Kapitel 3. Der Grenzwert. 3.1 Metrische Räume

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1 Kapitel 3 Der Grenzwert Schon recht bald hat sich in der Mathematik herausgestellt, dass eine rein algebraische Betrachtungsweise der reellen Zahlen nicht immer das geeignete Instrument zur Modellierung der in den Naturwissenschaften auftretenden Phänomene ist. Probleme wie unendlich oft immer kleiner werdende Größen zusammenzählen oder einer gewissen Zahl immer näher kommen, lassen sich mit den bisher rein algebraischen Methoden nicht fassen. Man denke zum Beispiel an die Approximation der Zahl π, indem man einem Kreis mit Radius eins regelmäßige n-ecke einschreibt, von diesen den Umfang berechnet, und dann n immer größer werden lässt. Das führt zu dem Begriff des Grenzwertes einer Folge von Zahlen. Dazu wollen wir das Einer-Zahl-immer-näher-Kommen bzw. Konvergieren mathematisch exaktifizieren: Eine Folge x, x, x 3,... von reellen Zahlen heißt konvergent gegen eine reelle Zahl x, falls es zu jedem beliebig kleinen Abstand ɛ > 0 einen Folgenindex N gibt, sodass ab diesem Index alle Folgenglieder einen Abstand von x kleiner als ɛ haben; sodass also x n x < ɛ für alle n N. 3. Metrische Räume Wir wollen im Folgenden nicht nur die Konvergenz von Folgen von reellen Zahlen, sondern auch die Konvergenz von Folgen in C, von Folgen in R 3 oder auch von Folgen in anderen Mengen studieren. Was R, C und R 3 gemeinsam haben, ist die Möglichkeit anzugeben, wie weit zwei Punkte voneinander entfernt sind. Offenbar benötigt man zur Definition der Konvergenz auch nicht mehr als eben diesen Abstandsbegriff. Das führt zum Konzept eines metrischen Raumes. 3.. Definition. Sei X eine Menge, d : X X R eine Funktion. d heißt eine Metrik auf X, und X, d ein metrischer Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (M) Für alle x, y X ist d(x, y) 0. Dabei gilt d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y. (M) Für alle x, y X gilt d(x, y) = d(y, x). Wie unmittelbar nach Satz.9.3 bemerkt, ist R ein vollständig angeordneter Körper.

2 70 3 Der Grenzwert (M3) Sind x, y, z X, so gilt die Dreiecksungleichung: d(x, z) d(x, y) + d(y, z). 3.. Bemerkung. Man kann allgemeiner auch Metriken d betrachten, die X X nicht nach R, sondern nach K abbilden, wobei K, +,, P ein archimedisch angeordneter Körper ist. Wir werden darauf im Kapitel 4 zurück kommen Beispiel. (i) Ist X = R und d(x, y) = x y für x, y R, so sieht man sofort, dass (M) und (M) erfüllt sind. (M3) folgt aus der Dreiecksungleichung für den Betrag (siehe Lemma..): x z = (x y) + (y z) x y + y z, x, y, z R. (3.) (ii) Ist X = C R und d(z, w) = z w für z, w C, wobei. hier der komplexe Betrag ist, so erfüllt d offensichtlich (M) und d(z, w) 0. Schreibt man z = a + ib und w = c+id, so gilt d(z, w) = (a c) + (b d) = 0 genau dann, wenn a c = 0 und b d = 0, also z = w. Somit ist (M) erfüllt. (M3) folgt aus der Dreiecksungleichung für den komplexen Betrag ähnlich wie in (3.). (iii) Um eine Metrik auf X := R p zu definieren, setzen wir d (x, y) := ( p (x j y j ) ), x = (x,..., x p ), y = (y,..., y p ) X. j= Man spricht von der euklidischen Metrik auf R p. Die Gültigkeit von (M) und (M) ist aus der Definition offensichtlich. Die Dreiecksungleichung (M3) folgt hingegen aus dem unten folgenden Lemma Im Falle p =, also X = R, gilt d (x, y) = x y. Damit ist der Abstand zweier Zahlen bzgl. der euklidischen Metrik nichts anderes als der Betrag der Differenz dieser Zahlen. Die euklidische Metrik auf R hat eine analoge Interpretation mit Hilfe des Betrages einer komplexen Zahl. Für z = a + ib C haben wir den Betrag definiert als z = a + b. Daraus erkennt man, dass die euklidische Metrik auf R gerade d (z, w) = z w, z, w C, ist, wobei wir hier die komplexen Zahlen als Elemente der Gaußschen Zahlenebene, also als Elemente von R interpretieren Lemma. Seien p N, a,..., a p, b,..., b p R. Dann gilt (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) p p p a i b i a i b i, i= i= i=

3 3. Metrische Räume 7 und (Minkowskische Ungleichung) p (a i + b i ) i= p i= a i p + i= b i. Beweis. Wir verwenden die Bezeichnungen a := (a,..., a p ), b := (b,..., b p ) R p und definieren p (a, b) := a i b i. Für Zahlen λ, µ R und a, b R p setzen wir λa + µb := (λa + µb,..., λa p + µb p ). Offenbar gilt für a, b, c R p i= (λa + µb, c) = p (λa i + µb i )c i = i= p λa i c i + i= p µb i c i = λ(a, c) + µ(b, c). i= Man spricht von der Linearität von (.,.) in der vorderen Komponente. Wegen (a, b) = (b, a) ist (.,.) auch in der hinteren Komponente linear (vgl. den Begriff des Skalarproduktes auf einem Vektorraum in der Linearen Algebra). Um die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu zeigen, gehen wir von der trivialen Bemerkung aus, dass für jedes p-tupel x = (x,..., x p ) R p (x, x) = p xi 0. (3.) i= Für alle t R gilt nun 0 (a + tb, a + tb) = (a, a) + t(a, b) + t (b, b). Ist (b, b) 0, so setze man t = (a,b) in obige Ungleichung ein, und erhält (b,b) 0 (a, a) (a, b) (b, b). Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Im Falle (b, b) = 0 folgt b = (0,..., 0), und damit (a, b) = 0. Es gilt also auch in diesem Fall die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Also ist (.,.) eine Abbildung von R p R p nach R.

4 7 3 Der Grenzwert Die Minkowskische Ungleichung folgt wegen (a i + b i ) = a i (a i + b i ) + b i (a i + b i ) aus p p p p (a i + b i ) = a i (a i + b i ) + b i (a i + b i ) a i (a i + b i ) + p b i (a i + b i ) i= i= i= i= i= p p p p a i (a i + b i ) + b i (a i + b i ) i= p = i= a i i= p + i= b i i= p (a i + b i ) i= i=. Beispiele von Metriken gibt es noch viele, und sie treten in verschiedensten Zusammenhängen auf Beispiel. (i) Sei noch einmal X := R und setze d (x, y) := x y + x y, x = (x, x ), y = (y, y ) R. Dann ist d eine Metrik. Die Gültigkeit von (M) und (M) ist wieder aus der Definition offensichtlich. Um die Dreiecksungleichung einzusehen, seien x, y, z R gegeben. Dann folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung für. d (x, z) = x z + x z ( x y + y z ) + ( x y + y z ) = ( x y + x y ) + ( y z + y z ) = d (x, y) + d (y, z). Diese Metrik ist offenbar ungleich der euklidischen Metrik, denn es gilt etwa d ((0, 0), (, )) = 3 5 = d ((0, 0), (, )). Anschaulich interpretiert bezeichnet man d manchmal als New York-Metrik. Denn stellt man sich in der Ebene einen Stadtplan mit lauter rechtwinkeligen Straßen wie etwa in New York vor, dann misst d (x, y) gerade die Länge des Fußweges von der Kreuzung x zur Kreuzung y. Ganz analog definiert man eine Metrik am R p d (x, y) = p x j y j, x = (x,..., x p ), y = (y,..., y p ) R p. j= Der Nachweis von (M)-(M3) geht genauso wie im oben betrachteten Fall p =. (ii) Ist wieder X = R p, so definiert d (x, y) := max j=,...,p x j y j, x = (x,..., x p ), y = (y,..., y p ) R p,

5 3. Metrische Räume 73 wieder eine Metrik. (M) und (M) sind leicht nachweisbar. Die Dreiecksungleichung folgt aus der Tatsache, dass für alle nichtnegativen Zahlen max{a + b,..., a p + b p } max{a,..., a p } + max{b,..., b p }. Auch diese Metrik unterscheidet sich tatsächlich von den schon eingeführten Metriken d und d, da etwa im Falle p = gilt, dass d ((0, 0), (, )) =. Auf R stimmen die Metriken d, d, d aber alle überein. (iii) Ist X = C p, so definiert man für z = (z,..., z p ), w = (w,..., w p ) C p d (z, w) = p z j w j. j= Identifiziert man z mit dem Vektor x R p, indem man x = Re z, x = Im z,..., x p = Re z p, x p = Im z p setzt, und identifiziert man w entsprechend mit dem Vektor y R p, so gilt d (z, w) = p (Re(z j w j ) + Im(z j w j ) ) = d (x, y). j= Insbesondere ist auch C p versehen mit d ein metrischer Raum. (iv) Aus theoretischer Sicht bedeutend ist die diskrete Metrik, welche auf jeder nichtleeren Menge X folgendermaßen definiert ist: 0, falls x = y, d(x, y) =, falls x y Bemerkung. Die oben kennengelernten Metriken d, d, d auf dem R p sind allesamt von Normen erzeugte Metriken. Eine Norm. auf R p ist eine Funktion von R p R mit folgenden drei Eigenschaften x, y R p, λ R: (i) x 0, wobei x = 0 x = 0. (ii) λx = λ x. (iii) x + y x + y. Dabei gilt d(x, y) = x y, d (x, y) = x y, d (x, y) = x y, wobei x := p j= x j, x := p j= x j, x = max{ x,..., x p } Normen sind.

6 74 3 Der Grenzwert 3..7 Beispiel (*). Betrachte die ganzen Zahlen X := Z und halte eine Primzahl p fest. Setze, falls x y, x y = ± p d (p) (x, y) := n(p) q prim q n(q), 0, falls x = y. Dabei ist ± q prim q n(q) die eindeutige Primfaktorzerlegung von x y. Dann ist d (p) eine Metrik auf Z. Denn (M) ist nach Definition erfüllt, (M) ist ebenfalls richtig, denn vertauscht man x und y, so ändert sich bei der Differenz x y nur das Vorzeichen, nicht jedoch die Primfaktoren und ihre Potenzen. Die Dreiecksungleichung ist wieder schwieriger einzusehen. Wir zeigen, dass in diesem Fall sogar die stärkere Ungleichung d (p) (x, z) max{d (p) (x, y), d (p) (y, z)}, x, y, z Z, gilt. Diese Ungleichung impliziert tatsächlich sofort die Dreiecksungleichung, denn für je zwei Zahlen a, b 0 ist stets max(a, b) a + b. Schreibe x z = ± q n(q), x y = ± q n(q), y z = ± q n3(q), womit q prim q prim q prim d (p) (x, z) = p n (p), d (p)(x, y) = p n (p), d (p)(y, z) = p n 3(p). Betrachte den Fall, dass d (p) (x, y) d (p) (y, z), also n (p) n 3 (p). Wegen n (p) n 3 (p) teilt p n (p) sowohl x y als auch y z, und daher auch (x y) + (y z) = x z. Es folgt n (p) n (p), und somit d (p) (x, y) d (p) (x, z). Der Fall d (p) (x, y) d (p) (y, z) wird genauso behandelt. Auf Z haben wir natürlich auch die euklidische Metrik d (x, y) = x y, denn Z ist ja eine Teilmenge von R. Diese ist verschieden von der Metrik d (p), denn zum Beispiel ist d (p) (0, p) = p, wogegen d (0, p) = p. 3. Der Grenzwert in metrischen Räumen Wir kommen nun zurück zu dem am Anfang des Kapitels motivierten Begriff der Konvergenz einer Folge. 3.. Definition. Eine Folge in einer Menge X ist aus mathematischer Sicht nichts anderes als eine Funktion y : N X, wobei der Funktionswert y(n) von y an der Stelle n meist als y n geschrieben wird. Für die Folge y als solche schreiben wir meist (y n ) n N. Folgen werden auch oft als y, y, y 3,... angeschrieben.

7 3. Der Grenzwert in metrischen Räumen Definition. Sei X, d ein metrischer Raum, (x n ) n N eine Folge in X, und x ein Element von X. Dann heißt (x n ) n N konvergent gegen x, wenn gilt 3 ɛ R, ɛ > 0 N N : d(x n, x) < ɛ für alle n N. (3.3) In diesem Fall schreibt man lim n x n = x. x N ɛ x ɛ x N x Ist (x n ) n N eine Folge, und gibt es ein Element x X, sodass lim n x n = x, so sagt man die Folge (x n ) n N ist konvergent. Ist eine Folge nicht konvergent, so sagt man sie ist divergent. Man verwendet auch andere Schreibweisen für lim n x n = x, wie zum n Beispiel (x n ) n N x, n, oder x n x, oder auch nur x n x Bemerkung. Wegen d(x, x n ) 0 = d(x, x n ) konvergiert eine Folge (x n ) n N in einem metrischen Raum X, d genau dann gegen ein x X, wenn die Folge (d(x, x n )) n N in R, versehen mit der euklidischen Metrik, gegen 0 konvergiert. Folgen müssen nicht immer mit dem Index anfangen. Ist k eine feste ganze Zahl, so setzen wir Z k := {n Z : n k}. Eine Abbildung x : Z k X nennen wir ebenfalls Folge, wobei ihre Konvergenz in analoger Weise wie in Definition 3.. definiert ist Beispiel. (i) Sei X, d ein beliebiger metrischer Raum, und sei x X. Für die konstante Folge x = x = x 3 =... = x gilt lim j x j = x. Um dies einzusehen, sei ein ɛ R, ɛ > 0, gegeben. Wir müssen eine Zahl N N finden, sodass d(x j, x) < ɛ für alle j N. Wähle N :=, dann gilt d(x j, x) = d(x, x) = 0 < ɛ für alle j N. Dieses Beispiel ist natürlich in gewissem Sinne trivial, denn die Folgenglieder x j sind ja schon alle gleich dem Grenzwert x, kommen diesem also natürlich beliebig nahe. (ii) Sei X = R und d = d die euklidische Metrik d (x, y) = x y. Dann gilt lim j j = 0. Um dies einzusehen, sei ein ɛ R, ɛ > 0, gegeben. Wir müssen eine Zahl N N finden, sodass j 0 = j < ɛ gilt, wenn nur j N. Dazu benützen wir die Tatsache, dass N als Teilmenge von R nicht nach oben beschränkt ist. Wähle N N mit ɛ < N. Für alle j N mit j N gilt dann j N < ɛ. 3 Kürzer lässt sich das folgendermaßen schreiben: ɛ R, ɛ > 0 N N : n N d(x n, x) < ɛ.

8 76 3 Der Grenzwert (iii) Aus dem letzten Beispiel zusammen mit Bemerkung 3..3 schließen wir auf lim j ( + j ) =, da ( + j ) = j 0. (iv) Sei q R, 0 q <, und betrachte die Folge (q n ) n N. Dann gilt lim n q n = 0. Um das einzusehen, können wir q > 0 voraussetzen, da sonst die betreffliche Folge identisch gleich Null ist. Wir verwenden zum Beweis die Bernoullische Ungleichung aus Lemma.3.7. Setzt man in der Bernoullischen Ungleichung x = > 0, so gilt q ( ) n ( ) + n q q. Da R archimedisch angeordnet ist, gibt es zu jedem ɛ > 0 eine Zahl N N mit + N( q ) > ɛ und damit auch ( q )N > ɛ, also qn < ɛ. Es folgt für alle n N. d(0, q n ) = q n q N < ɛ (v) Sei z C mit z <. Setzen wir q := z, so folgt aus dem vorherigen Beispiel d(0, z n ) = z n 0 = q n n 0. Mit Hilfe von Bemerkung 3..3 erkennen wir, dass lim n z n = 0 in C versehen mit der euklidischen Metrik d (z, w) = z w Beispiel. Es gibt viele Folgen, die nicht konvergieren. Die Folge z n := i n in C, also i,, i,, i,, i,,..., zum Beispiel, ist divergent, wobei wir immer, wenn wir nichts anderes explizit angeben, C mit der euklidischen Metrik versehen. Um das nachzuprüfen, nehmen wir an, dass z n z für ein gewisses z C. Wählt man N N, sodass z n z < für alle n N, und nimmt ein n N, welches durch 4 teilbar ist, so folgt der Widerspruch = ( ) = z n z n+ z n z + z z n+ < + =. Es gelten folgende, zu (3.3) äquivalente Konvergenzbedingungen Lemma. Sei X, d ein metrischer Raum, x X und (x n ) n N eine Folge aus X. Dann gilt lim n x n = x, also (3.3), genau dann, wenn für gewisse K (0, + ) und α (0, + ) {+ } ɛ (0, α) N N : d(x n, x) < K ɛ für alle n N. (3.4) Die Konvergenz von (x n ) n N gegen x ist auch äquivalent zu (3.3) bzw. (3.4), wenn man in diesen Bedingungen < ɛ bzw. < K ɛ durch ɛ bzw. K ɛ ersetzt.

9 3. Der Grenzwert in metrischen Räumen 77 Beweis. Offenbar folgt (3.4) aus (3.3). Gelte umgekehrt (3.4). Für ɛ > 0 gilt min ( ɛ, α ) K (0, α). Nimmt man diese Zahl als ɛ in (3.4), so gibt es ein N N, sodass ( ɛ d(x n, x) < K min K, α ) ɛ für alle n N. Also gilt auch (3.3). Dass aus (3.3) bzw. (3.4) die jeweiligen Bedingungen mit anstatt < folgt, ist klar, da aus < ja immer folgt. Für die Umkehrung wende die Bedingungen mit statt < auf ɛ an. Man erhält dann ɛ < ɛ bzw. K ɛ < K ɛ Definition. Ist (x n ) n N eine Folge und n : N N eine streng monoton wachsende Funktion 4, also n() < n() < n(3) <..., so nennt man (x n( j) ) j N eine Teilfolge von (x n ) n N. Folgende elementare Sachverhalte sind von großer Bedeutung und werden in Beweisen immer wieder Verwendung finden Satz. Sei X, d ein metrischer Raum, und sei (x n ) n N eine Folge aus X. (i) Die Folge (x n ) n N hat höchstens einen Grenzwert. (ii) (x n ) n N konvergiert gegen x X genau dann, wenn es ein k N gibt, sodass (x n ) n Z k gegen x X konvergiert. Es kommt also nicht auf endlich viele Folgenglieder an, ob und wogegen eine Folge konvergiert. (iii) Aus lim n x n = x folgt lim n x n+k = x und lim n x n k = x für jedes k N. (iv) Ist lim n x n = x, so konvergiert auch jede Teilfolge (x n( j) ) j N gegen x. Beweis. Wir zeigen zunächst (i). Es gelte x n x und x n y, wobei x y und damit d(x, y) > 0. Wähle N N, sodass d(x n, x) < d(x,y), n N 3, und N N, sodass d(x n, y) < d(x,y), n N 3. Dann folgt für N := max{n, N } der Widerspruch d(x, y) d(x, x N ) + d(x N, y) < d(x, y) 3 + d(x, y) 3 = d(x, y) 3 < d(x, y). Wir zeigen auch noch (iv). Die Verifikation der restlichen Aussagen sei dem Leser überlassen. Sei also (x n( j) ) j N eine Teilfolge der gegen x konvergenten Folge (x n ) n N. Ist ɛ > 0, so gibt es ein N N, sodass d(x n, x) < ɛ, wenn nur n N. Ist nun J N so groß, dass n(j) N (z.b. J = N), so folgt für j J auch n( j) N und somit d(x n( j), x) < ɛ. Also gilt lim j x n( j) = x Beispiel. (i) Ist p N, so gilt lim n = 0. Das folgt unmittelbar aus Satz 3..8 und der Tatsache, n p dass diese Folge eine Teilfolge von ( ) ist. n n N 4 Klarerweise ist eine solche Funktion n immer injektiv, und es gilt n( j) j.

10 78 3 Der Grenzwert (ii) Sei z C, z <. Betrachte die Folge (die sogenannte geometrische Reihe) n S n := z k = + z + z z n. Aus (.9) folgt k=0 n z n = ( z)( n + n z z n + z n ) = ( z)( + z z n ), und wir erhalten S n = z zn z. (3.5) Sei nun beliebig ɛ > 0 vorgegeben, und wähle N N, sodass z n < ɛ für alle n N; vgl. Beispiel 3..4, (iv). Dann folgt S n = z n z z < ɛ für alle n N. z Mit Lemma 3..6 erhalten wir S n z, und infolge lim n S n = z Lemma. Sei X, d ein metrischer Raum und seien (x n ) n N, (y n ) n N Folgen von Elementen von X, sodass lim n x n = x und lim n y n = y. Dann folgt lim d(x n, y n ) = d(x, y). n Beweis. Zunächst wollen wir folgende Ungleichung d(a, b ) d(a, b ) d(a, a ) + d(b, b ), a, a, b, b X, (3.6) beweisen. Aus der Dreiecksungleichung folgt d(a, b ) d(a, b ) d(a, a ) sowie d(a, b ) d(a, b ) d(a, a ) und damit d(a, b ) d(a, b ) d(a, a ). Entsprechend gilt d(a, b ) d(a, b ) d(b, b ). Also erhalten wir d(a, b ) d(a, b ) d(a, b ) d(a, b ) + d(a, b ) d(a, b ) d(a, a ) + d(b, b ). Sei nun ɛ > 0 und N N so groß, dass d(x n, x) < ɛ und d(y n, y) < ɛ, wenn n N. Aus (3.6) folgt d(xn, y n ) d(x, y) d(xn, x) + d(y n, y) < ɛ für alle n N. Ein weiterer Begriff, der im Zusammenhang mit Folgen auftritt, ist die Beschränktheit. 3.. Definition. Sei X, d ein metrischer Raum, und sei Y X. Dann heißt Y beschränkt, wenn es eine Zahl C > 0 und einen Punkt x 0 X gibt, sodass d(x 0, y) C für alle y Y. Eine Funktion f : E X heißt beschränkt, wenn die Bildmenge f (E) beschränkt ist. Insbesondere heißt eine Folge (x n ) n N beschränkt, wenn ihre Bildmenge {x n : n N} beschränkt ist.

11 3. Der Grenzwert in metrischen Räumen 79 Die Menge Y ist also beschränkt, wenn sie ganz in einem gewissen Kreis 5 liegt. 3.. Bemerkung. Y X ist genau dann beschränkt, wenn es zu jedem Punkt x X eine Zahl C x > 0 gibt mit d(x, y) C x, y Y. Denn ist x X gegeben, so setze C x := d(x, x 0 ) + C. Dann gilt für jedes y Y d(x, y) d(x, x 0 ) + d(x 0, y) d(x, x 0 ) + C = C x. Mit Hilfe dieser Tatsache sieht man auch, dass Y C (Y R) versehen mit der euklidischen Metrik genau dann beschränkt ist, wenn für ein gewisses C > 0 gilt, dass x = d(x, 0) C für alle x Y. Im Falle Y R stimmt somit diese Definition von Beschränktheit mit der von Definition..5 überein Proposition. In einem metrischen Raum ist jede konvergente Folge (x n ) n N auch beschränkt. Beweis. Wähle N N mit d(x n, x) < für alle n N. Setzt man C := + max{d(x, x),..., d(x N, x)}, so erhält man d(x n, x) C für jedes n N. Insbesondere gibt es zu jeder konvergenten reell- bzw. komplexwertigen Folge (x n ) n N eine Konstante C > 0, sodass x n C, n N Bemerkung (*). Die Umkehrung von Proposition 3..3 ist falsch und zwar in jedem metrischen Raum, der mehr als einen Punkt enthält. In der Tat gilt für x, y X mit x y, dass die Folge x, y, x, y, x, y, x,... zwar beschränkt, aber nicht konvergent ist Beispiel. Man betrachte die Folge (S n ) n N aus Beispiel 3..9, (ii), für den Fall z = aber z. Wegen (3.5) gilt S n + zn+ z = z. Die Folge (S n ) n N ist damit beschränkt. Sie ist aber nicht konvergent, denn gemäß den Ergebnissen im nächsten Abschnitt wäre dann auch (z n ) n N konvergent. Das ist aber nicht der Fall. Man setze z.b. z = i oder z =. 5 Ein Kreis in einem metrischen Raum X, d ist hier zu verstehen als {y X : d(x 0, y) C}.

12 80 3 Der Grenzwert 3.3 Folgen reeller und komplexer Zahlen Wir wollen uns hier zunächst mit dem metrischen Raum R, d beschäftigen, und folgendes einfaches, aber sehr nützliches Lemma bringen Lemma. Für zwei konvergente Folgen (x n ) n N, (y n ) n N reeller Zahlen mit den Grenzwerten x bzw. y gilt: (i) Ist c R mit x < c (c < x), so gibt es ein N N, sodass x n < c (c < x n ) für alle n N. (ii) Ist x < y, so gibt es ein N N, sodass x n < y n für alle n N. (iii) Gilt ab einem gewissen N N die Ungleichung x n y n, so folgt x y. Beweis. (ii) Setzt man ɛ = y x, so folgt aus der Konvergenz die Existenz eines N N, sodass x n x < y x und y n y < y x für n N. Somit gilt (y x) + x n y n = (y n y) (x x n ) y n y + x x n < (y x), woraus x n < y n für n N folgt. (i) Folgt aus (ii), wenn für (y n ) n N ((x n ) n N ) die identische Folge (c) n N wählen. (iii) Wäre x > y, so würde aus (ii) folgen, dass x n > y n für alle n k mit einem hinreichend großen k N. Das widerspricht der Annahme. Der nächste Satz dient häufig als Werkzeug zur Berechnung von Grenzwerten Satz (Einschluss-Satz). Seien (x n ) n N, (y n ) n N und (a n ) n N drei reelle Folgen mit x n a n y n für alle bis auf endlich viele n N. Existieren zudem die Grenzwerte lim n x n und lim n y n, und gilt lim x n = lim y n, n n so existiert auch der Grenzwert lim n a n und stimmt mit dem gemeinsamen Grenzwert von (x n ) n N und (y n ) n N überein. Beweis. Setze a := lim n x n. Zu ɛ > 0 wähle N N mit x n a, y n a < ɛ und x n a n y n für n N. Für solche n folgt ɛ < x n a a n a y n a < ɛ, und damit a n a < ɛ.

13 3.3 Folgen reeller und komplexer Zahlen Beispiel. Als einfaches Beispiel betrachte man die Folge ( leicht, dass 0 n 3n + 3 n für n 3. Also folgt mit Satz 3.3., dass lim n n 3n+3 = Beispiel. n 3n+3 ) n N. Man sieht (i) Jede Zahl x R ist Limes einer Folge (r n ) n N bestehend aus rationalen Zahlen. Um das einzusehen, wähle gemäß Satz.8.3 für jedes n N eine Zahl r n Q, sodass x < r n < x + n. Aus Satz 3.3. folgt lim n r n = x. Genauso gibt es eine Folge irrationaler Zahlen größer x, die gegen x konvergiert. *Arbeitet man mit größerer mathematischen Strenge, so muss man obiges Argument folgendermaßen präzisieren: Nach Satz.8.3 ist die Menge M n der r Q mit x < r < x + nicht leer. Nun sei ρ einfach eine nach dem Auswahlaxiom existierende n Funktion von N nach n N M n, sodass ρ(n) M n, und setze r n = ρ(n). (ii) Mit einer etwas feineren Argumentation kann man (r n ) n N sogar streng monoton fallend (r n > r n wenn n < n ) wählen. Dazu definiert man r n induktiv so, dass x < r n < min(x + n, r n ). Genauso kann man eine streng monoton wachsende Folge aus Q konstruieren, die gegen x konvergiert. *Lässt man auch hier mehr Strenge walten, so benötigt man zur Existenz der Folge (r n ) n N den Rekursionssatz: Für jedes y > x und jedes n N ist die Menge Q (x, min(y, x + )) nicht leer. Sei n ϱ : N (x, + ) Q eine Auswahlfunktion, sodass ϱ(n, y) Q (x, min(y, x + )). n Sei a := (, r ) N ((x, + ) Q) =: A und g : A A definiert durch g(n, y) = (n +, ϱ(n, y)). Nach dem Rekursionssatz gibt es eine Funktion φ : N A mit φ() = a und φ(n + ) = g(φ(n)). Ist für n N nun r n die zweite Komponente von φ(n), so hat (r n ) n N die geforderten Eigenschaften. (iii) Sei F R nach oben beschränkt und x := sup F. Gemäß der Definition des Supremums gilt (x, x] F für alle n N. Wählt man für jedes n N eine reelle n Zahl x n (x, x] F, so erhält man eine Folge (x n n) n N, in F, die gegen sup F konvergiert. Man kann ähnlich wie oben (x n ) n N sogar monoton wachsend wählen. Entsprechendes gilt für nach unten beschränkte Mengen und deren Infimum. Im nächsten Satz wollen wir zeigen, dass die algebraischen Operationen und die Betragsfunktion auf R und C mit dem Grenzwertbegriff verträglich sind Satz (Rechenregeln für Folgen). Seien (z n ) n N und (w n ) n N konvergente Folgen reeller oder komplexer Zahlen, lim n z n =: z, lim n w n =: w. Dann gilt für k N (i) lim n z n = z, lim n z n = z. (ii) lim n (z n + w n ) = z + w, lim n ( z n ) = z.

14 8 3 Der Grenzwert (iii) Ist z = 0, also z n 0, n, und ist (u n ) n N eine beschränkte Folge aus R bzw. C, dann gilt lim n (z n u n ) = 0. (iv) lim n (z n w n ) = z w. (v) lim n z k n = z k. (vi) Falls z 0 ist, gilt lim n z n = z. (vii) Ist z n R und z n 0, so folgt lim n k zn = k z Bemerkung. Bis auf den letzten Punkt werden wir Satz für komplexe Folgen beweisen. Fast derselbe Beweis funktioniert für reellwertige Folgen. Man kann aber die Rechenregeln für reellwertige Folgen auch aus denen für komplexwertige Folgen herleiten, da wie wir gleich zeigen wollen eine Folge (x n ) n N in R genau dann konvergiert, wenn (x n +i0) n N in C konvergiert. Dabei gilt lim n (x n +i0) = (lim n x n )+i0. Ist (x n ) n N eine reellwertige Folge, welche gegen ein x R konvergiert, so konvergiert (x n + i0) n N gegen x + i0, da ja (x n + i0) (x + i0) = x n x 0; vgl. Bemerkung Konvergiert umgekehrt für eine reellwertige Folge (x n ) n N die Folge (x n + i0) n N in C gegen x + iy C, so folgt wegen 0 max( x n x, 0 y ) (x n + i0) (x + iy) n 0, gemeinsam mit Satz 3.3., dass x n x und y 0, also y = 0. Beweis. (Satz 3.3.5) (i) Zu ɛ > 0 wähle N N, sodass z n z < ɛ für n N. Mit der Dreiecksungleichung nach unten erhält man z n z zn z < ɛ, z n z = z n z < ɛ. Man kann lim n z n = z auch als Spezialfall von Lemma 3..0 sehen: z n = d(z n, 0) d(z, 0) = z. (ii) Sei ɛ > 0 gegeben. Wähle N so, dass z n z < ɛ und auch w n w < ɛ für alle n N. Es gilt für solche n (z n + w n ) (z + w) = (z n z) + (w n w) z n z + w n w < ɛ + ɛ = ɛ. Also ist (z n + w n ) n N konvergent und der Grenzwert ist z + w. Weiters gilt für N so groß, dass z n z < ɛ, wenn nur n N, auch ( z n ) ( z) = (z n z) = z n z < ɛ, n N. Also konvergiert ( z n ) n N gegen z.

15 3.3 Folgen reeller und komplexer Zahlen 83 (iii) Ist C > 0 so, dass u n C, n N, und ist ɛ > 0, so gibt es wegen z n 0 ein N N, sodass z n < ɛ C, n N. Es folgt z n u n < ɛ für alle n N, also z n u n 0. (iv) Ist N so groß, dass w n w < ɛ für n N, so gilt zw n zw = z w n w < z ɛ für alle n N. Gemäß (3.4) folgt daher zunächst zw n zw. Um z n w n zw nachzuweisen, sei daran erinnert, dass gemäß Proposition 3..3 konvergente Folgen beschränkt sind. Nach (ii) konvergiert (z n z) gegen Null, und mit (iii) daher auch (z n z)w n 0, n. Der schon bewiesene Teil von (iv) gibt nun zusammen mit (ii) z n w n = (z n z)w n + zw n n 0 + zw. (v) Das folgt durch vollständige Induktion nach k aus (iv). (vi) Sei nun z 0. Wegen (i) und Lemma 3.3. folgt aus z n z für hinreichend großes n, dass z n > z. Es folgt die Abschätzung z n z = z z n z z n z z n z, und damit wird die Differenz z n z für große n beliebig klein. (vii) Sei zunächst z > 0. Wegen (i) und Lemma 3.3. folgt aus z n z die Existenz von N N, sodass für n N sicher z n > z > 0 und z n z < ɛ. Gemäß (.9) gilt für solche n z k zn k n z z = k z k + k k z k zn k k k zn z + k k zn z n z ɛ k z k + k z k k z k z k k z + < k z k k k z da klarerweise auch z > z. Gemäß (3.4) folgt k zn k z. Ist z = 0, so sei ɛ > 0 vorgegeben. Ist nun N N so, dass z n = z n 0 < ɛ k für n N, dann folgt aus der Monotonie der Wurzelfunktion (vgl. Bemerkung.9.7) k zn 0 = k zn < ɛ. Also k zn Beispiel. k, (i) Wegen lim n = 0 folgt aus Satz 3.3.5, (vii), dass lim n n Satz 3.3.5, (v), erhält man also, dass für alle r Q, r > 0, lim n n r = 0. p n = 0. Zusammen mit

16 84 3 Der Grenzwert (ii) Um für x n = n 3 + n 3 + n den Grenzwert zu berechnen, verwenden wir (.9) und erhalten n3 + n 3 + n = (n3 + ) (n 3 + n) n3 + + n 3 + n = n n3 + + n 3 + n = n. n + + n + n n Wegen 0 n + + n n + n ergibt Satz 3.3., dass der mittlere Ausdruck gegen Null konvergiert. Zusammen mit Satz 3.3.5, (iv), folgt lim n x n = 0. (iii) Die Folge x n = n n konvergiert gegen. In der Tat gilt für die Folge an := x n, dass a n 0 und ( + a n ) n = n. Nach dem Binomischen Lehrsatz gilt n ( ) n n = (a n + ) n = a k k n n k n(n ) + a n. k=0 Damit folgt a n (n ) n(n ) = n 0. Gemäß Satz 3.3.5, (vii), gilt a n 0 und daher x n, n. (iv) Ist q > 0 fest, so gilt lim n n q =. Betrachte zunächst den Fall q. Dann gilt für n q n q n n. Nach Satz 3.3. folgt n q. Im Fall 0 < q < betrachte n q = n und verwende q Satz (v) Um für z C mit z < und k N den Grenzwert lim n n k z n zu berechnen, sei N N so groß, dass n nk z < + z (< ) für alle n N. Diese Wahl ist wegen n lim n nk z = z zusammen mit Lemma 3.3. möglich. Für n N gilt dann ( ) n + z 0 n k z n, und somit lim n n k z n = Monotone Folgen Bisher haben wir zwar gesehen, was aus der Konvergenz einer oder mehrerer Folgen folgt. Das Problem, ob eine gegebene Folge konvergiert oder nicht, haben wir jedoch nicht betrachtet. Die definierende Eigenschaft von R, vollständig angeordnet zu sein, wird uns in R die Existenz von Grenzwerten bestimmter Folgen liefern. n

17 3.4 Monotone Folgen Definition. Eine Folge (a n ) n N in R heißt monoton wachsend, falls a n a n+ für alle n N, also a a a 3... Sie heißt monoton fallend, falls a n a n+ für alle n N, also a a a 3... Eine Folge heißt monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist Satz. Sei (x n ) n N eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge. Dann konvergiert (x n ) n N, wobei lim n x n = sup{x n : n N}. Entsprechend konvergiert eine monoton fallende und nach unten beschränkte Folge (x n ) n N gegen inf{x n : n N}. Beweis. Sei (x n ) n N monoton wachsend und nach oben beschränkt. Somit existiert x := sup{x n : n N}. Wir zeigen, dass lim n x n = x. Sei ɛ > 0. Wegen x ɛ < x kann x ɛ keine obere Schranke der Menge {x n : n N} sein. Es gibt also ein N N mit x N > x ɛ. Wegen der Monotonie folgt auch x n > x ɛ für alle n N. Da stets x x n gilt, erhält man für n N 0 x x n < ɛ, und damit x n x < ɛ. Für monoton fallende Folgen schließt man in analoger Art und Weise Beispiel. (i) Betrachte die Folge ( ). Gemäß Beispiel.8. gilt inf{ : n N} = 0. Also folgt n n N n aus Satz 3.4., dass lim n = 0. Dieses Konvergenzverhalten haben wir übrigens n auch schon in Beispiel 3..4, (ii), festgestellt. (ii) Die Bedingung in Satz 3.4. ist hinreichend für Konvergenz, aber nicht notwendig. Betrachte dazu die Folge ( ) ( ) n n n N. (iii) Nach dem Rekursionssatz Satz.3.3 ist durch a = und a n+ = + a n eine Folge in [0, + ) wohldefiniert. Wir behaupten, dass dabei a n und a n a n+ für alle n N, was wir mittels vollständiger Induktion zeigen wollen. Für n = gilt offenbar a = und a = + = a. Gelte nun a n und a n a n+. Daraus folgt a n+ = + a n + = und auch a n+ = + a n + a n+ = a n+. Gemäß Satz 3.4. konvergiert (a n ) n N gegen a = sup{a n : n N}, welches sicher a a = > 0 erfüllt. Um a genau zu berechnen, sei bemerkt, dass auch (vgl. Satz 3.3.5) a = lim a n+ = lim + an = + a. n n

18 86 3 Der Grenzwert Somit erfüllt a die Gleichung a a = 0. Also gilt a = oder a =, wobei die zweite Möglichkeit wegen a > 0 ausgeschlossen werden kann. (iv) Für n N sei e n = ( + n) n ( und f n = + n+. n) Offenbar gilt immer < e n < f n. Wir rechnen mit Hilfe der Version der Bernoullische Ungleichung aus Beispiel.3.4 ( e n+ = + ) + e n n + n ( = n + n > n + n n+ n+ = n + n ) n+ (n + ) ( ) (n + ) (n + ) ( ) n n+ + n + n + n + = n + n n n + =. Ähnlich gilt f n = f n+ + n ( = n n + > n n + + n + n+ n+ = n ) n+ n + + n + n ( ) + (n + ) n + n ( n + n + n + n ) n+ = n n + =. n + n Also ist (e n ) n N streng monoton wachsend und ( f n ) n N streng monoton fallend. Wegen < e n < f n f = 4 für alle n N sind diese Folgen auch beschränkt, und somit konvergent, wobei ( lim f n = lim + ) e n = lim e n. n n n n Den gemeinsamen Grenzwert dieser Folgen nennt man die Eulersche Zahl e. Wir wollen nun Satz 3.4. dazu verwenden, um jeder beschränkten Folge (x n ) n N aus R zwei Zahlen zuzuordnen, die als Verallgemeinerung eines Grenzwertes angesehen werden können. Dazu betrachten wir für jedes N N die Zahlen y N := inf{x n : n N} und z N = sup{x n : n N}. Weil die Mengen {x n : n N} beschränkt sind, sind y N und z N in R wohldefiniert. Aus {x n : n N + } {x n : n N} folgt für jedes N N y N y N+ z N+ z N,

19 3.4 Monotone Folgen 87 womit (y N ) N N monoton wachsend und (z N ) N N monoton fallend ist. Wegen der Beschränktheit von (x n ) n N gibt es ein C 0 mit x n C bzw. C x n C für alle n N, woraus C y N z N C für alle N N folgt. Gemäß Satz 3.4. konvergieren die Folgen (y N ) N N und (z N ) N N, womit folgende Definition Sinn macht Definition. Sei (x n ) n N eine beschränkte Folge aus R. Dann heißt Limes Inferior und lim inf n lim sup n Limes Superior der Folge (x n ) n N. Nach Satz 3.4. haben wir auch lim inf n x n := lim N inf{x n : n N} x n := lim N sup{x n : n N} x n = sup inf x n sowie lim sup n N N N n x n = inf sup x n. N N n N Zunächst bringen wir ein Resultat über den Limes Inferior bzw. den Limes Superior, welches sich im Folgenden noch als sehr nützlich herausstellen wird Lemma. Ist (x n ) n N eine beschränkte Folge aus R, so gibt es eine Teilfolge (x m( j) ) j N von (x n ) n N, die gegen lim inf n x n konvergiert, und auch eine Teilfolge (x n( j) ) j N von (x n ) n N, die gegen lim sup n x n konvergiert. Beweis. Sei N N und ɛ > 0. Wegen inf{x k : k N} lim inf n x n < lim inf n x n + ɛ ist lim inf n x n + ɛ keine untere Schranke von {x k : k N}. Also gibt es ein l(n, ɛ) N, sodass inf{x k : k N} x l(n,ɛ) < lim inf x n + ɛ. (3.7) n Wir definieren nun rekursiv eine Teilfolge 6 (x m( j) ) j N von (x n ) n N, indem wir zunächst m() = setzen. Ist m( j) N definiert, so gilt wegen (3.7) für m( j+) := l ( m( j)+, j+) m( j) + > m( j) inf{x k : k m( j) + } x m( j+) < lim inf n x n + j +. Für j konvergieren die linke und die rechte Seite dieser Ungleichungskette gegen lim inf n x n. Nach dem Einschlusskriterium Satz 3.3. folgt die Konvergenz von (x m( j) ) j N gegen lim inf n x n. Der Beweis für den Limes Superior verläuft entsprechend. 6 Dass man so verfahren kann, wird durch den Rekursionssatz gewährleistet.

20 88 3 Der Grenzwert Wir wollen uns noch mit einigen weiteren Eigenschaften des Limes Inferior bzw. Limes Superior beschäftigen Fakta.. Aus inf n N x n sup n N x n für jedes N N folgt unmittelbar lim inf n x n lim sup n. Weiters folgt aus den Rechenregeln für Suprema und Infima sofort, dass lim sup n ( x n ) = lim inf n x n sowie lim sup n a n lim sup n b n und lim inf n a n lim inf n b n für beschränkte Folgen (a n ) n N, (b n ) n N mit a n b n ab einem Index N N. 3. Ist (x n ) n N konvergent, so folgt aus Lemma und Satz 3..8, (iv), dass lim inf n x n. x n = lim x n = lim sup x n. (3.8) n n Gilt umgekehrt y := lim inf n x n = lim sup n x n, so gibt es zu jedem ɛ > 0 ein N N, sodass y ɛ < inf n N x n y für alle N N, und ein N N, sodass y sup n N x n < y + ɛ für alle N N. Für N max(n, N ) folgt y ɛ < inf x n x N sup x n < y + ɛ, n N n N und damit die Konvergenz von (x n ) n N gegen y; also gilt (3.8). 4. Aus lim sup n x n = lim N sup n N x n zusammen mit Satz.8.3 und Lemma 3.3. zeigt man, dass lim sup n x n < ξ genau dann, wenn es ein q < ξ gibt, sodass x n q für alle bis auf endlich viele n N. Entsprechendes gilt für lim inf n x n > ξ. 5. Ähnlich gilt lim sup n x n > ξ genau dann, wenn es ein q > ξ gibt, sodass x n q für unendlich viele n N. Entsprechendes gilt für lim inf n x n < ξ Bemerkung (*). In der Tat ist lim sup n x n jene eindeutige Zahl x, für die gilt: Für jedes ɛ > 0 gibt es nur für endlich viele n N, die der Ungleichung x n x + ɛ genügen, wogegen für unendlich viele n N die Ungleichung x n x ɛ gilt. Auch hier gilt entsprechendes für lim inf n x n. 3.5 Cauchy-Folgen Um in allgemeinen metrischen Räumen Folgen auf Konvergenz zu untersuchen, führt man den Begriff der Cauchy-Folge ein Definition. Sei X, d ein metrischer Raum. Eine Folge (x n ) n N von Elementen aus X heißt Cauchy-Folge, falls ɛ R, ɛ > 0 N N : d(x n, x m ) < ɛ für alle n, m N. (3.9)

21 3.5 Cauchy-Folgen Bemerkung. Da es wegen Satz.8.3 zwischen jedem ɛ R, ɛ > 0 und der Zahl 0 ein ε Q mit 0 < ε < ɛ gibt, erhält man eine zu Definition 3.5. äquivalente Definition, wenn man in (3.9) statt ɛ R, ɛ > 0... den Ausdruck ɛ Q, ɛ > 0... schreibt. Aus demselben Grund lässt sich die Konvergenz einer Folge durch (3.3) charakterisieren, wenn man in eben dieser Gleichung ɛ Q, ɛ > 0... anstatt ɛ R, ɛ > 0... schreibt. Ähnlich wie in Proposition 3..3 gilt: Proposition. Sei (x n ) n N eine Cauchy-Folge. Dann ist {x n : n N} beschränkt. Beweis. Wähle N N mit d(x n, x m ) < für n, m N. Setzt man C := + max{d(x, x N ),..., d(x N, x N )}, so gilt d(x n, x N ) C für jedes n N. Aus dem nächsten Resultat erkennt man einen Zusammenhang zum Begriff der Konvergenz Proposition. Jede konvergente Folge (x n ) n N ist eine Cauchy-Folge. Beweis. Sei ɛ > 0 gegeben. Aus der Definition der Konvergenz folgt die Existenz einer Zahl N N mit der Eigenschaft, dass d(x n, x) < ɛ, n N. Hier bezeichnet x den Grenzwert der Folge (x n ) n N, der zwar nach Voraussetzung existiert, über den sonst aber nichts bekannt zu sein braucht. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung für n, m N d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ɛ + ɛ = ɛ. Also ist jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge. Würde nun umgekehrt jede Cauchy- Folge konvergieren, so könnten wir die Konvergenz einer Folge nachweisen, ohne ihren Grenzwert explizit in der Hand zu haben. Leider ist dies bei vielen metrischen Räumen nicht der Fall Definition. Ein metrischer Raum X, d heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge von Elementen aus X in X einen Grenzwert besitzt Beispiel. Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig. Dazu betrachte man z.b. eine Folge (r n ) n N bestehend aus rationalen Zahlen wie in Beispiel 3.3.4, die gegen R \ Q konvergiert. Diese ist eine Cauchy-Folge in R und daher auch in Q. Sie konvergiert aber nicht in Q. Denn würde sie das tun, so würde sie in R einerseits gegen und andererseits gegen einen Grenzwert in Q konvergieren. Das widerspricht der Eindeutigkeit des Grenzwertes in R Lemma. Sei (x n ) n N eine Cauchy-Folge in einem metrischen Raum X, d, die eine konvergente Teilfolge hat. Dann ist (x n ) n N konvergent.

22 90 3 Der Grenzwert Beweis. Sei (x n(k) ) k N die konvergente Teilfolge mit lim k x n(k) = x. Zu ɛ > 0 wähle N so groß, dass d(x n, x m ) < ɛ für n, m N. Wähle N so groß, dass d(x n(k), x) < ɛ für k N. Setze N := max{n, N }. Wählt man nun k N, so folgt n(k) k N, und man erhält für n N d(x n, x) d(x n, x n(k) ) + d(x n(k), x) < ɛ + ɛ = ɛ. Das wichtigste Beispiel für einen vollständig metrischen Raum sind die reellen Zahlen Satz (Cauchysches Konvergenzkriterium). Sei (x n ) n N eine Cauchy-Folge reeller Zahlen. Dann existiert eine reelle Zahl x, sodass (x n ) n N gegen x konvergiert. Also ist R versehen mit der euklidischen Metrik ein vollständig metrischer Raum. Beweis. Gemäß Proposition ist die Cauchy-Folge (x n ) n N beschränkt. Nach Lemma hat (x n ) n N eine konvergente Teilfolge. Schließlich konvergiert gemäß Lemma auch die Folge (x n ) n N selbst Beispiel. (i) Der metrische Raum X = [0, ] versehen mit der euklidischen Metrik ist auch vollständig, denn ist (x n ) n N eine Cauchy-Folge in X, so ist sie das auch in R. Wegen Satz gilt lim n x n = x für ein x R. Wegen 0 x n, n N, folgt aus Lemma 3.3., (iii), dass auch x X. Also hat jede Cauchy-Folge in X einen Grenzwert in X. (ii) Ist dagegen etwa X = (0, ] versehen mit der euklidischen Metrik, so ist ( ) eine n n N Cauchy-Folge in X. Sie hat aber in X keinen Grenzwert, denn sonst würde ( ) n n N auch in R gegen diesen Grenzwert x X R und andererseits gegen 0 streben. Wegen 0 X muss x 0 im Widerspruch zu Satz 3..8, (i). 3.6 Konvergenz in weiteren metrischen Räumen Wir betrachten die Menge R p (p N) und versehen diese mit den drei schon vorgestellten Metriken d, d, d. Wie bereits bemerkt, unterscheiden sich diese Metriken voneinander. Der Unterschied ist aber nicht allzu groß. In der Tat werden wir sehen, dass wenn eine Folge bezüglich einer der drei Metriken konvergiert, diese dann auch bezüglicher der anderen zwei konvergiert 7. Der Grund dafür liegt in der Ungleichungskette max x k ( p x k ) p x k p max x k. (3.0) k=,...,p k=,...,p k= Das zweite sieht man durch quadrieren. Das erste und dritte ist klar. 7 Es sei aber hier auch darauf hingewiesen, dass es auf ein und derselben Menge Metriken d, d geben kann, sodass eine gewisse Folge (x n ) n N in dieser Menge bezüglich d konvergiert, aber bezüglich d divergiert. k=

23 3.6 Konvergenz in weiteren metrischen Räumen Proposition. Sei (x n ) n N eine Folge von Punkten x n = (x n,,..., x n,p ) R p, und x = (x,..., x p ) R p. Dann impliziert lim n x n = x bezüglich einer der Metriken d, d, d auch lim n x n = x bezüglich der anderen zwei Metriken aus d, d, d. Die Konvergenz von (x n ) n N gegen x bezüglich einer und daher aller dieser Metriken ist wiederum äquivalent zur komponentenweisen Konvergenz 8 lim x n,k = x k für alle k =,..., p. (3.) n Insbesondere konvergiert eine Folge (z n ) n N komplexer Zahlen gegen ein z C genau dann, wenn 9 lim Re(z n ) = Re z und lim Im(z n ) = Im z. n n Beweis. Aus Ungleichung (3.0) schließen wir auf d (x n, x) d (x n, x) d (x n, x) p d (x n, x). Das Einschlusskriterium Satz 3.3. liefert nun sofort, dass, wenn eine der Folgen ( d (x n, x) ) n N, ( d (x n, x) ) n N bzw. ( d (x n, x) ) n N eine Nullfolge ist, es dann die beiden anderen Folgen auch sind. Aus Bemerkung 3..3 folgt, dass die Konvergenzbegriffe bzgl. der drei Metriken übereinstimmen. Sei nun lim n x n = x bezüglich bezüglich einer dieser Metriken und daher insbesondere bezüglich d. Für k =,..., p gilt 0 x n,k x k max j=,...,p x n, j x j = d (x n, x). Wieder nach dem Einschlusskriterium Satz 3.3. zusammen mit Bemerkung 3..3 folgt lim n x n,k = x k. Sei umgekehrt (3.) vorausgesetzt und ɛ > 0 gegeben. Wähle N,..., N p, sodass für k =,..., p folgt x n,k x k < ɛ, n N k. Setzt man N := max{n,..., N p }, so folgt d (x n, x) = max k=,...,p x n,k x k < ɛ. Also gilt x n x bezüglich d Beispiel. Man betrachte die Folge (x n ) n N im R 3 gegeben durch x n = n n ( )n, 3n,. Wegen n ( )n = 0 und n n n k=0 0 konvergieren die erste und die dritte k n Komponente gegen 0. Die zweite konvergiert wegen ( 3n) = 3 gegen 3. Also n n konvergiert unsere Folge bezüglich d, d, d gegen (0, 3, 0). 8 Diese Konvergenz versteht sich in R bezüglich der euklidischen Metrik. 9 Vergleiche Bemerkung k=0 k

24 9 3 Der Grenzwert Korollar. Der Raum R p versehen mit einer der Metriken d, d, d ist vollständig. Insbesondere sind die komplexen Zahlen vollständig. Beweis. Zunächst sei bemerkt, dass wenn eine Folge (x n ) n N von Punkten des R p eine Cauchy-Folge bezüglich einer der Metriken d, d, d ist, so ist sie das wegen d (x n, x m ) d (x n, x m ) d (x n, x m ) p d (x n, x m ) auch bezüglich der beiden anderen Metriken. Sei nun (x n ) n N eine Cauchy-Folge von Punkten des R p (bzgl. d, d, d ), wobei x n = (x n,,..., x n,p ). Dann gibt es zu jedem vorgegebenen ɛ > 0 eine Zahl N N mit d (x n, x m ) < ɛ für n, m N. Es folgt für jedes k {,..., p} x n,k x m,k d (x n, x m ) < ɛ für alle n, m N, wodurch jede der Folgen (x n,k ) n N, k =,..., p eine Cauchy-Folge reeller Zahlen ist. Daher existieren y,..., y p R mit lim x i,k = y k, k =,..., p. i Wegen Proposition 3.6. folgt lim n x n = y mit y = (y,..., y p ) Bemerkung. Die in Satz hergeleiteten Rechenregeln gelten zum Teil auch in R p, wenn R p mit der euklidischen Metrik und mit den Verknüpfungen + und skalares Multiplizieren wie aus der Linearen Algebra bekannt versehen wird. Sind also (x n ) n N, (y n ) n N Folgen in R p, die gegen x bzw. y konvergieren, und ist (λ n ) n N eine gegen ein λ R konvergente Folge in R, so gilt (i) lim n (x n + y n ) = x + y. (ii) lim n λ n x n = λx. (iii) lim n (x n, y n ) = (x, y) in R. In (iii) steht (.,.) für das Skalarprodukt (3.). Das folgt aus Proposition 3.6., da man die jeweiligen Konvergenzen auf die Komponenten von R p zurückführen kann. Eine andere Möglichkeit, diese Behauptungen zu beweisen, besteht darin, den euklidischen Abstand p k= x k, und d (x, y) zweier Punkte x, y R p als x y zu schreiben, wobei x = im Beweis von Satz den Betrag durch. ersetzt. Siehe Bemerkung 3..6 sowie Lemma 9... Dass es auf ein und derselben Menge zwei Metriken geben kann, sodass die Konvergenz einer Folge bezüglich der einen Metrik nicht die Konvergenz bezüglich der anderen bedingt, zeigt folgendes Beispiel.

25 3.7 Konvergenz gegen unendlich Beispiel. Man betrachte R einerseits versehen mit der Euklidischen Metrik d, also die von. induzierte Metrik, und andererseits mit der diskreten Metrik d aus Beispiel 3..5, (iv). Außerdem betrachte man die Folge ( ), welche bezüglich d n bekannterweise gegen 0 n N konvergiert. Bezüglich d tut sie das nicht, da ja immer d(0, ) =, n N. n Man zeigt unschwer, dass eine Folge (x n ) n N bezüglich d genau dann gegen x konvergiert, wenn x n = x für alle n N mit einem gewissen N N Beispiel (*). Sei p eine feste Primzahl. Die Folge (p n ) n N ist bezüglich der Metrik d (p) auf Z gegen 0 konvergent, bezüglich der euklidischen Metrik d auf Z jedoch divergent. Um das einzusehen, sei ɛ > 0 gegeben. Wählt man N N mit < ɛ, so gilt für alle n N p N d (p) (p n, 0) = p n p N < ɛ. Angenommen es existiere x Z, sodass p n x bezüglich d. Wähle N N, sodass d (p n, x) <, n N. Dann folgt mit der Bernoullischen Ungleichung + n(p ) p n = d (p n, 0) d (p n, x) + d (x, 0) < + x für alle n N, und weiter, dass n(p ) x für alle n N, was der Tatsache widerspricht, dass R archimedisch angeordnet ist. Tatsächlich sind in Z, d nur die ab einem Index konstanten Folgen konvergent, da konvergente Folgen auch Cauchy-Folgen sind, und damit insbesondere ab einem gewissen Index der Abstand zweier Folgenglieder kleiner als ist. Zwei verschiedene ganze Zahlen haben aber sicher einen Abstand von mindestens. 3.7 Konvergenz gegen unendlich Die Folge x n = n, n N, als Folge in R ist nicht konvergent. Sie ist ja nicht einmal beschränkt. Trotzdem zeigt sie ein doch recht determiniertes Verhalten. Aus dem Bauch heraus würde man sagen, dass sie gegen unendlich strebt. Wir wollen dieses Verhalten von Folgen exaktifizieren Definition. Eine Folge (x n ) n N aus R heißt konvergent gegen +, falls M > 0 N N : x n > M für alle n N. (3.) Entsprechend sagen wir, dass eine Folge (x n ) n N aus R gegen strebt, wenn M < 0 N N : x n < M für alle n N. (3.3) Folgen, die im obigen Sinne gegen + oder streben, heißen auch bestimmt divergent. Wir schreiben lim n x n = + bzw. lim n x n = dafür.

26 94 3 Der Grenzwert 3.7. Bemerkung. Unmittelbar aus (3.) bzw. (3.3) und Lemma 3.3., (i), erkennt man, dass sich für eine Folge (x n ) n N und ein x R die Konvergenzen lim n x n = + und lim n x n = x gegenseitig ausschließen. Genauso kann lim n x n = und lim n x n = x nicht gleichzeitig stattfinden. Ebenso schließen sich lim n x n = + und lim n x n = gegenseitig aus. Ist (x n ) n N in R und x R oder x = ±, so kann man x = lim n x n einheitlich folgendermaßen beschreiben: ( ξ R, ξ < x N N : n N x n > ξ) ( η R, η > x N N : n N x n < η). Für die Konvergenzbegriffe aus Definition 3.7. gelten ähnliche Regeln wie bei der Konvergenz gegen Zahlen Satz. Sind (x n ) n N und (y n ) n N Folgen in R, wobei lim n x n = +, so treffen folgende Aussagen zu. (i) lim n ( x n ) =. (ii) Ist {y n : n N} nach unten beschränkt, so gilt lim (x n + y n ) = +. n (iii) Ist y n C für alle n k mit einem C > 0 und einem k N, so gilt lim x n y n = +. n (iv) Ist x n y n für alle n k mit einem k N, so gilt lim y n = +. n (v) Sind alle bis auf endlich viele, also alle ab einem Index k N, y n positiv (negativ), so ist lim n y n = + ( ) äquivalent zu lim n y n = 0. (vi) Sei (y n ) n N monoton wachsend (fallend). Ist (y n ) n N beschränkt, so ist diese Folge konvergent gegen eine reelle Zahl. Ist (y n ) n N unbeschränkt, so konvergiert sie gegen + ( ). Analoge Aussagen gelten im Fall lim n x n =. Beweis. (i) lim n ( x n ) = folgt unmittelbar aus x n > M x n < M.

27 3.7 Konvergenz gegen unendlich 95 (ii) Sei C eine untere Schranke von {y n : n N}. Zu M > 0 wähle N so groß, dass x n > M C für alle n N. Dann folgt für n max(n, k) also (x n + y n ) +. x n + y n > (M C) + C = M, (iii) Wähle N N, sodass N k und x n > M C für alle n N. Dann folgt für n N auch x n y n > M C C = M, und infolge x n y n +. (iv) Aus x n > M und x n y n folgt sicherlich auch y n > M. (v) Seien alle y n mit n k positiv. Wir nehmen zuerst an, dass y n 0. Zu vorgegebenem M wähle N k so groß, dass für n N gilt y n <. Es folgt y M n > M. Gilt umgekehrt y n +, und ist ɛ > 0, so wähle N so groß, dass für n N gilt y n >. Daraus folgt ɛ y n = y n < ɛ. Die Äquivalenz im Falle y n < 0 für n k sieht man genauso. (vi) Ist (y n ) n N beschränkt, so folgt die Aussage aus Satz Im Fall der Unbeschränktheit gibt es eben wegen dieser zu jedem M > 0 ein N N, sodass y N > M. Wegen der Monotonie folgt dann auch y n > M für alle n N Beispiel. Sei q R und betrachte die Folge q n, n N. Dann gilt +, falls q >,, falls q =, lim n qn = 0, falls < q <,, falls q. Dabei haben wir den Fall 0 q < schon in Beispiel 3..9 behandelt. Der Fall q = ist klar. Für q > folgt aus 0 < q <, dass q n 0. Daraus erhält man mit Satz 3.7.3, dass q n +. Ist < q < 0, so beachte q n = q n 0. Ist q, so hat man q n für n gerade und q n für n ungerade. Insbesondere ist der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder, und wir sehen, dass q n keine Cauchy-Folge und erst recht keine konvergente Folge sein kann. Konvergenz gegen + oder kann aber auch nicht stattfinden, denn dann müssten ja die Folgenglieder insbesondere ab einem Index alle das gleiche Vorzeichen haben Beispiel. Seien p, q aus R[x], p, q 0, also zwei Polynome mit reellen Koeffizienten ungleich dem Nullpolynom. Betrachte die Folge x n := p(n) q(n)

28 96 3 Der Grenzwert für alle n N mit q(n) 0. Da Polynome nur endlich viele Nullstellen haben, ist x n sicher für alle n N, n n 0 mit einem gewissen n 0 N definiert. Schreiben wir p und q als p(x) = a m x m a 0 und q(x) = b k x k b 0 mit a m, b k 0 an, so gilt 0, falls m < k, a lim x m b n = k, falls m = k, n +, falls m > k, a m b k > 0,, falls m > k, a m b k < 0. Um dieses einzusehen, betrachte zuerst den Fall, dass m k, und schreibe x n = a mn m + a m n m a 0 b k n k + b k n k b 0 = a mn m k + a m n m k a 0 n k b k + b k n b 0 n k. Dann konvergiert der Nenner dieses Bruches gegen b k 0. Ist m < k, so konvergiert der Zähler gegen 0, insgesamt also x n 0. Ist m = k, so strebt der Zähler gegen a m und wieder folgt unsere Behauptung. Ist m > k, so schreiben wir x n als n m k a m + a m n a 0 n m b k + b k n b 0 n k. Also gilt x n = n m k y n, wobei y n a m b k. Nach Lemma 3.3. hat y n für hinreichend große Indizes dasselbe Vorzeichen wie a m b k. Wegen x n 0 folgt aus Satz das behauptete Konvergenzverhalten für x n Beispiel. Ist (x n ) n N eine Folge aus R, die nicht nach oben beschränkt ist, es also kein reelles C > 0 gibt mit x n C für alle n N, so hat (x n ) n N eine Teilfolge (x n(k) ) k N, die lim k x n(k) = + erfüllt. Dazu wählt man n() N so, dass x n(), und definiert n(k + ) N rekursiv so, dass n(k + ) > n(k) und x n(k+) k +. Aus Satz 3.7.3, (iv), folgt dann wegen x n(k) k, dass lim k x n(k) = Konvergenz gegen ± als metrische Konvergenz* Am Ende dieses Kapitels wollen wir eine Möglichkeit vorstellen, wie man die eingeführte Konvergenz gegen ± als herkömmliche Konvergenz in einem metrischen Raum auffassen kann. Dazu müssen wir ± als Elemente unseres Raumes anerkennen, denn eine Folge von Elementen eines Raumes X kann gegen ein Element von X konvergieren, aber nicht gegen irgendetwas. Betrachte also die Menge R = R {+, }, wobei + und zwei verschiedene formale Elemente sind, die nicht in R liegen. Wir versehen die Menge R in naheliegender Weise mit der Relation x y : (x y falls x, y R) oder x = oder y = +.