Übungsaufgaben. Nichtlineare Gleichungen und Ungleichungen. Dr. Karl, Hubert. Copyright : Hubert Karl

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1 Übungsaufgaben zu Nichtlineare Gleichungen und Ungleichungen Dr. Karl, Hubert Copyright : Hubert Karl Alle Rechte vorbehalten. Diese Publikation darf ohne die ausdrückliche schriftliche Genehmigung des Autors weder ganz noch auszugsweise reproduziert werden.

2 Übungsaufgaben zu nl. Gln. und Ungln. 1.1 Nichtlineare Gleichungen Quadratische Gleichungen a) Die Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 0,53 m lang. Wie groß sind die Katheten wenn deren Gesamtlänge 0,686 m beträgt? (0,494m und 0,19m) b) Der Inhalt eines Dreiecks das einen rechten Winkel enthält beträgt 4 cm. Die beiden Katheten unterscheiden sich um cm. Wie lang sind sie? (a = 6 cm, b = 8 cm) c) Zwei elektrische Widerstände die sich um 00 Ω unterscheiden haben in der Parallelschaltung einen Wert von 4Ω. Wie groß sind diese Widerstände? (6,6Ω ; 6,8Ω) d) Bei der Brinellhärteprüfung verwendet man eine Stahlkugel von 10 mm Durchmesser und erhält nach der Prüfung, bei der die Stahlkugel auf die Oberfläche des zu prüfenden Werkstücks gedrückt wird, eine Kugeleindruck, dessen Durchmesser (auf der Oberfläche des Werkstücks gemessen) 5 mm ist. Wie tief ist die Kugel in das Werkstück eingedrungen? (0,67mm) e) Um die Meerestiefe zu messen wird das Echolot benutzt. Der Schallerreger befindet sich in A (vgl. Bild) und der Schallempfänger befindet sich in B. Die Schiffsbreite beträgt 16 m. Der Schall pflanzt sich im Wasser mit v = 1510 m/sec fort. Das Schiff ruht während der Zeitmessung. Wie groß ist die Wassertiefe bei einem Zeitunterschied von 0,1 sec?

3 Lösung: Die Wassertiefe betrage x Meter. Der Schall legt bis zum Meeresgrund den ,1 Weg s = m zurück. Nach dem Satz des Pythagoras erhält man : ,1 x = 8 x = 5636,5 x = ± 5636,5 = ± 75, 1m Die Wassertiefe beträgt also 75,1 m. Der negative Wert hat keine praktische Bedeutung f) Um die Tiefe eines Brunnens zu messen lässt man einen Stein frei hineinfallen. Man misst die Zeit vom Beginn des Falles bis zu dem Zeitpunkt an dem man das Aufschlagen des Steines auf dem Wasser des Brunnens hört. Diese Zeit soll 4 Sekunden betragen. Man nimmt als Schallgeschwindigkeit v = 333 m/sec und als Erdbeschleunigung g = 9,81 m/sec an. Wie tief liegt der Wasserspiegel unter dem Rand des Brunnens? Lösung: Der Stein falle x Sekunden bis zum Auftreffen auf dem Wasser. Er hat dann x s = g zurückgelegt. Der Schall hat (4-x) Sekunden für den Rückweg ( 4 x) v gebraucht und in dieser Zeit gleich sind erhält man die quadratische Gleichung: Meter zurückgelegt. Da die beiden Wege Man kommt sodann (nachrechnen!) auf eine Brunnentiefe von ca. 70 Meter. Vorname Nachname 3

4 Übungsaufgaben zu nl. Gln. und Ungln. g) Eine Hohlkugel aus Stahl hat die Masse von 7900 g. Ihre Wanddicke betrage w = 6 cm (vgl. Abb.) Wie groß sind der innere Radius r und der äußere Radius R, wenn die Dichte ρ=7,8 g/cm 3 beträgt? (r = 8 cm; R = 14 cm) h) Löse x 4 9x = Verallgemeinerte Betrachtungen 3 a) Von der Gleichung 8x 0x x + 5 = 0 gehe man über zur Funktion 3 y = f ( x) = 8x 0x x + 5 Von dieser Funktion berechne man die Funktionswerte für x = -, x = -1, x = 0, x = 1,x = und x=3. Anschließend skizziere man den Funktionsgraphen und versuche näherungsweise eine reelle Nullstelle zu bestimmen. Hier könnte man die Regula falsi anwenden. (Überzeugen Sie sich davon, dass x 01 = 0,5 eine solche Nullstelle ist). Durch Polynomdivision (Euklidscher Algorithmus) faktorisiere man f(x) und berechne schließlich alle reellen Nullstellen von f(x). f(x) ist schließlich durch Linearfaktoren darzustellen. b) Jetzt ist die Gleichung x 3 + 3x x 1 = 0 vorgelegt. Bearbeiten Sie wie in Punkt a) Der Satz von VIETA (Der Wurzelsatz v. VIETA) 5 3 a) Es ist das Polynom x 15x + 10x + 60x 7 daraufhin zu untersuchen, wie viele Nullstellen es bei x 0 = hat. Das Polynom ist anschließend in Produktdarstellung anzugeben. 4 3 b) Es wird behauptet: Das Polynom P ( x) = 30x 9x 443x 738x hat mindestens ein positive Nullstelle. Kann man diese Behauptung rechtfertigen? (Sol- 4

5 che Betrachtungen werden einmal im Zusammenhang mit der Stabilität von Regelkreisen interessant.) Exponentialgleichungen α t a) Mit der Formel M = M 0e beschreibt man den kontinuierlichen Wachstumsprozess. M 0 = Ausgangsbestand, α-wachstumsfaktor (Dimension 1/Jahr), α < 0 bedeutet einen Zerfallsprozess. Ein Wald habe einen Ausgangsbestand vom M 0 = 4 Millionen Festmetern. Die jährliche Wachstumsrate sei 3%. Berechne hierzu den Wachstumsfaktor. Nach welcher Zeit ist der Bestand auf 6 Millionen Festmeter angewachsen? (α=0,0956; 13 Jahre < t < 14 Jahre). b) Für die Lösung von u = x 1 x ein 7,13 14,5 x 1 x = 3,16 39,41 und zeige, dass x = 0,54778 die gesuchte Lösung ist. führe man die Hilfsvariable Logarithmische Gleichungen a) Löse lg(16 x ) lg(8x ) = lg(4 x ) lg( x ) lg(8) (x 01 = -1; x 0 = 1) b) Löse (x 0 = 1,4678) 4 lg ( x) 3 = 0 Vorname Nachname 5

6 Übungsaufgaben zu nl. Gln. und Ungln.. Ungleichungen Sie brauchen die nachfolgenden Ungleichungen nicht zu lösen. Entscheidend ist, dass Sie zu den Aufgabenstellungen die zugehörigen Ungleichungen formulieren können!.1 Lineare Ungleichungen a) b) Ein Beispiel aus der Papierproduktion (vgl. nächste Seite) 6

7 Vorname Nachname 7 1-1

8 Übungsaufgaben zu nl. Gln. und Ungln. 8

9 Vorname Nachname 9 1-1

10 Übungsaufgaben zu nl. Gln. und Ungln.. Quadratische Ungleichungen Nachtrag (Lösen mit Regula falsi): Die Geschwindigkeit einer (an einem Fallschirm) fallenden Last berechnet sich nach c t g m v( t) = 1 e m c Wobei g = 9,81 [m/sec/sec] Erdbeschleunigung c = 14 [kg/sec] - Reibungskoeffizient Bei welcher Masse m [kg] hat die fallende Last nach t = 7 [sec] eine Geschwindigkeit von v = 35 [m/sec]? (m = 63,5379 [kg]) 10