Aufgaben zum Begleitseminar Finanzwissenschaft A

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1 Aufgaben zum Begleitseminar Finanzwissenschaft A 2. Öffentliche Güter Aufgabe 1 Die Nutzenfunktionen U 1 und U 2 zweier Haushalte seien gegeben durch u 1 = (x 1 ) 13 (y 1 ) 2 3 bzw. u 2 = (x 2 ) 23 (y 2 ) 1 3 Martin Teuber / Oliver Himmler mit den zwei zur Verfügung stehenden Gütermengen x = x 1 + x 2 bzw. ȳ = y 1 + y 2. Stellen Sie die Tauschkurve y 1 = f( x, ȳ, x 1 ) algebraisch dar. Aufgabe 2 Beweisen Sie die Optimalitätsbedingung zur Bereitstellung öffentlicher Güter algebraisch, graphisch und verbal! Aufgabe 3 Hans isst x 1 Kartoffeln, Helga x 2 Kartoffeln. Gemeinsam beschauen sie in ihrem Garten G Blumen. Die Nutzen von Hans und Helga betragen u 1 (x 1, G) = x 1 G bzw. u 2 (x 2, G) = 0, 75 (ln x 2 + ln G). Die Anbaurestriktion in ihrem Garten (sie sind Selbstversorger) ist gegeben durch x 1 + x 2 + G = 10. Bestimmen Sie die effiziente Allokation unter der Nebenbedingung, dass u 1 = 4 ist. Aufgabe 4 Gegeben seien die Nutzenfunktionen zweier Haushalte: u 1 (x 1, G) = x 1 G bzw. u 2 (x 2, G) = (x 2 ) 2 G Haushalt 1 habe 10, Haushalt 2 habe 16 Geldeinheiten zur Verfügung. Mit p x = p G = 1 lauten die Budgetrestriktionen der Haushalte also x 1 +g 1 = 10 bzw. x 2 +g 2 = 16. Zudem ist G = g 1 + g 2. (a) Zunächst optimiert Haushalt 1, ausgehend davon, daß sich Haushalt 2 an der Bereitstellung des öffentlichen Gutes G nicht beteiligt, seinen Nutzen. Wie verteilen sich dann seine Ausgaben? 1

2 (b) Anschließend reagiert Haushalt 2 und optimiert, gegeben die von Haushalt 1 zur Verfügung stehende Menge des öffentlichen Gutes, seinen Nutzen. Wie verteilen sich beim zweiten Haushalt die Ausgaben? (c) Auf die Aktion des zweiten Haushaltes hin kann Haushalt 1 ein höheres Nutzenniveau erreichen, wenn er seine Ausgaben anders aufteilt. Errechnen Sie die neue Ausgabenaufteilung. (d) Stellen Sie dann die Reaktionsfunktionen der beiden Haushalte g 1 (g 2 ) bzw. g 2 (g 1 ) allgemein dar. Wo liegt das Nash-Gleichgewicht? Zeigen Sie, dass es nicht das Allokationsoptimum sein. Aufgabe 5 Die Nutzenfunktionen zweier Haushalte seien gegeben durch: u 1 = (x 1 ) a G u 2 = (x 2 ) a G Beiden Haushalten stehe jeweils ein Budget y 1 = y 2 = y in gleicher Höhe zur Verfügung. Die Preise seien mit p x = p g = 1 gegeben. (a) Wie hoch ist in Abhängigkeit von a und y die effiziente Menge G des öffentlichen Gutes? Warum ist sie in diesem Fall unabhängig von der Nutzenhöhe der Haushalte eindeutig gegeben? Erläutern Sie den Einfluß des Parameters a auf das Ergebnis. (b) Angenommen, jeder Haushalt beteiligt sich mit der Menge g i an der Bereitstellung. Leiten Sie die Reaktionsfunktionen der Haushalte in Abhängigkeit von a und y her und berechnen Sie das Nash-Gleichgewicht G N. (Die Reaktionsfunktionen sind identisch!) (c) Angenommen, der Staat stellt die Menge Γ zur Verfügung. Welchen Einfluß hat das auf die effiziente Menge G? (d*) Stellen Sie die Reaktionsfunktionen und das Nash-Gleichgewicht auch in Abhängigkeit des Parameters Γ auf. Erläutern Sie den Verdrängungseffekt anhand der Größe GN Γ Aufgabe 6 In einer 2er-WG überlegen die Bewohner 1 und 2, sich PAY-TV-Programme anzuschaffen. Die Auswahl an Tarifen und Anzahl an Kanälen ist ebenso vielseitig wie preislich gestaltbar - gesucht wird die für die beiden optimale Ausgabenhöhe. Die Nutzenfunktionen seien dabei gegeben durch u 1 = x 1 G u 2 = x 2 G mit G als Ausgaben für die Pay-TV-Kanäle und x als privatem Gut. Die jeweiligen Budgets seien durch y 1 = 50 bzw. y 2 = 30 und die Preise durch p x = p G = 1 gegeben. Für die Aufteilung der Gesamtkosten einigen sich beide auf Lindahl-Preise. 2

3 (a) Erläutern Sie zunächst die Problematik, für die der Lindahl-Mechanismus einen Lösungsansatz darstellen soll. (b) Ermitteln Sie die optimale Menge von G sowie die jeweiligen Kostenanteile, die die beiden Bewohner zu tragen haben. (c) Warum ist nicht zu erwarten, dass es zu der in (b) ermittelten Kostenverteilung tatsächlich kommt? Verdeutlichen Sie ihre Antwort auch, indem sie mit den Zahlen aus (b) auf die Grenzrate der Transformation und die Grenzrate der Substitution von Bewohner 1 eingehen. Aufgabe 7 Drei Freunde stehen zusammen vor der Entscheidung, einen gemeinsamen Abend zu verbringen, haben aber unterschiedliche Vorstellungen davon, was gemacht werden soll. Zur Auswahl stehen ein Kinobesuch oder eine gemeinsame Skatrunde zuhause. Es sei angenommen, dass die gemeinsame Skatrunde kostenlos zu haben ist (von ggf. anfallenden Nebenkosten zur Sicherstellung des Getränkebedarfs werde abgesehen), während der Kinobesuch jedem 8 Geldeinheiten (GE) für die Eintrittskarte kosten würde. Trotz grosser Freundschaft sind sich die drei nicht vollkommen sicher, dass jeder seine wahren Präferenzen äußert, und so einigen sich die drei zur Entscheidung auf den Clarke- Mechanismus: Ergibt sich eine gemeinsame positive Nettozahlungsbereitschaft für einen Kinobesuch, so wird dieser gemeinsam in Angriff genommen. Person A äußert eine Nettozahlungsbereitschaft von 5 GE, Person B eine in Höhe von -3 GE, Person C von -4 GE, sodass es nicht zu einem Kinobesuch kommt. (a) Wer wird mit einer Clarke-Steuer belastet, und wie hoch ist sie jeweils? (b) Zeigen Sie anhand einer geeigneten Graphik anhand von Individuum A, dass es sich nicht lohnt, etwas anderes als seine wahren Präferenzen zu äußern. (c) Angenommen, es wäre jedem freigestellt, sich gar nicht erst an der Abstimmung zu beteiligen (und auf diese Weise auf keinen Fall eine Clarke-Steuer zu bezahlen), sondern einfach die ohne ihn getroffenen Entscheidung zu akzeptieren - könnte es ex ante rational sein, von der Abstimmung fern zu bleiben, und falls ja, wann? (d) Im Gegensatz zum Clarke-Mechanismus haben sich die drei geeinigt, den ggf. anfallenden Steuerbetrag nicht verschwinden zu lassen, sondern ihn in die gemeinsame Kaffeekasse für die nächste gemeinsame Unternehmung zu stecken. Zeigen Sie beispielhaft, wieso es vorteilhaft sein kann, falsche Präferenzen anzugeben. 3

4 3. Externe Effekte und Umweltpolitik Aufgabe 8 Der Brauereisektor sei durch ein repräsentatives Unternehmen beschrieben, das sich als Preisnehmer verhält. Die Kostenfunktion des Unternehmens ist C(y) = 1 2 y2, wobei y 0 die Bierproduktion in Hektolitern und C(y) die Kosten in Euro bezeichnet. Die Preis-Absatz-Funktion auf dem Biermarkt ist P (y) = 300 2y. Durch die Bierproduktion entsteht in der Nachbarschaft der Brauerei unangenehmer Geruch. Die betroffenen Anwohner bewerten den dadurch verursachten Schaden mit S(y) = 60y Euro. (a) Bestimmen Sie die Menge ȳ und den Preis P, die sich im Wettbewerbsgleichgewicht auf dem Biermarkt einstellen. (b) Durch welche notwendige Bedingung ist die effiziente Produktionsmenge y gekennzeichnet? Wie groß ist y? Erklären Sie mit Hilfe der notwendigen Bedingung, warum das in Teilaufgabe (a) bestimmte Wettbewerbsgleichgewicht nicht effizient ist. Welche Bedeutung haben fehlende Eigentumsrechte im vorliegenden Beispiel für die festgestellte Ineffizienz? Halten Sie es für realistisch, dass in einer Situation wie in diesem Beispiel eine effiziente Allokation durch Verhandlungen herbeigeführt wird? (c) Um die Geruchsbelästigung einzudämmen, wird eine Biersteuer eingeführt. Wie hoch muss der Steuersatz in Euro pro Hektoliter sein, damit die effiziente Lösung erreicht wird? Welchen Preis zahlen die Konsumenten dann für einen Hektoliter Bier? Wie groß ist das Steueraufkommen? (d) Anstelle der Steuer wird nun überlegt, die effiziente Produktionsmenge durch Subventionierung des Brauereisektors zu erreichen. Wie müsste eine entsprechende Subvention ausgestaltet sein? Welcher Unterschied besteht zwischen Besteuerung und Subventionierung langfristig, wenn der Biermarkt durch freien Marktzutritt und freien Marktaustritt gekennzeichnet ist? Aufgabe 9 Die Kostenfunktionen eines Stahl- und eines Fischereiunternehmens sind C s (s, x) = s 2 + (x 3s) 2 C f (f, x) = f 2 + 2x. Dabei bezeichnen s 0 die Stahlproduktion, x 0 den Umfang der Wasserverschmutzung des Stahlunternehmens, p s > 0 den Stahlpreis, f 0 den Fischfang und p f > 0 den Fischpreis. Die Gewinne der beiden Unternehmen seien π s (s, x) und π f (f, x). 4

5 (a) Welche Allokation (s, x, f) ergibt sich, falls ein nicht handelbares Recht auf Wasserverschmutzung existiert? (b) Welche Allokation (s, x, f) ergibt sich, falls Wasserverschmutzung verboten ist? (c) Berechnen Sie die Pareto-optimale Allokation (s, f, x ). Vergleichen Sie die Paretooptimale Wasserverschmutzung mit der Wasserverschmutzung in den Teilaufgaben (a) und (b). (d) Bestimmen Sie den Abgabensatz t auf Wasserverschmutzung, der zur Pareto-optimalen Allokation führt. (e) Welcher Subventionssatz z für eine Verminderung der Wasserverschmutzung unter x 2 führt zur Pareto-optimalen Allokation? Aufgabe 10 In einer Volkswirtschaft gibt es begeisterte Autofahrerinnen und begeisterte Naturfreunde. Das Verhalten dieser beiden Typen von Konsumenten läßt sich jeweils durch einen repräsentativen Haushalt abbilden. Deren Präferenzen werden durch die Nutzenfunktionen u 1 (x 1, a) = x 1 a und u 2 (x 2, w) = x 2 w beschrieben. Dabei bezeichnet x 1 (bzw. x 2 ) die von der Autofahrerin (bzw. vom Naturfreund) konsumierte Menge eines rein privaten Gutes x. Mit a wird die von der Autofahrerin in ihrem Auto zurückgelegte Strecke und mit w der in der Volkswirtschaft vorhandene Waldbestand bezeichnet. Autofahren beeinträchtigt den Waldbestand; es gilt die Beziehung w = 30 2a. Das private Gut und die zum Autofahren nötigen Leistungen werden auf Märkten mit vollständiger Konkurrenz gehandelt. Die Marktpreise sind p x = 1 pro Einheit von x und p a = 3 pro Einheit von a. Das Einkommen der Autofahrerin beträgt y 1 = 60 Geldeinheiten und das des Naturfreundes y 2 = 30 Geldeinheiten. In der gesamten Aufgabe gelte a < 15. (a) Bestimmen Sie die Nachfrage x 1 der Autofahrerin nach dem privaten Gut und die von ihr zurückgelegte Strecke a. (b) Für welche Güter müßte in dieser Volkswirtschaft ein Preis bezahlt werden? (c) Welche Mengen x 2 und w konsumiert der Naturfreund? Berechnen Sie für den Naturfreund die Grenzrate der Substitution zwischen dem privaten Gut und dem Waldbestand. Bestimmen Sie in einer Marginalbetrachtung, wieviel Einheiten des privaten Gutes der Naturfreund der Autofahrerin für eine Reduktion der Fahrstrecke um eine Einheit zahlen würde. 5

6 (d) Wie groß sind das Gesamteinkommen und die Gesamtausgaben der beiden Haushalte? Leiten Sie die notwendige Bedingung für eine Pareto-optimale Allokation ab. Warum erfüllt die marktwirtschaftliche Lösung aus den Teilaufgaben (a) und (c) diese Bedingung nicht? (e) Der schlechte Zustand des Waldes ruft die Regierung auf den Plan. Umweltminister Schröpfer, ein Anhänger des Verursacherprinzips, plädiert für eine Sondersteuer auf das Autofahren in Höhe von τ Geldeinheiten pro Einheit von a. Wie groß muss τ sein, damit bei individueller Nutzenmaximierung eine Pareto-optimale Allokation erreicht wird? (f) Wie verändert sich der Nutzen der Autofahrerin durch die Einführung der Steuer? Erklären Sie an diesem Beispiel die Begriffe Pareto-Verbesserung und Paretooptimale Allokation. Wodurch könnte man die Steuer aus (e) ergänzen, wenn man eine Pareto-Verbesserung erzielen will? Aufgabe 11 In einem Mehrfamilienhaus wohnen eine Studentin und ein Rentner. Die Studentin liebt Musik, deren Lautstärke mit m, 0 m M bezeichnet wird. M = 2 ist die maximale Lautstärke, zu der die Stereoanlage der Studentin technisch fähig ist. Die Konsumausgaben der Studentin sind x s, und ihr Einkommen ist e s = 1. Die Nutzenfunktion der Studentin ist u s (x s, m) = x α s + m. Die Wohnung des Rentners liegt genau über der Wohnung der Studentin. Deshalb hört er die Musik aus der Stereoanlage der Studentin in unverminderter Lautstärke. Er liebt jedoch Ruhe, die durch die nicht genutzte mögliche Lautstärke M m gemessen wird. Seine Konsumausgaben sind x r, sein Einkommen ist e r = 1 und seine Nutzenfunktion ist Es gilt 0 < α 1. u r (x r, m) = x α r + M m. (a) Warum ist es nicht effizient, wenn in der Hausordnung jegliche Benutzung der Stereoanlage verboten ist? Warum ist es nicht effizient, wenn die Studentin Musik bei der maximal möglichen Lautstärke M hört? Bestimmen Sie die Menge der Pareto-optimalen Allokationen. (b) Der Rentner habe ein handelbares Recht auf Ruhe. Berechnen Sie den Preis p dieses Rechts, die Lautstärke m und die Konsumausgaben der beiden Haushalte im Wettbewerbsgleichgewicht, wenn α = 1 gilt. (c) Die Studentin habe ein handelbares Recht auf Musik in der Lautstärke M, dessen Preis ebenfalls mit p bezeichnet wird. Berechnen Sie auch für diese Zuweisung des Eigentumsrechts die Allokation im Wettbewerbsgleichgewicht, wenn α = 1 gilt. Wie ändert sich die gleichgewichtige Lautstärke durch die Umverteilung des Eigentumsrechts? Stellen Sie die Gleichgewichte aus den Teilaufgaben (b) und (c) sowie die Menge der Pareto-optimalen Allokationen in einer Zeichnung dar. 6

7 (d*) Setzen Sie nun α = 0,5. Welche Allokation stellt sich im Gleichgewicht ein, wenn der Rentner ein handelbares Recht auf Ruhe hat? (e*) Wie ändert sich bei α = 0,5 das Gleichgewicht, wenn der Studentin ein handelbares Recht auf Musik eingeräumt wird? Stellen Sie die Gleichgewichte aus den Teilaufgaben (d*) und (e*) sowie die Menge der Pareto-optimalen Allokationen in einer Zeichnung dar. Nehmen Sie Stellung zu der Aussage: Jede Zuteilung von Eigentumsrechten führt zu derselben, Pareto-optimalen Allokation. 7

8 4. Natürliches Monopol und öffentliche Unternehmung Aufgabe 12 Auf einem Markt für ein homogenes Gut X tritt ein staatliche geführter Betrieb als alleiniger Anbieter auf. Die Preis-Absatz-Funktion des Marktes sei gegeben durch p(x) = 12 2x. Bei der Produktion entstehen pro Einheit (variable) Kosten in Höhe von 2 Geldeinheiten. Zudem muss der Betrieb Fixkosten in Höhe von 8 Geldeinheiten tragen. In den vergangenen Jahren hat der Betrieb jeweils 5 1 Einheiten produziert, dabei jedoch einen Verlust 2 gemacht. Dieser Verlust ist nun Anlass einer breiten politischen Diskussion. Einige politische Gruppierungen argumentieren, der Verlust zeuge von einer üblichen Ineffizienz eines staatlich kontrollierten Unternehmens und fordern die sofortige Privatisierung. (a) Wie hoch ist der bisherige Verlust gewesen? (b) Welche Ausbringungsmenge und welcher Gewinn bzw. Verlust wäre zu erwarten, wenn das Unternehmen privatisiert würde und dabei weiterhin alleiniger Anbieter bliebe. (c) Die Regierung steht einer Privatisierung mit Skepsis gegenüber und sucht nach Möglichkeiten, den Verlust zu vermeiden. Dazu fragt die Regierung beim Unternehmensmanagement an, ob durch eine Erhöhung des Preises der Verlust auf Null reduziert werden könne. Das Management gibt nach Überprüfung des Vorschlages an, dass es zwei Preisniveaus gäbe, bei denen dieses Ziel zu erreichen wäre. Wie hoch sind die Preise und die jeweiligen Produktionsmengen? Welcher dieser Preise wäre aus wohlfahrtsökonomischer Sicht vorzuziehen? (d) Was wäre der Regierung zu raten? Ist der Status Quo (also Ausbringungsmenge von 5 1 ) den Alternativen (Privatisierung oder Preiserhöhung bis Verlust=0) vorzuziehen? 2 Ist der Status Quo effizient? Geben Sie knappe und wohlfahrtsökonomisch fundierte Begründungen für Ihre Antworten bzw. Empfehlungen. Aufgabe 13 Die Bewohner einer Insel verfügen über eine eigenständige Energieversorgung, die durch den Betrieb einer Windkraftanlage gesichert ist. Die Produktion der Energiemenge x sei durch folgende Kostenfunktion wiedergegeben: K = 5 x Die Bewohner sind durch die Produktion einer hohen Lärmbelastung ausgesetzt. Dabei entstehen Schäden in Höhe von S(x) = b x Für die Nachfrage nach Energie gilt folgende Preis-Absatz-Funktion: p(x) = 25 x 20 8

9 (a) Die Produktion welcher Strommenge wäre - abhängig von b - effizient? Menge wäre effizient, wenn keine Externalitäten vorliegen? Welche (b) Welche Produktionsmenge wird sich einstellen, wenn sich der Anbieter wie ein Monopolist verhält (die externen Schäden berücksichtigt er nicht)? (c) Erläutern Sie grafisch die sich ergebende Wohlfahrtsänderung für die Gesellschaft, die sich im Vergleich zur effizienten Menge bei einer Monopollösung einstellt. (d) Bei welcher Schadenshöhe b würden die Monopollösung zu einer effizienten Menge führen? (e) Angenommen, der Betrieb des Windkraftanlage geschieht durch ein öffentliches Unternehmen, welches sich bereit erklärt, einen Preis in Höhe der Durchschnittskosten anzubieten (externe Schäden werden wieder nicht berücksichtigt). Bestimmen Sie die beiden Ausbringungsmengen, die diese Regel erfüllen. Welche dieser Lösungen ist aus gesellschaftlicher Sicht vorzuziehen, wenn für b der Wert 15 angenommen wird? Aufgabe 14 In einem Ballungszentrum konkurrieren zwei Verkehrsbetriebe um die Kunden, die den Personennahverkehr nutzen wollen. Die Nachfrage nach Buskarten x B bzw. nach Straßenbahnkarten x S sei gegeben durch x B (p B, p S ) = p B p S x S (p B, p S ) = p S p B Die beiden Verkehrsbetriebe bestreiten die Bereitstellung ihres Netzes jeweils mit den Fixkosten in Höhe von K S bzw. K B. Es sei angenommen, dass keine variablen Kosten anfallen. (a) Errechnen Sie den jeweiligen Preis und die nachgefragte Menge, wenn beide Unternehmen ihren Gewinn getrennt voneinander maximieren wollen. (b) Errechnen Sie im Gegensatz dazu den sich ergebenden Gewinn, wenn die Unternehmen eine gemeinsame Gewinnmaximierung verfolgen. Läßt sich ohne Kenntnis der Nachfrageseite eine Aussage treffen, welche Lösung aus gesellschaftlicher Sicht vorzuziehen ist? 9

10 6. Abstimmungsverfahren; 7. Akteure der Politik Aufgabe 15 Gegeben seien die folgenden Nutzenfunktionen von drei Individuen: U 1 = G + x 1 U 2 = 2 G + x 2 U 3 = 3 G + x 3 Dabei bezeichne G den Konsum des öffentlichen Gutes sowie x i den Verbrauch des privaten Gutes von Haushalt i. Die Budgets der einzelnen Haushalte betragen w 1 = 10; w 2 = 25; w 3 = 15, die Preise p x bzw. p G beider Güter seien auf 1 normiert. Zur Finanzierung der Bereitstellung von G sollen alle Haushalte in gleicher Höhe herangezogen werden. (a) Welche Menge G M des öffentlichen Gutes wird gewählt, falls die Bereitstellungshöhe durch eine Mehrheitsentscheidung ermittelt werden soll? (b) Welche Menge G wäre optimal? (c) Welche Rolle spielen hier die Anfangsausstattungen w i der einzelnen Haushalte für G M bzw. G i? Erläutern Sie, warum dies so ist. Die Nutzenfunktionen der Haushalte sollen nun wie folgt abgewandelt werden: U 1 = G x 1 U 2 = 2 G x 2 U 3 = 3 G x 3 (d) Sind die Präferenzen der Individuen jetzt noch eingipflig? (e) Welche Mengen G M bzw. G würden sich nun ergeben? (f) Welche Auswirkung hat eine Erhöhung des Preises für x auf p x = 2 auf die Mengen G M bzw. G? 10

11 Aufgabe 16 Gegeben seien die Nutzenfunktionen U h von drei Haushalten: U 1 = x 1 U 2 = G x 2 U 3 = x 3 + G2 12 G Dabei sei G das Bereitstellungsniveau eines öffentliches Gutes, x h der Konsum des privaten Gutes x von Haushalt h. Die Preise von G und x seien auf 1 normiert. Die Budgets seien gegeben durch ω 1 = ω 2 = 8 bzw. ω 3 = 6. (a) Warum kann nicht grundsätzlich davon ausgegangen werden, dass die Individuen ohne Koordination für eine effiziente Bereitstellung öffentlicher Güter sorgen? Angenommen, die Bereitstellung von G erfolge, indem die Kosten auf alle Haushalte gleich verteilt werden. Die Entscheidung über die Bereitstellungshöhe von G erfolge über folgenden Abstimmungsprozeß: Jeder Haushalt schlägt ein Niveau vor, wobei der auf ihn fallende Kostenanteil sein Budget nicht überschreiten darf. Zunächst wird über 2 Vorschläge abgestimmt; anschließend wird der Sieger gegen den verbliebenen Vorschlag zur Abstimmung geführt und aus dieser Abstimmung das Endergebnis ermittelt. Haushalt 1 ist der Agenda-Setter. (b) Charakterisieren Sie kurz anhand einer Grafik der indirekten Nutzenfunktion W 3 (G) die Präferenzen des Haushaltes 3 für den Bereich von G zwischen 0 und 18. (Errechnen Sie hierfür zumindest für die Intervallgrenzen und die Extremstelle die genauen Werte von W.) (c) Ermitteln Sie, welches Niveau von G jeder Haushalt bei ehrlichem Abstimmungsverhalten vorschlagen wird. Welcher Vorschlag wird sich durchsetzen? (d) Ist es relevant, wer in diesem Fall der Agenda-Setter ist? Antwort. Begründen Sie ihre Nun sei angenommen, die Haushalte handeln ohne gemeinsame Koordination, Haushalt 1 beteiligt sich nicht an der Bereitstellung, während Haushalt 3 insgesamt 4 Einheiten des Gutes G zur Verfügung stellt. (e) Welche Menge von G wird dann Haushalt 2 bereitstellen? 11

12 Aufgabe 17 Gegeben seien drei Wählergruppen, deren Gruppenmitglieder jeweils folgende Präferenzen aufweisen: U 1 = G + x 1 U 2 = 1 G + x 2 2 U 3 = 1 G + x 3 3 Die Budgets w 1, w 2, w 3 seien für alle innerhalb einer Gruppe konstant, die Preise für G bzw. x wieder auf 1 normiert. Zur Finanzierung werden alle Wähler in gleicher Höhe herangezogen, die Zahl der Wähler je Gruppe sei dabei auf 1 normiert, die Gesamtzahl H aller Wähler beträgt also 3. Um die Gunst der Wählergruppen konkurrieren die beiden Parteien A und B durch ihre Vorschlägen G A, G B zur Bereitstellungshöhe von G, wobei G jeden beliebigen Wert zwischen 0 und 1 annehmen kann. (a) Bestimmen Sie zunächst die Mengen des öffentlichen Gutes G 1, G 2, G 3, die von jeder Gruppe jeweils bevorzugt werden. (b) Ausgehend davon, dass die beiden Parteien unterschiedliche Vorschläge machen: Errechnen Sie, welche Differenz zwischen den Nutzenniveaus (resultierend durch die verschiedener Vorschläge) innerhalb jeder Gruppe maximal entstehen kann. (c) Das Wahlverhalten der einzelnen Gruppen sei durch folgende Verteilungsfunktionen F h wiedergegeben, wobei F h den Anteil der Wähler für Partei A in der Gruppe h angibt und x = W h (G A ) W h (G B ) den Nutzenunterschied der Vorschläge G A und G B in der Gruppe h: F 1 (x) = x x [ 2 3 ; 2 3 ] 8x F 2 (x) = x [ ; 3 16 ] F 3 (x) = 0, ( 18x ) 2 x [ ; 1 12 ] Interpretieren Sie (anhand geeigneter Skizzen) zunächst das Wahlverhalten der einzelnen Gruppen anhand der angegebenen Funktionen. Ermitteln Sie dann, welches Niveau G s im politischen Gleichgewicht letztlich bereitgestellt wird. Vergleichen Sie das durch den politischen Wettbewerb entstehende Gleichgewicht mit dem effizienten Niveau G und dem Niveau G M, welches sich durch eine Mehrheitsentscheidung ohne weitere Parteienpräferenzen ergeben hätte. (d) überraschenderweise stellt Partei A zur Durchsetzung ihrer Politik den Kandidaten S. auf, worauf sich aufgrund regionaler Präferenzen das Wahlverhalten der dritten Wählergruppe folgendermaßen ändert: F 3 (x) = 0, ( 6x + 1 ) 2 x [ ; 1 12 ] 12

13 Erläutern Sie das neue Wahlverhalten und errechnen Sie die sich nun ergebende Änderung auf das Niveau G s. (e) Erläutern Sie den stattfindenden Prozess, der zu der Änderung von Gs führt, obgleich sich bei den Mitgliedern der Gruppe weder allgemein an der Nutzenfunktion noch insbesondere am gewünschten Niveau G 3 etwas geändert hat. Aufgabe 18 Gegeben seien die folgenden Nutzenfunktionen von drei Wählergruppen: U h = β h v(g) + x h mit v(g) = ln(g) sowie den Werten β 1 = 1; β 2 = 3 bzw. β 3 = 4. G bezeichne den Konsum eines öffentlichen Gutes sowie x h den Verbrauch des privaten Gutes der Individuen in der Gruppe h. Die Preise p x bzw. p G beider Güter seien auf 1 normiert. Zur Finanzierung der Bereitstellung von G sollen alle Haushalte in gleicher Höhe herangezogen werden, die Größe jeder Gruppe sei auf 1 normiert. (a) Welche Menge G M des öffentlichen Gutes wird gewählt, falls die Bereitstellungshöhe durch eine Mehrheitsentscheidung ermittelt werden soll? (b) Welche Menge G wäre optimal? Zur Bestimmung von G machen die Parteien A und B ihren jeweiligen Vorschläge G A bzw. G B. Das Wahlverhalten der einzelnen Gruppen sei durch folgende Verteilungsfunktionen F h wiedergegeben, wobei F h (z) den Anteil der Wähler für Partei A in der Gruppe h angibt und z den aus den Vorschlägen G A und G B resulierenden Nutzenunterschied: F 1 (z) = F 2 (z) = z z [ 2; 2] 4 F 3 (z) = z z [ 1; 1] 2 (c) Bestimmen Sie das Niveau G s, welches im politischen Gleichgewicht bereitgestellt wird. Greifen Sie dabei auf folgende Formel zurück: ( 3 ) f h (0) H φ βh v (G) = 1 mit φ = 3 h=1 f h (0). h=1 (d) Interpretieren Sie die kurz die Bedeutung von f h (0) für das politische Gleichgewicht. Angenommen, dass sich die Wahlpräferenzen der ersten Wählergruppe linear auf ein doppelt so großes Intervall (also von 4 bis 4) verteilen - welche Konsequenzen für G s sind zu erwarten (eine Rechnung ist nicht nötig)? 13

14 8. Explizite Staatsschuld Aufgabe 19 Siehe Aufgabe 6.3 des Arbeitsbuches zur Finanzwissenschaft 14