Übungen für Angewandte Numerik I Sommersemester eines Polynoms nten Grades: p(x) =

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1 Übungen für Angewandte Numerik I Sommersemester Gegeben seien die Koeffizienten{a k } n k=0 eines Polynoms nten Grades: p(x) = n a k x k k=0 Schreibe einen Matlab-Code zur Auswertung des Polynoms (a) Mittels des Horner Algorithmus und (b) durch eine gewichtete Summe der Potenzen Vergleiche die Ergebnisse Wie kann die Genauigkeit für den einen oder den anderen Code bestätigt werden? (Gelöst von Herrn Hofstadler) 2 Finde eine IEEE Fließkommazahl Darstellung der Zahl( ) 10 mit einfacher Genauigkeit (Gelöst von Herrn Hattenberger) 3 Die Nullstelle einer unbekannten Funktion f soll gefunden werden, und man hat Zugang zu den Werten vonf nur durch ein Computerprogramm Das Computerprogramm berechnetf(x) = arctan[4(x ˆx)], ˆx = , in doppelter Genauigkeit Ein iteratives Verfahren wird zur Bestimmung der Nullstelle verwendet, und man speichert die Approximationx k ˆx in derkten Iteration mit einfacher Genauigkeit Finde die kleinsten Toleranzen ε,δ undη, die für die Abbruchskriterien x k x k 1 < ε x k, x k x k 1 < δ, f(x k ) < η zuverlässig verwendet werden können Welches Abbruchskriterium verlangt kein Vorwissen von der Funktion? (Gelöst von Herrn Ramsauer) 4 Angenommen gilt lim x x0 F(x)/G(x) < Zeigen Sie, es gibt K,δ > 0 sodass F(x) K G(x), x (x 0 δ,x 0 +δ) (Gelöst von Herrn Ramsauer) 5 Das Gebiet Ω = (0,1) R 1 sei mit einem Gitter {x i } N i=0 Ω diskretisiert, wobei die Gitterpunkte so definiert sind: x i = ih, 0 i N, h = 1/N Für eine Funktion u C 3 ( Ω) (weitere Glattheit ist nicht garantiert) seien die Werte{u(x i )} N i=0 gegeben Zeige: max u (x i ) u(x i+1) 2u(x i )+u(x i 1 ) = O(h) 1 i N 1 (Gelöst von Herrn Hofstadler) 6 Gegeben seien die Werte u(x i ), 0 i N, auf dem oben definierten Gitter {x i } N i=0 Unter welchen Bedingungen der Funktionugilt die Konvergenz: Erkläre (Gelöst von Herrn Hofstadler) h N i=0 h 2 u(x i ) h 0 u(x)dx Ω 7 Gegeben seien die Werte v(x i ), 0 i N, auf dem oben definierten Gitter {x i } N i=0 Schreibe eine ApproximationJ h (u) für J(u) = (u v) 2 dx+µ u 2 +ε 2 dx Ω Ω und leite die Optimalitätsbedingung J h (u) = 0 her (Gelöst von Herrn Keeling) 8 Schreibe einen Pseudo-Code für Vorwärts Substitution und berechne und die Anzahl der gesamten Operationen 1

2 9 Betrachte den Matlab-Code zur Implementierung der Methode der Konjugierten Gradienten für die Lösung des linearen GleichungssystemsAx = b nach x R n wobei b R n unda R n n : function x = cg(a,b,kmax) x = b; r = b - A*x; rho1 = sum(rˆ2); for k=1:kmax if (k == 1) p = r; else end beta = rho1/rho0; p = r + beta*p; end w = A*p; alpha = rho1/(p *w); x = x + alpha*p; r = r - alpha*w; rho0 = rho1; rho1 = sum(rˆ2); Welcher Wert soll man für kmax nehmen, damit der Code die Lösung des linearen Gleichungssystems genau (mit exakter Arithmetik) berechnet? Schreibe für jede Zeile nur die Großenordnung der Fließkomma- Operationen (flops) die durchgeführt werden, zb O(n), O(n 2 ), usw Ist die Großenordnung der gesamten flops für diesen Code vergleichbar mit der für Gaußsche Elimination? 10 Die folgende Matrix sei gegeben: a 1,1 a 1,q A = a p+1,1 0 0 R n n a n q,n 0 0 a n,n p a n,n Bemerke: a i,j = 0 wennp < i j oder j i > q Die Bandbreite vonaisp+q+1, die kleinste Anzahl der benachbarten Diagonalen, zu denen die nicht trivialen Elemente eingeschränkt sind (a) Schreibe einen Pseudo-Code zur Implementierung des Gauß Algorithmus für A mit möglichst wenig arithmetischen Operationen (b) Um Speicherplatz zu reduzieren, wirdaals Liste der Diagonalen gespeichert: a p+1,1 a 1,1 0 0 B = a n,n p 0 R n (p+q+1) 0 a1,q a n,n a n q,n 2

3 Bemerke: Die nicht trivialen Elemente von A = {a i,j } lassen sich bezüglich der Elemente von B = {b k,l } so darstellen: b k,l = a p+k l+1,k a i,j = b j,p+j i+1 Schreibe den Pseudo-Code vom Teil (a) bezüglich der Elemente von B um (Gelöst teilweise von Herrn Hofstadler und teilweise von Herrn Keeling) 11 Die Matrix A R n n ist eine Bandmatrix mit Bandbreite p + q + 1, wobei p die linke und q die rechte Halbbandbreiten sind, dh die Anzahl der streng unteren Diagonalen ist p, und die Anzahl der streng oberen Diagonalen ist q Für b R n soll eine Lösung x R n des linearen Gleichungssystems Ax = b durch Gaußshe Elimination berechnet werden, und zwar mit möglichst wenig arithmetischen Operationen Leite eine Funktion G(n, p, q) her, wobei die Größenordnung der Anzahl der Operationen für die Lösung durcho(g(n,p,q)) gegeben ist Hinweis: Für eine obere Schranke kann man im obigen Code die Schleifengrenzen min(n,k+p) und min(n,k+q) for k=1,,n-1 for i=k+1,,min(n,k+p) for j=k+1,,min(n,k+q) % Pivot-Index % Bis zur linken Grenze % Bis zur rechten Grenze mit k+p beziehungsweise k+q ersetzen Für eine untere Schranke kann man die Schleifegrenze n-1 für das Pivot-Index mit min(n-p,n-q) = n - max(p,q) ersetzen, und dann gelten min(n,k+p) = k+p und min(n,k+q) = k+q 12 Für die obige Bandmatrix A soll die LU-Zerlegung berechnet werden Zeige, L hat die linke Halbbandbreite p und die rechte Halbbandbreite 0, und U hat die linke Halbbandbreite 0 und die rechte Halbbandbreiteq 13 Für die Matrix A = führe Gaußsche Elimination mit einer geeigneten Pivotsuche durch, um eine Permutationsmatrix P, eine untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U zu bestimmen, sodass P A = LU gilt (Gelöst von Herrn Ramsauer) 14 Die Vektoren u k R N sollen durch die Lösung des folgenden Systems bestimmt werden: (I + ta)u k+1 = u k, k = 0,1,2, wobei für x, t,d,f,c > 0, R N N A = d x f x ci Leite eine Bedingung für die Parameter d,f,c, t, x her, sodass keine Pivot-Suche verwendet werden muss Schätze die Eigenwerte der Matrix (I + ta) und anschliessend der Matrix (I + ta) 1 ab (Gelöst von Herrn Keeling) 3

4 15 Zeige, für eine reguläre schwach diagonal dominante Matrix A R n n ist der Gauß Algorithmus ohne Pivotsuche immer anwendbar 16 Die exakte Lösung des folgenden Systems, [ ][ x1 x 2 ] = [ ] istx 1 = 1000,x 2 = 1000 Das System soll aber mit 4-Dezimalzifferiger Arithmetik bei jeder Rechnung gelöst werden Verwende eine geeignete Pivot-Strategie, um eine ziemlich genaue Approximation der Lösung zu berechnen 17 Für die Lösung eines tridiagonalen Systems gibt es den Thomas Algorithmus, b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a n 1 b n 1 c n 1 a n b n c i = { c1 /b 1, i = 1 c i /(b i c i 1 a i), i = 2,,n 1 d i = { d1 /b 1, i = 1 (d i d i 1 a i)/(b i c i 1 a i) i = 2,,n x n = d n x i = d i c i x i+1,i = n 1,,1 Zeige, der Thomas Algorithmus kosteto(n) flops 18 Zum Entrauschen der verrauschten Daten v wird das Randwertproblem { µu +u = v, in Ω = (0,1) u = 0, auf Ω wie folgt auf dem Gitter x i = ih,i = 0,,N,h = 1/N, diskretisiert: [ µ u(x i ) u i v(x i ) v i ]u h 2D +I = v, D = wobei D R (N+1) (N+1) und µ > 0 steuert, wie geglättet die Lösung u wird Verwende den Thomas Algorithmus, um dieses System für eine verrauschte Treppenfunktion v zu lösen Stelle v und u für verschiedene Werte vonµgrafisch dar 19 Zum Entrauchen der verrauschten Datenv wird das Randwertproblem { µ(uxx +u yy )+u = v, inω = (0,1) 2 u n = 0, auf Ω 4

5 wie folgt auf dem Gitter (x i,y j ) = h(i,j), i,j = 0,,N,h = 1/N, diskretisiert: [ µ ] h 2D +I u = u u = v 11,,u N1,,u 1N,,u NN T u(x i,y j ) u ij v = v 11,,v N1,,v 1N,,v NN T v(x i,y j ) v ij D 0 = I, D 1 = [ µ ] h 2D +I = µ h D 1 D 0 D 0 D 2 D 0 D 0 D 2 D D 0 D 2 D 0 D 0 D 2 D 0 D 0 D 1, D 2 = +I wobei D 0,D 1,D 2 R (N+1) (N+1) und µ > 0 steuert, wie geglättet die Lösung u wird Schreibe die Koeffizeitenmatrix mit sparse format und löse das System für eine verrauschte Treppenfunktionv mit (a) der Jacobi Methode (b) der (Symmetrisch) Gauß-Seidel Methode (c) der Methode der Konjugierten Gradienten Stellev undufür verschiedene Werte von µ grafisch dar (Hinweise: Ein nützliches Code-Stück: NN = N*N; Dxdiag = -ones(n,n); Dxdiag(N,:) = 0; Dxsup = ones(n,n); Dxsup(1,:) = 0; Dx = spdiags(dxdiag(:),0,nn,nn) + spdiags(dxsup(:),1,nn,nn); Dydiag = -ones(n,n); Dydiag(:,N) = 0; Dysup = ones(n,n); Dysup(:,1) = 0; Dy = spdiags(dydiag(:),0,nn,nn) + spdiags(dysup(:),n,nn,nn); D = Dx *Dx + Dy *Dy; Der imagesc-befehl in MATLAB ist geeignet für die grafische Darstellung von Bildern) 20 Zeige Äquivalenz der Normen 1 und 2 21 Die gemessenen ph-werte einer chemischen Lösung sind f = a,b,,b R n+1 Für e = 1,,1 zeige a+nb 1+n = argmin c R f ce 2 2 während b = argmin c R f ce 1 22 Zeige für eine gegeben Vektornorm V über R n, die folgende Funktion ist eine Matrixnorm über R n n Ax V A M = sup x R n x V 5

6 23 Zeige für eine Matrix{A ij } = A R n n, die Frobenius Matrixnorm, ist mit der Vektornorm x 2 kompatibel A F = n A ij 2 i,j=1 24 Finde die IterationsmatrixT SGS für die Symmetrische Gauß-Seidel Methode 25 Leite die Approximierte InverseM SGS für die Symmetrische Gauß-Seidel Methode her 26 Zeige, wennasymmetrisch ist, istm SGS symmetrisch, währendm GS im allgemeinen nicht symmetrisch ist 27 Schreibe einen Matlab-Code zur Implementierung der Vektoriteration zur Bestimmung des dominanten Eigensystems einer gegebenen Matrix A R n n, die die Voraussetzungen der Konvergenz erfüllt Wie könnte man den Code anschliessend verwenden, um die nächsten Eigensysteme zu bestimmen? 28 Zeige für den folgenden Algorithmus, es gilt θ = 1 2 u 2 2 v = x/ x θ = τu 1 τ = sign(v 1 ) v 2 σ = τ x u = v +τê (1) P = I u T u, Px = σê (1) 29 Schreibe einen Matlab-Code, der für eine gegebene Matrix A R n n eine orthogonale Matrix P bestimmt, diepa = U erfüllt, wobei U eine obere Dreiecksmatrix ist Für die orthogonale Transformation c s G = s c und x = a b sollen durch das Produkt Gx nur die Elementeaundb 0 inxgeändert werden, wobeibvernüllt wird Bestimme die Parameter c,sundr, die erfüllen: [ ][ ] [ ] c s a r = s c b 0 Zeige, unter der Bedingung r > 0 ist die Lösung(c,s,r) so eindeutig bestimmt: r = a 2 +b 2, c = a/r, s = b/r 6

7 31 Implementiere die in der Vorlesung gegebenen Pseudo-Codes, um den QR-Algorithmus zur Bestimmung der Eigensysteme einer gegebenen SPD Matrix A R n n durchzuführen Dh A = PÃPT soll zuerst mittels Householder Transformationen auf tridiagonale Form à A(1) transformiert werden Anschliessend sollen QR-Zerlegungen R (k 1) Q (k 1) =: A (k) = Q (k) R (k) für tridiagonale Matrizen A (k) mittels Givens Transformationen durchgeführt werden, bisa (k) ausreichend diagonal ist 32 Zeige, wenn die Werte {x i } m 1 i=0 verschieden sind, ist die Vandermonde Matrix V T V SPD, wobei V = [e,x,,x n 1 ] die Vandermonde Matrix ist 33 Zeige, für lineare Regression m 1 E(a,b) = [y i (a+bx i )] 2 ist die minimierende Lösung explizit und eindeutig so gegeben: i=0 a = ȳ b x, b xy = xȳ x 2 x 2 wobei zb xy = 1 m 1 x i y i m i=0 wenn die Werte {x i } m 1 i=0 verschieden sind 34 Konstruiere die Hermite Basis Funktionen {φ i } N i=0, {ψ i} N i=0 für ein regelmäßiges Gitter, wobei φ i und ψ i den Träger in[x i 1,x i+1 ] haben 35 Sei ein nicht notwendigerweise regelmäßiges Gitter {x i } N i=0 gegeben Die spline Basis-Funktion s i,k(x) S k (x) hat den Träger in [x i,x i+k+1 ] Basierend auf Glattheitsbedingungen schreibe das Gleichungssystem für die Koeffizienten von s i,k (x) fürk = 1, 2 und 3 36 Gegeben seien zu interpolierende Daten{(x i,f i )} N i=0 Schreibe einen Matlab-Code für die Interpolation, (a) mit linearen Splines, (b) mit kubischen Splines durch die Randbedingung s (x) = 0 eingeschränkt, (c) mit kubischen Splines durch die Randbedingung s (x) = 0 eingeschränkt, und (d) mit der Hermite Basis (Hinweise: f (x i ) kann mit den Werten{f i } approximiert werden) 37 Seig C 1 ([a,b]) mit g([a,b]) [a,b] Angenommen γ g (x) γ < 1, x (a,b) Zeige wobei x der eindeutige Fixpunkt in [a,b] ist x x k γk 1 γ x 1 x 0, k 1 38 Definiereg(x) = xe r(1 x),r 1,f(x) = x g(x) Für r = 1, findeǫ 0 ǫ (0,ǫ 0 ) (a) g(b(1,ǫ)) B(1,ǫ) und (b) γ (0,1) g (x) γ, x B(1,ǫ) Erkläre die Konsequenzen für die Fixpunkt-Iterationx k+1 = g(x k ) 39 Seif(x) eine Funktion mit Nullstelle der Multiplizitätm 1 Zeige asymptotisch quadratische Konvergenz für die Fixpunkt-Funktion g m (x) = x mf(x)/f (x) 40 Für das Abstiegsverfahren mit der Fixpunkt-Funktion, G A (u) = (1 α)u+αg(u), G(u) = v µ h 2D(u)u, 7

8 D(u) = D 1 D 1 D 1 D 1 +D 2 D 2 D N 1 D N 1 +D N D N D N D N [ (ui u i 1, D i = h ) 2 +ǫ 2 ] 1 2 zeige fürα (0,1), es giltg A (D) D fürd = B (v, 2µ h ) und G A (u) 1 α+ 4αµ ǫh 2, u D 41 Für die implizite Fixpunkt Iteration mit der Fixpunkt-Funktion, G I (u) = [ I + µ h 2D(u) ] 1v zeige es gilt G I (D) D für D = B 2 (0, v 2 ) und G I (u) 2 16µ (ǫ 3 h 4 ) v 2 2, u D 42 Leite ein5 5 System für die Koeffizienten{a 2,,a 2 } her, f (x) = um die Genauigkeit r = 4 zu erreichen 2 k= 2 43 Leite die Zusammengesetzte Trapez-Regel her: b a f(x)dx = h f(a)+2 2 wobei x j = a+jh, j = 0,,m,h = (b a)/m a k f(x+kh)+o(h r ) m 1 j=1 f(x j )+f(b) +O(h 2 ) 44 Zeige, die Genauigkeitsordnung vom Crank-Nicholson Verfahren ist n = 2 45 Das Sturm-Liouville Randwertproblem { (pu ) +qu = f, x Ω αu+ωu = g, x Ω Ω = (0,1) wird mit linearen Splines S 1 (x) auf dem Gitter x = {x i }, x i = a + hi, i = 0,,N und h = 1/N approximiert (a) Für die Dirichlet Randbedingung, u = g, leite ein lineares Gleichungssystem, Aa = b, u(x) = n i=0 a is i (x), mit den Daten her p = q = f = 1,g = g i in[x i 1,x i ),i = 1,,N (b) Für die Neumann Randbedingung, u = 0, leite ein lineares Gleichungssystem, Aa = b, u(x) = n i=0 a is i (x), mit den Daten her p = p i,q = q i,f = f i in[x i 1,x i ),i = 1,,N 8