Elektr. Feld Magn. Feld Strömungsfeld Bemerkung. [U] = V [Ψ el ] = As = C [C] = F. [V m ] = [Θ] = A [Ψ m ] = [Φ m ] = W b = V s [L] = V s.

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1 Elektrizitätslehre 3 - Formelsammlung (Revision : powered by LTEX) Seite 1 von 6 1 Elektrische Felder 1.1 Integral-Gesetze der Elektrotechnik Elektr. Feld Magn. Feld Strömungsfeld Bemerkung Feldgrösse E, D H, B E, J Konstante ε 0 = Dielektrizitätskonstante µ 0 = 4π 10 7 Permeabilitätskonstante σ = 1 ρ Spezifische Leitfähigkeit Stoffgleichung D = ε0 ε r E B = µ0 µ r H J = σ E Kraft Fluss (durch Fläche ) Spannung (Weg B) FC = q E FL = q( v B) Ψ el = D d Φm = B d 1) B U B = E ds B V mb = H ds U B = I = J d bei Spulen: Ψ m NΦ = i Φ i B E ds Schaltelemente Q = CU Ψ m = LI, Ψ m21 = M 21 I 1 I = GU, U = RI = 1 Λ, R = 1 G Hüllengesetz D d = Qi B d = 0 2) J 2) d = 0 ohne Verschiebungsstrom (Quellengleichungen) Maxwell IV Maxwell III Kirchhoff 1 (käme ggf. noch dazu) Umlaufspannung E ds = 0 Φm Induktionsgesetz Maxwell II H ds = θ + Ψel Vollständiges Durchflutungsgesetz Maxwell I E ds = 0 Φ Kirchhoff Einheiten ε = s V m µ = H m = V s m D = s m = C 2 m E = V 2 m U = V Ψ el = s = C C = F B = V s m = T H = 2 m V m = Θ = Ψ m = Φ m = W b = V s L = V s σ = S m E = V m J = m 2 = 10 6 mm 2 U = V I = R = Ω 1.3 Magnetismus Magnetische Feldlinien verlaufen ausserhalb eines Magneten vom Nord- zum Südpol und sind immer geschlossen. Name Formel Bemerkung Lorentzkraft F = Q( v B) = I( l B) F = Q v B sin α F = N Rechte-Hand-Regel F = Daumen; v, I = Zeigefinger; B = Mittelfinger Bei Q < 0 wechselt Richtung von B! = H Induktionsgesetz llgemeine Form u i = Φ = d B d B, Rechtsschraube + B, Linksschraube u i = V u i = Ψ, meist u i = N Φ Induktionsgesetz bewegter Leiter im Magnetfeld u i = Ei dl = ( v B) dl u i = V u i = v B l falls v B Durchflutungsgesetz V m = H ds = J d Ik = Θ V m, Θ = }{{} =NI Magn. Widerstand / Leitwert = Vm Φ = Θ Φ = l µ / Λ = 1 = W b / Λ = W b Induktivität L = Ψ I Bei idealer Koppl.: L = ΛN 2 = N 2 L = V s = H F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. rnold, S. Ferretti 20. Januar 2009

2 Elektrizitätslehre 3 - Formelsammlung (Revision : powered by LTEX) Seite 2 von Diverse Formeln bzgl. Magnetismus M feld ausserhalb langen Leiters: M feld innerhalb geraden, langen Leiters: Hall-Sonde: H(r) = I 2 π r H(r) = I eingeschlossen 2πr total = I r 2π r U a 2 H = I B e n p h M feld der Zylinderspule: M feld einer Toroidspule: Kraft auf stromführende Leiter: H(r) = N I l l d H innen (r) = N I 2 π r H aussen = 0 FL = I( l B) F L = I l B sin α H = I D = I 2a H = I 2 a 2 a 2 +h H = I 23 4πa (cos(α 1) cos(α 2 )) H = I Zusammenstellung magnetischer Grössen für spezielle Leiteranordnungen 2 π s Bemerkungen: 1) ohne Fluss durch Leiter 2) nur äussere Induktivität 3) = πd2 4 l m πd m 4) Wickeldurchmesser d in radialer und axialer Richtung d D llgemein gilt: Φ = Λ Θ, Λ = 1 L = Ψ I L = Λ = 1, falls N = 1 L = ΛN 2 = N 2, falls die N-Windungen unter sich ideal gekoppelt sind. 1.6 Gegeninduktion, Transformator Gegeninduktion (M XY ; X: Wirkung, Y : Ursache) Gegeninduktivität M 21 = Ψm21 i 1 = (Meist = N2φm21 i 1 ) (wenn µ = const.) M = k L 1 L 2 = M 21 = M 12 Gegeninduktionsspannung u 21 = Ψ di 21 = M 1 21 Transformatorgleichungen u 1 = L 1 di 1 + M 12 di 2 = L 1 di 1 +M 12 di b di 2 u 2 = L 2 + M di 1 21 = L di b 2 + M di 1 21 Idealer Trafo ü = u 1 u 2 = N 1 N 2 = n (im Leerlauf: 1 ü = k L2 ) L 1 Durchsetzt das sich ändernde Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule eine zweite Spule, so wird auch in dieser eine Spannung (=Gegeninduktionsspannung) induziert. Gleichsinnig / Gegensinnig Verlustbehafteter Trafo Primärstrom im Leerlauf: L H (ideal L H ) Hysterese- & Wirbelstromverluste: R F e (ideal: R F e ) Kupferwiderstände: R Cu1, R Cu2 (ideal: R Cu 0) Streufluss (Kopplung): L σ1, L σ2 (ideal: L σ 0) F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. rnold, S. Ferretti 20. Januar 2009

3 Elektrizitätslehre 3 - Formelsammlung (Revision : powered by LTEX) Seite 3 von 6 2 Wechselstromrechnung 2.1 llgemein zeitabhängige Grössen rithmetischer Mittelwert, Gleichwert, Linearer MW X 0 = X = X m = 1 T t 0 x(t) Quadratischer MW, Leistung X 2 = 1 T x 2 (t) MW n. Ordnung X n = 1 T x n (t) t 0 t 0 Effektivwert X = X 2 1 = T x 2 (t) Gleichrichtwert X m = X = 1 T x(t) t Begriffe Z = R + jx: Komplexer Widerstand (Impedanz); R: Wirkwiderstand (Resistanz); X: Blindwiderstand (Reaktanz) Y = G + jb: Komplexer Leitwert (dmittanz); G: Wirkleitwert (Konduktanz); B: Blindleitwert (Suszeptanz) Z = Z e jϕ Z = U I = ( ) R 2 + X 2 ϕ = arctan Im(Z) Re(Z) G = Re(Y ) 1 R, B = Im(Y ) 1 X 2.3 Schaltelemente bei zeitabhängigen Vorgängen Ohmscher Widerstand R Kapazitität C Induktivität L u und i können sprunghaft ändern u kann nicht sprunghaft ändern i kann nicht sprunghaft ändern u(t) = Ri(t) i(t) = u(t) R Z = R 2.4 Vorgehen bei Schaltvorgängen u(t) = 1 C t 0 i(t) = C du(t) Z = 1 jωc = j ωc W C = 1 2 CU 2 C i(τ)dτ + u(0) t 0 u(t) = L di(t) i(t) = 1 L t 0 Z = jωl W L = 1 2 LI2 L u(τ)dτ + i(0) u(t) = U E + (U U E )e t τ τ = CR bzw. τ = L R = ε σ U = lim t 0 + u(t) 2.5 Komplexe Darstellung sinusförmiger Vorgänge U E = lim t u(t) Für Ströme äquivalent Momentanwert in R: a(t) = Â cos(ωt + ϕ) Momentanwert in C: a(t) = Âejϕ e jωt mplitude in C: Â = Âejϕ Differentiation: d a(t) = jωâ Integration: a(t) = Â jω 2.6 Leistungen und Energie Blindleistungskompensation Momentanleistung p(t) = u(t)i(t) Komplexe Leistung S = U I = U I e j(ϕu ϕi) Konjugiert Komplexer Strom! Wirkleistung P = Re(S) = UI cos(ϕ) Blindleistung Q = Im(S) = UI sin(ϕ) Kapazitiv: Q < 0; induktiv: Q > 0 Scheinleistung S = S = UI = U 2 R = I2 R C: Q c = ωcuc 2, L: Q L = ωlil 2 Leistungsfaktor cos ϕ = P S = P UI Leistungsanpassung Z L = Z i ; P max = U 2 q 4R i = I2 q Ri 4 Q Lk = P tan ϕ k Q C = Q Lk Q L C = Q C ωu 2 F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. rnold, S. Ferretti 20. Januar 2009

4 Elektrizitätslehre 3 - Formelsammlung (Revision : powered by LTEX) Seite 4 von Systematische Netzwerkanalyse Netzwerkgleichungen, Integro-Differentialgleichungen nstelle der Matrizendarstellung werden hier die Netzwerkgleichungen vollständig ausgeschrieben mit f(t) und d f(t) Zweigstrommethode Bild 1 Maschengleichungen enthalten Zweigströme Maschen- & Stromknotengleichungen benötigt kann nicht in Matrizenform dargestellt werden Kreis- oder Maschenstrommethode (s. Bilder rechts) Bild 2 Maschengleichungen enthalten Maschenströme nur Maschengleichungen benötigt Kann in Matrizenform dargestellt werden Baum verbindet alle Knoten, ist aber nie geschlossen ufzustellende Maschen bestehen immer aus beliebig vielen Ästen (Zweige vom Baum) und einer Sehne Matrix der Maschenstrommethode (Bild 2) R1 + R 2 + jωl jωl 2 j2ωm 12 (R 2 + jωl jωm 12 jωm 13 ) (R 2 + jωl jωm 12 jωm 13 ) R 2 + jωl 2 + jωl jωc 3 llgemein: Impedanzen Z symmetrisch zur Diagonalen Maschenströme J = J J B = U0 0 Spannungsquellen U Gegenrichtung positiv, sonst negativ Gekoppelte Spulen Vorzeichen der Gegeninduktivität: Fliesst der fremde (induzierende) Strom bei der Markierung hinein, so hat er dieselbe Wirkung als wenn er bei der gekoppelten Spule in die Markierung hineinfliessen würde! F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. rnold, S. Ferretti 20. Januar 2009

5 Elektrizitätslehre 3 - Formelsammlung (Revision : powered by LTEX) Seite 5 von Knotenpotentialmethode oder Trennbündelmethode Gegeben: I C5 = ki 8 Knoten B hat keine Gleichung, da E B = U 01 Rechnung nur mit dmittanzen (Leitwerten) Y = 1 Z = G + jb Schema mit (idealen) Stromquellen G jωl 2 + jωc 3 0 G 4 0 G 6 + G 8 kg 8 G E }{{} 6 E I C5 C = U 04 G 4 + U 01 jωl E G 4 G 6 jωl 7 + G 4 + G D U 04 G 4 6 llgemein: dmittanzen Y symmetrisch zur Diagonalen Knotenpotentiale E = Stromquellen J Hineinfliessen positiv, sonst negativ spekte zur Wahl der Methode rt der gegebenen Quellen nzahl Gleichungen Spezialitäten Gesuchte Grössen Spannungsquellen Stromquellen z k + 1 nzahl idealer Stromquellen k 1 nzahl idealer Spannungsquellen Gegeninduktivitäten Gesteuerte Stromquellen (Sehnen-) Ströme (Knoten-) Spannungen 2.8 Stern-Dreieck-Umwandlung Umwandlung Y : Z ac Z bc Z c = Z ab + Z bc + Z ac Umwandlung Y : Y a Y c Y ac = Y a + Y b + Y c Bei gleichen Widerständen: R Y = R 3 Bei gleichen Kapazitäten: C Y = C 3 Bei gleichen Induktivitäten: L Y = L 3 F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. rnold, S. Ferretti 20. Januar 2009

6 Elektrizitätslehre 3 - Formelsammlung (Revision : powered by LTEX) Seite 6 von Impedanz-Transformationen Werden gebraucht, wenn Bauteile verschiedene Werte haben können. Bspw. wird in einer Schaltung eine Kapazität oder eine Induktion variiert. Bei der Umwandlung von Z nach Y und umgekehrt handelt es sich um die komplexe Kehrwertfunktion: Y = 1 1 Z (arg(z) = arg(y ), Y = Z ) (Unendlich ferner Punkt wird in den Ursprung abgebildet und umgekehrt) Verläuft die OK von Z oberhalb der Re-chse, so verläuft die OK von Y unterhalb der Re-chse und umgekehrt. Konstruktion der kreisförmigen Ortskurve: 1. ndere Orstkurve (komplexer Kehrwert) als Gerade darstellen. (Dient als Orientierungshilfe und zur Überprüfung) 2. Extremalwerte berechnen und als Punkte P 1, P 2 darstellen. (P 1 = Z 0 = lim R 0 Z, P 2 = Z = lim R Z) 3. Mittelsenkrechte von P 1, P 2 konstruieren, deren Schnittpunkt mit Re- oder Im-chse den Kreismittelpunkt M ergibt. Mittels Betrachtung des nfangswinkels (ϕ Z0 = ϕ Y0 oder ϕ Z = ϕ Y ) kann die nfangsrichtung des Kreises in der Nähe des Ursprungs bestimmt werden und der falsche Mittelpunkt (M Re oder M Im ) ausgeschlossen werden. 4. Ortskurve (Kreis mit Mittelpunkt M, schneidet P 2 und P 1 ) konstruieren 3 Mathematische Formeln Cosinussatz c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos γ Sinussatz a sin α = b sin β = c sin γ = 2r = u π F. Braun, L. Schmid, U. Giger, R. Koller, S. rnold, S. Ferretti 20. Januar 2009