Protokoll zum Versuch S3: Messung des Richt- und Trägheitsmoments (D und J) mittels Drehschwingungen

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1 Protokoll zum Versuch S3: Messung des Richt- und Trägheitsmoments (D und J) mittels Drehschwingungen Jan Christoph M Tobias F Abgabedatum: 24. April 2007

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Richt- und Trägheitsmoment bei Drehschwingungen Klärung des physikalischen Zusammenhangs Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung Gravitation und die Newtonschen Axiome Trägheitskräfte Herleitung des Trägheitsmoments J über die Translation Translation und Rotation - Zusammenhänge Der Steinersche Satz Mathematische Herleitung von J am Beispiel des Vollzylinders Versuchsaufbau Durchführung Messwerte Versuch A Versuch B Versuch C Auswertung Versuch A Versuch B Versuch C Fehlerbetrachtung und Fehlerrechnung Zusammenfassung Literaturverzeichnis Quellennachweis Bilder und Tabellen

3 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 2 1 Richt- und Trägheitsmoment bei Drehschwingungen Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, der bei Drehschwingungen von Körpern eine wesentliche Bedeutung zukommt. Es entspricht der Masse bei einer geradlinigen Bewegung. Ähnlich schwer wie eine große Masse zu beschleunigen ist, sind Körper mit großem Trägheitsmoment in Drehung zu versetzen. Das Richtmoment ist das Rotationsäquivalent zur Federkonstante bei der Translation. 1.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs Als Grundlagen für den Versuch dienen die Prinzipien der gleichförmigen und der beschleunigten Bewegung bei der Translation. Diese werden für den Versuch der Drehbewegung auf die Rotation übertragen, da die Rotation in diesem Fall nichts anderes ist als Translation auf der Kreisbahn. Des weiteren werden die drei Newtonschen Axiome verwendet, um die Formel für das Drehmoment J herzuleiten Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung Um die Bewegung von Massepunkten zu verstehen, muss man Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Beziehung zueinander setzen. Die Geschwindigkeit v ist die Ortsänderung r über einen Zeitraum t 0, also r(t + t) r(t) v(t) := lim = d r t 0 t dt = r. (1) Nach demselben Prinzip ist die Beschleunigung a als Ableitung der Geschwindigkeit v definiert: Insgesamt gilt also v(t + t) v(t) a(t) := lim = d v t 0 t dt = v. (2) a = d v dt = v = d2 r dt = r. (3) In unserem Fallexperiment haben wir es mit einer eindimensionalen Bewegung zu tun, was eine Betrachtung der reinen Beträge der gemessenen Beschleunigungen rechtfertigt. Mit diesen Beziehungen ist es leicht, gleichförmige Bewegung als Bewegung mit v = const und gleichförmig beschleunigte Bewegung durch a = const zu definieren. Legt man ein Bezugssystem zu Grunde, in welchem x(t = 0) = x 0 = 0 und v(t = 0) = v 0 = 0, so ergibt sich nach einfacher bzw. zweifacher Aufleitung von a für die Geschwindigkeit v(t) = a t und für den Ort [SS05] Gravitation und die Newtonschen Axiome x(t) = 1 2 a t2 (4) Jeder Massepunkt hat ein radiales, konservatives Kraftfeld, welches bewirkt, dass zwischen allen Massepaaren m, M eine anziehende Kraft wirkt. Das grundsätzliche Verständnis erfordert nun den Begriff der Kraft. Am brauchbarsten sind die Newtonschen Axiome (nach Sir Isaac Newton, ), welche

4 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 3 die Basisdefinition der Wirkung von Kräften liefern. Das erste Axiom (Trägheitsprinzip) besagt, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers konstant ist, wenn die Summe aller Kräfte F gleich 0 ist. Das ist im theoretischen Bild mit Massepunkten erst der Fall, wenn sämtliche Massen sich zu einer einzigen vereint haben, da hier Massen keine Ausdehnung haben. Wenn wir allerdings das Beispiel des freien Falls im Gravitationsfeld betrachten, sehen wir, dass, solange wir die Verformung der Körper außer Acht lassen, dieses Kräftegleichgewicht (Equilibrium) eingetreten ist, wenn der sprichwörtliche Apfel die Erde berührt. Nach dem zweiten Axiom sind Richtung der Kraft F und der Beschleunigung a gleich, ihr Betrag proportional und der Betrag von Masse und Kraft ebenfalls proportional, experimental hat Newton ermittelt, dass jenes Verhältnis F m a (5) gilt. Dieses Axiom werden wir im Experiment für ein Massestück und dessen Erdanziehung nachweisen können. Im SI gilt dann sogar F = m a. Das dritte Axiom, auch Actio-Reactio-Prinzip genannt, sagt, dass die Kraft, welche ein Massepunkt A auf den anderen Massepunkt B ausübt, auch von letzterem auf ersteren Körper wirkt. Also gilt F A B = F B A (6) Dadurch erst tritt die Gravitation zwischen Erde und den vielfach masseärmeren Körpern auf ihr ein Trägheitskräfte Abb. 1: Rasante Kurvenfahrt [Spi05]

5 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 4 Trägheitskräfte sind die Folge von Beschleunigungen. Ihre Richtung ist der Beschleunigung entgegengesetzt. Man erkennt Trägheitskräfte nur in einem beschleunigten Bezugssystem; sie sind nur»scheinkräfte«. Kräfte und Trägheitskräfte als Ursache und Wirkung ein und derselben Beschleunigung sind stets gleich groß und entgegengesetzt. Jeder kennt das Beispiel einer scharfen Kurve oder starken Abbremsung beim Autofahren: Die Insassen fühlen sich beschleunigt, in Wirklichkeit werden sie aber nur durch ihre Trägheit in einer Bewegung gehalten, die wegen der Zentripetal- bzw. Bremsbeschleunigung des Wagens nicht mehr möglich ist. Darum rutschen sie im Extremfall vom Sitz - wenn sie nicht angeschnallt sind (siehe Abb. 1) Herleitung des Trägheitsmoments J über die Translation Abb. 2: Skizze zur Rotation [UU05] Man kann sich zunächst Abb. 2 anschauen, um die Situation zu erkennen. Zunächst ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit analog zur Translation die Formel ω = θ (7) θ steht für den Drehwinkel. Des weiteren ergibt sich für die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit die Winkelbeschleunigung α = ω = θ (8) Diese beiden Größen sind im allgemeinen Vektorgrößen. Da eine Kraft an einem äußeren Punkt angreifen muss, um die Scheiben in Bewegung zu setzten, betrachten wir als nächstes die Tangentialgeschwindigkeit sowie die Tangentialbeschleunigung. Erstere ergibt sich aus der Multiplikation der Winkelgeschwindigkeit mit dem Radius r. Des weiteren ergibt sich für die Tangentialbeschleunigung v t = r ω (9) a t = r α (10) Zudem erfährt jeder Massepunkt zusätzlich noch eine Zentripetalbeschleunigung, die sich durch a z = r ω 2 (11)

6 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 5 darstellen lässt. Um nun auf das eigentliche Trägheitsmoment zu kommen, betrachten wir den Drehimpuls: L = p r = m v t = m r ω (12) Aus der Kraft F = ṗ für die Rotation ergibt sich nun das Drehmoment als zeitliche Ableitung des Drehimpulses: D = L = p r = F r (13) Solange keine Kraft einwirkt, ist M = 0 und L = const. Das Trägheitsmoment wirkt der durch das Drehmoment verursachten Beschleunigung entgegen. Aus dem 2. Newtonschen Axiom ergibt sich analog zu F = m a D = J α (14) J = D α (15) Translation und Rotation - Zusammenhänge Translation Rotation Lage Ortsvektor r Drehachse & Drehwinkel θ Geschwindigkeit v = r ω = θ Beschleunigung a = v = r α = ω = θ Masse m Trägheitsmoment J = mr i 2 1 Kin. Energie 2 mv2 1 2 Jω2 Impuls p = m v Drehimpuls L = J ω Kraft F Drehmoment D = r F Bewegungsgleichung p = F L = D Tab. 1: Analogietabelle zur Translation und Rotation [Ger93] Die Zusammenhänge zwischen den beiden Bewegungsvorgänge lassen sich sehr schön wie in Tabelle 1 darstellen Der Steinersche Satz Abb. 3: Illustration zum steinerschen Satz [RWT05]

7 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 6 Der Steinersche Satz liefert eine einfache Formel für die Berechnung des Trägheitsmoments eines Körpers um eine beliebige zur Schwerpunktachse parallele Achse unter der Voraussetzung, dass das Trägheitsmoment des Körpers bei Drehung um seinen Schwerpunkt bekannt ist. Die Herleitung ist einfach nachvollziehbar, wenn wir Abb. 3 betrachten. J A = = = r i 2 dm = ( r i d) 2 dm (16) r 2 i dm 2d r i dm + d 2 dm (17) }{{}}{{}}{{} (1) (2) (3) r 2 i dm + M d 2 (18) = J S + M d 2 (19) Hier ist mit S die Schwerpunktachse bezeichnet, und A ist eine beliebige Parallele dazu. A darf natürlich auch außerhalb des Körpers liegen, der Satz gilt dann immer noch. (1) ist das ursprüngliche J S mit Drehachse S, (2) fällt bei S als Ursprung des Systems weg und (3) ist das zusätzliche Trägheitsmoment, welches der rotierende Körper durch die Achsenänderung d erhält Mathematische Herleitung von J am Beispiel des Vollzylinders Aus der Physikvorlesung wissen wir, dass das Trägheitsmoment von Körpern kontinuierlicher Dichte schreiben können als J = r 2 dm (20) wobei r der Abstand jedes Masseteilchens von der Drehachse ist. Die Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders können wir nun zeigen über die Annäherung, dass ein Zylinder eine Aneinanderreihung infinitesimaler Kreisscheiben ist. Eine Kreisscheibe hat konstante Masseverteilung, wir nennen sie σ = M A, wobei A die Fläche der Scheibe sei. Die Fläche eines jeden Masseteilchens ist da = 2πr dr, die Masse jedes Teilchens ist Also gilt J = = 2πM A dm = σ da = M 2πr dr (21) A r 2 dm = R 0 r 2 σ2πr dr = 2πσ R 0 r 3 dr (22) R 4 4 = πm 2πR 2 R4 = 1 2 MR2 (23) Mit dieser Formel können wir die Trägheitsmomente der Teilscheiben des Körpers aufsummieren und addieren und erhalten so das Trägheitsmoment J aus den Abmessungen des betrachteten Zylinders. Analog ergibt sich für das Trägheitsmoment der Kugel J = 2 5 MR2 (24)

8 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 7 Abb. 4: Foto der einzelnen versuchsrelevanten Objekte [PP05] 1.2 Versuchsaufbau Bei diesem Versuch werden auf eine mit einer Spiralfeder verbunden Achse mehrere Körper befestigt, um deren Trägheitsmoment und das Richtmoment der Feder zu bestimmen. Als Körper stehen eine Kugel, ein Vollzylinder, ein Quader und eine Kreisscheibe zur Verfügung, die nacheinander auf der Achse befestigt werden. Die Scheibe besitzt zwei Bohrungen, eine direkt im Mittelpunkt und eine Parallel zur anderen Bohrung etwas weiter am Rand. Die zweite Bohrung wird für die Berechnung und Bestätigung des Steinerschen Satzes benötigt (s. Abb. 4). 1.3 Durchführung Versuch A: Zunächst einmal wird der Vollzylinder auf der Achse befestigt und in Schwingung versetzt. Nun wird die Durchlaufzeit bestimmt die später für die Bestimmung des Eigenträgheits- und des Richtmoments benötigt wird. Bei jedem Körper werden fünf Messungen der Schwingungsdauern durchgeführt und die Werte gemittelt um nachher ein möglichst genaues ω (Kreisfrequenz) zu erhalten. Nach dem Vollzylinder wird die Kugel auf der Achse montiert und wieder gemessen. Aus den beiden Kreisfrequenzen lässt sich nun das Richtmoment D der Spiralfeder sowie das Eigenträgheitsmoment J 0 bestimmen. Das geschieht wie folgt: ω = 2π T J Kugel = J Zylinder = D (25) J 0 ω Kugel (26) D J 0 ω Zylinder (27)

9 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 8 Umstellen nach J 0 und Gleichsetzen liefert D = (ω2 k ω2 z)(j z J k ) ω 2 k ω2 z (28) J 0 ist nun durch Einsetzen in eine der beiden obigen Gleichungen für das Trägheitsmoment zugänglich. Die Trägheitsmomente der Körper wurden vorher aus ihren Abmessungen berechnet (J Kugel = 2 5 m r2, J Zylinder = 1 2 m r2 ). Versuch B: Als nächstes wird nun der Quader auf der Achse befestigt und dann alle Schwingungsdauern sowie alle vier Trägheitsmomente der jeweiligen Achsen bestimmt (Parallel zu a, b, c und der Diagonalen). Das geschieht mit Hilfe folgender Gleichungen: J a = D ω 2 a J b = D ω 2 b J c = D ω 2 c J d = D ω 2 d J 0 (29) J 0 (30) J 0 (31) J 0 (32) Für die Trägheitsmomente können wir auch aus den Abmessungen Werte erhalten, die ermittelten Werte vergleichen wir dann in der Zusammenfassung. Für das Trägheitsmoment J d bei Schwingung um die Diagonale gibt es zusätzlich eine Formel, die die Berechnung über die vorher bestimmten Trägheitsmomente um die Hauptträgheitsachsen möglich macht. Folgende Formeln liegen zugrunde: Die Herleitung ist in [PP05] geschildert. J a2 = 1 12 m(b2 + c 2 ) (33) J b2 = 1 12 m(a2 + c 2 ) (34) J c2 = 1 12 m(a2 + b 2 ) (35) J d2 = J a ( a d )2 + J b ( b d )2 + J c ( c d )2 (36) J d3 = 1 6 ma2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 d 2 (37) Versuch C: Zuletzt wird das Trägheitsmoment der Scheibe bestimmt, dazu wird zunächst die Schwingungsdauer der Bohrung in der Mitte bestimmt und danach die der zweiten Bohrung. Nun lässt sich der Satz von Steiner belegen, indem wir jeweils den Wert des Trägheitsmoments aus den Abmessungen des Körpers bestimmen und einen experimentellen Wert ermitteln, wie wir das in Versuch A und Versuch B gemacht haben (s. z. B. Gleichungen 29 bis 32). Die Gleichungen für den Steinerschen Satz finden sich bereits in der Klärung des physikalischen Kontexts (Gleichung 19). 1.4 Messwerte Die Ergebnisse sind wie folgt:

10 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN Versuch A Masse Durchmesser Radius Höhe Vollzylinder g 70.0 mm 35.0 mm 90.0 mm Tab. 2: Abmessungen des Zylinders Masse Durchmesser Radius Kugel 2379 g 81.3 mm 40.7 mm Tab. 3: Abmessungen der Kugel T z /s ω/ 1 s T k /s ω/ 1 s Messung Messung Messung Messung Messung Mittelwert / 1 s Tab. 4: Gemessene Schwingdauer und berechnete Kreisfrequenz für Zylinder und Kugel, Versuch A Siehe Tab. 2, 3 und Versuch B Siehe Tab. 5 und Versuch C Siehe Tab. 7 und Auswertung Versuch A J z = 1 2 m r2 = kg m 2 = 0.596kg m J k = 2 5 m r2 = kg m 2 = 1.572kg m D = (ω2 k ω2 z)(j z J k ) ω 2 k ω2 z J 0 = D ω 2 k = ( )( ) kg m s 2 = kg m s 2 J k = kg m = kg m

11 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 10 Kantenlänge a Kantenlänge b Kantenlänge c Masse Quader Diagonale Quader 65.0 mm mm mm 4130 g mm Tab. 5: Abmessungen des Quaders (in mm) T a /s ω/ 1 s T b /s ω/ 1 s T c /s ω/ 1 s T d /s ω/ 1 s Messung Messung Messung Messung Messung Mittelwert / 1 s Tab. 6: Gemessene Schwingdauer und berechnete Kreisfrequenz um die Hauptträgheitsachsen a, b und c sowie die Diagonale d, Versuch B Masse Achsenabstand Höhe Radius Scheibe g 98.3 mm 2.2 mm mm Tab. 7: Abmessungen der Scheibe (in mm) T S /s ω/ 1 s T s /s ω/ 1 s Messung Messung Messung Messung Messung Mittelwert / 1 s Tab. 8: Gemessene Schwingdauer und berechnete Kreisfrequenz um Schwerpunktachse S und parallele Achse s, Versuch C

12 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN Versuch B J a = D ω 2 a J 0 = 16.39kg m J a2 = 1 12 m(b2 + c 2 ) = 16.94kg m J b = D ω 2 b J 0 = 11.55kg m J b2 = 1 12 m(a2 + c 2 ) = 12.13kg m J c = D ω 2 c J 0 = 7.71kg m J c2 = 1 12 m(a2 + b 2 ) = 7.72kg m J d = D ω 2 d J 0 = 9.70kg m J d2 = J a ( a d )2 + J b ( b d )2 + J c ( c d )2 = 9.70kg m J d3 = 1 6 ma2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 d 2 = 9.95kg m Versuch C J S = m r 2 = 13.46kg m J S1 = D ωs 2 J 0 = 13.11kg m J s = J S + m s 2 = 19.95kg m J s1 = D ω 2 s J 0 = 23.64kg m Fehlerbetrachtung und Fehlerrechnung Als Messgenauigkeiten bei den Abmessungen der Rotationskörper haben wir, da wir die Genauigkeit der Schieblehre nicht ausnutzen konnten, x = 0.5mm. Die Schwingungsdauer konnten wir mit der Stoppuhr zu einer Genauigkeit t = 0.05s bestimmen, der Fehler ist die geschätzte Summe aus Geräte-, Paralaxe- und Reaktionsfehler. Der Zeitfehler fließt in die Fehlerrechnung nicht mit ein, da wir aus den Kreisfrequenzen direkt die Streuung berechnet haben. Die Massen der Körper waren angegeben, sie wurden als genau angenommen. Vernachlässigen kann man die Dichteänderung wegen der Temperatur der Körper. Auch die Reibung der Apparatur mit der Aufhängungsachse und die Luftreibung können wir nicht bestimmen. Die untersuchten Körper hatten jeweils Bohrungen, die das Trägheitsmoment ein wenig beeinflussten, sowie unvermeidliche Verunreinigungen. Selbst die Apparatur war nicht ganz symmetrisch, es gab Schräubchen und andere feine Ungenauigkeiten, die mitschwangen. Die Fehler der mathematisch berechneten Trägheitsmomente lassen sich über die partielle Ableitung nach x, welches die jeweils festgestellten Maße des Körpers darstellt, berechnen, da in der Massenbestimmung kein Fehler auftrat. Die Betragsstriche können wir weglassen, da die Grundgrößen positiv sind. Es ergeben sich folgende Formeln: J z = J z r x = mr x = kg 0.035m 0.5mm

13 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 12 = kg m 2 J k = J k r x = 4 mr x = 2.379kg 40.65mm 0.4mm 5 = kg m 2 J a2 = 1 6 m(b + c) x = kg ( )mm 0.5mm 6 = kg m 2 J b2 = kg ( )mm 0.5mm 6 = kg m 2 J c2 = kg ( )mm 0.5mm 6 = kg m 2 J d3 = 1 + ac 2 + a 2 b + bc 2 + a 2 c + b 2 c 3 m(ab2 d 2 + a2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 d 3 ) x = kg (...)mm 0.5mm 3 = kg m 2 J S = mr x = kg m 0.5mm = kg m 2 J s = J S + 2ms x = J S kg m 0.5mm = kg m 2 Der Fehler der Kreisfrequenzen war jeweils über die Streuung zu berechnen. Aus der Streuungsformel [PP05] S ω ω = t N mit t = 2.8, N = 5 und S ω = 1 ( ω ωi ) N 1 2 als Wurzel aus dem Quotienten der Summe der Fehlerquadrate mit N 1 ergaben sich eingesetzt folgende Werte (jeweils in 1 s ): ω z = , ω k = , ω a = , ω b = , ω c = , ω d = , ω S = , ω s = Nun lässt sich D über die partielle Ableitung bestimmen: D = + 2 J k 1 ω 1 z 2 ωk 2 ( 1 ω 1 z 2 + J z 1 ω 1 z 2 ωk 2 3 kg m2 = s 2 J k J z ) ω 2 ω 2 ω k + 2 k 2 k J k J z ) ω 2 ω 2 k 2 z ω z ( 1 ω 1 z 2 Mit diesen Angaben lässt sich nun mit der partiellen Ableitung von J 0 J 0 berechnen: J 0 = D ω k D ω k 3 ω k + J k = kg m 2

14 1 RICHT- UND TRÄGHEITSMOMENT BEI DREHSCHWINGUNGEN 13 Analog lassen sich nun die restlichen Fehler der experimentell bestimmten Trägheitsmomente aus der Gleichung J x = D D +2 ω ω x 2 ω x 3 x + J 0 berechnen. Dies führt zu folgenden Werten: 1.6 Zusammenfassung J a = m 2 kg J b = m 2 kg J c = m 2 kg J d = m 2 kg J S = m 2 kg J s = m 2 kg Aus Auswertung und Fehlerrechnung erhalten wir folgende Werte (Fehler wurden auf-, Messwerte kaufmännisch gerundet): J z = 0.60(2) 10 3 m 2 kg J k = 1.57(4) 10 3 m 2 kg J 0 = 0.0(2) 10 3 m 2 kg D = 33(2) kg m s 2 J a = 16(2) 10 3 m 2 kg J a2 = 16.94(11) 10 3 m 2 kg J b = 11.5(10) 10 3 m 2 kg J b2 = 12.13(9) 10 3 m 2 kg J c = 7.7(9) 10 3 m 2 kg J c2 = 7.72(7) 10 3 m 2 kg J d = 9.7(9) 10 3 m 2 kg J d2 = m 2 kg J d3 = 10.0(2) 10 3 m 2 kg J S = 13.46(7) 10 3 m 2 kg J S1 = 13.1(12) 10 3 m 2 kg J s = 19.95(14) 10 3 m 2 kg J s1 = 24(4) 10 3 m 2 kg Als Fazit lässt sich sagen, dass es kaum unerwartete Messwerte gab, lediglich bei J d und beim Nachweis der Gültigkeit des Steinerschen Satzes gab es signifikante Unterschiede. Diese fallen aber so gering aus, dass man mit dem Ergebnis des Experiments zufrieden sein kann. Bei allen anderen Messungen fällt jeweils der eine Wert in den Fehlerbereich des anderen, was als Bestätigung der überprüften Gleichungen angesehen werden kann.

15 2 LITERATURVERZEICHNIS 14 2 Literaturverzeichnis 2.1 Quellennachweis Ger93: Gerthsen/Vogel: Physik, Springer-Lehrbuch 1993 PP05: Die Webseite des Phys. Praktikums der Universität Paderborn: RWT05: Die Physik-Seite der RWTH Aachen: Spi05: Die Webseite der Zeitschrift»Der Spiegel«: SS05: Schmidt/Sohler: Vorlesung Physik A der Uni Paderborn im WS 2005/06 UU05: Die Webseite der Physik der Universität Ulm: Bilder und Tabellen Abbildungsverzeichnis 1 Rasante Kurvenfahrt [Spi05] Skizze zur Rotation [UU05] Illustration zum steinerschen Satz [RWT05] Foto der einzelnen versuchsrelevanten Objekte [PP05] Tabellenverzeichnis 1 Analogietabelle zur Translation und Rotation [Ger93] Abmessungen des Zylinders Abmessungen der Kugel Gemessene Schwingdauer und berechnete Kreisfrequenz für Zylinder und Kugel, Versuch A Abmessungen des Quaders (in mm) Gemessene Schwingdauer und berechnete Kreisfrequenz um die Hauptträgheitsachsen a, b und c sowie die Diagonale d, Versuch B Abmessungen der Scheibe (in mm) Gemessene Schwingdauer und berechnete Kreisfrequenz um Schwerpunktachse S und parallele Achse s, Versuch C