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1 Fachhochschule Nordwestschweiz FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mathematik und Naturwissenschaften IMN) Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen Dozent: - Brückenkurs Mathematik 07. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen: Modul: Mathematik Datum: 07 a) 3x + 4 < 5 x) + 8x 3x + 4 < 5 x) + 8x 3x + 4 < 0 5x + 8x 3x + 4 < 3x < 0 b) L = IR x 4 3x + 9 x 4 3x + 9 x 4 3x x + 9 x x ) x + 3) 0 x + 3 x ) x + 3) 0 x 3 x 3 x x 3 x 3 x nd - nd + ] ) x L =, 3] 3, )

2 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 c) 3 x < 3 x < 0 < + x 3 0 < x x 3 x x 3 x x nd + ) x L =, ) 3, ) d) x 3) x + 4) > 0 x 3) x + 4) > 0 x 3) x + ) > 0 x 3) x + ) > 0 Seite / 4

3 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 x x 3 x x ) x L =, ) 3, ) e) x 3 0 x 3 0 x ) 3 x + ) 3 0 x 3 x 3 x 3 x 3 L = ] [, ] [ ) 3 3, x f) 3 4x 4x 0 Seite 3 / 4

4 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen x 4x x + x 3 ) x + x + ) x + ) x + ) x + ) + x ) x + 3 ) ) ) 3 4 x 3 x x 3 x [ ] L = [ 3, ] x g) x 3 + x < x 3 + x < x 3 + x < 0 x + x 3) x 3) x ) x 3) x ) < 0 x + 7x 0 x 3) x ) < 0 x 7x + 0 x 3) x ) > 0 x ) x 5) x ) x 3) > 0 Seite 4 / 4

5 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 x x x 3 - x x x x 5 x x 3 + nd nd ) ) h) L =, ), 3) 5, ) x 6x + 0 > 0 x 6x + 0 > 0 x 6x > 0 x 3) + > 0 L = IR. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Betragsungleichungen: a) x + 3 Variante Fallunterscheidung) x + 3 0: D I = [ 3, ) x + 3 x + 3 x x + 3 < 0: L I = D I, ] = [ 3, ] D II =, 3) Seite 5 / 4

6 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 x + 3 x + 3) x 3 5 x L II = D II [ 5, ) = [ 5, 3) L = L I L II = [ 5, ] Variante Abstansmessung) x + 3 x 3) Der Abstand von der Zahl 3 muss kleiner gleich sein: 5 3 [ ] x b) L = [ 5, ] 3 x < x + 3 x < x + x 3 < x ) c) Der Abstand von der Zahl 3 muss kleiner sein als der Abstand von der Zahl : ) L =, 3 x 0: 3 x + x D I =, 3 ] Seite 6 / 4

7 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 3 x + x 3 x + x 4 3x 4 3 x 3 x < 0: L I = D I D II = [ ) [ 4 4 3, = 3, 3 ] ) 3, 3 x + x 3 x) + x + x x x d) Fall I: L II = D II, ] = L = L I L II = x x 4 > 3 ] 3, [ ] 4 3, x 0 x 4 0 D I = [4, ) x x 4 > 3 x ) x 4) > 3 x 6x + 8 > 3 x 6x + 5 > 0 x ) x 5) > 0 Fall II: L I = D I, ) 5, )) = 5, ) x 0 x 4 < 0 D II = [, 4) Seite 7 / 4

8 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 x x 4 > 3 x ) x 4) > 3 x + 6x 8 > 3 x 6x + < 0 x 3) + < 0 Fall III: L II = D II {} = {} x < 0 x 4 < 0 D III =, ) x x 4 > 3 x ) x 4) > 3 x 6x + 8 > 3 x 6x + 5 > 0 x ) x 5) > 0 e) Mit Fallunterscheidung: L III = D III, ) 5, )) =, ) L = L I L II L III =, ) 5, ) Fall I: 3x 6 > 0 D I =, ) x + 4 3x 6 x + 4 3x 6 x + 4 3x 6 x + 4 3x 6 0 x 0 6 x + ) x ) 0 x 0 x + ) x ) 0 L I = D I, ] [, 0)) =, 0] Seite 8 / 4

9 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 Fall II: 3x 6 < 0 und x + 4 > 0 D II =, ) x + 4 3x 6 x + 4 3x 6 x x 6 0 5x 6 x + ) x ) 0 x 5 5 x + ) x ) 0 L II = D II, ] Fall III: x + 4 < 0 D III =, ) x + 4 [ )) [ ) 5, = 5, 3x 6 x + 4 3x 6 x x 6 0 x 0 6 x + ) x ) 0 x 0 x + ) x ) 0 L III = D III, ) [0, )) = {} L = L I L II L III = [ ) 5,, 0] 3. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen: a) x 0 x 4 x 3 = 0 x 0 x 4 x 3 = 0 x ) x 3) 0x x 3) 4x x ) x x ) x 3) = 0 7x 67x + 6 x x ) x 3) = 0 7x 67x + 6 = 0 Seite 9 / 4

10 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 Quadratische Gleichung: x, = 67) ± 67) 4 7) 6) 7) L = { } 8 7, 7 = 67 ± 3 4 = { b) x + 5 x + 4 = x + 5 x + 4 = x + 5 = + x + 4 x + 5 = x + 7 = x x x + 4 x + 4x + 49 = 6x + 64 x x 5 = 0 x 5) x + 3) = 0 L = { 3, 5} c) x + 3x + 4 = 3 x + 3x + 4 = 3 x + 3x + 4 = 9 x + = 9 + 3x + 4 x + x + = x x + 4 x x 84 = 8 3x + 4 x 4 x 3 67x + 68x = 97x + 96 x 4 x 3 67x 804x = 0 x 4)x 5)x + 7x + 96) = 0 x = 4 / L x = 5 L L = {5} d) x 5 = 5 7 Seite 0 / 4

11 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 e) f) x 5 = 5 7 ) x) = 5 5 ) ln x 5 7 ) ) 5 = ln 7 x = ln ) 5 ln ) 5 7 )} { ln 5 L = ln ) 5 7 x 3 x+ = x+ 3 x+3 x 3 x+ = x+ 3 x+3 3 x+3 3 x+ = x+ x 3 x ) = x 0) 83 x = x ) x 8 = 3 ) ln 8) = x ln 3 x = ln 8) ln ) 3 { } L = ln 8) ln ) 3 e x 3e x = e x 3e x = e x 3 = e x e x e x 3 = 0 Substitution: u = e x : u u 3 = 0 Seite / 4

12 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 Quadratische Gleichung: x, = ) ± ) 4 ) 3) ) = ± 5 4 = { 3 Rücksubstitution: u = 3 = ex x = ln u = = e x x / R ) 3 g) L = { )} 3 ln cos x + π ) = cos x + π ) = x + π { π = + kπ 3 9 π π + kπ 3 { 4π x = + kπ 9 6π + kπ 9 { π x = + kπ 9 8π + kπ 9 L = { π 9 + kπ, 8π } 9 + kπ h) 3 cos x) + sin x) = 0 3 cos x) + sin x) = 0 sin x + π ) = 3 sin x + π ) = 3 x + π { π = + kπ 6 3 π π + kπ 6 { π x = + kπ 6 π + kπ L = { π 6 + kπ, π } + kπ Seite / 4

13 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 i) x ) cos = + cot x) x ) cos = + cot x) ) cos x) + cos x)) = + sin x) + cos x) = sin x) + cos x) sin x) sin x) + sin x) cos x) = sin x) + cos x) sin x) cos x) cos x) = 0 cos x) sin x) ) = 0 Erster Faktor Null: { π } cos x) = 0 L = + kπ Zweiter Faktor Null: { π } sin x) = 0 L = + kπ { π } L = L L = + kπ j) 3 cos x) = sin x) 3 cos x) = sin x) 3 cos x) = sin x) cos x)) 3 cos x) = 4 sin x) cos x) 3 cos x) 4 sin x) cos x) = 0 cos x) 3 4 sin x) ) = 0 Erster Faktor Null: { π } cos x) = 0 L = + kπ Seite 3 / 4

14 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 Zweiter Faktor Null: 3 4 sin x) = 0 sin x) = sin x) = ± { x = x = ± π 3 + kπ ± π π 3 ) + kπ π + kπ 3 π + kπ 3 π + kπ 3 π 3 + kπ { π L = 3 + kπ, π 3 + kπ, π } 3 + kπ, π 3 + kπ { π L = L L = + kπ, π 3 + kπ, π 3 + kπ, π } 3 + kπ, π 3 + kπ 4. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme: a) Mit der Einsetzmethode: 3x + y = 8 6x 3y = 30 3x + y = 8 y = 3 x + 4 6x 3y = 30 6x 3 3 ) x + 4 = 30 x = 30 x = 4 x = 4 y = = L = { x, y) IR :, ) } Seite 4 / 4

15 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 b) Mit der Cramer schen Regel: D = a b a+b a+b a b = a b D x = D y = a+b a b a b a+b x + y a b x + y a+b = a+b = a b ) ) = a + b = a b a + b = = a b a + b = b a + b) a b) a + b) = 4ab a b) a + b) b a b) a + b) b a b) a + b) x = D x D = b a b)a+b) = 4ab a b) a+b) y = D y D = x = a b a a b) a + b) a = a b a c) Substitution: u = x, v = y { )} a b L =, a b a a = 3 x y 7 = x y 6 4u + 5v = 3 7u v = 6 Lösung mittels Additionsmethode: Gl. ) + 5Gl. ) 4u + 5 7u) = ) u = 3 6 u = 3 34 Seite 5 / 4

16 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 Noch v bestimmen: d) Rücksubstitution: 4u ) + 5v = v = v = 3 L = 5v = v = v = 6 7 x = u = 34 3 y = v = 7 6 { 34 3, 7 )} 6 8x = 0y 0 4x 5y = 30 8x = 0y 0 4x 5y = 30 8x 0y = 0 4x 5y = 30 9x 5y = 0 8x 5y = 0 Mit Gauss-Algorithmus: 9x 5y = 0 8x 5y = 0 }{{} II 8I 9II 9x 5y = 0 5y = 0 L = {0, )} }{{} I I+II 9x = 0 5y = 0 }{{} x = 0 y = I 9 I,II 5 II 5. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösungen folgender Textgleichungen: a) Vermindert man eine Zahl um die Hälfte und dieses Ergebnis um einen Drittel, so erhält man 5. Wie lautet die Zahl? Zahlenrätsel) Gesuchte Zahl sei x. x x ) x x ) = 5 3 Seite 6 / 4

17 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 x x ) x x ) 3 = 5 Die gesuchte Zahl lautet 5. x x x 3 + x 6 = 5 6x 3x x + x = 30 x = 30 x = 5 b) Der Wert der Zehnerstelle einer zweistelligen Zahl ist um 3 kleiner als jener der Einerstelle. Werden die Ziffern vertauscht, so ist die entstehende Zahl um grösser als das Doppelte der ursprünglichen Zahl. Wie lautet die ursprüngliche Zahl? Ziffernproblem) Z, E Zehner- und Einerziffer der gesuchten Zahl x = 0Z + E Die gesuchte Zahl lautet 5. 0E + Z = 0Z + E) 0E + E 3) = 0 E 3) + E) 0E + E 3) = 0 E 3) + E) E 5 = E = E E = 5 Z = E 3 = 5 3 = c) Die Quersumme einer zweiziffrigen Zahl beträgt. Stellt man die Ziffern um, so ist die neue Zahl 7 mal kleiner als die ursprüngliche Zahl. Wie gross sind 4 die beiden Zahlen? Ziffernproblem) Z, E Zehner- und Einerziffer der gesuchten Zahl x = 0Z + E 7 0E + Z) = 0Z + E 4 7 0E + E)) = 0 E) + E 4 7 0E + E)) 4 = 0 E) + E 7 9E + ) = 4 0 9E) 63E + 84 = E 99E = 396 E = 4 Seite 7 / 4

18 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 Die gesuchte Zahl lautet 84. Z = E = 4 = 8 d) 3 Pumpen sollen einen Wasserbehälter von 00m 3 Inhalt auspumpen. Die erste und zweite schaffen es in 0 Stunden, die erste und dritte in 60 Stunden, 7 die zweite und dritte in 5 Stunden. i. Wie viele m 3 leistet jede Pumpe in einer Stunde? Leistungsproblem) P, P, P 3 Leistungen der drei Pumpen 0 P + P ) = P + P 3 ) = 00 5 P + P 3 ) = 00 Dritte Gleichung nach P 3 auflösen: P 3 = P ) = 60 P Resultat in den anderen beiden Gleichungen einsetzen: 0 P + P ) = P + 60 P )) = 00 Zweite Gleichung nach P auflösen: P = P ) = 0 + P Resultat in erster Gleichung einsetzen: Nach P auflösen: Restliche Werte bestimmen: 0 P P )) = 00 P = ) = P = 0 + P = = 65 P 3 = 60 P = = 95 Die Pumpen leisten 45, 65 und 95 m 3 Inhalt pro Stunde. ii. Wann ist der Behälter leer, wenn alle drei Pumpen zusammen arbeiten? Leistungsproblem) Seite 8 / 4

19 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 t z Zeit, welche die drei Pumpen zusammen für das Leeren des Behälters beötigen. t z P + P + P 3 ) = 00 t z P + P + P 3 ) = 00 05t z = 00 t z = = 40 4 Zusammen benötigen die Pumpen 40 Stunden um den Behälter zu 4 leeren. e) Eine dreistellige Zahl hat die Einerziffer 9. Nimmt man diese Ziffer rechts weg und setzt sie links an, so ist die neue Zahl um 33 kleiner als das Vierfache der ursprünglichen Zahl. Wie lautet die ursprüngliche Zahl? Ziffernproblem) Gesuchte Zahl z = 0x + 9, wobei x eine zweistellige Zahl gebildet aus der Zehner-und der Hunderterziffer ist. Neue Zahl: x x + 33 = 4 0x + 9) Die gesuchte Zahl lautet x + 33 = 4 0x + 9) x = 40x x = 897 x = 3 f) Wieviel kg einer %-igen Salzlösung sind zu 6kg einer 5%-igen Salzlösung hinzuzufügen, um eine 9%-ige Salzlösung zu erhalten? Mischproblem) x ist die Menge %-iger Salzlösung. 0. x) ) = 0.9 x + 6) 0.x = 0.9x x = 0.4 x = 8 Für die Mischung benötigt man 8kg %-ige Salzlösung. g) Um eine wichtige Durchgangsstrasse nach einem Erdrutsch wieder freizumachen, werden drei Bagger eingesetzt. Das erste Fahrzeug würde das Geröll in 7 Tagen, das zweite in 36 Tagen und das dritte in 54 Tagen wegschaffen. Seite 9 / 4

20 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 i. Wie lange brauchen alle drei Bagger zusammen für diese Arbeit? Leistungsproblem) t z Zeit die die Bagger zusammen benötigen. t z P z = t z P + P + P 3 = t z ) = 54 t z ) = 54 4 t z ) = 08 ) 9 t z = 08 t z = t z = Zusammen können die drei Bagger das Geröll in Tagen beseitigen. ii. Wie lange dauern die Aufräumarbeiten, wenn der zweite Bagger erst am zweiten Tag und der dritte Bagger erst am vierten Tag eingesetzt werden? Leistungsproblem) t neu Zeit der drei Bagger unter den neuen Voraussetzungen. t neu P + t neu ) P + t neu 3) P 3 = t neu 7 + t neu ) 36 + t neu 3) 54 = t neu ) = t neu = = = 3 t neu = 3 Unter den gegebenen Bedingungen benötigen sie zusammen neu 3 Tage. h) Ein LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von 40 km um 9Uhr vom Ort A nach h dem 75km entfernten Ort B ab. Eine halbe Stunde später fährt ein PKW mit einer Geschwindigkeit von 70 km von B in Richtung A. Um wieviel Uhr und in h welcher Entfernung von A begegnet der PKW dem LKW? Geschwindigkeitsproblem) Seite 0 / 4

21 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 t sei die Zeit bis zum Treffen ab 9:30Uhr und x die Distanz von A bis zum Treffpunkt. 40 km h + 70km h ) t = 75km 40 km h 0.5h 40 km h + 70km h ) t = 75km 40 km h 0.5h 0 km h t = 55km t = 55km 0 km h = h = 0.5h Sie treffen sich um 0Uhr x = 0.5h + t) 40 km = 40km von A entfernt. h i) Zu einem bestimmten Zeitpunkt stehen Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr am gleichen Ort. wie lange dauert es, bis sich die beiden Zeiger wieder treffen? Geschwindigkeitsproblem) t gesuchte Zeit Es sei v std = und v min = die Geschwindigkeiten der Zeiger Umdrehungen pro Stunde). Wir denken uns zum Startzeitpunkt beide Zeiger bei und halten den Stundenzeiger fest und lassen den Minutenzeiger mit der relativen Geschwindigkeit v rel = v min v std laufen. Dann treffen sich die Zeiger wieder, wenn der Minutenzeiger eine Umdrehung gemacht hat: tv rel = tv rel = t v min v std ) = t = = v min v std = = Die beiden Zeiger treffen sich also immer) nach h wieder. j) Auf einer Rundstrecke sind zwei Jogger unterwegs. Der langsamere Jogger ist mit 7 km unterwegs. Bestimme die Geschwindigkeit des schnelleren Joggers, wenn zwischen zwei Treffen 30 entgegengesetzte Richtungen) Minuten h bzw.00 gleiche Richtung) Minuten liegen. Geschwindigkeitsproblem) v s sei die gesuchte Geschwindigkeit des schnelleren Läufers. Weiter sei s die Länge des Rundkurses v s + 7) = s v s 7) = s Seite / 4

22 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen v s + 7) = s = v s 7) v s + 7) = 5 3 v s 7) 3 v s + 7) = 0 v s 7) 3v s + = 0v s 70 9 = 7v s 3 = v s Der schnellere Jogger ist mit 3 km unterwegs. h k) Ein Schiff fährt stromabwärts und erreicht sein Ziel in der Zeit t. Fährt es mit der gleichen Maschinenleistung stromaufwärts, so benötigt es für dieselbe Strecke die Zeit t. Bei ruhendem Wasser ist die Schiffsgeschwindigkeit v. Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit w. Geschwindigkeitsproblem) Gesucht ist die Strömungsgeschwindigkeit w. t v + w) = t v w) t v + t w = t v t w t w + t w = t v t v w t + t ) = v t t ) w = v t t t + t Die gesuchte Strömungsgeschwindigkeit lässt sich mit der folgenden Formel bestimmen: w = v t t t + t l) Ein Zug fährt wegen eines Defekts mit 5min Verspätung weg. Mit einer um 0 km erhöhten Geschwindigkeit kann er aber das 80km entfernte Ziel doch h noch rechtzeitig erreichen. Wie gross ist die normale Zuggeschwindigkeit? Geschwindigkeitsproblem) v n sei die gesuchte normale Zugsgeschwindigkeit. t n sei die normale Fahrtzeit. t n v n = 80 t n ) v n + 0) = 80 4 Seite / 4

23 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 t n ) v n + 0) = ) v n + 0) = 80 v n v n v n 4 5 = 80 70v n vn 0v n = 70v n vn + 0v n 700 = 0 v n, = b ± b 4ac 0 ± 70 = a v n = = 80 Die normale Zuggeschwindigkeit ist 80 km h. m) Zwei Radfahrer fahren auf einer Rennbahn mit konstanten Geschwindigkeiten. A braucht für eine Runde 7s weniger als B und Überrundet daher B alle 40s. Wie viele Sekunden benötigt A für eine Runde? Geschwindigkeitsproblem) t A ist die gesuchte Rundenzeit von Fahrer A. 40 v A v B = s s 40 s ) = s t A t A ) = t A t A ) t A t A + 7 = 40 t A + 7) t A ) = t A t A + 7) 980 = t A + 7t A 0 = t A + 7t A 980 t A, = b ± b 4ac 7 ± 63 = a t A = = 8 Rennfahrer A benötigt für eine Runde 8s. n) Ein 60m langer Schnellzug fährt mit 7 km an einem stehenden Personenzug h vorüber. Die Begegnung dauert 9s. Wie lange ist der Personenzug? Geschwindigkeitsproblem) Seite 3 / 4

24 Mathematik Lösung Arbeitsblatt Gleichungen / Ungleichungen 07 L sei die gesuchte Länge des Personenzuges. 9s 0 m s = 60m + L L = 9s 0 m s 60m = 0m Der Personenzug ist 0m lang. o) Um die Tiefe eines Brunnens zu bestimmen, lässt man einen Stein frei herunterfallen s = gt ) und hört ihn nach 6 Sekunden im Wasser aufschlagen. Wie tief ist der Brunnen? Der Schall bewegt sich in der Luft mit der konstanten Geschwindigkeit von 333 m s ). Geschwindigkeitsproblem) h sei die gesuchte Brunnentiefe. h 9.8 m + h 333 m s s = 6s t F all + t Schall = 6s h g + h v Schall = 6s h 9.8 m + h 333 m s s h 9.8 m = 6s h 333 m s s h = 6s h ) 9.8 m s 333 m s h 9.8 m s = 36s s h 333 m s 0 = ) 333 m h + s + = 6s h 333 m s 333 ) s m s 9.8 m 0 = s m h s m h + 36s h, = b ± b 4ac = a h = Der Brunnen ist 50.96m tief ± m m = 50.96m ) h + 36s Seite 4 / 4