Der zentrale Grenzwertsatz

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1 Kapitel VIII Der zentrale Grenzwertsatz Reinhard Höpfner Vorlesung Stochastik I Wintersemester 2003/2004, Sommer/Winter 2006/2007, Sommersemester 2010 Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg Universität Mainz , ,

2 2 Zentraler Grenzwertsatz Übersicht zu Kapitel VIII : Dreiecksschemata aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen Asymptotische Vernachlässigbarkeit; Bedingungen von Lindeberg, Feller, Lyapunov Dreiecksschemata aus iid Zufallsvariablen 8.5 Zentraler Grenzwertsatz in Dimension d = 1, allgemeine Formulierung 8.6 Eine Interpretation der Lindeberg-Bedingung 8.6 Zwei spezielle Formulierungen des Satzes hinreichende und notwendige Bedingungen: Satz von Lindeberg-Feller 8.8 Bemerkungen 8.9 Zentraler Grenzwertsatz in IR d 8.10

3 Kapitel VIII Definition : Ein Dreiecksschema X n,j,...,kn ; n=1,2,... von zeilenweise unabhängigen L 2 - Variablen ist ein System X 1,1... X 1,k1 X 2, X 2,k2.... X n, X n,kn.... von Zufallsvariablen auf Ω, A,P, mit Werten in IR, BIR, mit den folgenden Eigenschaften: i für die Folge n der Zeilenlängen gilt, ii in jeder Zeile n IN sind die Zufallsvariablen X n,1,...,x n,kn unabhängig unter P, iii es gilt X n,j L 2 P für alle 1 j, alle n IN. In einem Dreiecksschema zeilenweise unabhängiger L 2 -Variablen bezeichne µ n,j := EX n,j, σn,j 2 := VarX n,j, 1 j, n 1, := VarX n, X n,kn = σn, σ2 n,, n 1. Ein Dreiecksschema mit µ n,j = 0, 1 j, n 1 nennt man zentriert; es heißt standardisiert falls s 2 n = 1 für alle n Beispiel: Sei Y j j 1 eine Folge von iid Zufallsvariablen mit EY1 2 <, reellwertig, definiert auf irgendeinem Ω, A,P. a Y j j 1 liefert via Y 1 Y 1 Y Y 1 Y 2... Y n.... ein Dreiecksschema zeilenweise unabhängiger L 2 -Variabler.

4 4 Zentraler Grenzwertsatz b Wende mit µ := EY 1 und σ 2 := V ary 1 auf die n-te Zeile des Dreiecksschemas die lineare Transformation y 1 n y µ σ an und definiere X n,j := 1 Y j µ, 1 j n, n 1. n σ Das so entstandene Dreiecksschema X n,j,...,n; n=1,2,... mit = n ist zentriert und standardisiert. c In der Einführung in die Stochastik lernt man den Satz von de Moivre-Laplace entstanden um 1733 kennen, der im Spezialfall binomialverteilter ZV Y j j 1 iid B1,p zeigt P 1 n Y j p b Φb, n n p1 p für jedes b IR; dabei bezeichnet Φt = N0,1,t] die Verteilungsfunktion der eindimensionalen Standardnormalverteilung. Wegen 6.12 ist dies im Spezialfall binomialverteilter iid ZV eine Aussage über Verteilungskonvergenz von Zeilensummen in einem zentrierten und standardisierten Dreiecksschema. Ziel dieses Kapitels ist es, hinreichende und notwendige Bedingungen anzugeben, unter denen Zeilensummen in zentrierten und standardisierten Dreiecksschemata aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen für n schwach in IR gegen die Standardnormalverteilung konvergieren. Sätze dieser Bauart wie sie auch in viel allgemeineren Situationen, etwa in stochastischen Prozessen, formuliert werden können bezeichnet man mit dem Namen zentraler Grenzwertsatz. 8.3 Definition: Betrachte ein Dreiecksschema X n,j,...,kn ; n=1,2,... aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen, und mögliche Eigenschaften dieses Schemas. i Die asymptotische Vernachlässigbarkeitsbedingung AV verlangt X n,j µ n,j ε > 0 : max P 1 j > ε 0, n. ii Die Feller-Bedingung FE verlangt σn,j 2 max 1 j s 2 n 0, n. iii Die Lindeberg-Bedingung LIN verlangt Xn,j µ 2 n,j ε > 0 fest: L n ε := E 1 { Xn,j µn,j sn >ε} 0.

5 Kapitel VIII 5 iv Die Lyapunov-Bedingung LY verlangt δ > 0 so daß X n,j L 2+δ P für alle j,n, und es gilt X E n,j µ n,j 2+δ 0 für n. Beachte: alle diese Bedingungen sind invariant unter linearen Transformationen, die auf alle Variablen einer ganzen Zeile des Dreiecksschemas angewandt werden. 8.4 Hilfssatz: In einem Dreiecksschema X n,j,...,kn ; n=1,2,... aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen gilt für die in 8.3 definierten Eigenschaften: a LIN = FE = AV; b falls sogar X n,j L 2+δ P für alle j,n: LY = LIN. Beweis: Da X n,j L 2 P für alle j,n, gilt für jedes feste ε > 0 und damit σ 2 n,j Xn,j = VarX n,j = s 2 n E µ 2 n,j [ Xn,j ε 2 µ 2 n,j + E 1 { Xn,j µn,j s 2 n sn >ε} ] σn,j 2 max 1 j s 2 n ε 2 + L n ε. Dies zeigt LIN = FE. Die elementare Chebychev-Ungleichung P X n,j µ n,j > ε σ2 n,j ε 2 s 2 n liefert FE = AV. Unter der Zusatzvoraussetzung X n,j L 2+δ P für alle j,n folgt aus y 2 1 { y >ε} cstδ,ε y 2+δ, y IR die Implikation LY = LIN. 8.5 Beispiel: Betrachte eine Folge Y j j 1 von iid ZV mit EY1 2 < wie in 8.2 als Dreiecksschema zeilenweise unabhängiger L 2 -Variablen, entweder in der Form aus 8.2 a oder in der

6 6 Zentraler Grenzwertsatz zentrierten und standardisierten Form aus 8.2 b: Y 1 X 1,1 Y 1 Y 2 X 2,1 X 2, Y 1 Y 2... Y n X n,1 X n,2... X n,n mit X n,j := 1 Y j µ, µ := EY 1, σ 2 := VarY 1. n σ a Dann gilt die Lindeberg-Bedingung LIN und damit nach 8.4 auch FE und AV: Mit den Bezeichnungen aus 8.1 für X n,j,2,...; n=1,2,... hat man = 1 für alle n,,µ n,j = 0 für alle n, j, also schreibt sich der in der Lindeberg-Bedingung zu betrachtende Ausdruck in jeder der Formen n Xn,j µ 2 n,j n L n ε = E 1 { Xn,j µn,j >εsn} = E X n,j 2 1 { Xn,j >ε} = n E Yj µ n σ 2 1 { Y j µ n σ >ε} = 1 σ 2 E Y 1 µ 2 1 { Y1 µ >εσ n } Da Y 1 L 2 P, strebt der letzte Ausdruck gegen 0 für n : damit ist LIN nachgewiesen.. b Gilt sogar Y 1 L 2+δ P für ein δ > 0, gilt auch die Lyapunov-Bedingung LY wegen n X n,j µ n,j 2+δ E Y 1 µ 2+δ = n E = n δ/2 cst 0 n σ für n. Nun geben wir die erste Formulierung des zentralen Grenzwertsatzes : 8.6 Hauptsatz: Sei X n,j,...,kn ; n=1,2,... ein Dreiecksschema aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen. Erfüllt dieses Dreiecksschema die Lindeberg-Bedingung LIN, so gilt L X n,j µ n,j P w s N0,1 n mit µ n,j = EX n,j und s 2 n = kn VarX n,j.

7 Kapitel VIII 7 Beweis: 1 Wir betrachten o.e. ein zentriertes und standardisiertes Dreiecksschema X n,j n,j. Die Lindeberg-Bedingung und die anderen in 8.4 betrachteten Bedingungen sind invariant unter dieser Umformung. Im Fall µ n,j = 0 n,j, s 2 n = σn, σn,k 2 n = 1 n 1 beweisen wir dann asymptotische Normalität der Zeilensummen X n,j L ξ, ξ N0,1 unter der Voraussetzung LIN: L n ε := E Xn,j1 2 { Xn,j >ε} 0, ε > 0. Schreibe Q n,j = LX n,j P, sei ϕ n,j die zugehörige charakteristische Funktion. 2 Wegen X n,j L 2 P ist ϕ n,j zweimal stetig differenzierbar an der Stelle 0: ϕ r n,j t = ix r e itx Q n,j dx, ϕ r n,j 0 = ir EXn,j r, r = 1,2, siehe Wegen der Standardisierung ϕ n,j 0 = 0, ϕ n,j 0 = σ2 nj liefert das eine Entwicklung der charakteristischen Funktion ϕ n,j an der Stelle 0 ϕ n,j t = 1 σ 2 n,j t2 2 + r n,jt t2 2, mit Resttermen siehe 7.16 r n,j t sup ϕ n,jηt ϕ n,j0 sup η [0,1] η [0,1] t IR x 2 e iηtx 1 Q n,j dx. Für festes t IR gibt es zu ε > 0 ein δ = δt,ε > 0, so daß x δ = sup e iηtx 1 < ε, η [0,1] damit gilt r n,j t εσn,j und damit wegen Standardisierung r n,j t ε { x >δ} x 2 Q n,j dx σn,j x 2 1 { x >δ} Q n,j dx = ε + 2L n δ, δ = δt,ε.

8 8 Zentraler Grenzwertsatz Hierbei ist ε > 0 beliebig. Wegen LIN gilt lim L n δ = 0 für jedes δ > 0. Also ist gezeigt + r n,j t 0, t IR. 3 Wir assoziieren zu dem gegebenen Dreiecksschema X n,j,...,kn ; n=1,2,... ein neues Dreiecksschema Y n,j,...,kn ; n=1,2,... auormalverteilten zeilenweise unabhängigen ZV, so daß jeweils die ersten beiden Momente übereinstimmen: Y n,1,...,y n,kn sind unabhängig für jede Y n,j = N0,σn,j 2, 1 j, n = 1,2,... mit zugehörigen charakteristischen Funktionen ψ n,j t := e itx N0,σn,j 2 dx. Wie in 2 gilt ψ n,j t = 1 σn,j 2 t r n,jt t2 2, t IR r n,j t εσn,j x 2 N0,σn,j 2 dx, { x >δ} wobei die übliche Skalierungseigenschaft für Normalverteilungen zeigt { x >δ} x 2 N0,σ 2 n,jdx = 1 σn,j 2 { x >δ/σ nj } { x >δ/ max,...,kn x 2 N0,1dx x 2 N0,1dx. σ n,j } Nach 8.4 gilt aber LIN = FE, und die Feller-Bedingung mit Normierung zeigt max σ n,j 0 für n.,..., Also verschwindet das letzte Integral für n. Zusammen erhält man also ++ r n,j t 0, t IR. 4 Der Vergleich beider Dreiecksschemata schließt nun den Beweis ab. Sei t IR fest. Wegen und wegen der Faltungseigenschaft von Normalverteilungen gilt e 1 2 t2 = ϕ N0,1 t = ϕ N0, P kn σ 2 n,j t = ϕ knp Y n,j t = ψ n,j t. Wegen zeilenweise Unabhängigkeit im Dreiecksschema X n,j,...,kn ; n=1,2,... hat man ϕ knp X n,j t = ϕ n,j t.

9 Kapitel VIII 9 Für Punkte z 1,...,z k, z 1,..., z k in der abgeschlossenen Einheitsscheibe in IC gilt die Ungleichung z j z j z j z j, woraus man sofort schließt e 1 2 t2 ϕ knp t X n,j ϕ n,j t ψ n,j t t2 2 r n,j t + r n,j t. Die rechte Seite dieser Ungleichung verschwindet aber für n nach + und ++. Man hat also punktweise Konvergenz auf IR der charakteristischen Funktionen ϕ knp gegen die X n,j charakteristische Funktion der Standardnormalverteilung. Nach Stetigkeitssatz 7.10 ist damit die in Schritt 1 behauptete asymptotische Normalität nachgewiesen. 8.6 Bemerkung: Zu einer anschaulichen Interpretation der Lindeberg-Bedingung kommt man, wenn man die Variablen der n-ten Zeile eines zentrierten und standardisierten Dreiecksschemas 8.1 als Sprunghöhen in einem zeitskalierten Random Walk t t k S n n t := X n,j, 0 t 1 auffaßt: nach Voraussetzung sind alle Sprunghöhen L 2 -Variablen, und LIN garantiert, daß in der Asymptoti der Einfluß großer Sprünge im Pfad von S n X n,k 1 { Xn,k >ε}, 1 k Sprünge mit Sprunghöhe > ε für ε > 0 beliebig aber fest in einem L 2 -Sinn verschwindet. Die einfachste Art, Satz 8.6 unter Benutzung von 8.5 a anzuwenden, ist die folgende: 8.7 Korollar: Für reellwertige iid ZV Y j j mit endlichen zweiten Momenten gilt L 1 n n wobei µ = EY 1 und σ 2 = VarY 1. Y j µ σ P L N0,1

10 10 Zentraler Grenzwertsatz Der Satz von demoivre und Laplace war ein Vorläufer dieser Aussage, vgl. 8.2 c und Eine weitere nützliche Anwendung von 8.6 unter einer zusätzlichen Voraussetzung ist: 8.7 Korollar: Sei X n,j,...,kn ; n=1,2,... ein Dreiecksschema aus zeilenweise unabhängigen L 2 - Variablen. Dieses erfülle die Lindeberg-Bedingung LIN, und es existiere + µ := lim µ n,j in IR, σ2 := lim σ 2 n,j in 0,. Dann gilt schwache Konvergenz in IR L X n,j P N µ, σ 2, n. Beweis: Bezeichne Z eine nach N0, 1 verteilte Zufallsvariable auf Ω, A, P o.e. kann stets angenommen werden, daß eine solche auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem die X n,j leben: gegebenenfalls erweitert man dazu den Wahrscheinlichkeitsraum, indem man ein Produkt aus dem ursprünglichen Ω, A, P mit IR, BIR, N0, 1 bildet und alle Zufallsvariablen in natürlicher Weise auf dem Produktraum redefiniert. Nach 8.6 gilt dank LIN Z n := X n,j µ n,j L Z, n. Die Konvergenzvoraussetzung + erlaubt, hieraus auf Straffheit der Folge ++ L X n,j P, n 1 in IR zu schließen. Aufgrund der Straffheit von ++ sind die Folgen Z n n und Z n n Z n := 1 σ X n,j µ, n 1 stochastisch äquivalent für n, siehe 6.5 c. Mit 6.6 konvergiert dann auch die Folge Z n n schwach in IR gegen Z, für n. Skalieren dies ist eine stetige Abbildung liefert mit 6.3 oder 6.4 dann die Behauptung des Korollars. Man beachte, daß die Zusatzvoraussetzung + in Korollar 8.7 keineswegs eine Lindeberg- Bedingung impliziert dies darf nicht mit 8.5 a verwechselt werden, wie das Beispiel X n,1 Γa,p, X n,2 =... = X n,kn = 0, n 1

11 Kapitel VIII 11 sofort deutlich macht. Im nächsten Satz betrachten wir die Bedingungen für asymptotische Normalität der Zeilensummen in Satz 8.6 genauer. Ohne Zweifel kann asymptotische Normalität der Zeilensummen auch ohne Lindeberg-Bedingung gelten, wie das triviale Beipiel n 1 : X n,1 N0,1, X n,2 =... = X n,kn = 0 P-fs zeigt. In Dreiecksschemata aus gleichmäßig kleinen zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen ist LIN jedoch notwendig und hinreichend für asymptotische Normalität der Zeilensummen. 8.8 Satz von Lindeberg-Feller: Sei X n,j,...,kn ; n=1,2,... ein Dreiecksschema aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen. Betrachte die Eigenschaft ZSK ZSK es gilt für n : L X n,j µ n,j P w N0,1 mit µ n,j und wie in 8.1. Dann sind folgende Aussagen gleichwertig: i es gilt LIN, ii es gilt ZSK und FE, iii es gilt ZSK und AV. Beweis: Nach Satz 8.6 und Hilfssatz 8.4 ist nur noch die Implikation iii = i zu zeigen. Die ZV X n,j habe Verteilung Q n,j = LX n,j P und charakteristische Funktion ϕ n,j, für alle n,j; wir arbeiten wie im Beweis von 8.6 mit der Standardisierung µ n,j = 0 n,j, s 2 n = σ2 n,1 +...σ2 n, = 1 n 1. 1 Schreibe ϕ n,j t = costxq n,j dx + i sintxq n,j dx und betrachte für t > 0 L n t := 1 2 t 2 1 cos txq n,j dx = 1 2 t 2 Re1 ϕ n,j t. Der Beweisplan ist der folgende. In Schritt 3 unten werden wir zeigen, daß AV und ZSK zusammen die Aussage + lim L n N = 0 für jedes feste N IN

12 12 Zentraler Grenzwertsatz implizieren. Zugleich wird aber gelten siehe Schritt 2 unten ++ für beliebiges ε > 0, N IN : L n ε L n N ε 2 N 2. Zusammen ergeben + und ++ die gewünschte Aussage AV + ZSK = LIN. 2 Der Beweis von ++ ist elementar. Man hat wegen der Standardisierung L n ε = = = 1 E X n,j 2 1 { Xn,j >ε} σ 2 n,j 1 2 N 2 { x ε} = L n N + 2 N 2 { x ε} = x 2 Q n,j dx x 2 Q n,j dx { x ε} { x >ε} 1 cos NxQ n,j dx { x >ε} 1 cos NxQ n,j dx wobei in der vorletzten Abschätzung Hilfssatz 7.3 a benutzt wurde: x 2 Q n,j dx 1 cos tx = Re e itx 1 itx e itx 1 itx tx 2 2, t,x IR. Mit Hilfe der trivialen Ungleichung 1 cos Nx 1 { x >ε} 2 1 { x >ε} 2 ε 2x2, x IR schätzt man in der Ungleichungskette oben weiter ab 2 N 2 { x >ε} 1 cos NxQ n,j dx 4 N 2 ε 2 σ 2 n,j = 4 N 2 ε 2 und erhält Als Vorbereitung auf den Beweis von + zeigen wir zuerst, daß unter AV und gilt ϕ n,j t gleichmäßig auf kompakten t-intervallen. Mit Hilfssatz 7.3 a startet man dabei von der Abschätzung ϕ n,j t 1 e itx 1 Q n,j dx 2 Q n,j { x > δ} + δ t

13 Kapitel VIII 13 für beliebig kleines δ > 0, in der unter AV und X n,j µ n,j max Q n,j { x > δ} = max E 1 j 1 j > δ 0 für n. Also hat man unter AV max ϕ n,j t 1 1 j 0 gleichmäßig auf kompakten t-intervallen. Alächstes gilt wegen Standardisierung insbesondere xq n,j dx = 0, daher ϕ n,j t 1 = e itx 1 itxq n,j dx woraus wieder mit Hilfssatz 7.3 a folgt ϕ n,j t 1 t2 2 x 2 Q n,j dx = t2 2 σ 2 n,j = t2 2. Das bedeutet ϕ n,j t 1 ist beschränkt für n, gleichmäßig auf kompakten t-intervallen. Mit Hilfe der trivialen Abschätzung ϕ nj t 1 2 kn max ϕ nj t 1 ϕ nj t 1 1 j ergibt sich aus und. 4 Wir zeigen +. Starte von der Reihenentwicklung für den Hauptast des Logarithmus 1 r 1 log1 + z = z + z r, z IC mit z < 1 r 2 in IC, woraus mit Hilfe der geometrischen Reihe die Abschätzung r=2 log1 + z z z 2, z IC, z < 1 2 folgt. Auf jedem kompakten t-intervall gilt ϕ n,j 1 < 1 2, 1 j, für schließlich alle n, wegen in Schritt 3. Also hat man eine Entwicklung log ϕ n,j t = log 1 + ϕ n,j t 1 = ϕ n,j t 1 + R n,j t zusammen mit einer Abschätzung der Restterme für hinreichend große R n,j t ϕ n,j t 1 2 0

14 14 Zentraler Grenzwertsatz gleichmäßig auf kompakten t-intervallen, nach in Schritt 3. Die Voraussetzung ZSK bedeutet nach Stetigkeitssatz von P. Lévy 7.10 ϕ n,j t = ϕ knp t X n,j ϕ N0,1 t = e 1 2 t2 für jedes t IR. Die logarithmische Entwicklung oben erlaubt, hieraus auf Konvergenz in IC e knp ϕ n,j t 1 e 1 2 t2 für n zu schließen. Damit konvergieren aber auch die Beträge e knp ϕ n,j t 1 = e Re knp ϕ nj t 1 e 1 2 t2 und man erhält Nach Definition von L n bedeutet das aber Re1 ϕ nj t t2 für n. lim L n t = 0 für jedes t 0, und die Aussage + ist bewiesen. Damit ist der Beweis von Satz 8.8 abgeschlossen. 8.9 Bemerkung: a Die in diesem Kapitel durchgängig gemachte Voraussetzung endlicher zweiter Momente kann im iid Fall noch einmal minimal abgeschwächt werden, siehe Bingham, Goldie und Teugels 1987, S b Ohne Lindeberg-Bedingung können in Dreiecksschemata aus zeilenweise unabhängigen asymptotisch vernachlässigbaren L 2 -Variablen andere Typen von Grenzverteilungen entstehen. Dies wird in Kapitel IX genauer betrachtet werden. Ein einfaches Beispiel: sei p n n eine Folge in 0,1 mit der Eigenschaft lim n p n =: λ, 0 < λ <. Der aus der Einführung in die Stochastik bekannte Poissonsche Grenzwertsatz zeigt schwache Konvergenz in IR Bn,p n w Pλ, n für diskrete Verteilungen reicht each 6.12, die Konvergenz der Massen dieser Verteilungen auf den Einpunktmengen {k}, k IN 0, nachzurechnen. Betrachtet man nun das Dreiecksschema für feste 1 : X n,1,...,x n,n sind iid B1,p n

15 Kapitel VIII 15 aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen, die nur die Werte 0 oder 1 annehmen, so sieht man leicht, daß AV und FE erfüllt sind, LIN aber verletzt ist. Der schwache Limes für zentrierte und standardisierte Zeilensummen in diesem Dreiecksschema ist eine um λ verschobene und um den Faktor 1 λ gestreckte Poissonvariable mit Parameter λ. Aus dem eindimensionalen zentralen Grenzwertsatz 8.6 bzw. aus Korollar 8.7 und Cramér- Wold 7.12 erhält man abschließend einen zentralen Grenzwertsatz für Zufallsvariable mit Werten in IR d, BIR d ohne große zusätzliche Arbeit: 8.10 Zentraler Grenzwertsatz in IR d : Betrachte ein Dreiecksschema aus zeilenweise unabhängigen L 2 -Variablen mit Werten in IR d, BIR d Y n,j,...,kn, n=1,2,... dies bedeutet, daß alle Komponenten Y r n,j, 1 r d, Zufallsvariable in L2 P sind. Schreibe ν n,j := EY n,j, Λ n,j := CovY n,j = E Y n,j ν n,j Y n,j ν n,j und setze voraus: es gelte Konvergenz der ersten beiden Momente es gebe ν = ν r 1 r d in IR d und Λ = Λ r,s 1 r,s d in IR d d so daß lim kn ν r n,j = ν r, lim kn Λ r,s n,j = Λ r,s, 1 r,s d, notwendig ist dann Λ symmetrisch und nichtnegativ definit, und das Dreiecksschema erfülle eine Lindeberg-Bedingung in der folgenden Form lim E Y n,j ν n,j 2 1 { Yn,j ν n,j >ε } = 0 für jedes ε > 0. Dann sind die Zeilensummen im Dreiecksschema asymptotisch normalverteilt: man hat Y n,j schwache Konvergenz in IR d für n. L N ν, Λ Beweis: Nach Cramér-Wold 7.12 reicht es, die Schar schwacher Konvergenzen in IR für jedes feste α IR d : α Y n,j L N α ν, α Λα

16 16 Zentraler Grenzwertsatz für n nachzuweisen. Weiter reicht es, hierbei den zentrierten Fall zu betrachten: ν n,j = 0, ν = 0, Λ n,j = EY n,j Y n,j. Wir schreiben bezüglich eines festen α IR d X n.j := α Y n,j, µ n,j := EX n,j = 0, σ 2 n,j := EX2 n,j = α Λ n,j α und betrachten das Dreiecksschema aus zentrierten IR-wertigen L 2 -Variablen X n,j,...,kn, n 1. Fall 1: Gilt α Λα = 0, so verschwindet X n,j für n in L 2 P aufgrund der Konvergenzbedingung an die ersten beiden Momente, damit auch P-stochastisch, also auch in Verteilung. Gleichzeitig ist in diesem Fall aber die Normalverteilung auf der rechten Seite von aber ein Diracmass in 0. Also gilt. Fall 2: Sei α Λα > 0. Dann ist mit µ = 0 und σ 2 = α Λα > 0 die Momentenbedingung + aus Korollar 8.7 erfüllt. Zum Beweis von bleibt alur nachzuweisen, daß das Schema die Lindebergbedingung LIN gemäß 8.3 ε > 0 fest: L n ε = 1 s 2 n E Xn,j 2 1 { X n,j >ε } 0 mit s 2 n = kn σn,j 2 erfüllt. Aufgrund der vorausgesetzten Konvergenz s2 n σ 2 0, ist diese aber äquivalent zur einfacheren Bedingung lim E Xn,j 2 1 { Xn,j >ε} = 0 für jedes ε > 0 die wir jetzt nachzuprüfen: man hat notwendig gilt α 0,, wegen Fall 2 X n,j = α Y n,j α Y n,j und { } X n,j = α Y n,j > ε } { Y n,j > ε α so daß sofort aus der in der Formulierung des Satzes gemachten Voraussetzung lim E Y n,j 2 1 { Yn,j >ε } = 0 für jedes ε > 0 folgt. Damit ist Satz 8.10 bewiesen.