D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 14. Serie 2

Transkript

1 D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 4 Prof Dr Paul Biran Nicolas Herzog Serie Abgabetermin der schriftlichen Aufgaben: Freitag, 4 in der Übungsstunde Ein Gast trinkt jeden Tag zwei Drittel einer -Liter-Weinflasche Der Wirt füllt sie dann jeden Abend mit / l Wein und / l Wasser auf Wieviel Wein bleibt ungefähr in der Flasche, nachdem der Wirt sie mal wieder aufgefüllt hat? Sei q Ê eine beliebige reelle Zahl a Betrachte die Folge a n = 9 (q + n, n Æ Für welche q konvergiert sie und was ist ihr Grenzwert im konvergenten Fall? (Auch die uneigentlichen Grenzwerte ± sind mit einzubeziehen! b Gleiche Frage für die Reihe n= (q n Hinweis: Analysiere zuerst die Standard-geometrische Folge und Reihe auf uneigentliche Konvergenz a Man bestimme die Menge der Punkte (x, y in der reellen Ebene, deren Koordinaten der Ungleichung x +6x 8y y genügen b Zeichnen Sie das Bild der Parametrisierungf : [,] Ê, f(t := ( +5cos(πt,4+5sin(πt 4 Gegeben sei die Funktion f : x x +x x x x Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen von f Für welche Werte von x ist die Funktion f positiv? Für welche negativ? Skizzieren Sie den Graph Γ(f (Hinweis: für den Graph können Sie zb das Bild ausgewählter Werte im Definitionsbereich berechnen und dann die Punkte miteinander verbinden Was passiert mit der Funktionf in Umgebungen der Nullstellen des Nenners? Bitte wenden!

2 5 Gegeben seien zwei Funktionen f : A R und f : B R, wobei A und B Teilmengen von R sind Man möchte eine Funktion h in der folgenden Weise definieren: h(x := g(f(x für alle Werte x in A, wo es Sinn hat Der maximale Definitionsbereich der Funktion h wäre also die Menge aller x A, so dass f(x ein Element von B ist Die Funktion h wird die Komposition von f und g oder g komponiert mit f genannt und wird üblicherweise als g f bezeichnet Für die folgenden Paare von Funktionen f und g bestimme man explizit g f und gebe man ihren maximalen Definitionsbereich an: a f : R x x+; g : R x x x; b f : R x x x; g : R x x+; c f : R x x ; g : [, x x; d f : R x x x; g : [, x x; e f : R x sinx; g : [, x x; Siehe nächstes Blatt!

3 Die letzten Aufgaben sind Multiple-Choice-Aufgaben (MC-Aufgaben, die online gelöst werden Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den MC-Fragen bis Freitag, 4 um 5 Uhr ab Gegeben sei die Folge a n = n sind falsch? n+,n =,,, Welche der folgenden Aussagen (a (b (c (d Die Folge ist monoton wachsend Die Folge ist beschränkt Die Folge ist divergent Die Folge besitzt keinen Limes inr Zur Erinnerung: Eine Folgea n divergiert nach unendlich, falls es für jede Schranke M > eine Zahl N N gibt, so dass für alle n N gilt a n M Analog wird der Begriff Divergenz nach definiert Welche Aussagen sind wahr? (a (b (c (d (e (f (g Eine Folge, die nach unendlich divergiert, ist monoton steigend Eine monoton steigende, unbeschränkte Folge divergiert nach unendlich Jede unbeschränkte Folge divergiert nach unendlich Jede beschränkte Folge konvergiert (zu einer reellen Zahl Eine monoton fallende Folge, welche unbeschränkt ist, divergiert nach minus unendlich Sind a n,b n zwei Folgen und gilt a n b n für alle n N sowie a n, dann gilt auch b n Sind a n,b n zwei Folgen und gilt a n < b n für alle n N sowie b n, dann divergierta n nicht nach unendlich Bitte wenden!

4 Welche der Reihen divergiert (nach unendlich? (a (b (c (d (e n= n= n= n= ( n n! n fürq < q n Keine dieser Reihen divergiert 4 Welche der folgenden Teilmengen der Ebene sind Graphen von reellwertigen Funktionen? (a (b (c (d (a (b (c (d (e a b c d Keine Siehe nächstes Blatt!

5 5 Beschreiben Sie die Bewegung ( eines Punktes mit folgender Parametrisierung: sin6t [, π ] R,t + : cos6t (a und Radius, einmaliger Umlauf im Uhrzei- gersinn beginnend bei (b (c (d (e Uhrzeigersinn Ellipse mit Mittelpunkt Uhrzeigersinn beginnend bei und Radius, zweimaliger Umlauf gegen den, von ( nach ( und Radius, einmaliger Umlauf gegen den und Radius, zweimaliger Umlauf im Uhrzeigersinn beginnend bei (