Es soll gelten: Wenn für jede Komponente bekannt ist, ob sie intakt oder defekt ist, dann ist auch der Zustand des Systems bekannt.

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1 Kapitel 1 Systeme 1.1 Grundbegriffe Bezeichnung Ein aus einzelnen Bauteilen zusammen gesetztes Gerät heißt System. Die einzelnen Bauteile heißen Komponenten des Systems. Jedes System bzw. jede Komponente ist stets in genau einem von zwei möglichen Zuständen, intakt oder defekt. Es soll gelten: Wenn für jede Komponente bekannt ist, ob sie intakt oder defekt ist, dann ist auch der Zustand des Systems bekannt. Definition a) Ein System mit n Komponenten heißt Seriensystem: Das System ist intakt genau dann, wenn alle n Komponenten intakt sind. b) Ein System mit n Komponenten heißt Parallelsystem: Das System ist intakt genau dann, wenn mindestens eine Komponente intakt ist. Bemerkung a) Ein Seriensystem ist defekt mindestens eine Komponente ist defekt. b) Ein Parallelsystem ist defekt alle Komponenten sind defekt. Definition Ein System heißt redundant, wenn es intakt sein kann, ohne daß alle Komponenten intakt sind. 3

2 4 KAPITEL 1. SYSTEME Bemerkung Ein Parallelsystem ist redundant, ein Seriensystem ist nicht redundant. Definition Ein System S bestehe aus den Komponenten K 1,...,K n. Die Komponenten K 1,...,K n heißen unabhängig: die Ereignisse {K i ist intakt}, i = 1, 2,...,n sind unabhängig. Definition Ein System S heißt isoton: Ist S intakt und fügt man zu S eine weitere intakte Komponenten hinzu, so bleibt S intakt. Definition Ein System S heißt trivial: Das System S ist (unabhängig vom Zustand der Komponenten) immer defekt oder immer intakt. 1.2 Zuverlässigkeitsschaltbilder (Fast) alle Systeme können graphisch durch ein Zuverlässigkeitsschaltbild dargestellt werden. Definition Ein Schaltbild heißt Zuverlässigkeitsschaltbild, wenn die Elemente des Schaltbildes die Komponenten des Systems symbolisieren. Das System ist intakt genau dann, wenn von einem Anfangspunkt A zu einem Endpunkt E ein Weg existiert, der nur über intakte Elemente führt. Beispiel Seriensystem mit n Komponenten. Abbildung 1.1: Seriensystem mit n Komponenten Beispiel Parallelsystem mit n Komponenten. Beispiel Serie- und Parallelschaltung unabhängiger Teilsysteme. Systeme können als Serien- und Parallelschaltung von unabhängigen Teilsystemen aufgebaut sein. Teilsysteme sind z.b. dann unabhängig, wenn die Komponenten unabhängig sind und keine Komponente in mehreren Teilsystemen vorkommt. Ein Beispiel ist

3 1.2. ZUVERLÄSSIGKEITSSCHALTBILDER 5 Abbildung 1.2: Parallelsystem mit n Komponenten Abbildung 1.3: Serie- und Parallelschaltung unabhängiger Teilsysteme Definition Ein System heißt k-von-n-system: Das System ist genau dann intakt, wenn mindestens k der n Komponenten intakt sind. Bemerkung Ein k-von-n-system kann nicht als Serien- oder Parallelschaltung von unabhängigen Teilsystemen aufgefaßt werden. Beispiel von-3-System. Beispiel Brückensystem.

4 6 KAPITEL 1. SYSTEME Abbildung 1.4: 2-von-3-System Abbildung 1.5: Brückensystem 1.3 Systemfunktionen Da Systeme und Komponenten nur zwei Zustände annehmen können, genügt es, zur Beschreibung von Systemen Variable bzw. Funktionen zu verwenden, die nur zwei verschiedene Werte annehmen können, Boolesche Variable bzw. Boolische Funktionen. Definition S sei ein System mit n Komponenten K 1,...,K n. z 1,...,z n seien Boolische Variable mit der Egenschaft: z i = { 0 falls K i defekt ist 1 falls K i intakt ist. Die Variable z i heißt Zustandsvariable der Komponente K i. (z 1,...,z n ) heißt Zustandsvektor der Komponenten von S.

5 1.4. ERMITTLUNG DER SYSTEMFUNKTION 7 Definition Die Boolische Funktion ϕ S : {0, 1} n {0, 1} mit der Eigenschaft { 0 falls S defekt ist ϕ S (z 1,...,z n ) = 1 falls S intakt ist heißt Systemfunktion von S. Bemerkung Für isotone Systeme gilt: ϕ(z 1,...,z n ) = 1 z i z i (i = 1, 2,...,n) ϕ(z 1,...,z n) = 1. Definition Eine Funktion ϕ : {0, 1} n {0, 1} mit der Eigenschaft heißt isoton. z i z i (i = 1, 2,...,n) ϕ(z 1,...,z n ) ϕ(z 1,...,z n) Bemerkung a) S ist isoton ϕ S ist isoton. b) S ist trivial ϕ S 1 oder ϕ S 0. Beispiel a) Für ein Seriensystem S gilt: b) Für ein Parallelsystem S gilt: ϕ(z 1,...,z n ) = z 1 z 2... z n = min 1 i n z i. ϕ(z 1,...,z n ) = 1 (1 z 1 ) (1 z 2 )... (1 z n ) = max 1 i n z i. 1.4 Ermittlung der Systemfunktion Satz Die Systeme S 1,...,S m haben die Systemfunktionen ϕ 1,...,ϕ m. a) Ein System, das als Serienschaltung der Systeme S 1,...,S m entsteht, hat die Systemfunktion ϕ = ϕ 1... ϕ m. b) Ein System, das als Parallelschaltung der Systeme S 1,...,S m entsteht, hat als Systemfunktion ϕ = 1 (1 ϕ 1 )... (1 ϕ m ). Beweis: Trivial.

6 8 KAPITEL 1. SYSTEME Abbildung 1.6: 2-von-3-System Beispiel von-3-System. Für das System ϕ(z 1,z 2,z 3 ) = 1, falls 3 z i 2. i=1 Für die Teilsysteme ϕ 1 (z 1,z 2,z 3 ) = z 1 z 2, ϕ 2 (z 1,z 2,z 3 ) = z 1 z 3, ϕ 3 (z 1,z 2,z 3 ) = z 2 z 3, ϕ(z 1,z 2,z 3 ) = 1 (1 ϕ 1 )(1 ϕ 2 )(1 ϕ 3 ) = = 1 (1 z 1 z 2 )(1 z 1 z 3 )(1 z 2 z 3 ). Satz Das System S bestehe aus den n Komponenten K 1,...,K n und habe die Systemfunktion ϕ. S j sei das System, bei dem K j immer intakt ist, S j sei das System, bei dem K j immer defekt ist. ϕ Sj sei die Systemfunktion von S j und ϕ Sj sei die Systemfunktion von S j. Es gilt: ϕ Sj = ϕ(z 1,...,z j 1, 1,z j+1,...,z n ), ϕ Sj = ϕ(z 1,...,z j 1, 0,z j+1,...,z n ) und ϕ = (1 z j ) ϕ Sj + z j ϕ Sj. Beweis: Setzt man in ϕ z j = 1, so erhält man ϕ Sj. Setzt man in ϕ z j = 0, so erhält man ϕ Sj.

7 1.5. NORMALFORMEN DER SYSTEMFUNKTION 9 Bemerkung Durch wiederholte Anwendung dieses Satzes kann jede Systemfuntion formelmäßig dargestellt werden. Soweit möglich wird man aber ein System als Serien- oder Parallelsystem von Teilsystemen auffassen. Beispiel Brückensystem. (a) (b) Abbildung 1.7: Das Schaltbild des Systems S 5 (a) und S 5 (b) ϕ(z 1,...,z 5 ) = (1 z 5 )(1 (1 z 1 z 2 )(1 z 3 z 4 ))+ + z 5 (1 (1 z 1 )(1 z 3 )) (1 (1 z 2 )(1 z 4 )). 1.5 Normalformen der Systemfunktion Systeme können auf verschiedene Arten durch Systemfunktionen beschrieben werden. Um eine Eindeutigkeit der Darstellung zu erzielen, werden Normalformen eingeführt. Definition M := {K 1,...,K n } sei die Menge der Komponenten von S. a) V M heißt Verbindung: S ist intakt, falls alle K V intakt sind und alle K M V defekt sind. Eine Verbindung V heißt minimal, wenn sie keine andere Verbindung als Teilmenge enthält. b) T M heißt Trennung: S ist defekt, falls alle K T defekt sind und alle K M T intakt sind. Eine Trennung T heißt minimal, wenn sie keine andere Trennung als Teilmenge enthält. Beispiel Brückensystem. Die minimalen Verbindungen sind: {K 1,K 2 }, {K 3,K 4 }, {K 1,K 4,K 5 }, {K 2,K 3,K 5 }. Die minimalen Trennmengen sind: {K 1,K 3 }, {K 2,K 4 }, {K 1,K 4,K 5 }, {K 2,K 3,K 5 }.

8 10 KAPITEL 1. SYSTEME Satz S sei ein nicht triviales isotones System mit den Komponenten K 1,...,K n. V 1,...,V k seien die minimalen Verbindungen von S. T 1,...,T m seien die minimalen Trennungen von S. SV j sei das System, das durch Serienschaltung aller Komponenten von V j entsteht. PT j sei das System, das durch Parallelschaltung aller Komponenten von T j entsteht. Dann gilt: ϕ SVj = k V j ϕ k, ϕ PTj = 1 k T j (1 ϕ k ) und k m ϕ S = 1 (1 ϕ SVj ) = ϕ PTj. j=1 j=1 Beispiel Kabelfernsehen-Sender. Das System S dient für die Signalübertragung von der Zentralstation A nach drei lokalen Stationen B, C und D. Die Stationen verbinden sich mit den Kabeln K 1,...,K 5, die die Komponenten des Systems sind. Das System ist intakt, wenn alle Stationen verbinden sich miteinander mittels der Zentralstation oder anderer lokalen Station. Die minimalen Abbildung 1.8: Das Schaltbild des Kabelfernsehen-Senders Verbindungen sind: {K 2,K 3,K 5 }, {K 2,K 4,K 5 }, {K 2,K 3,K 4 }, {K 1,K 3,K 4 }, {K 1,K 3,K 5 }, {K 1,K 2,K 5 }, {K 1,K 2,K 4 } und {K 1,K 4,K 5 }. Nach dem Satz erhält man: ϕ S =1 (1 ϕ 1 ) (1 ϕ 2 )... (1 ϕ 8 ) = = 1 (1 z 2 z 3 z 5 ) (1 z 2 z 4 z 5 ) (1 z 2 z 3 z 4 ) (1 z 1 z 3 z 4 ) (1 z 1 z 3 z 5 ) (1 z 1 z 2 z 5 ) (1 z 1 z 2 z 4 ) (1 z 1 z 4 z 5 ).

9 1.5. NORMALFORMEN DER SYSTEMFUNKTION 11 Definition a) 1 k j=1 (1 ϕ SV j ) heißt reduzierte Parallelform von ϕ S. b) m j=1 ϕ PT j heißt reduzierte Serienform von ϕ S. Bemerkung Aus Satz folgt: Die reduzierte Parallelform bzw. reduzierte Serienform eines nichttrivialen isotonen Systems ist eindeutig festgelegt. Beispiel Brückensystem. a) b) Beweis von Satz 1.5.3: a) 1. Für ein isotones System gilt: ϕ(0,...,0) ϕ(z 1,...,z n ) ϕ(1,...,1). 2. Ein isotones System ist nicht trivial ϕ(0,...,0) = 0 und ϕ(1,...,1) = 1 weil sonst wegen 1. ϕ Konstant wäre.

10 12 KAPITEL 1. SYSTEME c) Abbildung 1.9: Brückensystem a), reduzierte Parallelform b), reduzierte Serienform c) b) Die Formeln im Satz sind wohldefiniert: 1. S sei isoton und nicht trivial. M := {K 1,...,K n } ist eine Verbindung und eine Trennung (wegen a)2.). M ist entweder selbst eine minimale Verbindung (bzw. Trennung) oder es existiert eine Teilmenge, die eine minimale Verbindung (bzw. Trennung) ist; d.h. es existiert minimale Verbindungen bzw. Trennungen. 2. Die minimalen Verbindungen (bzw. Trennungen) sind nicht leer (sonst Widerspruch zu a)2.). Daher enthält jedes Produkt in den Formeln mindestens einen Faktor, die Produkte sind aber wohl definiert. c) Beweis für ϕ S = 1 k j=1 (1 ϕ SV j ) (Der Beweis für ϕ S = m j=1 ϕ PT j geht analog): 1. Alle Komponenten einer minimalen Verbindung V l oder einer Obermenge davon sind intakt: Einerseits gilt: ϕ S = 1 (Definition einer Verbindung). Andererseits gilt: ϕ SVl = 1 und daher (1 ϕ SVl ) = 0, k k (1 ϕ SVj ) = 0, 1 (1 ϕ SVj ) = 1. j=1 j=1

11 1.5. NORMALFORMEN DER SYSTEMFUNKTION Gegenteil von Fall 1: (jede minimale Verbindung enthält eine defekte Komponente) Einerseits gilt: ϕ S = 0 (Definition einer minimalen Verbindung). Andererseits gilt: ϕ SVj = 0 (j = 1, 2,...,k) und daher (1 ϕ SVj ) = 1, k k (1 ϕ SVj ) = 1, 1 (1 ϕ SVj ) = 0. j=1 j=1 Bemerkung Aus Satz folgt: Jedes isotone, nicht triviale System läßt sich durch ein Zuverlässigkeitsbild darstellen. Satz Jede Funktion ϕ : {0, 1} n {0, 1} läßt sich eindeutig darstellen durch ϕ (D) (z 1,...,z n ) := 1 j 1 =0 1 ϕ(j 1,...,j n ) j n=0 (wobei z 0 i := 1 und (1 z i ) 0 := 1 gesetzt wird). n i=1 z j i i (1 z i) 1 j i Beweis: und daher n i=1 z j i i (1 z i) 1 j i = z j i i (1 z i) 1 j i = { 1 falls j i = z i 0 falls j i z i { 1 falls j 1 = z 1,...,j n = z n 0 sonst. Definition Ist ϕ eine Systemfunktion, so heißt ϕ (D) disjunktive Normalform von ϕ.

12 14 KAPITEL 1. SYSTEME Beispiel j 1 j 2 j 3 S.-system P.-System 2-von-3-System 3 i=1 zj i i (1 z i) 1 j i z 1 z 2 z z 1 z 2 (1 z 3 ) z 1 (1 z 2 ) z (1 z 1 ) z 2 z z 1 (1 z 2 ) (1 z 3 ) (1 z 1 ) z 2 (1 z 3 ) (1 z 1 ) (1 z 2 ) z (1 z 1 ) (1 z 2 ) (1 z 3 ) ϕ (D) S.-System = z 1 z 2 z 3, ϕ (D) P.-System = z 1 z 2 z 3 + z 1 z 2 (1 z 3 ) + + (1 z 1 ) (1 z 2 ) z 3 ϕ (D) 2-von-3-System = z 1 z 2 z 3 + z 1 z 2 (1 z 3 ) + z 1 (1 z 2 ) z 3 + (1 z 1 ) z 2 z 3. Definition ϕ sei eine Systemfunktion. ϕ := 1 ϕ heißt Ausfallsfunktion. Bemerkung Statt der Systemfunktion ϕ kann auch die Ausfallsfunktion ϕ durch ihre disjunktive Normalform ϕ (D) dargestellt werden. Beispiel ϕ (D) P.-System = (1 z 1) (1 z 2 )... (1 z n ). Satz Jede Funktion ϕ : {0, 1} n {0, 1} läßt sich eindeutig darstellen durch ϕ (L) (z 1,...,z n ) : = a n 2 n a i z i + i=1 n 1 n i=1 j=i+1 k=j+1 n 1 n i=1 j=i+1 b i,j z i z j + c i,j,k z i z j z k + + g 1,2,...,n z 1 z 2... z n, wobei a i, b i,j, c i,j,k,...,g 1,2,...,n ganzzahlige Koeffizienten sind. Beweis: Ausmultiplikation von ϕ (D) ergibt ϕ (L). Die Eindeutigkeit der Koeffizienten ergibt sich aus dem folgenden Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten.

13 1.5. NORMALFORMEN DER SYSTEMFUNKTION 15 Definition Ist ϕ eine Systemfunktion, so heißt ϕ (L) Linearform von ϕ. Bemerkung Ist S isoton und nicht trivial, so gilt: a 0 = 0. Verfahren zur Berechnung der Koeffizienten: Die Koeffizienten lassen sich durch folgende Gleichungen berechnen. ϕ(0, 0, 0,...,0) = a 0, Beispiel von-3-System ϕ(1, 0, 0,...,0) = a 0 + a 1, ϕ(0, 1, 0,...,0) = a 0 + a 2, ϕ(0, 0, 0,...,1) = a 0 + a n,. ϕ(1, 1, 0,...,0) = a 0 + a 1 + a 2 + b 1,2, ϕ(1, 0, 1,...,0) = a 0 + a 1 + a 3 + b 1,3,. ϕ(1, 0, 0,...,1) = a 0 + a 1 + a n + b 1,n, ϕ(0, 1, 1,...,0) = a 0 + a 2 + a 3 + b 2,3,. 0 = ϕ(0, 0, 0) = a 0 a 0 = 0 0 = ϕ(1, 0, 0) = a 0 + a 1 a 1 = 0 0 = ϕ(0, 1, 0) = a 0 + a 2 a 2 = 0 0 = ϕ(0, 0, 1) = a 0 + a 3 a 3 = 0 1 = ϕ(1, 1, 0) = a 0 + a 1 + a 2 + b 1,2 b 1,2 = 1 1 = ϕ(1, 0, 1) = a 0 + a 1 + a 3 + b 1,3 b 1,3 = 1 1 = ϕ(0, 1, 1) = a 0 + a 2 + a 3 + b 2,3 b 2,3 = 1 1 = ϕ(1, 1, 1) = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + b 1,2 + b 1,3 + b 2,3 + c 1,2,3 c 1,2,3 = 2. Also: ϕ (L) 2-von-3-System = z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 2 z 1 z 2 z 3.

14 16 KAPITEL 1. SYSTEME