Algorithmen für Routenplanung 3. Vorlesung, Sommersemester 2016 Tobias Zündorf 27. April 2016

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1 Algorihmen für Rouenplanung 3. Vorlesung, Sommersemeser 2016 Tobias Zündorf 27. April 2016 I NSTITUT FÜR T HEORETISCHE I NFORMATIK A LGORITHMIK P ROF. D R. D OROTHEA WAGNER KIT Universiä des Landes Baden-Würemberg und naionales Großforschungszenrum in der Helmholz-Gemeinschaf

2 Kürzese Wege in Sraßennezwerken Beschleunigungsechniken A* ALT CALT Folie April 2016

3 Beschleunigungsechniken Beobachung: Viele Anfragen in (saischem) Nezwerk Unnöige Berechnungen Folie April 2016

4 Beschleunigungsechniken Beobachung: Viele Anfragen in (saischem) Nezwerk Unnöige Berechnungen Idee: Zwei Phasen Offline: Generiere Zusazinformaion in Vorberechnung Online: Beschleunige Anfrage mi dieser Informaion Drei Krierien: Vorberechnungsplaz, Vorberechnungszei, Beschleunigung Folie April 2016

5 Ideensammlung Wie Suche zielgeriche machen? Folie April 2016

6 Ideensammlung Wie Suche zielgeriche machen? Reihenfolge in der Knoen besuch werden ändern Nichbeachen von Kanen, die in die falsche Richung führen Jez: erseres Folie April 2016

7 Schemaischer Suchraum s Folie April 2016

8 Schemaischer Suchraum s Folie April 2016

9 ALT Folie April 2016

10 A* Dijksra s Algorihmus benuz d[v], um zu enscheiden, welcher Knoen als nächses abgearbeie wird A* auch zielgerichee Suche (goal-direced search) genann Idee: Benuze Poenial π : V R π (v) is ein Schäzwer für Enfernung d(v, ) zum Ziel Benuze d[v] + π (v) als Key in Q Knoen mi geschäz geringerer Enfernung zu zuers besuch Folie April 2016

11 Pseudocode A* A*(G = (V, E), s, ) 1 d[s] = 0 2 Q.clear(), Q.add(s, π (s) ) 3 while!q.empy() do 4 u Q.deleeMin() 5 break if u = 6 forall he edges e = (u, v) E do 7 if d[u] + len(e) < d[v] hen 8 d[v] d[u] + len(e) 10 9 if v Q hen Q.decreaseKey(v, d[v] + π (v) ) 11 else Q.inser(v, d[v] + π (v) ) Folie April 2016

12 Frage Können beliebige Poenialfunkionen benuz werden? (Fas) beliebige Abarbeiungsreihenfolgen lassen sich erzeugen Dies kann offensichlich zu falschen Ergebnissen führen. Warum sons benuzen wir überhaup Dijksra und nich Breiensuche? Wie kommen wir also zu zulässigen Poenialfunkionen? Folie April 2016

13 A* Äquivalene Formulierung A* auf Graph G = (V, E, len), Knoen s, V, mi Poenial π Folie April 2016

14 A* Äquivalene Formulierung A* auf Graph G = (V, E, len), Knoen s, V, mi Poenial π Dijksra auf G = (V, E, len) mi len(u, v) = len(u, v) π (u) + π (v) Folie April 2016

15 A* Äquivalene Formulierung A* auf Graph G = (V, E, len), Knoen s, V, mi Poenial π Dijksra auf G = (V, E, len) mi len(u, v) = len(u, v) π (u) + π (v) Beweis: Folg direk aus Pseudocode Folie April 2016

16 A* Äquivalene Formulierung A* auf Graph G = (V, E, len), Knoen s, V, mi Poenial π Dijksra auf G = (V, E, len) mi len(u, v) = len(u, v) π (u) + π (v) Beweis: Folg direk aus Pseudocode Zulässiges Poenial (feasible poenial) Eine Poenialfunkion π : V R heiß zulässig, falls len(u, v) π (u) + π (v) 0 für alle Kanen (u, v) E. Folie April 2016

17 A* Äquivalene Formulierung A* auf Graph G = (V, E, len), Knoen s, V, mi Poenial π Dijksra auf G = (V, E, len) mi len(u, v) = len(u, v) π (u) + π (v) Beweis: Folg direk aus Pseudocode Zulässiges Poenial (feasible poenial) Eine Poenialfunkion π : V R heiß zulässig, falls len(u, v) π (u) + π (v) 0 für alle Kanen (u, v) E. Es gil für jeden Pfad P = (s = v 1,..., v k = ) k k len(p) = len(v i, v i+1 ) = (len(v i, v i+1 ) π (v i ) + π (v i+1 )) = i=1 i=1 ( k ) len(v i, v i+1 ) π (v 1 ) + π (v k ) i=1 = len(p) π (s) + π (). Folie April 2016

18 Ein Beispiel - Euklidische Ebene Knoen sind Punke in der (euklidischen) Ebene Kanenlängen sind euklidische Absände (d.h. len(u, v) = u v 2 ). π (v) = v 2 Folie April 2016

19 Ein Beispiel - Euklidische Ebene Knoen sind Punke in der (euklidischen) Ebene Kanenlängen sind euklidische Absände (d.h. len(u, v) = u v 2 ). π (v) = v 2 π is zulässiges Poenial, denn len(u, v) π (u) + π (v) = u v 2 u 2 + v 2 0 wegen Dreiecksungleichung ( -UGL) u v 2 + v 2 u 2 Folie April 2016

20 Ein Beispiel II Idee: Knoen besizen Geokoordinaen Kanen besizen Fahrgeschwindigkeien es gib eine Maximalgeschwindigkei v max in G nimm u 2 /v max als Poenial Folie April 2016

21 Ein Beispiel II Idee: Knoen besizen Geokoordinaen Kanen besizen Fahrgeschwindigkeien es gib eine Maximalgeschwindigkei v max in G nimm u 2 /v max als Poenial Is zulässiges Poenial, denn len(u, v) π (u) + π (v) = u v 2 v (u,v) u 2 v max + v 2 v max 0 Folie April 2016

22 Ein Beispiel II Idee: Knoen besizen Geokoordinaen Kanen besizen Fahrgeschwindigkeien es gib eine Maximalgeschwindigkei v max in G nimm u 2 /v max als Poenial Is zulässiges Poenial, denn len(u, v) π (u) + π (v) = u v 2 v (u,v) u 2 v max + v 2 v max 0 Probleme (bei Sraßengraphen): Overhead zur Berechnung des Poenials u 2 /v max Schleche unere Schranke an die asächliche Reisezei deswegen prakisch keine Beschleunigung in Transpornezen Folie April 2016

23 Zulässige Poeniale Eigenschafen Inuiion: π (v) is ein Schäzwer für d(v, ) Falls π zulässig und π () = 0, so is das Poenial π (v) eine unere Schranke für d(v, ). Bessere unere Schranken ergeben kleinere Suchräume Is π (v) = d(v, ) für alle v V, so werden nur Knoen auf kürzesen s--wegen abgearbeie. Folie April 2016

24 Kombinierbarkei von Poenialen Kombinierbarkei von Poenialen Seien π 1 und π 2 zulässige Poeniale. Dann is p = max{π 1, π 2 } (komponenenweises Maximum) auch ein zulässiges Poenial. Folie April 2016

25 Kombinierbarkei von Poenialen Kombinierbarkei von Poenialen Seien π 1 und π 2 zulässige Poeniale. Dann is p = max{π 1, π 2 } (komponenenweises Maximum) auch ein zulässiges Poenial. Herleiung len(u, v) π 1 (u) + π 1 (v) 0 len(u, v) π 2 (u) + π 2 (v) 0 len(u, v) π 1 (u) + max{π 1 (v), π 2 (v)} 0 len(u, v) π 2 (u) + max{π 1 (v), π 2 (v)} 0 len(u, v) max{π 1 (u), π 2 (u)} + max{π 1 (v), π 2 (v)} 0 Folie April 2016

26 Dreiecksungleichung für Graphen Für alle Knoen s, u, V gil d(s, u) + d(u, ) d(s, ) Beweis: d(s, ) lau Definiion kürzese-weg-disanz. Weg über u muss also mindesens genauso lang sein. Folie April 2016

27 Der ALT-Algorihmus Der ALT-Algorihmus is A* mi einer speziellen vorberechneen Poenialfunkion ALT seh für A*, landmarks, riangle-inequaliy Vorberechnung Dazu wird eine kleine Menge L ( 16) an Knoen ausgewähl (Landmarken) Für jede Landmarke l und jeden Knoen v V werden die Disanzen d(v, l) und d(l, v) vorberechne (da Graph geriche) Folie April 2016

28 Poeniale durch Landmarken -UGL d(s, u) + d(u, ) d(s, ) l 1 also gil im Beispiel für l 1, l 2 : d(l 1, u) + d(u, ) d(l 1, ) d(u, ) + d(, l 2 ) d(u, l 2 ) u l 2 Folie April 2016

29 Poeniale durch Landmarken -UGL d(s, u) + d(u, ) d(s, ) l 1 also gil im Beispiel für l 1, l 2 : d(u, ) d(l 1, ) d(l 1, u) d(u, ) d(u, l 2 ) d(, l 2 ) u l 2 Folie April 2016

30 Poeniale durch Landmarken -UGL d(s, u) + d(u, ) d(s, ) l 1 also gil im Beispiel für l 1, l 2 : d(u, ) d(l 1, ) d(l 1, u) d(u, ) d(u, l 2 ) d(, l 2 ) u Benuze für alle Knoen u,, l V die Poeniale π + (u) = d(l, ) d(l, u) d(u, ) π (u) = d(u, l) d(, l) d(u, ) l 2 Folie April 2016

31 Poeniale durch Landmarken Saz Die Poeniale π l+ (u) = d(l, ) d(l, u) π l (u) = d(u, l) d(, l) sind zulässig für jede Landmarke l L. Beweis: Mi -UGL für Graphen. Korollar Für eine Menge L von Landmarken is das Poenial zulässig. π L (u) = max l L {max{πl+ (u), π l (u)}} Folie April 2016

32 Eigenschafen Landmarken s Was sind gue Landmarken? π l 1 (u) = d(u, l 1 ) d(, l 1 ), π l 1 (v) = d(v, l 1 ) d(, l 1 ) also len π (u, v) = len(u, v) d(u, l 1 ) + d(v, l 1 ) = 0 gemeinsame Kanen (kürzeser Weg und Weg zur Landmarke) haben reduziere Kosen von 0 Also: u v gue Landmarken überdecken viele Kanen für viele s, -Paare riff uner anderem zu, wenn hiner vielen Knoen am Rand des Graphen w l 1 Folie April 2016

33 Beispiel gue Landmarken Folie April 2016

34 Berechnung Landmarken mehrere Ansäze: brue force: ese alle Knoeneilmengen der Größe L : O(n L n(m + n log n) ) }{{} all pair shores pah + höchse Beschleunigung zu lange Vorberechnung Folie April 2016

35 Berechnung Landmarken mehrere Ansäze: brue force: ese alle Knoeneilmengen der Größe L : O(n L n(m + n log n) ) }{{} all pair shores pah + höchse Beschleunigung zu lange Vorberechnung wähle zufällig + schnellse Vorberechnung schleche Beschleunigung Folie April 2016

36 Berechnung Landmarken mehrere Ansäze: brue force: ese alle Knoeneilmengen der Größe L : O(n L n(m + n log n) ) }{{} all pair shores pah + höchse Beschleunigung zu lange Vorberechnung wähle zufällig + schnellse Vorberechnung schleche Beschleunigung mehrere Heurisiken, die versuchen den Rand zu finden planar farhes avoid lokale Opimierung (maxcover) Folie April 2016

37 Planar-Landmarken Vorgehen: suche Mielpunk c des Graphen eile Graphen in k Teile in jedem Teil wähle Knoen mi maximalen Absand zu c als Landmarke Anmerkungen: (benöig planare Einbeung) liefer ersaunlich schleche Ergebnisse Folie April 2016

38 Farhes-Landmarken Farhes-Landmarks(G,k) 1 L 2 while L < k do 3 if L = 0 hen DI J K S T R A(G,RANDOMNODE) 4 5 else DI J K S T R A(G,L) 6 7 u las seled node 8 L L {u} Anmerkungen: Muli-Sarknoen Dijksra schlech für kleine k erse Landmarke schlech weiere Landmarken massiv abhängig von erser Folie April 2016

39 Avoid-Landmarken Idee: Idenifiziere rekursiv Teile des Graphen, für die die bisherigen Landmarken L keine guen Schranken liefern Vorgehen: Berechne kürzese-wege-baum T r von (zufälligem) Knoen r Für jeden Knoen u: weigh(u) := d(r, u) πu(r) L Je größer das Gewich deso schlecher die akuelle Abschäzung für u Berache Teilbaum { T u : 0 L T u size(u) := v T u weigh(v) sons Summe der Gewiche des Teilbaums von u Sei w := arg max u Tr size(u) Teilbaum T w ha (von r aus berache) keine Landmarke hiner sich und in Summe die schlechese Abschäzung Traversiere T w, folge jeweils dem Kind maximaler Größe das erreiche Bla wird zu L hinzugefüg Folie April 2016

40 Opimierung von Landmarken Problem: Idee: konsrukive Heurisik anfangs gewähle Landmarken evenuell subopimal lokale Opimierung berechne mehr landmarken als nöig ( 4k) wähle bese durch Opimierungsfunkion, z.b. 1 maximiere Anzahl überdecker Kanen, d.h. len(u, v) π(u) + π(v) = 0 2 maximiere π(s) für 1 Mio. s- Paare (simulier Anfragen) Avoid + Funkion 1 wird maxcover genann Folie April 2016

41 Anfragen: Akive Landmarken Problem: Landmarken können Suche in die falsche Richung ziehen Auswerung von vielen Landmarken erzeug großen overhead s w l 2 w l 1 Lösung: wähle während Iniialisierung eine Teilmenge von L als akiv diese, für die π l (s) maximal sind Führe die Suche nur mi akiven Landmarken aus Folie April 2016

42 Anfragen: Akive Landmarken Problem: Landmarken können Suche in die falsche Richung ziehen Auswerung von vielen Landmarken erzeug großen overhead s w l 2 w l 1 Verbesserungen: Benuze Heurisik um während der Suche die Wahl der akiven Landmarken anzupassen. Sare mi zwei Landmarken, füge während der Suche weiere hinzu. Schleche Landmarken können auch wieder inakivier werden. Folie April 2016

43 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum Der Suchraum von Dijksra s Algorihmus V (s, ) = {v V d(s, v) d(s, )} is ein graphenheoreischer Kreis. Folie April 2016

44 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum Der Suchraum von ALT is (vgl. Pseudocode) mi Poenialen V L (s, ) {v V d(s, v) + π L (v) d(s, )} π L (v) = max l L {max{πl+ (v), π l (v)}} π l+ (v) = d(l, ) d(l, v) π l (v) = d(v, l) d(, l) Folie April 2016

45 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum Der Suchraum von ALT is (vgl. Pseudocode) mi Poenialen V L (s, ) {v V d(s, v) + π L (v) d(s, )} π L (v) = max l L {max{πl+ (v), π l (v)}} π l+ (v) = d(l, ) d(l, v) π l (v) = d(v, l) d(, l) Wir berachen jedes l L einzeln, einsezen oben: V l +(s, ) = {v V d(s, v) + π l+ (v) d(s, )} V l (s, ) = {v V d(s, v) + π l (v) d(s, )} Folie April 2016

46 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum Der Suchraum von ALT is (vgl. Pseudocode) mi Poenialen V L (s, ) {v V d(s, v) + π L (v) d(s, )} π L (v) = max l L {max{πl+ (v), π l (v)}} π l+ (v) = d(l, ) d(l, v) π l (v) = d(v, l) d(, l) Wir berachen jedes l L einzeln, einsezen oben: V l +(s, ) = {v V d(s, v) + d(l, ) d(l, v) d(s, )} V l (s, ) = {v V d(s, v) + d(v, l) d(, l) d(s, )} Folie April 2016

47 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum Der Suchraum von ALT is (vgl. Pseudocode) mi Poenialen V L (s, ) {v V d(s, v) + π L (v) d(s, )} π L (v) = max l L {max{πl+ (v), π l (v)}} π l+ (v) = d(l, ) d(l, v) π l (v) = d(v, l) d(, l) Wir berachen jedes l L einzeln, einsezen oben: V l +(s, ) = {v V d(s, v) d(l, v) d(s, ) d(l, )} V l (s, ) = {v V d(s, v) + d(v, l) d(s, ) + d(, l)} Folie April 2016

48 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum V l (s, ) = {v V d(s, v) + d(v, l) d(s, ) + d(, l)} is eine graphenheoreische Ellipse. (Mi Brennpunken s und l) Folie April 2016

49 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum V l (s, ) = {v V d(s, v) + d(v, l) d(s, ) + d(, l)} is eine graphenheoreische Ellipse. (Mi Brennpunken s und l) V l +(s, ) = {v V d(s, v) d(l, v) d(s, ) d(l, )} is eine graphenheoreische Hyperbel. (Mi Brennpunken s und l) Folie April 2016

50 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum V l (s, ) = {v V d(s, v) + d(v, l) d(s, ) + d(, l)} is eine graphenheoreische Ellipse. (Mi Brennpunken s und l) V l +(s, ) = {v V d(s, v) d(l, v) d(s, ) d(l, )} is eine graphenheoreische Hyperbel. (Mi Brennpunken s und l) Der Suchraum von ALT V L (s, ) {v V d(s, v) + π L (v) d(s, )} is also die Schnimenge aus den Ellipsen und Hyperbeln über alle Landmarken in L. Folie April 2016

51 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum s l 1 l 2 Folie April 2016

52 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum s l 1 l 2 Folie April 2016

53 Eine Inuiion für den ALT-Suchraum s l 1 l 2 Folie April 2016

54 Bidirekionaler A* s Folie April 2016

55 Bidirekionaler A* s Folie April 2016

56 Bidirekionaler A* s Zur Erinnerung Bidirekionaler Dijksra: alernierende/parallele Vorwärs- und Rückwärssuche Vorwärs- Q und Rückwärsqueue Q Tenaive Disanz µ Abbruchkrierium: µ minkey( Q ) + minkey( Q )? Folie April 2016

57 Bidirekionaler A* Erser Ansaz: benuze Vorwärspo. π f und Rückwärspo. π b π f (u) = max{max{d(l, ) d(l, u), d(u, l) d(, l)}} l L π b (u) = max{max{d(l, u) d(l, s), d(s, l) d(u, l)}} l L Folie April 2016

58 Bidirekionaler A* Erser Ansaz: benuze Vorwärspo. π f und Rückwärspo. π b π f (u) = max{max{d(l, ) d(l, u), d(u, l) d(, l)}} l L π b (u) = max{max{d(l, u) d(l, s), d(s, l) d(u, l)}} l L Problem: Folie April 2016

59 Bidirekionaler A* Erser Ansaz: l 1 benuze Vorwärspo. π f und Rückwärspo. π b π f (u) = max{max{d(l, ) d(l, u), d(u, l) d(, l)}} l L u π b (u) = max{max{d(l, u) d(l, s), d(s, l) d(u, l)}} l L Problem: Suchen operieren auf unerschiedlichen Längenfunkionen Abbruchkrierium Bidirekionaler Dijksra funkionier nich mehr konservaives Abbruchkrierium: soppe ers, wenn minkey( Q ) > µ oder minkey( Q ) > µ l 2 Folie April 2016

60 Bidirekionaler A* Zweier Ansaz: Wann operieren Suchen auf dem gleichen Graphen? wenn reduziere Kosen gleich: len πb (v, u) = len πf (u, v) len(u, v) π b (v) + π b (u) = len(u, v) π f (u) + π f (v) π b (v) + π b (u) = π f (u) + π f (v) π b (u) + π f (u) = π b (v) + π f (v) Also muss gelen: π b + π f cons. Folie April 2016

61 Bidirekionaler A* Idee: Kombiniere π f und π b zu p f + p b 0: p f = π f π b 2 p b = π b π f 2 = p f Somi wie bidirekionaler Dijksra aber mi d(s, u) + p f (u) und d(v, ) + p b (v) als keys soppe wenn minkey( Q ) + minkey( Q ) > µ pf dadurch bidirekional zielgeriche = µ + p f (s) p f () Folie April 2016

62 Experimene Eingaben: Sraßennezwerke Europa: 18 Mio. Knoen, 42 Mio. Kanen USA: 22 Mio. Knoen, 56 Mio. Kanen Evaluaion: Vorberechnung in Minuen und zusäzliche Byes pro Knoen durchschnilicher Suchraum (# abgearbeiee Knoen) und Suchzeien (in ms) von Zufallsanfragen Folie April 2016

63 Zufallsanfragen ALT Vorberechnung: Bis 24 Landmarken maxcover, sons avoid. PREPRO QUERY UNIDIR. QUERY BIDIR. ime space # seled ime spd # seled ime spd algorihm [min] [B/n] nodes [ms] up nodes [ms] up DIJKSTRA ALT ALT EUR ALT ALT ALT ALT DIJKSTRA ALT USA ALT ALT ALT Folie April 2016

64 Beobachungen bidirekionale Suche: Beschleunigung von 2 unidirekionaler ALT: mehr als 16 Landmarken nich sinnvoll bidirekionaler ALT: verdoppelung der Landmarken halbier den Suchraum (ungefähr) 16 Landmarken: Beschleunigung 100 für Europa 64 Landmarken: Beschleunigung 300 für Europa hoher Speicherverbrauch (Graph-DS: 424 MB, pro Landmarke: 144 MB, Europa) USA schlecher als Europa (Vermuung: schlechere Hierarchie) Folie April 2016

65 Dijksra-Rank Bidirekionale Suche Dijksra Rank Query Time [ms] Dijksra unidirecional ALT bidirecional ALT Folie April 2016

66 Dijksra-Rank Bidirekionale Suche Dijksra Rank Query Time [ms] Dijksra unidirecional ALT bidirecional ALT Beschleunigung seig mi Rang, gering für nahe Anfragen hohe Varianz, Ausreißer bis zu Fakor 100 langsamer als Median Folie April 2016

67 Zusammenfassung ALT l 1 Zielgeriche durch geändere Reihenfolge, wie Knoen abgearbeie werden wird erreich durch hinzufügen eines Knoenpoenials π korrek wenn len(u, v) π(u) + π(v) 0 für alle Kanen Poeniale durch Landmarken kann bidirekional gemach werden Beschleunigung von bis zu 300 gegenüber Dijksra aber hoher Plazverbrauch (Redukion späer) hohe Varianz (manche Anfragen haben keine guen Landmarken) u l 2 Folie April 2016

68 Nächser Termin Monag, Folie April 2016

69 Lieraur I Reinhard Bauer, Daniel Delling, Peer Sanders, Dennis Schieferdecker, Dominik Schules, and Dorohea Wagner. Combining Hierarchical and Goal-Direced Speed-Up Techniques for Dijksra s Algorihm. ACM Journal of Experimenal Algorihmics, 15(2.3):1 31, January Special Secion devoed o WEA 08. Andrew V. Goldberg and Chris Harrelson. Compuing he Shores Pah: A* Search Mees Graph Theory. In Proceedings of he 16h Annual ACM SIAM Symposium on Discree Algorihms (SODA 05), pages SIAM, Andrew V. Goldberg and Renao F. Werneck. Compuing Poin-o-Poin Shores Pahs from Exernal Memory. In Proceedings of he 7h Workshop on Algorihm Engineering and Experimens (ALENEX 05), pages SIAM, Folie April 2016