K ompetenzen und A NFORDERUNGSBEREICHE

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1 K ompetenzen und A NFORDERUNGSBERECHE Verknüpft mit den Lehrwerken: Lineare Funktion und Parabel 2. Grades Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe 206 Gernot Mühlbacher 0

2 führt immer zum STCHWORTVERZECHNS als Wegweiser Folie Nr.: Abc-Formel 0, lineare Funktion 26 absolutes Glied 5, 6 lineares Glied 6 allgemeine Form 4, 0 Mitternachtsformel 0 Arten von Zahlen 27 Normalform 4, 8 Definitionsbereich 25, 26 Nullprodukt 6 Folie Nr.: reinquadratische Gleichung Folie Nr.: Diskriminante 2, 3, 23 Parameter 4, 8 Satz des Vieta 4-6 Funktionsbegriff 25, 26 pq-form 4, 8 unvollständig gem. quadr. Gleichung Gemischtes Glied 7 pq-formel 8, 9 4-Stufen-Prinzip 3,6,24 Grundbereich 25, 26 Produkt der Linearfaktoren 7, 8 Vieta 4 Lernen 28 quadratische vollst. gem. quadr. 7, 8 Ergänzung Gleichung 8 ff. Linearfaktoren 7, 8 quadr. Funktion (Anwendungen) 8-23, 26 Wertebereich 25, 26 Linearform 7-9 quadratische Gleichung 3, 4 ff. Zahlenarten Folien-Nr. anklicken! 4, 5 4, 6

3 L K K 2 K 3 K 4 K 5 LETLDEEN NHALTE L e benennen die wechselseitige Verknüpfung der Lehrwerke - Funktion, lineare Funktion, - Quadratische Gleichungen und - Quadratische Funktion, Parabel zweiten Grates. (L;4) L e analysieren und beurteilen die angebotenen nformationen des Textes und der Bilder. (K5) zu Folie 2

4 Die Gesamtschau in der Kompetenzmatrix lässt erkennen, dass es sich um eine komplexe Aufgabe mit vielseitigem, hohem Anspruchsniveau im Bereich der prozessbezogenen Kompetenzen handelt. Anforderungsbereiche K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e vereinfachen und skizzieren die inhaltlichen Aspekte der Aufgabenstellung. (L;3) L e ordnen die im Zusammenhang bedeutenden geometrischen Sachverhalte und algebraischen Operationen einander zu. (L;3) L e berechnen und vergleichen die reduzierte Rechteckfläche mit der Quadratfläche. (L;3) (Strategie. Lösungsweg) L e überprüfen, ob die Länge der Quadratseite bei der Zuteilung des Bauplatzes richtig berechnet wurde. (L;3) (Strategie 2. Lösungsweg) L e verbinden nhalte der Leitideen Zahl-Variable- Operation und im Sinne einer Vernetzung des Wissens. (L;3) L e analysieren das gestellte Problem. (K5; 3; ) L e veranschaulichen das Problem unter Verwendung der fachlich richtigen verbalen und symbolischen Darstellung. (K5; 4; 3) L e beurteilen die Ergebnisse mit Blick auf die Realsituation der Aufgabenstellung. (K3) L e verbinden insbesondere Prozesse der Kompetenzbereiche Problemlösen und im Sinne einer nachhaltigen Kompetenzaufbaus. (K2;3) zu Folie 3

5 L K K 2 K 3 K 4 K 5 LETLDEEN NHALTE L e geben eine Definition für den Begriff Quadratische Gleichung. (L) L e erklären den Begriff Parameter. (L) L e vergleichen vollständig gemischt qadr. Gl., unvollständig gemischt qadr. Gl., und Reinquadratische Gleichung. (L) L e vergleichen Allgem. Form einer gem. quadr. Gl. und Normalform einer gem. quadr. Gl. (L) L e recherchieren eine Definition. (K5) L e können Begriffe herleiten. (K5; ) zu Folie 4

6 Der Anspruch an prozedurales Wissen ist höher als der an formales (deklaratives) Wissen. K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e können selbständig eine reinquadratische Gleichung erstellen. (L) L e erklären, unter welcher Bedingung die reinquadratische Gleichung keine Lösung haben kann. (L) L e lösen reinquadratische Gleichungen.(L) L e bestimmen den Definitions- und Wertebereich für eine reinquadr. Gleichung. (L) L e erläutern, dass als Lösung(en) der Betrag des Wurzelwertes angenommen werden kann. (L) L e formulieren mathematische Aussagen zu reinquadratischen Gleichungen. (K;5) L e erläutern die Lösungsschritte für eine reinquadratische Gleichung. (K5; 2;) L e prüfen das Ergebnis/die Ergebnisse auf Plausibilität oder Vollständigkeit. (K5;2;) zu Folie 5

7 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e können selbständig eine unvollständig gemischt quadratische Gleichung erstellen. (L) L e formulieren den Satz vom Nullprodukt. (L) L e erklären die Lösungsschritte und wenden sie beim Bearbeiten unvollständig gemischt quadratischer Gleichungen an.(l) L e lösen Gleichungen eine Textaufgabe zu einer unvollständig gemischt quadratischen Gleichungen.(L) L e wenden einen mathematischen Satz zur Optimierung eines Lösungsverfahrens an. (K4) L e erläutern die Lösungsschritte für eine reinquadratische Gleichung. (K 4; 5;) L e wenden neue Erkenntnisse an. (K4) zu Folie 6

8 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e listen die binomischen Formeln auf und erläutern sie. (L) L e unterscheiden zwischen echten Lösungen binomischer Formeln und binomähnlichen Termen. (L) L e berechnen mit Hilfe des gemischten Gliedes das b-glied bzw. b 2 der Lösung.(L) L e begründen, dass sich der Wert eines Terms bei quadratischer Ergänzung nicht ändert.(l) L e erschließen das schrittweise Vorgehen bei der Methode der quadratischen Ergänzung.(L) L e erläutern ein algebraisches Verfahren und führen es durch. (K;4;5) L e vermuten mathematische Zusammenhänge und formulieren entsprechende Aussagen. (K ; 5;) L e begründen ein mathematisches Verfahren. (K ; 4; 5;) zu Folie 7

9 Anforderungsbereiche K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e können selbständig eine (vollständig) gemischt quadratische Gleichung erstellen. (L) L e berechnen (selbständig?) durch quadratische Ergänzung eine gemischt quadratische Gleichung in der Normalform. (L) L e wenden eine bekanntes Verfahren bei der Berechnung einer gemischt quadratische Gleichung an (K;4) L e. verallgemeinern ein konkret beherrschtes Verfahren und leiten so eine allgemeinere Formel (pq-formel) her. (K; 4; 5) zu Folie 8

10 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e berechnen die Lösung quadratischer Gleichungen (Normalform) mit Hilfe der pq-formel. (L) L e vergleichen und beurteilen die Schwierigkeiten beim Rechnen mit Bruchzahlen bzw. Dezimalbrüchen. (L) (Parameter p,q als ganze Zahlen, Dezimalbrüche und Bruchzahlen). L e beschreiben ein nachhaltig hilfreiches Darstellungsverfahren. (K4;5) zu Folie 9

11 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e stellen die allgemeine Form einer vollständig gemischt quadratischen Gleichung in der Normalform dar. (L) L e berechnen eine vollständig gemischt quadratische Gleichung mit der pq-formel. (L) L e geben die Beweisführung für die abc-formel wieder. (L) L e erschließen selbständig einen Lösungsweg. (K4;5) L e können eine Beweisführung nachvollziehen und ohne Hilfe wiedergeben. (K;4;5) zu Folie 0

12 ... typisches Bild in der Kompetenz-Matrix für eine Sammlung von Übungsaufgaben. K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e berechnen drei vollständig gemischt quadratische Gleichungen mit Hilfe der abc-formel. (L) L e wenden eine Formel im Sinne operativen Übens an. (K4) zu Folie

13 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e berechnen eine vollständig gemischt quadr. Gl. mit der abc-formel und der pq-formel. (L) L e markieren die Orte, wo sich entscheidet, dass eine quadr. Gleichung nur eine Lösung haben kann. (L) L e erschließen und verorten den Begriff Diskriminante. (L) L e wenden verschiedene Lösungsverfahren an. (K4) L e entnehmen mathematische Erkenntnisse aus Quellen. () L e leiten mathematische Aussagen ab und formulieren sie in der Fachsprache. (K ; 5) L e dokumentieren mathematische Aussagen. (K ; 5) zu Folie 2

14 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e berechnen je eine vollständig gemischt quadr. Gl. mit der abc-formel und der pq-formel. (L) L e begründen, dass die Gleichung keine reelle Lösung haben kann. (L) L e markieren die Orte, wo sich entscheidet, dass eine quadr. Gleichung keine Lösung haben kann und lokalisieren die Diskriminante. (L) L e fassen die Aussagemöglichkeiten, die sich aus dem Wert der Diskriminante ergeben, in abstrahierender tabellarischer Form zusammen. (L) L e wenden verschiedene Lösungsverfahren an. (K4) L e leiten allg. mathematische Aussagen ab. (K; 5) L e veranschaulichen mathematische Aussagen. () zu Folie 3

15 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e erheben Daten zu François Viète. (L) L e vergleichen die Lösungen x,2 und die Parameter p, q. (L) L e überprüfen die Gültigkeit des Satzes des Vieta an sechs Beispielen und korrigieren das falsch eingetragene Ergebnis. (L) L e leiten den allgemeinen Beweis des Satzes des Vieta her. (L) L e erschließen Fakten und Daten aus Quellen. (K5) L e entwickeln Vermutungen und verifizieren/falsifizieren diese. (K; 5) L e entwickeln auf der Basis von Vermutungen fachsprachlich richtige Aussagen. (K ;5) L e können Beweise nachvollziehen und wiedergeben. (K ;4;5) L e können Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen und Beweise führen. (K ;4;5) zu Folie 4

16 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE Operatives Üben: L e überprüfen L mit Hilfe des Satzes des Vieta. (L) L e bestimmen p und q zu einer Gleichung aus L ={3;2} mit Hilfe des Satzes des Vieta. (L) L e bestimmen p und q zu einer Gleichung aus L ={2+ 3;2-3} mit Hilfe des Satzes des Vieta. (L) L e ersetzen Wurzelterme durch (Dezimalbrüche) und erörtern Vor- und Nachteile. (L) L e bestimmen p und x einer gem. quadr. Gl. mit Hilfe des Satzes des Vieta. (L) L e bestimmen eine Gleichung aus L ={3} (nur eine Lösung) mit Hilfe des Satzes des Vieta. (L) L e entnehmen und bewerten nformationen aus Texten. (K2; 5) L e wenden Routineverfahren an und führen Berechnungen aus. (K4) L e entwickeln Strategien (K 2) L e stellen Lösungswege schriftlich und strukturiert dar. () L e bewerten Lösungswege. (K 2) zu Folie 5

17 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE Das Zuordnen der Anforderungsbereiche zeigt eindeutig, dass bei Textaufgaben die prozessbezogenen Kompetenzen beim Lösungsprozess in der Regel gewichtiger für das Gelingen als die inhaltsbezogenen Kompetenzen sind. L e berechnen die gefragten Größen. (L) L e überprüfen die Ergebnisse durch zeichnerische Lösung der Aufgabe.(L; 4) L e. vergleichen die Nullstellen der quadratischen Funktion mit den Lösungen der quadratischen Gleichung. (L; 4) L e entnehmen dem Text die wesentlichen nformationen und strukturieren sie. (K 2,3) L e entwickeln, beschreiben verschiedene Lösungswege durch Zerlegung in Teilprobleme. (K 2;3;4) L e stellen Lösungen schriftlich und strukturiert dar. (K 2; 5) L e bewerten verschiedene Lösungswege. (K 2;3; 5) L e überprüfen kritisch, ob und wie die Lösung des gestellten Problems erreicht wurde. (K 2;3; 5) L e nutzen Zusammenhänge zwischen nhalten verschiedener Leitideen. (K 2;3; 5) zu Folie 6

18 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e analysieren den Graphen einer unbekannten quadratischen Funktion. (L4) L e leiten aus den Nullstellen das Lösungspaar L ={2;-5} der zugehörigen Bestimmungsgleichung her. (L; L e berechnen durch Anwenden des Satzes des Vieta die Parameter p und q der Bestimmungs- bzw. der Funktionsgleichung. (L; 4) L e. bilden das Produkt der Linearfaktoren und berechnen es auch an 2 weiteren Beispielen. (L; 4) L e. können allgemein beweisen, dass (x - x )(x - x 2 ) = x 2 + px + q. (L; 4) L e wechseln zwischen verschiedenen Formen der mathematischen Darstellung von Bestimmungsbzw. Funktionsgleichungen. (;4;) L e vollziehen Beweise nach und geben sie wieder.(k) L e beziehen nhalte auf die verschiedenen Leitideen (z.b. Diskriminante) und Funktionaler Zusammenhang (z.b. Nullstelle). (K4) zu Folie 7

19 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN L e arbeiten zum Lösen und im Sinne einer Vernetzung des Wissens Zusammenhänge zwischen nhalten verschiedener Leitideen heraus. (K 2) NHALTE L e è die Lernenden L e vergleichen eine Bestimmungsgleichung mit der entsprechenden Funktionsgleichung. (L; 4) L e wandeln die allgemeine Form einer quadr. Bestimmungsgleichung in einen Gleichungsterm mit dem Produkt der Linearfaktoren. (L; 4) L e. wandeln die allgemeine Form einer quadr. Funktionsgleichung in einen Gleichungsterm mit dem Produkt der Linearfaktoren. (L ; 4) L e. erläutern dazu den vorgeschlagenen Dreischritt. (L ; 4) L e. zeichnen ein Schaubild der Funktion und überprüfen die Linearform. ; 4) L e wenden Routineverfahren an. (K 4) L e können Lösungswege strukturiert festhalten. () L e überprüfen kritisch, inwieweit die Problemlösung erreicht wurde. (K 2) zu Folie 8

20 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e. erschließen aus den Graphen alle ablesbaren Daten zum Entwickeln der Funktionsgleichungen () L e entwickeln zu jedem Schaubild die Linearform der Funktionsgleichung. (L, 4) L e. entwickeln zu jedem Schaubild die Scheitelform der Funktionsgleichung. (L, 4) L e. entwickeln zu jedem Schaubild die allg. Form der Funktionsgleichung. (L, 4). L e. erklären, dass die Funktionsgleichungen von Parabeln immer quadratische Gleichungen sind. (L, 4). L e ermitteln die wichtigen nformationen für die allg Gleichungen aus den Schaubildern. (K 2;5) L e verwenden bekannte formale Rechenstrategien zur Entwicklung der Lösungswege.(K 2;4:5) L e nutzen zum Lösen und im Sinne einer Vernetzung des Wissens Zusammenhänge zwischen nhalten verschiedener Leitideen. (K 2;4) L e. überprüfen die Ergebnisse der gewählten Verfahren kritisch. (K 2;4) L e. dokumentieren die Lösungswege schriftlich. (K 2;4;5) zu Folie 9

21 Anforderungsbereiche L K K 2 K 3 K 4 K 5 LETLDEEN NHALTE L e. notieren alle Gedanken und Einfälle, die durch das mpuls -Schaubild ausgelöst werden. (L, 4) L e. bewerten die Liste, erschließen Oberbegriffe, denen sie die Unterthemen zuordnen. (L, 4) L e. werten die Graphen aus und entnehmen alle nformationen aus dem Schaubild. (L, 4) L e. leiten die 3 Funktionsgleichungen her. (L, 4) L e. wenden die 2. binom. Formel an und leiten die allg. Form der Funktionsgleichungen ab. (L, 4) L e. skizzieren Überlegungen. (K5) L e. analysieren Graphen, entnehmen nformationen, interpretieren und bewerten sie. (K2; 4; 5) L e. zerlegen das Probl. in Teilprobleme, ordnen. (K2) L e. wählen angemessene Darstellungen zum Strukturieren und Lösen des Problems aus. (K2; 4; 5) L e. bearbeiten die Teilprobleme teilweise auf algebraischer Ebene. (K2; 4) L e. wenden Routineverfahren an. (K4) L e. überprüfen durch stetiges Vergleichen mit dem Graphen die erreichten Lösungen. (K2; 4) zu Folie 20-22

22 Anforderungsbereiche L K K 2 K 3 K 4 K 5 LETLDEEN NHALTE L e. notieren alle Gedanken und Einfälle, die durch das mpuls -Schaubild ausgelöst werden. (L, 4) L e. bewerten die Liste, erschließen Oberbegriffe, denen sie die Unterthemen zuordnen. (L, 4) L e. werten die Graphen aus und entnehmen alle nformationen aus dem Schaubild. (L, 4) L e. leiten die 3 Funktionsgleichungen her. (L, 4) L e. wenden die 2. binom. Formel an und leiten die allg. Form der Funktionsgleichungen ab. (L, 4) L e. skizzieren Überlegungen. (K5) L e. analysieren Graphen, entnehmen nformationen, interpretieren und bewerten sie. (K2; 4; 5) L e. zerlegen das Probl. in Teilprobleme, ordnen. (K2) L e. wählen angemessene Darstellungen zum Strukturieren und Lösen des Problems aus. (K2; 4; 5) L e. bearbeiten die Teilprobleme teilweise auf algebraischer Ebene. (K2; 4) L e. wenden Routineverfahren an. (K4) L e. überprüfen durch stetiges Vergleichen mit dem Graphen die erreichten Lösungen. (K2; 4) zu Folie 20-22

23 K K 2 K 3 K 4 L LETLDEEN NHALTE L e. berechnen drei Bestimmungsgleichungen mit der abc-formel. (L, 4) L e. erläutern eine Erklärung für den Begriff Diskriminante. (L, 4) L e. beurteilen, wie groß der Wert der Diskriminanten ist und viele Lösungen die Diskriminante deshalb bei den drei Gleichungen zulässt. (L, 4) L e. verallgemeinern die Kriterien, die über die Lösungsmenge bei quadratischen Gleichungen durch die Diskriminante entscheiden. (L, 4) L e. stellen den Lösungsweg und die Ergebnisse der Berechnungen strukturiert schriftlich dar. (K5) L e. verallgemeinern mit richtigen Fachbegriffen die konkreten Aussagen zu der Diskriminanten. (K;5) L e. führen Berechnungen aus und setzen dabei routiniert die abc-formel ein. (K4) L e. stützen eine allgemeine Aussage auf ein konkretes Rechenergebnis und überprüfen sie an Hand der graphischen Darstellung. (K; 4) zu Folie 23