Name: Matrikel-Nr.: Klausur

Transkript

1 Name: Matrikel-Nr.: Klausur Prüfungsfach Mathematik 2 Prüfer Etschberger Prüfungsdatum Probeklausur Prüfungsort Weingarten Studiengang Bachelor Technik-Management Bearbeitungszeit: 120 Minuten (Achtung: Echte Klausur nur 60 Minuten) Punkte: 50 Die Klausur umfasst Zugelassene Hilfsmittel 5 Aufgaben auf 9 Seiten Schreibzeug, nicht-programmierbarer Taschenrechner, ein mit dem Namen versehenes Din-A4 Blatt mit handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke) Ein beliebiges Statistik-Buch (Eintragungen in diesem Buch sind nicht verboten) Weitere Regularien: Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 1 von 9) 1. Bitte überprüfen Sie vor Bearbeitungsbeginn die Vollständigkeit der Klausurangabe. 2. Tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf dem Deckblatt ein. 3. Die Heftung der Klausur darf nicht verändert werden. 4. Bitte tragen Sie die Lösung zu den jeweiligen Aufgaben nur direkt im Anschluss an die jeweilige Angabe ein. Sollte der Platz dort nicht ausreichen, verwenden Sie die Ersatzblätter, die am Ende der Klausurangabe angehängt sind. 5. Der benutzte Lösungsweg muss klar erkennbar sein. 6. Die Klausur ist in ordentlich lesbarer Form zu bearbeiten. Schwer lesbare Teile der Klausur werden als ungültig ersatzlos gestrichen. 7. Die Klausur unterliegt der zur Zeit gültigen Prüfungsordnung.

2 Aufgabe 1 Ohne vorherige Ausschreibung hat das Baden-Württembergische Staatsministerium für Bundesangelegenheiten (kurz: BW Außenministerium) die Unternehmensberatung Schlau & Berger mit der Durchführung einer statistischen Studie beauftragt. Im Rahmen dieser Studie wird auch eine lineare Regression durchgeführt. Nun ist von Schlau & Berger bekannt, dass sie vor Durchführung von Regressionsanalysen die zu Grunde liegenden Daten grundsätzlich so überarbeiten, dass stets Determinationskoeffizienten in Höhe von eins resultieren. Schlau & Berger vermuten nämlich, dass ihre Kunden derartige Ergebnisse besonders schätzen. Das von Schlau & Berger für die oben genannte Regression verwendete (überarbeitete) Datenmaterial, bestehend aus sieben Wertepaaren.x 1 ; y 1 /; : : : ;.x 7 ; y 7 /, gilt als streng vertraulich; das Außenministerium veröffentlicht deshalb hierzu nur folgenden unvollständigen Auszug: i x i y i Das Symbol? steht dabei jeweils für einen unveröffentlichten Wert. a) Ergänzen Sie die fehlenden Werte und zeichnen Sie das Streuungsdiagramm. b) Bestimmen Sie die Regressionsgerade und tragen Sie diese in Ihre Zeichnung aus a) ein. c) Welchen Wert besitzt der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient r? Rangkorrelationskoeffizient von Spearman r SP? normierte Kontingenzkoeffizient K, wenn die Daten nicht klassiert werden? Alle Antworten sind rechnerisch oder verbal zu begründen! Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 2 von 9)

3 Aufgabe 2 Ein Warenkorb umfasse zwei Güter, von denen sich eines (Gut 1) von Periode 0 zu Periode 1 im Preis halbiert, das andere (Gut 2) verdoppelt hat. Für die Teilaufgaben a) und b) sei t D 0 die Basisperiode und t D 1 die Berichtsperiode. a) Berechnen Sie soweit möglich den Laspeyres-Index und den Paasche-Index bzw. geben Sie für die nicht berechenbaren Indizes jeweils ein möglichst kleines Intervall an, in dem diese Indizes liegen. b) Nun gelte zusätzlich p 0.1/ D p 0.2/ D 1 und q 0.1/ D q 0.2/ D 1. Berechnen Sie falls möglich den Laspeyres-Index und den Paasche-Index. c) Die Preise und Mengen in den Perioden 2 und 3 sind durch folgende Tabelle gegeben: t 2 3 Gut 1 q t.1/ 1 1 p t.1/ 1 2 Gut 2 q t.2/ 3 4 p t.2/ 1 0,5 Berechnen Sie zur Berichtsperiode 3 und zur Basisperiode 2 den Laspeyres Index und den Paasche Index. Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 3 von 9)

4 Aufgabe 3 Eine Versicherungsgesellschaft verlangt als Prämie das 1,3-fache des Erwartungswertes ihrer Zahlungen an den Versicherungsnehmer. Es werden einjährige Lebensversicherungen des folgenden Typs betrachtet: Der Betrag von ist zu zahlen, wenn der Versicherungsnehmer innerhalb eines Jahres nach Abschluss des Vertrages stirbt. Im Erlebensfall ist keine Zahlung zu leisten. Die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit betrage 0,006. a) Wie hoch ist die Prämie für einen derartigen Vertrag? b) Welches ist der Drei-Sigma-Bereich des aus einem Vertrag resultierenden Gewinns G? Interpretieren Sie diese Zahl. Hinweis: Berechnen Sie zunächst EŒG, dann VarŒG c) Die Versicherungsgesellschaft schließt derartige Verträge ab. Bestimmen Sie den Drei- Sigma-Bereich des durchschnittlichen Gewinns pro Vertrag G D ŒG 1 C G 2 C C G ; der aus den Verträgen resultiert und interpretieren Sie diese Zahl. Hinweis: Setzen Sie die Unabhängigkeit der Einzelgewinne G i voraus Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 4 von 9)

5 Aufgabe 4 Für die Qualitätsbestimmung deutscher Weine ist das Mostgewicht, gemessen in Grad Oechsle, entscheidend. Bernd Kastel, ein ambitionierter Winzer, hat das Mostgewicht von 30 seiner Weine der Lage Würziger Ürzgarten ermittelt und in folgender Häufigkeitstabelle zusammengestellt: Mostgewicht x i Häufigkeit Betrachten Sie die beobachteten Mostgewichte x i als Realisierungen einer einfachen Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit. Außerdem gilt bei dieser konkreten Stichprobe zufälligerweise, dass sich für den erwartungstreuen Schätzer der Standardabweichung der exakte Wert der Standardabweichung der Grundgesamtheit ergibt, es gilt hier also (zufällig), dass D s ist. a) Man ermittle aus obigen Daten ein Schätzintervall für den Erwartungswert des Mostgewichtes (Irrtumswahrscheinlichkeit 5%). b) Herr Kastel möchte mit Hilfe eines Hypothesentests statistisch bestätigen, daß der Erwartungswert des Mostgewichtes über 100 Grad Oechsle liegt. Geben Sie das dazu zu untersuchende Hypothesenpaar an. c) Nun bestimmt Herr Kastel das Signifikanzniveau, zu dem die Hypothese aus Teil b) getestet werden soll. Zur Auswahl stehen 0;01 ; 0;02 und 0;1. Welches dieser Signifikanzniveaus wird Herr Kastel wählen? (Kurze Begründung!) Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 5 von 9)

6 Aufgabe 5 Student Pavel erfährt, dass sein Erbonkel Bronko ihn in seinem Testament mit berücksichtigt hat. Sofort bricht er sein Studium ab und kauft sich einen Bungalow am Strand von Hawaii. Zu diesem Zweck richtet er ein Konto ein, welches er bis zum Erbfall beliebig überziehen kann. Dafür garantiert er der Bank, dass die Erbschaft im Todesfall des Onkels auf dieses Konto einbezahlt wird. Außerdem muss das Konto mit Einzahlung der Erbschaft mindestens ausgeglichen werden und darf danach nicht mehr überzogen werden. Der Sollzins beträgt 15 %, der Habenzins 5 %. Pavel nimmt an, dass der Erbfall in den nächsten 10 Jahren stattfinden wird. Da er während seines Studiums vom kaufmännischen Vorsichtsprinzip gehört hat, geht er vom worst case aus und rechnet im Folgenden mit dem Ableben seines Onkels in genau 10 Jahren. a) Wie teuer dürfte der Bungalow maximal sein, wenn Pavel ansonsten keine Abhebungen mehr tätigt? b) Pavel kauft heute einen Bungalow für Für seinen Lebensunterhalt will er ab sofort jährlich einen konstanten Betrag nachschüssig von dem Konto abheben. Wie hoch darf dieser Betrag maximal sein, wenn Pavel 50 Jahre davon leben will? Hinweise zu b: Setzen Sie den Zeitwert aller Zahlungen am Ende des zehnten Jahres an Beachten Sie in jeder Phase den Soll- bzw. Habenstand des Kontos Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 6 von 9)

7 Lösung 1 a) R 2 D 1 bedeutet perfektes Bestimmtheitsmaß, alle Punkte liegen auf Gerade, z.b. durch.x 2 ; y 2 / D.12; 42/ und.x 4 ; y 4 / D.8; 18/ ) O b D / 8 12 D 6I 2 Oa 6 8 D 18 ) Oa D 30 ) 1 y.x/ D 30 6x ) Also: y 1 D / D 90 x 3 D y 3 Oa D 6 30 D 6 Ob 6 y 5 D / D x 6 D D i x i y i x 1 ; y 1 / 80.x 6 ; y 6 /.x 5 ; y 5 / Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 7 von 9) x 3 ; y 3 /.x 4 ; y 4 /.x 7 ; y 7 /.x 2 ; y 2 / b) y.x/ D 30 6x (siehe a) c) mit R 2 D 1 und b O < 0 ) r D 1 1 (alle Punkte auf fallender Gerade) r SP D 1 1 (gegensinnige Rangnummern) K D 1 1 (aus der Ausprägung von x lässt sich Ausprägung von y absolut sicher erschließen)

8 Lösung 2 a) P01 P D P 01 L D g 1 0;5 C.1 g 1 / 2 D 2 1;5g 1 2 Œ0;5 I 2 für g 1 2 Œ0 I 1 b) P01 L D C12 11C11 D 1;25; P 01 P nicht möglich, da q 3 1.i/ fehlen. c) P L 01 D 12C C31 D 7 8 ; P P 01 D 12C C41 D Lösung 3 a) Zahlung der Versicherung: X D ( mit Wahrscheinlichkeit 0,006 0 mit Wahrscheinlichkeit 0,994 Also ist der Erwartungswert EŒX D ;006 D 600 und damit die Prämie D 1;3EŒX D b) Gewinn: G D 780 X. Damit: Erwartungswert des Gewinns: EŒG D 780 EŒX D 180: Varianz: VarŒG D VarŒ780 X D 0 C. 1/ 2 VarŒX D VarŒX. Damit: c) 2 D VarŒG D VarŒX D EŒX 2 E 2 ŒX D ; D D p Der 3-Bereich von G ist damit , d.h. [ ; ], enthält also auch negative 4 Werte. Die Wahrscheinlichkeit mit einem Vertrag Verlust zu machen ist relativ groß. EŒG D D VarŒG D ; D 3 p 1192;8 103;61 3-Bereich D Œ ;61 I 180 C 103;61 D Œ76;39 I 283;61 Das heißt, mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% macht die Versicherung pro Vertrag einen 3 durchschnittlichen Gewinn von 76,39 bis zu 283,61. Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 8 von 9)

9 Lösung 4 a) Hier X i normalverteilt, bekannte Varianz, muss aber erst aus den Daten errechnet werden () ). (1) Konfidenzniveau: 1 0;05 D 0;95 (2) c D x 1 =2 D x 0;975 der N.0;1/-Verteilung ) c D 1; (3) Nx 105;67 und s 2 D Nx/ 2 2 C.85 Nx/ 2 3 C : : : C.125 Nx/ ;1264 ) s 13;3089 Außerdem ist hier (!) gegeben, dass D s, also 13;3089 (4) c= p n 4; (5) Konfidenzintervall: Nx c p I Nx C c p Œ100;9042 I 110;4291 n n 6 b) H 0 W D 100 versus H 1 W > c) D 0;1 ergibt die höchste Wahrscheinlichkeit, dass H 0 abgelehnt wird. 2 Lösung 5 Hochschule Weingarten Klausur Probeklausur Mathematik 2 Probeklausur (Seite 9 von 9) a) Diskontieren: ;15 10 D ;00 2 b) Setze an: Zeitwert Einzahlungen D Zeitwert Auszahlung für t D 10: Dazu: Also: Wert Bungalow: ;15 10 Auszahlungsphase Jahr 1-10 (Kreditphase): r 1; Auszahlungsphase Jahr (Guthabenphase): r Wert Erbschaft: ;15 1 1; ; ; ;15 10 C r 1; C r 0;15 1; ; D ;05 1; ) r C 1 0;15 1; ; D ; ;05 ) r D ;80 8