelationsfaktors Multi-Faktor-Modell zur Berücksichtigung der Korrelationen Migration-Modell zur Berücksichtigung des Migrationsrisikos 10

11 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Monte-Carlo-Simulation Verwendung der Betaverteilung der modifizierten Betaverteilung der Gammaverteilung mit der Herleitung zur zugehörigen Momentenmethode Stochastische Simulation, die mit einer großen Anzahl von Simulationsläufen zum Mittelwert konvergiert. Die Formel für den erwarteten Verlust lautet: EL Für das Portfolio gilt: = PD LGD EAD = PD (1 RR) EAD n P i i i i i= 1 i= 1 11 n = = EL EL EAD LGD PD

12 Ein-Faktor-Modell Gleichung des Ein-Faktor-Modells: Y = ς F + 1 ς U ( i = 1,..., m) i i i i mit FU, N(0,1) ; Assetkorrelation i ς i wird anhand einer empirischen Verteilung, die die Assetvolatilität der repräsentativen Unternehmen beschreiben, simuliert Mittelwert Std.Abw. Minimum Maximum Assetvolatilität 0,2435 0,1316 0,0161 0,

13 Multi-Faktor-Modell Die Gleichung wird erweitert Y = ς F + U i i i i mit F = wg; j 0 J i ij j j= 1 J mit w = w = 1 und G wird mit N(0,1) simuliert ij ij j j= 1 j= j

14 Technische Fachhochschule Berlin 14 Tamer Yilmaz 21. November 2007 Realistisches Portfolio Total Aa3 XL Aa3 Transatlantic Aa2 Swiss B1 Singapoure Baa3 Scottish Aa3 AXA A1 ACE Total Sonstige IBNR O/S Ledger UPR Rating Rückversicherer

15 anhand eines realistischen Portfolios Portfolio mit einem Gesamtexposure in Höhe von ,00 In Basis-Modell Mittelwert E(X) ,29 VaR 99,5% ,05 Ein-Faktor-Modell , ,08 Multi-Faktor-Modell , ,38 + etwa 10% Migrationsrisiko 15