Finanzmathematik. Vorlesung SS Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart

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1 Finanzmathematik Vorlesung SS 2005 Jürgen Dippon Institut für Stochastik und Anwendungen Universität Stuttgart Homepage der Vorlesung: Version vom 29. Juli 2005 J. Dippon 1

2 1. Einführung Die klassische Finanzmathematik beschäftigt sich in erster Linie mit grundlegenden Finanzinstrumenten oder Anlageformen (basic securities) Aktien (stocks) festverzinsliche Wertpapiere (bonds) Währungen (foreign exchange) Rohstoffe (commodities) Energie J. Dippon 2

3 Die moderne Finanzmathematik untersucht derivative Finanzinstrumente (derivatives, derivative securities, contingent claims), die von einfacheren Finanzinstrumenten (underlyings) abgeleitet werden. Beispiele für Derivate: Optionen (options, contingent claims) Forwards Futures J. Dippon 3

4 Geschichte 17. Jahrhundert in den Niederlanden: Put-Optionen auf Tulpen 18. Jahrhundert in London: Problem kein gesetzlicher Rahmen beim Ausfall eines Vertragspartners 1930: Gesetzliche Regulierung 1970: Bedeutende Zunahme von Termingeschäften 1973: Gründung der Chicago Board Options Exchange 1990: Deutsche Terminbörse (DTB) nimmt Handel mit Optionen auf 1998: Fusion der DTB mit der SDFEX (Schweizerische Terminbörse) zur EUREX J. Dippon 4

5 Wissenschaftliche Untersuchung 1900: Louis Bachelier modelliert in seiner Dissertation Theorie de la spéculation den Aktienkurs als Brownsche Bewegung 1965: Paul Samuelson modelliert den Aktienkurs als geometrische Brownsche Bewegung 1973: Fischer Black und Myron Scholes geben explizite Formeln zur Optionspreisbewertung an unabhängig davon auch Robert Merton 1981: M. Harrison und S. Pliska führen Martingalmethoden in die Optionspreisbewertung ein 1997: Ökonomie-Nobelpreis für Scholes und Merton (Black 1995 gestorben) J. Dippon 5

6 Quantitative Fragen Bewertung (pricing) von Derivaten Hedging Strategien für Derivate (Absicherung) Risikomanagement von Portfolios Portfoliooptimierung Modellwahl und Kalibrierung J. Dippon 6

7 Aktuelle Fragestellungen Verbesserung der Modellierung der Underlyings: Lévy Prozesse, fraktale Brownsche Bewegung, Sprünge in den Aktienkursen, Insider- Information, stochastische Volatilitäten,... Modellierung des Korrelationsrisikos in großen Portfolios Bewertungsmethoden für hochdimensionale und pfadabhängige Auszahlunsprofile in komplexeren Modellen Energiederivate Modellierung der Marktliquidität und des Ausfallrisikos J. Dippon 7

8 Grundbegriffe Finanzinstrumente: primäre Finanzinstrumente: Basisgüter sekundäre Finanzinstrumente: Derivate Definition 1.1. Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert zum Verfallszeitpunkt T (expiry date) vom Wert eines einfacheren Finanzinstruments (underlying) zum Zeitpunkt T (oder auch vom Werteverlauf bis zum Zeitpunkt T ) abhängt. J. Dippon 8

9 Beispiele für Basisgüter (underlying securities) Aktien (stocks) Zinsraten (interest rates) Währungen (currencies) Rohstoffe Wetter Indizes wie DAX, Dow Jones, CAT-Index (catastrophe losses) Die Preisentwicklung eines Basisgutes wird üblicherweise mit S = (S t ) = {S t t 0} bezeichnet. J. Dippon 9

10 Festverzinsliche Wertpapiere Startkapital zum Zeitpunkt t = 0: B 0 Bei jährlicher Zinsausschüttung mit Zinsrate r per annum: Kapital nach t = n Jahren B (1) n = B 0 (1 + r) n Zinsausschüttung nach 1 k Jahren und Zinsrate r k pro 1 k Jahre: Kapital nach n Jahren ( B n (k) = B r ) nk k Bei stetiger Verzinsung mit sog. short rate r: Kapital nach n Jahren B n := lim k B(k) n = B 0 e nr J. Dippon 10

11 Märkte: Börsen OTC (Over-the-Counter) Typen von Händlern: Hedgers versuchen ihre Institution gegen Risiken abzusichern Spekulanten versuchen durch Wetten Profit zu machen Arbitrageure versuchen durch simultane Transaktionen auf verschiedenen Märkten Profit aus Kursdifferenzen zu ziehen J. Dippon 11

12 Modellannahmen (perfekter Finanzmarkt) reibungsloser Markt: keine Transaktionskosten, keine Steuern, keine Einschränkungen für short sales, Kaufs- und Verkaufspreise sind identisch kein Ausfallrisiko, Soll- und Habenzinsen sind identisch Wettbewerbsmarkt: der Preis wird vom Markt und nicht von einzelnen Marktteilnehmern festgelegt Kapitalanlagen sind beliebig teilbar NO ARBITRAGE!!! J. Dippon 12

13 Short Selling ist eine Handelsstrategie, bei der der Investor Objekte, z.b. Aktien, die ihm nicht selbst gehören, von einem Partner für eine gewisse Zeit ausleiht, diese verkauft, später wieder zurückkauft und an den Partner zurückgibt. In der Zwischenzeit anfallende Erträge des Objekts (z.b. Dividenden) muss der Investor an den Partner erstatten. Short Selling ist nur dann für den Investor interessant, wenn der Rückkaufswert S t (deutlich) kleiner als der Verkaufswert S 0 ist. Short Selling ist in der Praxis zahlreichen Restriktionen unterworfen. Ein Portfolio ist eine Kombination mehrerer Finanzinstrumente, deren Wertentwicklung als Ganzes gesehen wird. J. Dippon 13

14 Finanzmärkte bieten risikolose Anlagen (z.b. festverzinsliche Wertpapiere) risikobehaftete Anlagen (z.b. Aktien) Ein Anleger ist nur bereit, in risikoreichere Anlagen zu investieren, wenn er die Möglichkeit sieht, einen höheren Profit als in risikoärmeren Anlagen zu erzielen. Arbitrage ist die Möglichkeit, ohne Kapitaleinsatz einen risikolosen Profit zu erzielen (formale Definition später). Würde diese Möglichkeit bestehen, so könnte man damit risikolos riesige Geldsummen erwirtschaften. Märkte im Gleichgewicht neutralisieren solche Arbitrage-Möglichkeiten. Es wird sich zeigen, dass die No-Arbitrage-Annahme direkt zu einer Methode zur Bewertung von Derivaten führt. J. Dippon 14

15 Beispiel eines einfachen Derivates: Definition 1.2 Ein Forward-Kontrakt (Terminkontrakt) vereinbart den Kauf oder Verkauf eines Finanzgutes zu einem festen zukünftigen Zeitpunkt T (delivery date) zu einem festen Preis K, dem sog. Terminkurs (delivery price, strike price). Der Wert V K,T (S t, T t) des Forward zur Zeit t hängt von dem aktuellen Wert S t des zugrundeliegenden Finanzgutes, der Restlaufzeit T t, dem Terminkurs K und dem Laufzeitende T ab. Der Forward-Preis F t ist definiert als derjenige Terminkurs, welcher den Wert V Ft,T (S t, T t) des Forward-Kontraktes (zum Zeitpunkt t, Spot-Preis S t und Restlaufzeit T t) zu Null macht: V Ft,T (S t, T t) = 0 Bei Vertragsabschluss (t = 0) wählt man als Terminkurs K häufig den J. Dippon 15

16 Forward-Preis zum Zeitpunkt t = 0: K = F 0 long position: Eingehen des Kaufkontraktes short position: Eingehen des Verkaufskontraktes J. Dippon 16

17 K Terminkurs (delivery price) S t Spot-Preis (spot price) des Finanzgutes (zum Zeitpunkt t) T Fälligkeit (delivery date, expiration date, maturity) T t Restlaufzeit (time to maturity) V K,T (S t, T t) Wert des Forward zum Zeitpunkt t Forward-Preis F t J. Dippon 17

18 Beispiel Ein Investor erwirbt am 1. September einen Forward-Kontrakt mit dem Inhalt, in 90 Tagen 10 6 e zum Umtauschkurs von 0.9 US $ zu kaufen. Falls der Kurs nach Ablauf der 90 Tage auf 0.95 $ gestiegen ist, gewinnt der Investor $, da 10 6 e dann am Markt für $ verkauft werden können. Hier also t = 1. September T t = 90 Tage T = 30. November K = $ J. Dippon 18

19 Pay-off-Profil (Auszahlungsprofil) eines Forward-Kontraktes zur Zeit T : payoff long position K S T short position Pay-off eines Forward-Kontraktes zum Laufzeitende T : Pay-off eines Forward-Verkaufskontraktes zum Laufzeitende T : S T K K S T J. Dippon 19

20 Problem: Bestimmung des richtigen Forward-Wertes, damit F T einen fairen Terminkurs darstellt Wir zeigen: Es liege ein perfekter Markt vor, die Zinsrate r sei während der Laufzeit konstant und das Objekt werfe weder Erträge ab noch verursache Kosten. Dann gilt für den Wert V (s, T t) des Forwards zur Zeit t und aktuellem Kurs S t = s des zugrundeliegenden Objektes und Restlaufzeit T t: r(t t) V (S t, T t) = V K,T (S t, T t) = S t Ke r(t t) Für den Forward-Preis gilt also F t = S t e Beachte: Es wurden keine Annahmen über die Kursentwicklung von (S t ) gemacht! J. Dippon 20

21 Forwards sind nicht standardisiert und bergen das Risiko in sich, dass eine Vertragsseite ausfällt (default risk). Sie werden deshalb an Börsen kaum gehandelt, sondern nur over the counter (OTC). Eine Variante sind Futures, welche in standardisierter Form an Börsen gehandelt werden. Hierbei wird, z.b. täglich, die Wertveränderung des Futures (aufgrund von Wertänderungen des zugrundeliegenden Finanzgutes) zwischen den Vertragsparteien ausgeglichen, so dass der Wert des Futures anschließend wieder gleich Null ist. Unter schwachen Voraussetzungen stimmen Terminkurse (delivery prices) von Forwards und Futures überein. Futures werden z.b. an der CBOT gehandelt. J. Dippon 21

22 Ein etwas komplizierteres Derivat: Definition 1.3 Eine Option gibt dem Käufer das Recht, ein bestimmtes Finanzgut bis zu einem zukünftigen Verfallszeitpunkt T (expiry, maturity) zu einem vereinbarten Ausübungspreis K (strike price) zu kaufen oder verkaufen. Der Optionskontrakt beinhaltet im Unterschied zum Forward oder Future jedoch nicht die Pflicht zur Ausübung. Beim Kaufrecht wird die Option als Call (Kaufoption), beim Verkaufsrecht als Put (Verkaufsoption) bezeichnet. Ist die Ausübung der Option nur zum Verfallszeitpunkt T möglich, so spricht man von einer europäischen Option. Kann die Option jederzeit bis zum Zeitpunt T ausgeübt werden, wird diese amerikanische Option genannt. Der Käufer befindet sich in einer long position, der Verkäufer befindet sich in einer short position. J. Dippon 22

23 Pay-off einer long position bei einem Call zum Verfallszeitpunkt T payoff K S T Pay-Off = (S T K) + = max{s T K, 0} = max{s T, K} K J. Dippon 23

24 Sei t T. S(t) < K : die Option ist out of the money S(t) = K : die Option ist at the money S(t) > K : die Option ist in the money Problem: Wie lautet der faire Preis C 0 und P 0 für eine Call- bzw. Put-Option? J. Dippon 24

25 Gewinn (yield) einer long position bei einer Call-Option yield C 0 K K+C 0 S T J. Dippon 25

26 Beispiel Markt mit drei Anlagemöglichkeiten: (risikoloser) Bond B Aktie S europäische Call-Option mit Strike K = 1 und Expiry t = T auf die Aktie S Investition zum Zeitpunkt t = 0 mit Preisen (in e) B(0) = 1 S(0) = 1 C(0) = 0.2 J. Dippon 26

27 Zum Zeitpunkt t = T soll sich die Welt (der Markt) in nur zwei möglichen Zuständen befinden können: mit Preisen (in e) u (= up) oder d (= down) B(T, u) = 1.25, S(T, u) = 1.75, also C(T, u) = 0.75 und B(T, d) = 1.25, S(T, d) = 0.75, also C(T, d) = 0 Startkapital sei 25 e. J. Dippon 27

28 Portfolio A : t = 0 Anlage Anzahl Betrag in e Bond Aktie Call Portfolio A : t = T Anlage up down Bond Aktie Call J. Dippon 28

29 Portfolio B : t = 0 Anlage Anzahl Betrag in e Bond Aktie 7 7 Call Portfolio B : t = T Anlage up down Bond Aktie Call J. Dippon 29

30 Offensichtlich existiert in diesem Markt eine Arbitrage-Möglichkeit, da Portfolio A und Portfolio B denselben Gewinn erwirtschaften Portfolio B jedoch mit einem geringeren Einsatz! = Call-Option besitzt falschen Preis! Stelle zum Zeitpunkt t = 0 das Differenzportfolio C auf: Portfolio C := Portfolio B Portfolio A = (11.8, 7, 29) (10, 10, 25) = (1.8, 3, 4) J. Dippon 30

31 Portfolio C zum Zeitpunkt t = 0: Anlage Aktion Bond Kaufe 1.8 Einheiten -1.8 Aktie Verkaufe 3 geliehene Einheiten, 3 welche zum Zeitpunkt t = T wieder zurückgegeben werden Call kaufe 4 Einheiten Dies ergibt zum Zeitpunkt t = 0 einen Gewinn von 0.4 e. Portfolio C zum Zeitpunkt t = T : Anlage Aktion up down Bond Verkaufe 1.8 Einheiten Aktie Kaufe 3 Einheiten zurück Call Option ausüben, falls sinnvoll J. Dippon 31

32 Zum Zeitpunkt t = T ist das Portfolio C also ausgeglichen. Zum Zeitpunkt t = 0 wurde damit ein risikoloser Gewinn von 0.4 e realisiert. Weitere Beobachtung: Mit 1.8 Bonds und 3 Aktien short kann die Wirkung der Call-Option zum Zeitpunkt t = T neutralisiert werden. Man sagt: Die Bond- und die Aktienposition bilden einen Hedge gegen die Position des Calls. Dies gilt unabhängig davon, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für den Zustand up/down der Welt sind! J. Dippon 32

33 Effekte der Parameter auf den Wert einer europäischen Option Vergrößern des Parameters Call Put Aktienpreis S(T ) Ausübungspreis K Volatilität Σ Zinsrate r Verfallsdatum T J. Dippon 33

34 Put-Call-Parität Seien S t der Spot-Preis einer Aktie, C t und P t die Werte von auf der Aktie definierten europäischen Call- bzw. Put-Optionen mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K. Π t bezeichne den Wert eines Portfolios bestehend aus einer Aktie, einem Put und einer short position in einem Call: Π t = S t + P t C t Satz 1.1 Für europäische Call- und Put-Optionen C t und P t auf der zugrunde gelegten Aktie S t (ohne Dividendenzahlung) gilt die Put-Call- Parität 0 t T r(t t) Π(t) = S t + P t C t = Ke J. Dippon 34

35 Beispiel: Aktie der Deutschen Bank (alle Preise in DM) t = 23. Juni 1997, T = 18. Juni 1998, K = 80.00, r = 3.15% p.a. Aktie S(t) = Call C(t) = Put P (t) = 4.16 S(t) + P (t) C(t) = Diskontierter Strike-Preis: K 1 + r = = Ursachen für Differenz: Dividendenzahlung vor T, Nachfrageeffekte,... J. Dippon 35

36 Schranken für Optionen Satz 1.2 Für europäische und amerikanische Call-Optionen gilt: t [0,T ] t [0,T ] C(t) C(t) S(t) ( ) + S(t)) e r(t t) K Satz 1.3 Es ist nicht sinnvoll, eine amerikanische Call-Option vor ihrem Verfallsdatum auszuüben, da t [0,T ] C A (t) = C E (t) J. Dippon 36

37 Satz 1.4 (i) Für zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Verfallsdatum, aber unterschiedlichen Ausübungspreisen K 1 < K 2, gilt für alle t [0, T ] (a) C K1 (t) C K2 (t) (b) C K1 (t) C K2 (t) e r(t t) (K 2 K 1 ) (c) λ [0,1] C λk1 +(1 λ)k 2 (t) λc K1 (t) + (1 λ)c K2 (t) (ii) Für zwei Call-Optionen auf denselben Basiswert, mit demselben Ausübungspreis, aber unterschiedlichen Verfallsdaten T 1 und T 2, gilt T 1 T 2 = C(T 1 ) C(T 2 ) J. Dippon 37

38 Satz 1.5 Für amerikanische Optionen gilt die folgende Put-Call- Beziehung: t [0,T ] r(t t) S(t) K C A (t) P A (t) S(t) Ke J. Dippon 38

39 Ein-Perioden-Marktmodelle 1 Aktie mit Preis S(0) = Bond mit Preis B(0) = 1 mit Zinsrate r im Zeitraum T Zustand ω 1 mit W p Zustand ω 2 mit W 1 p Aktienpreis S(T ) Bondpreis B(T ) 1 + r 1 + r Gesucht: Preis einer europäischen Call-Option mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K = 150 J. Dippon 39

40 Auszahlung X(T )(ω) = (S(T ) K) + (ω) = { 30 falls ω = ω 1 0 falls ω = ω 2 Erwartungswert von X(T ) E(X(T )) = 30p Mögliche Definition des Call-Preises zum Zeitpunkt t = 0 X(0) = E ( ) X(T ) 1 + r = 30p 1 + r J. Dippon 40

41 Spezialfall: Für p = 1 2 und r = 0 folgt X(0) = 15 Wir zeigen: Unter Verwendung der Arbitragebewertungsmethode erhält man jedoch X(0) = 20 Replikationsstrategie Zum Zeitpunkt t = 0: Verkaufe die Option zum Preis X(0) Kaufe der Aktie zum Preis von 3 50 Kreditaufnahme (r = 0) 30 Bilanz X(0) 20 J. Dippon 41

42 Zum Zeitpunkt t = T : Zustand ω 1 Zustand ω 2 (Wert der Aktie S(T ) = 180) (Wert der Aktie S(T ) = 90) Option wird (gg. uns) ausgeübt 30 Option wertlos 0 Verkaufe 1 3 Aktie 60 Verkaufe 1 3 Aktie 30 Rückzahlung des Kredits 30 Rückzahlung des Kredits Deshalb: X(0) = 20(=: C(0)) ist der Preis, der keine Arbitrage zulässt. Analog: Bei Zinssatz r ist X(0) = 20 1+r der arbitragefreie Preis. J. Dippon 42

43 Man sagt, das o.g. Portfolio repliziert zu jedem Zeitpunkt die Call- Option. Mit dieser Replikationsstrategie kann der arbitragefreie Preis der Option ermittelt werden die die Option ausstellende Institution sich gegen Preisrisiken absichern (Hedging) J. Dippon 43

44 Anwendung der Methode der risikoneutralen Bewertung auf unser Beispiel: (i) Ersetze p durch p so, dass der diskontierte Aktienpreisprozess ein faires Spiel ist: ( ) S(T ) S(0) = E 1 + r Hier: 150 = 1 1+r (p (1 p ) 90) Für r = 0 folgt p = 2 3 (ii) Berechne den fairen Preis der Option bzgl. E ( ) X(T ) X(0) := E = 30p 1 + r 1 + r Für r = 0 folgt X(0) = 20 J. Dippon 44

45 Definition des Ein-Perioden-Modells: Der Finanzmarkt kennt nur die beiden Zeitpunkte t = 0 und t = T. Es werden d + 1 Finanzgüter gehandelt mit Preisen zu den Zeitpunkten t = 0 : S(0) = t = T : S(T ) = S 0(0). S d (0) S 0(T ). S d (T ) R d+1 + R d+1 + -wertige ZV wobei S i (T ), i {0,..., d}, R + -wertige Zufallsvariablen auf dem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) mit Ω = N, F = P(Ω) und P({ω}) > 0 für alle ω Ω = {ω 1,..., ω N } Hier: R + := [0, ) J. Dippon 45

46 Kauf und Verkauf der Finanzgüter zum Zeitpunkt t = 0 gemäß der Handelsstrategie ϕ = ϕ 0. R d+1 ϕ d Zum Zeitpunkt t = 0 Investition der Summe S(0) ϕ = d ϕ i S i (0) R i=0 Zum Zeitpunkt t = T liegt das vom Zufall abhängige Kapital vor: S(T ) ϕ = d ϕ i S i (T ) i=0 reellwertige ZV J. Dippon 46

47 Definition 1.4 Der (oben definierte) Finanzmarkt lässt eine Arbitrage-Möglichkeit zu, falls es ein Portfolio ϕ R d+1 gibt, so dass eine der beiden (für endliche WRe äquivalente) Bedingungen gilt: (i) S(0) ϕ < 0 und w Ω S(T, w) ϕ 0 (ii) S(0) ϕ 0 und w Ω S(T, w) ϕ 0 und w Ω S(T, w) ϕ > 0 Gibt es kein solches ϕ, so heißt der Finanzmarkt arbitragefrei. J. Dippon 47

48 Satz 1.6 Der (oben definierte) Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, falls es einen sogenannten Zustandspreis-Vektor ψ R N mit ψ i > 0 für alle i {1,..., N} gibt, so dass Sψ = S(0), wobei S = S 0(T, w 1 ). S 0 (T, w N ). S d (T, w 1 ) S d (T, w N ) Kurz: Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es einen Zustandspreis-Vektor (state price vector, pricing kernel) gibt. J. Dippon 48

49 Sei ψ ein solcher Zustandspreis-Vektor. Mit ψ 0 := N i=1 ψ i gilt für q j := ψ j ψ 0 (0, 1] N q j = 1 j=1 d.h. durch (q 1,..., q N ) wird ein W -Maß Q auf Ω definiert. Damit S i (0) ψ 0 = N S i (T, ω j )q j = E Q (S i (T )) j=1 Unter Q sind die mit ψ 0 standardisierten Preise der Finanzgüter i {0,..., d} deshalb risikoneutral. J. Dippon 49

50 Ist i ein Finanzgut mit S i (T, ω j ) > 0 für alle j {1,..., N}, so können die Preise der anderen Finanzgüter als Vielfaches von S i (T, ω j ) ausgedrückt werden. Das Finanzgut i wird dann Numéraire gennant. Sei z.b. Finanzgut i = 0 ein risikoloser Bond mit ω Ω S 0 (T, ω) = 1 Damit S 0 (0) ψ 0 = N q j S 0 (T, w j ) = j=1 N q j = 1 j=1 Ist r die Zinsrate pro Zeiteinheit, dann gilt S 0 (0) = ψ 0 = (1 + r) T J. Dippon 50

51 Damit ergibt sich der Preis von Finanzgut i zum Zeitpunkt t = 0 zu S i (0) = N j=1 ( ) S i (T, ω j ) q j (1 + r) T = E Si (T ) Q (1 + r) T d.h. ( ) S i (0) (1 + r) 0 = E Si (T ) Q (1 + r) T In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie: Der stochastische Prozess { } Si (t) (1 + r) t : t {0, T } ist ein Q-Martingal Im allgemeinen ist dieser Prozess kein P -Martingal für ein von Q verschiedenes W -Maß P, welches z.b. die Einschätzung eines Anlegers widerspiegelt. J. Dippon 51

52 Da für alle ω Ω P ({ω}) > 0 (nach Annahme) und Q({ω}) > 0 (wie gezeigt) sind P und Q zwei sog. äquivalente Maße. Also ist Q ein zu P ein äquivalentes Martingalmaß. Damit: Der Markt ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein äquivalentes Martingalmaß gibt J. Dippon 52

53 Bewertung eines neu eingeführten Finanzinstrumentes mit vom Zufall abhängigen Auszahlungen δ(t ) zum Zeitpunkt t = T durch ( ) δ(t ) δ(0) = E Q (1 + r) T mit einem äquivalenten Martingalmaß Q. Problem: Der Preis δ(0) ist nur eindeutig, falls Q eindeutig. J. Dippon 53

54 Definition 1.5 Der (oben definierte) Finanzmarkt heißt vollständig, falls es zu jedem Finanzinstrument δ(t ) (das ist eine auf Ω = {ω 1,..., ω N } definierte reellwertige Zufallsvariable) ein aus den d + 1 Basisinstrumenten bestehendes Portolio ϕ R d+1 gibt, das δ(t ) repliziert, d.h. falls ϕ R d+1 ω {ω 1,...,ω N } d S i (T, ω)ϕ i = δ(t, ω) i=0 oder kompakter falls S ϕ = ϕ R d+1 δ(t, ω 1). δ(t, ω N ) J. Dippon 54

55 Ein Finanzmarkt ist also genau dann vollständig, wenn die (d + 1) Vektoren S 0(T, ω 1 ). S 0 (T, ω N ) den gesamten R N aufspannen.,..., S d(t, ω 1 ). S d (T, ω N ) Satz 1.7 Der (oben definierte) Finanzmarkt sei arbitragefrei. Dann ist dieser Markt genau dann vollständig, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis- Vektor ψ gibt. J. Dippon 55

56 Eine Kombination der Sätze 1.6 und 1.7 ergibt: Ein Finanzmarkt ist genau dann vollständig und arbitragefrei, wenn es einen eindeutigen Zustandspreis-Vektor gibt. Probabilistische Interpretation unserer Ergebnisse: Ein Finanzmarkt ist genau dann arbitragefrei, wenn ein äquivalentes Martingalmaß existiert. Ein arbitragefreier Finanzmarkt ist genau dann vollständig, wenn genau ein äquivalentes Martingalmaß existiert. J. Dippon 56

57 Beispiel: Binäres Einperiodenmodell d + 1 = 2 Ω = {ω 1, ω 2 } r = 0 Basisinstrumente Raum der möglichen Zustände Zinsrate ( ) ( ) S0 (0) 1 S(0) = = S 1 (0) 150 S 0 (T ) = ( ) 1, S 1 (T ) = 1 ( ) Also S = ( ) J. Dippon 57

58 Zustandspreis-Vektor ψ R 2 + : Sψ = S(0) ( ) ψ = ( ) wird (in eindeutiger Weise) gelöst durch ψ = ( ) 2/3 1/3 (= ψ 0 = ψ 1 + ψ 2 = 1) Also existiert (zu jedem nichtdegenerierten W-Maß P ) ein eindeutiges äquivalentes Martingalmaß Q mit Q(ω 1 ) = ψ 1 ψ 0 = 2 3 und Q(ω 2 ) = ψ 2 ψ 0 = 1 3 J. Dippon 58

59 Der oben definierte Finanzmarkt ist vollständig, da zu jedem (neuen) Finanzinstrument δ(t ) mit Zahlungen δ(t, ω 1 ) und δ(t, ω 2 ) ein replizierendes Portfolio ϕ R 2 existiert, d.h. S ϕ = δ(t ) da die Spalten von S den R d+1 = R N aufspannen. Sei δ(t ) die im letzten Beispiel genannte europäische Call-Option δ(t, ω) = (S(T, ω) K) + = { 30 für ω = ω 1 0 für ω = ω 2 Dann wird ( durch ϕ 0 = 30 und ϕ 1 = 1 3 ) ( ) ( ) ϕ0 30 = 0 ϕ 1 (eindeutig) gelöst. J. Dippon 59

60 2. Bedingte Erwartungen und Martingale Eine gut lesbare Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie: J. Jacod and P. Protter. Probability Essentials. 2nd Ed. Springer Ein herrliches Buch zur Einführung in die Martingal-Theorie: D. Williams. Probability with Martingales. Cambridge Ein schönes Lehrbuch, das einen weiten Bogen von der Maßtheorie bis zur Stochastischen Analysis schlägt: D. Meintrup, S. Schäffler, Stochastik Theorie und Anwendungen. Springer J. Dippon 60

61 Im Folgenden sei (Ω, F, P ) immer ein Wahrscheinlichkeitsraum. (Eingeführt durch Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( ), Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933 ) Definition. Zwei auf derselben σ-algebra F definierten Maße P und Q heißen absolutstetig, falls A F Q(A) = 0 = P (A) = 0 In Zeichen: P Q Satz von Radon-Nikodým. Seien P und Q zwei auf derselben σ- Algebra F definierte endliche Maße. Es gilt P Q genau dann, wenn es eine F B-messbare nichtnegative Funktion f gibt mit A F P (A) = A f dq J. Dippon 61

62 Satz 2.1. Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). σ-algebra C F. Dann existiert eine ZV Z : (Ω, F, P ) (R, B) mit folgenden Eigenschaften: ( ) ( ) Z ist integrierbar und C-B-messbar X dp = Z dp C C C C Z ist eindeutig bis auf die Äquivalenz = P C -f.ü.. Definition 2.1. (Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( )) Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). σ-algebra C F. Die Äquivalenzklasse (im eben definierten Sinne) der ZVn Z: (Ω, F, P ) (R, B) mit ( ) und ( ) oder auch ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse heißt bedingte Erwartung von X bei gegebenem C. In Zeichen: E(X C) J. Dippon 62

63 Häufig wird ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse als eine Version von E(X C) bezeichnet. E(X C) ist eine Vergröberung von X. Bemerkung 2.4. Geometrische Interpretation des bedingten Erwartungswertes: Es sei L 2 (Ω, F, P ) der Hilbertraum der Äquivalenzklassen quadratisch integrierbarer reeller Zufallsvariablen auf (Ω, F, P ) und C eine Teil-σ-Algebra von F. J. Dippon 63

64 Es sei M der lineare Teilraum von L 2 (Ω, F, P ), dessen Elemente als Repräsentanten C-B-messbare Zufallsvariablen haben. Man kann zeigen, dass M abgeschlossen ist. Sei X L 2 (Ω, F, P ) mit Repräsentanten X und Y := E(X C) mit zugehöriger Äquivalenzklasse Ŷ. Man kann zeigen, dass Ŷ die orthogonale Projektion von X auf M ist und das Proximum (bestapproximierendes Element im Sinne der L 2 (Ω, F, P )-Norm) in M zu X darstellt. Mit anderen Worten: Y := E(X C) minimiert unter allen C-B-messbaren Zufallsvariablen den Ausdruck E X Y 2 Unter Verwendung eines Stutzungargumentes kann diese Definition auch auf die Klasse der integrierbaren Zufallsvariablen fortgesetzt werden. J. Dippon 64

65 Beispiele C = F... E(X C) = X f.s. C = {, Ω}... E(X C) = EX C = {, B, B c, Ω} mit 0 < P (B) < 1. (E(X C))(ω) = 1 X dp =: E(X B), ω B P (B) B 1 P (B c X dp, ω B c ) B c E(X B) heißt Hypothese B bedingter Erwartungswert von X unter der J. Dippon 65

66 Satz 2.2. X, X i integrierbar; σ-algebra C F; c, α 1,2 R. a) C C C E(X C)dP = C X dp b) X = c P-f.s. = E(X C) = c f.s. c) X 0 P-f.s. = E(X C) 0 f.s. d) E(α 1 X 1 + α 2 X 2 C) = α 1 E(X 1 C) + α 2 E(X 2 C) f.s. e) X 1 X 2 P-f.s. = E(X 1 C) E(X 2 C) f.s. f) X C-B-messbar = X = E(X C) f.s. g) X integrierbar, Y C-B-messbar, XY integrierbar = E(XY C) = Y E(X C) f.s. J. Dippon 66

67 g ) X, X integrierbar, XE(X C) integrierbar = E(XE(X C) C) = E(X C)E(X C) f.s. h) σ-algebra C 1,2 mit C 1 C 2 F, X integrierbar E(E(X C 1 ) C 2 ) = E(X C 1 ) f.s. E(E(X C 2 ) C 1 ) = E(X C 1 ) f.s. Hier f.s. im Sinne von P C2 -f.s. bzw. P C1 -f.s. J. Dippon 67

68 Definition 2.2. σ-algebra C F. A F. P (A C) := E(χ A C) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem C. Bemerkung 2.1. Zu Definition 2.2. C C C P (A C) dp = P (A C). Beispiel. C = {, B, B c, Ω} mit 0 < P (B) < 1. (P (A C))(ω) = P (A B) =: P (A B), ω B P (B) P (A B c ) P (B c =: P (A B c ), ω B c. ) J. Dippon 68

69 Definition 2.3. a) Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). ZV Y : (Ω, F, P ) (Ω, F ). E(X Y ) := E(X Y 1 (F ) } {{ } ) [kleinste σ-algebra in Ω, bzgl. der Y messbar ist... F(Y )( F)]... bedingte Erwartung von X bei gegebenem Y b) Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). ZVn Y i : (Ω, F, P ) (Ω i, F i ) (i I) C( F) sei die kleinste σ-algebra in Ω, bzgl. der alle Y i messbar sind [C = F( Y 1 i i I (F i ))... F(Y i, i I)] E(X (Y i ) i I ) := E(X C)... bedingte Erwartung von X bei gegebenem Y i, i I J. Dippon 69

70 c) A F; ZV Y : (Ω, F, P ) (Ω, F ). P (A Y ) := E(χ A Y )... bedingte Wahrscheinlichkeit von A bei gegebenem Y Bemerkung 2.2. Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). a) σ-algebra C in F (X 1 (B), C) unabhängig = E(X C) = EX f.s. b) ZV Y : (Ω, F, P ) = (Ω, F ) (X, Y ) unabhängig = E(X Y ) = EX f.s. J. Dippon 70

71 Satz 2.3. Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). ZV Y : (Ω, F, P ) (Ω, F ). Dann ex. Abb. g: (Ω, F ) (R, B) mit E(X Y ) = g Y. g ist die sog. Faktorisierung der bedingten Erwartung. g ist eindeutig bis auf die Äquivalenz = P Y -f.ü.. Definition 2.4. Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B) bzw. A F. ZV Y : (Ω, F, P ) (Ω, F ). Sei g bzw. g A eine bis auf Äquivalenz = P Y - f.ü. eindeutig bestimmte Faktorisierung von E(X Y ) bzw. von P (A Y ). E(X Y = y) := g(y)... bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y = y P (A Y = y) := g A (y)... bed. Wahrscheinlichkeit von A unter der Hypoth. Y = y E(X Y = ) = g P (A Y = ) = g A J. Dippon 71

72 Satz 2.4. Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B) bzw. A A. ZV Y : (Ω, F, P ) (Ω, F ) a) A F A E(X Y = y) P Y (dy) = Y 1 (A ) X dp, insbesondere Ω E(X Y = y) P Y (dy) = EX. b) A F A P (A Y = y) P Y (dy) = P (Y 1 (A ) A), insbesondere Ω P (A Y = y) P Y (dy) = P (A). J. Dippon 72

73 Beispiel. X bzw. A sowie Y wie zuvor. Sei y Ω mit {y} F und P Y ({y}) > 0. a) E(X Y = y) } {{ } = E(X [Y = y]) } {{ } s. Def s. Beispiel nach Def b) P (A Y = y) } {{ } = P (A [Y = y]) } {{ } s. Def s. Beispiel nach Def J. Dippon 73

74 Satz 2.5. Integrierbare ZV X: (Ω, F, P ) (R, B). ZV Y : (Ω, F) (Ω, F ). a) X = c f.s. = E(X Y = ) = c P Y -f.ü. b) X 0 f.s. = E(X Y = ) 0 P Y -f.ü. c) E(αX 1 + βx 2 Y = ) = αe(x 1 Y = ) + βe(x 2 Y = ) P Y - f.ü. d) X 1 X 2 f.s. = E(X 1 Y = ) E(X 2 Y = ) P Y -f.ü. J. Dippon 74

75 Definition 2.6. Eine Folge (X n ) n N von integrierbaren ZVn X n : (Ω, F, P ) (R, B) heißt bei gegebener monoton wachsender Folge (F n ) n N von σ-algebren F n F mit F n -B-Messbarkeit von X n [wichtiger Fall F n = F(X 1,..., X n ) (n N)] a) ein Martingal bzgl. (F n ), wenn [d.h. n N n N E(X n+1 F n ) = X n f.s. C F n C X n+1 dp = C X n dp ], J. Dippon 75

76 b) ein Submartingal bzgl. (F n ), wenn [d.h. n N n N E(X n+1 F n ) X n f.s. C F n C X n+1 dp C X n dp ], c) ein Supermartingal bzgl. (F n ), wenn ( X n ) ein Submartingal bzgl. (F n ) ist. Die in Definition 2.6 genannte Folge von aufsteigenden σ-algebren wird auch als Filtration bezeichnet (P.A. Meyer). Bemerkung 2.3. Ein Martingal (X n ) bzgl. (F n ) ist auch ein Martingal bzgl. (F(X 1,..., X n )). Entsprechend für Sub-, Supermartingal. J. Dippon 76

77 Die Herkunft der Bezeichnung Martingal (engl. martingale) scheint nicht genau zu geklärt zu sein. Teil des Zaumzeuges, um die Kopfbewegung des Pferdes zu kontrollieren Eine Seil, um den Klüverbaum zu verspanen Ein Wettsystem, bei dem nach einem Verlust der Einsatz verdoppelt wird Der Begriff des Martingals im mathematischen Sinne wird J. Ville (1939) zugeschrieben. Paul Lévy ( ) und J.L. Doob ( ) lieferten wichtige Beiträge zur Martingal-Theorie. J. Dippon 77

78 Beispiele für Martingale: 1. Partialsummenfolge ( n i=1 V i) n N zu einer unabhängigen Folge (V n ) n N von integrierbaren reellen ZVn mit Erwartungswerten Aktienpreise: S n = S 0 ξ 1 ξ n mit unabhängigen Zufallsvariablen ξ i mit endlichem erstem Moment. 3. Sammeln von Information über eine Zufallsvariable (Williams 1991): Sei ξ eine Zufallsvariable mit endlichem erstem Moment und (F n ) eine Filtration in F. Dann wird durch M n := E(ξ F n ) ein Martingal definiert. Mit den nachfolgend vorgestellten Martingalkonvergenzsätzen kann gezeigt werden, dass M n M := E(ξ F ) f.s. und in L 1 wobei F := σ( n=1 F n) die sogenannte Doomsday-σ-Algebra. J. Dippon 78

79 Satz 2.6 (Martingalkonvergenzsatz von Doob) Ist X ein L 1 -beschränktes Sub- oder Supermartingal, d.h. sup n E( X n ) <, so existiert eine Zufallsvariable X mit X n X f.s. (n ) J. Dippon 79

80 Satz 2.7 (Konvergenzsatz für UI-Martingale) Für ein Martingal X sind äquivalent: (i) X n konvergiert in L 1 (ii) X ist L 1 -beschränkt und der f.s.-limes X erfüllt X n = E(X F n ) (iii) X ist gleichgradig integrierbar (uniformly integrable), d.h. lim sup E( X n 1 [ X >K] ) = 0 K n J. Dippon 80

81 Definition 2.7. Eine auf einem gemeinsamen W-Raum definierte Familie von Zufallsvariablen X = {X i i I} mit Indexmenge I heißt stochastischer Prozess. Im Folgenden wird häufig I = {0, 1,..., T } oder I = {0, 1, 2,...} gewählt. Definition 2.8. Der stochastische Prozess X = (X n ) n=0 Filtration (F n ) n=0 adaptiert, falls heißt zur n N X n ist F n -messbar Sei X n X n 1 der zufällige Gewinn pro Einheit des Wetteinsatzes in Spiel n (n N) in einer Serie von Spielen. Ist X = (X n ) ein Martingal, d.h. E (X n X n 1 F n 1 ) = 0, so kann dieses Spiel als fair bezeichnet werden. J. Dippon 81

82 Definition 2.9. Ein stochastischer Prozess C = (C n ) n N heißt vorhersagbar (predictable, previsible), falls (C 0 existiert nicht). C n ist F n 1 -messbar für alle n N J. Dippon 82

83 Ist C n der Wetteinsatz in Spiel n, so ist die Entscheidung über die Höhe von C n ausschliesslich auf die bis zum Zeitpunkt n 1 verfügbare Information gegründet. Gewinn zum Zeitpunkt n: C n (X n X n 1 ) Gewinn bis einschließlich Zeitpunkt n: Y n = n C k (X k X k 1 ) =: (C X) n k=1 Sinnvoll: (C X) 0 := 0 Klar: Y n Y n 1 = C n (X n X n 1 ) J. Dippon 83

84 Definition Der durch C X = ((C X) n ) definierte stochastische Prozess heißt Martingal-Transformation von X unter C (D.L. Burkholder). Dies ist das diskrete Analogon zum später noch zu definierenden stochastischen Integral C dx. Satz 2.8. Sei C ein beschränkter vorhersagbarer stochastischer Prozess, d.h. es gibt eine reelle Zahl K mit C n (ω) K für alle n und alle ω, und X ein Martingal. Dann ist C X ein Martingal mit (C X) 0 = 0. Satz 2.9. Eine zur Filtration F = (F n ) n N0 adaptierte Folge M = (M n ) n N0 von Zufallsvariablen ist genau dann ein Martingal, wenn für jede beschränkte vorhersagbare Folge H = (H n ) n N0 n N ( n ) E H k M k = 0 k=1 J. Dippon 84

85 Stoppzeiten Definition 2.11 Eine Zufallsvariable T mit Werten in {0, 1, 2,..., } heißt Stoppzeit, falls n {0,1,2,, } [T n] := {ω T (ω) n} F n oder äquivalent n {0,1,2,, } [T = n] F n Eine Stoppzeit kann z.b. dazu verwendet werden zu entscheiden, ob ein Spiel zum Zeitpunkt n abgebrochen oder fortgeführt wird. Hierbei wird nur die Information verwendet, die bis einschließlich Zeitpunkt n vorliegen kann. Wird z.b. beim Verkauf einer Aktie Insiderwissen verwendet, ist die vorgenannte Eigenschaft verletzt. J. Dippon 85

86 Satz 2.10 (Doob s Optional Stopping Theorem) Sei T eine Stoppzeit und X = (X n ) ein Supermartingal. Ist T oder X beschränkt, so ist X T integrierbar und EX T EX 0 Ist X ein Martingal, dann gilt sogar EX T = EX 0 J. Dippon 86

87 Proposition 2.1 Stoppen der Folge X = (X n ) zur (zufälligen) Zeit T : X T := (X T n ) := (X n T ). Dann gilt: Ist (X n ) adaptiert und T eine Stoppzeit, so ist auch die gestoppte Folge (X n T ) adaptiert. Ist (X n ) ein (Super-) Martingal und T eine Stoppzeit, so ist auch die gestoppte Folge (X n T ) ein (Super-)Martingal. Ein faires Spiel bleibt fair, wenn es ohne Vorkenntnis über ein zukünftiges Ereignis gestoppt wird. J. Dippon 87

88 Beispiel: Einfache Irrfahrt (simple random walk) S n := n i=1 X i mit unabhängigen Zufallsvariablen X i, wobei X i = 1 mit W. p = 1/2 und X i = 1 mit W. p = 1/2. Sei T := inf{n S n = 1}, d.h., wir hören auf zu spielen, sobald wir eine Geldeinheit gewonnen haben. Man kann zeigen, dass P (T < ) = 1. Beachte: S = (S n ) ist ein Martingal und T eine Stoppzeit Mit obiger Proposition: E(S T n ) = E(S 0 ) = 0 für jedes n. Jedoch: 1 = E(S T ) E(S 0 ) = 0 Also kann auf die Beschränktheitsbedingungen in Satz 2.10 nicht gänzlich verzichtet werden! Man kann zeigen, dass weder T noch der Verlust vor dem ersten Netto- Gewinn beschränkt sind. Dieses Spiel kann in der Praxis also nicht realisiert werden! J. Dippon 88

89 Die Snell-Einhüllende Definition 2.12 Ist Z = (Z n ) N n=0 eine Folge von zur Filtration (F n ) adaptierten Zufallsvariablen, so heißt die durch U N := Z N U n := max{z n, E(U n+1 F n )} (n N) definierte Folge U = (U n ) N n=0 die Snell-Einhüllende von Z. Satz 2.11 Die Snell-Einhüllende (U n ) von (Z n ) ist das kleinste Supermartingal, welches die Folge (Z n ) dominiert (d.h. U n Z n für alle n). Proposition 2.2 T 0 := inf{n 0 U n = Z n } ist eine Stoppzeit und die gestoppte Folge (U T 0 n ) ist ein Martingal. J. Dippon 89

90 Satz 2.12 Sei T n,n eine Familie von Stoppzeiten mit Werten in {n,..., N}. Dann löst die Stoppzeit T 0 das optimale Stoppproblem für Z: U 0 = E(Z T0 F 0 ) = sup{e(z T F 0 ) T T 0,N } Soll die Stoppzeit erst zur Zeit n anstatt zur Zeit 0 starten, gilt analog für T n := inf{j n U j = Z j }: U n = E(Z Tn F n ) = sup{e(z T F n ) T T n,n } Bei der Bewertung von amerikanischen Optionen soll zu dem Zeitpunkt die Option ausgeübt werden, zu dem die Auszahlung maximal ist. Die beiden letzten Aussagen zeigen, dass T 0 bzw. T n die hierfür optimalen Zeitpunkte liefern bei Verwendung der bis zu diesem Zeitpunkt zur Verfügung stehenden Information (ohne Vorgriff aus zukünftige Ereignisse). J. Dippon 90

91 Der folgende Satz zeigt, dass die oben definierte Stoppzeit T 0 kleinste optimale Stoppzeit für (Z t ) ist. die Satz 2.13 Eine Stoppzeit T ist genau dann optimal für die Folge (Z t ), falls die beiden folgenden Bedingungen gelten: (i) Z T = U T (ii) U T ist ein Martingal Satz 2.14 (Doobsche Zerlegung von Submartingalen) Sei (X n ) n N ein Submartingal bezüglich einer Folge (F n ) n N von wachsenden σ- Algebren. Dann existieren ein Martingal (M n ) n N und ein wachsender vorhersagbarer Prozess (A n ) n N (d.h. A n+1 A n f.s., A n+1 F n - messbar) so, dass X n = X 0 + M n + A n, wobei M 0 = A 0 = 0, für alle n N. Diese Zerlegung ist f.s. eindeutig. J. Dippon 91

92 3. Finanzmarktmodelle in diskreter Zeit Wir betrachten folgenden Finanzmarkt M: (Ω, F, P ) W-Raum mit Ω < F 0 F 1... F T F aufsteigende Folge F von in F enthaltenen σ-algebren F 0 = {, Ω}, F T = F = P(Ω) ω Ω P ({ω}) > 0 d + 1 Finanzgüter mit Preisen S 0 (t), S 1 (t),..., S d (t) zum Zeitpunkt t {0, 1,..., T }, welche F t -messbare Zufallsvariable seien J. Dippon 92

93 Dann ist S(t) = S 0(t). S d (t) ein F t -messbarer Zufallsvektor mit mit Werten in R d+1 Definition 3.1. Ein Numéraire ist ein Preisprozess (X t ) t {0,1,...,T } (also ein stochastischer Prozess), welcher strikt positiv ist für alle t {0, 1,..., T }. Das mit i = 0 indizierte Finanzinstrument wird als Numéraire verwendet und ist meist eine risikolose Kapitalanlage mit S 0 (0) = 1 Ist r der während einer Zeitperiode (t t + 1) gewährte Zins, so gilt S 0 (t) = (1 + r) t Damit definieren wir den Diskont-Faktor β(t) := 1/S 0 (t) J. Dippon 93

94 Definition 3.2 Eine Handelsstrategie (oder dynamisches Portfolio) ist ein vorhersagbarer R d+1 -wertiger stochastischer Prozess ϕ = ϕ 0 (t) ϕ 1 (t). ϕ d (t) t {0,1,...,T } d.h. eine Folge von T + 1 Zufallsvektoren mit Werten in R d+1. ϕ i (t) ist die Anzahl von Anteilen des Finanzgutes i, basierend auf den Informationen zum Zeitpunkt t 1. Die Adjustierung des Portfolios fand also kurz nach Bekanntgabe der Preise S 0 (t 1),..., S d (t 1) statt. J. Dippon 94

95 Definition 3.3. Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t ist gegeben durch V ϕ (0) = ϕ(1) S(0) und V ϕ (t) := ϕ(t) S(t) = d ϕ i (t)s i (t), t {1,..., T } i=0 Der dadurch definierte stochastische Prozess V ϕ heißt Wertprozess der Handelsstrategie ϕ. V ϕ (0) ist das Anfangskapital des Investors. Definition 3.4. Der Zuwachsprozess G ϕ der Handelsstrategie ϕ ist gegeben durch G ϕ (t) := t ϕ(τ) (S(τ) S(τ 1)) = τ=1 t ϕ(τ) S(τ) τ=1 für t {1,..., T }. J. Dippon 95

96 Sei S(t) = (1, β(t)s1 (t),..., β(t)s d (t)) der auf den Zeitpunkt t = 0 abdiskontierte Preisvektor. Ähnlich: Abdiskontierter Wertprozess für t {1,..., T }. Abdiskontierter Zuwachsprozess Ṽ ϕ (t) = β t ϕ(t) S(t) = ϕ(t) S(t) G ϕ (t) = t ϕ(τ) S(τ) τ=1 für t {1,..., T }. J. Dippon 96

97 Definition 3.5 Eine Handelsstrategie ϕ heißt selbstfinanzierend, falls t {1,...,T 1} ϕ(t) S(t) = ϕ(t + 1) S(t) Interpretation: zum Handelszeitpunkt t werden die neuen Preise S(t) bekannt. Das Portfolio hat dann den Wert ϕ(t) S(t). Aufgrund der Kenntnis der neuen Preise S(t) schichtet der Investor sein Portfolio mit Anteilen ϕ(t) zu einem Portfolio mit ϕ(t + 1) Anteilen um ohne jedoch Kapital abzuziehen oder einzubringen. J. Dippon 97

98 Behauptung 3.1. Sei X(t) ein Numéraire. Eine Handelsstrategie ϕ ist genau dann selbstfinanzierend bzgl. S(t), falls ϕ selbstfinanzierend bzgl. S(t)/X(t) ist. Also ist eine Handelsstrategie ϕ genau dann selbstfinanzierend bzgl. S(t), falls ϕ selbstfinanzierend bzgl. S(t) ist. Behauptung 3.2. Eine Handelsstrategie ϕ ist genau dann selbstfinanzierend, wenn t {0,1,...,T } Ṽ ϕ (t) = Ṽϕ(0) + G ϕ (t) J. Dippon 98

99 Die nächste Behauptung zeigt, dass der Wert des Portfolios vollständig durch das Anfangsvermögen und die Handelsstrategie (ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) t {1,...,T } bestimmt ist vorausgesetzt der Investor folgt einer selbstfinanzierenden Strategie. Behauptung 3.3. Für jeden vorhersagbaren Prozess (ϕ 1 (t),..., ϕ d (t)) t {1,...,T } und jedes F 0 -messbare V 0 existiert genau ein vorhersagbarer Prozess (ϕ 0 (t)) t {1,...,T }, so dass die Handelsstrategie ϕ = ϕ 0 (t) ϕ 1 (t). ϕ d (t) selbstfinanzierend und V 0 = V ϕ (0) der Anfangswert des Portfolios ist. J. Dippon 99

100 Definition 3.6. Eine selbstfinanzierende Strategie ϕ heißt Arbitrage- Strategie, falls V ϕ (0) = 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 V ϕ (T ) 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 V ϕ (T ) > 0 mit Wahrscheinlichkeit > 0 Der (oben definierte) Finanzmarkt M heißt arbitragefrei, falls es keine Arbitrage-Strategie in der Klasse aller Handelsstrategien gibt. Definition 3.7. Ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (Ω, F T ) heißt ein Martingalmaß für den stochastischen Prozess S, falls S ein P -Martingal bezüglich der Filtration F = (F t ) t {0,1,...,T } ist. P( S) bezeichne die Klasse aller äquivalenten Martingalmaße (für S). J. Dippon 100

101 Behauptung 3.4. Sei P ein äquivalentes Martingalmaß und ϕ eine selbstfinanzierende Handelstrategie. Dann ist der Wertprozess Ṽϕ(t) ein P -Martingal bezüglich der Filtration F. Behauptung 3.5. Existiert ein äquivalentes Martingalmaß, dann ist der Markt M arbitragefrei. Setze X + := {X : Ω R + 0 Γ := {X X + X ist eine Zufallsvariable} X(ω) 0 und X(ω) > 0} ω Ω ω Ω Γ ist ein Kegel. J. Dippon 101

102 Ist M ein arbitragefreier Markt, so gilt für jede selbstfinanzierende Strategie ϕ V ϕ (0) = 0 = Ṽϕ(T ) Γ Mit Behauptung 3.2 folgt: G ϕ (T ) Γ Das nächste Lemma zeigt, dass G ϕ (T ) Γ immer noch gilt, falls ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) ein vorhersagbarer Prozess ist und ϕ 0 so gewählt wird, dass die Strategie ϕ = (ϕ 0,..., ϕ d ) das Startkapital V 0 = 0 besitzt und selbstfinanzierend ist. Lemma 3.1. In einem arbitragefreien Markt erfüllt jeder vorhersagbare Prozess ϕ = (ϕ 1,..., ϕ d ) die Relation G ϕ (T ) Γ J. Dippon 102

103 Behauptung 3.6. Ist der Markt M arbitragefrei, dann existiert ein zu P äquivalentes Martingalmaß P. Eine Kombination der Behauptungen 3.5 und 3.6 liefert Satz 3.1 (No-Arbitrage-Satz). Der Finanzmarkt M ist genau dann arbitragefrei, wenn es ein zu P äquivalentes Martingalmaß P gibt, unter dem der diskontierte Preisprozess S ein P -Martingal ist. J. Dippon 103

104 Risikoneutrale Bewertung von Finanzderivaten Definition 3.8. Ein Finanzderivat mit Verfallszeitpunkt T ist eine nichtnegative F T -messbare Zufallsvariable X. Das Derivat heißt erreichbar (attainable), falls es eine das Derivat replizierende Handelsstrategie ϕ gibt, die selbstfinanzierend ist und für die gilt, dass V ϕ (T ) = X Zwei Handelsstrategieen werden als äquivalent angesehen, wenn sie denselben Wertprozess besitzen. X ist meist eine Funktion des Preisprozesses S: X = f(s) Beispiel: X := (S T K) + für eine europäische Call-Option mit Ausübungspreis K und Ausübungszeitpunkt T Behauptung 3.7. Ist M ein arbitragefreier Finanzmarkt, dann ist jedes erreichbare Finanzderivat X eindeutig in M replizierbar. J. Dippon 104

105 Grundidee der Arbitrage-Bewertung von Derivaten: Da der Wert eines erreichbaren Derivates X zu einem Zeitpunkt t T eindeutig sein sollte (sonst existiert eine Arbitragemöglichkeit), muss der Preis des Derivates zum Zeitpunkt t T mit dem Wert V ϕ (t) des Portfolios zur replizierenden Handelsstrategie ϕ zum Zeitpunkt t übereinstimmen. Deshalb ist folgende Definition sinnvoll: Definition 3.9. Der Finanzmarkt M sei arbitragefrei und X ein erreichbares Derivat mit Verfallszeitpunkt T. Dann ist der Arbitragepreisprozess (π X (t)) t {0,...,T } gegeben durch den Wertprozess der X replizierenden Strategie ϕ. J. Dippon 105

106 Da die Arbitrage-Bewertungsmethode offensichtlich unabhängig vom zugrundeliegenden Maß P ist also unabhängig vom Modell, das sich ein Investor vom weiteren Kursverlauf macht sollte ein Investor, welcher statt dem Maß P das risikoneutrale Maß P zugrundelegt, das Derivat mit demselben Preis bewerten. Behauptung 3.8. Der Finanzmarkt M sie arbitragefrei. Dann ist der Arbitragepreisprozess (π X (t)) t {0,...,T } jedes erreichbaren Finanzderivats X durch die Formel der risikoneutralen Bewertung t {0,...,T } π X (t) = β(t) 1 E (β(t )X F t ) gegeben, wobei E die Erwartung bezüglich eines (zu P ) äquivalenten Martingalmaßes P (für den auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Preisprozess) darstellt. Frage: Unter welchen Bedingungen ist jedes Finanzderivat erreichbar, also mittels einer Handelsstrategie replizierbar? J. Dippon 106

107 Vollständige Märkte Definition Der Finanzmarkt M heißt vollständig, wenn jedes Derivat erreichbar ist, also für jede nichtnegative F T -messbare Zufallsvariable X X + eine replizierende selbstfinanzierende Handelsstrategie ϕ mit V ϕ (T ) = X existiert. Satz 3.2 (Vollständigkeitssatz). Ein arbitragefreier Finanzmarkt M ist genau dann vollständig, wenn es genau ein zu P äquivalentes Martingalmaß gibt (unter welchem der abgezinste Preisprozess S ein Martingal ist). J. Dippon 107

108 Die Kombination des No-Arbitrage- und des Vollständigkeitssatzes (Sätze 3.1 und 3.2) ergibt den Fundamentalsatz der Preistheorie für Derivate: In einem arbitragefreien vollständigen Finanzmarkt M existiert genau ein äquivalentes Martingalmaß P. Ferner mit Behauptung 3.8: In einem arbitragefreien vollständigen Finanzmarkt M ergibt sich der arbitragefreie Preis π X (t) eines Derivates X als (bedingter) Erwartungswert des Derivates unter dem risikoneutralen (d.h. äquivalenten Martingal-) Maß P : t {0,...,T } π X (t) = β(t) 1 E (β(t )X F t ) J. Dippon 108

109 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell Wir betrachten folgenden Finanzmarkt M mit T Handelsperioden: risikolose Anlage B (Bond) mit B(t) = (1 + r) t, t {0,..., T } risikobehaftete Anlage S (z.b. Aktie) mit S(t + 1) = { us(t) mit W p, ds(t) mit W 1 p, t {0,..., T } wobei 0 < d < u und S 0 0 Die Veränderung S(t+1) S(t) für alle t {0,..., T } {u, d} ist unabhängig von S(0),..., S(t) J. Dippon 109

110 p S(2)=uuS(0) S(1)=uS(0) p 1 p S(0) 1 p p S(2)=udS(0) S(1)=dS(0) 1 p S(2)=ddS(0) T=0 T=1 T=2 Die ersten beiden Handelsperioden eines Binomialmodells J. Dippon 110

111 Explizite Konstruktion eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, P, F) und einer Filtration F: Ω := T t=1 Ω t wobei Ω t := Ω := {u, d}, also Ω = {u, d} T F := P(Ω) P := T also t=1 P t wobei Pt := P mit P ({u}) := p und P ({d}) := 1 p, T P ({ω}) = P t ({ω i }) t=1 mit ω = (ω 1,..., ω T ) und ω t {u, d} J. Dippon 111

112 F = (F t ) t {0,...,T } mit F 0 := {, Ω} F t := σ(s(1),..., S(t)), t {1,..., T 1} F T := F = P(Ω) Bemerkung. Sei Z(t + 1) := S(t+1) S(t) die relative Preisänderung der risikobehafteten Anlage vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t + 1 (t {0,..., T 1}). Dann folgt aus den Modellannahmen: S(t) = S(0) t τ=1 Z(τ), t {1,..., T 1} Z(0),..., Z(T ) sind unabhängige Zufallsvariablen J. Dippon 112

113 Definition Der oben definierte Finanzmarkt M heißt Cox-Ross- Rubinstein-Modell (CRR-Modell). Behauptung 3.9. Im CRR-Modell existiert genau dann ein äquivalentes Martingalmaß Q, wenn d < 1 + r < u Existiert ein äquivalentes Martingalmaß Q, so ist dieses eindeutig und durch q = 1 + r d u d festgelegt, es gilt also mit Q = T t=1 Q t Q t ({u}) = q und Q t ({d}) = 1 q J. Dippon 113

114 Behauptung Das CRR-Modell ist arbitragefrei. Behauptung Das CRR-Modell ist vollständig. Behauptung Das CRR-Modell ist genau dann vollständig, wenn jedes darin enthaltene Einperioden-Modell vollständig ist. J. Dippon 114

115 Behauptung Im CRR-Modell ist der Arbitragepreis eines Derivates X durch t {0,...,T } π X (t) = B(t)E (X/B(T ) F t ) gegeben, wobei E die Erwartung bezüglich des eindeutigen (zu P ) äquivalenten Martingalmaßes P (für den auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Preisprozess) darstellt, welches durch p = 1 + r d u d über mit festgelegt ist. P = T t=1 Q t Q t ({u}) = p und Q t ({d}) = 1 p J. Dippon 115

116 Behauptung Der Arbeitragepreis einer europäischen Call-Option mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K, basierend auf einer Aktie S, ist im CRR-Modell gegeben durch t {0,...,T } T t C(t) = (1 + r) (T t) j=0 ( T t j ) p j (1 p ) T t j (S(t)u j d T t j K) + J. Dippon 116

117 Behauptung Im CRR-Modell ist die eine europäischen Call- Option mit Verfallsdatum T und Ausübungspreis K replizierende Handelsstrategie ϕ = (ϕ 0 (t), ϕ 1 (t)) t {1,...,T } gegeben durch ϕ 1 (t) = C(t, S t 1u) C(t, S t 1 d) S t 1 (u d) ϕ 0 (t) = uc(t, S t 1d) dc(t, S t 1 u) (1 + r) t (u d) J. Dippon 117

118 Binomialapproximation Modellierung von Preisprozessen in stetiger Zeit mittels eines stochastischen Prozesses in stetiger Zeit einer Approximation mit einer Folge stochastischer Prozessen in diskreter Zeit J. Dippon 118

119 Jetzt: Approximation der Preisprozesse in stetiger Zeit t [0, T ] mittels einer Folge von CRR-Modellen in diskreter Zeit mit k n Handelszeitpunkten, wobei (k n ) eine wachsende Folge aus N sei Teile [0, T ] in k n Teilintervalle der Länge n = T k n Handel nur in den Zeitpunkten: t n,j = j n, j {0,..., k n } Modellierung des Bonds: Sei r n der risikolose Zins Preisentwicklung des Bonds: B(t n,j ) = (1 + r n ) j, j {0,..., k n } Im zeitstetigen Modell: B(t) = e rt mit stetiger Zinsrate r > 0 Falls für r n gilt 1 + r n = e r n folgt (1 + r n ) j = e rj n = e rt n,j J. Dippon 119

120 Modellierung der risikobehafteten Anlage: Sei Z n,i = S(t n,i+1) S(t n,i ) {u n, d n } die relative Veränderung in der Handelsperiode i i + 1 (i {0,..., k n 1}) mit P (Z n,i = u n ) =: p n = 1 P (Z n,i = d n ) mit einem noch zu bestimmenden p n (0, 1) Aktienpreisprozess im n-ten CRR-Modell (mit k n Handelsperioden) S n (t n,j ) = S n (0) j Z n,i, j {0,..., k n } i=1 J. Dippon 120

121 Annahme: Für jedes feste n gilt: Z n,1,..., Z n,kn unabhängige ZV n Nach Behauptung 3.9 ist das n-te CRR-Modell genau dann arbitragefrei, wenn d n < 1 + r n < u n Dieses ist in eindeutiger Weise charakterisiert durch p n = 1 + r n d n u n d n Damit ist das n-te CRR-Modell bis aus die Parameter u n festgelegt. und d n J. Dippon 121

122 Wir wählen u n = e σ n und d n = e σ n Das risikoneutrale Maß für das n-te CRR-Modell ist dann gegeben durch p n = 1 + r n d n = ern n e σ n u n d n e σ n e σ n Mögliche Preise der Aktie S zum Zeitpunkt T : S(0)u j nd k n j n, j {0,..., k n } Mit Behauptung 3.13 folgt der Arbitragepreis C n (0) des europäischen Calls auf die Aktie S mit Strike K und Expiry T im n-ten CRR-Modell: C(0) = (1 + r n ) k n E (S(T ) K) + = (1 + r n ) k n k n ( kn j=0 j ) p j n (1 p n) k n j ( S(0)u j nd k n j n K ) + J. Dippon 122

123 Mit a n = min{j N 0 S(0)u j nd k n j n > K} folgt k n ( kn j=a n ) p j n (1 p n) k n j ( S(0)u j nd k n j n K ) C n (0) = (1 + r n ) k n j j=a n k n ( ) ( ) kn p j ( = S(0) n u n (1 p n )d n j 1 + r j=a n 1 + r n n k n ( ) (1 + r n ) k kn n K p j n (1 p j n) k n j = S n (0) { 1 Bin ( p n u n 1 + r n, k n ) } (a n 1) K(1 r n ) k n {1 Bin (p n, k n ) (a n 1)} ) kn j Bemerkung: 0 < p n u n 1+r n < 1 J. Dippon 123

124 Satz 3.3 (Black-Scholes-Formel für den Preis einer europäischen Call-Option). Mit obiger Notation gilt: C(0) := lim n C n(0) = S(0)Φ(d 1 (S(0), T ) Ke rt Φ(d 2 (S(0), T )) wobei d 1 (s, t) = 2 σ log(s/k) + (r + 2 )t σ t d 2 (s, t) = d 1 (s, t) σ t = 2 σ log(s/k) + (r 2 )t σ t und Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichne. Der Preis für die europäische Put-Option ergibt sich sofort über die Put-Call-Parität. Dieses Resultat wurde 1997 mit dem Nobelpreis für Ökonomie gewürdigt. J. Dippon 124