Punktbeschriftung in Dynamischen Karten

Transkript

1 Vorlesung Algorithmische Kartografie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Benjamin Niedermann Martin Nöllenburg

2 Übungen Nachtrag 1) Überlegen Sie sich, wie man den O(n log n)-algorithmus auf Label mit unterschiedlichen Höhen anpassen kann. Ändert sich dadurch die Laufzeit? while H right, H int oder H V nicht leer do v find-min(h V ) while v links von F do delete-min(h V ); v find-min(h V ) l i linkestes Label aus H right, H int und H V füge l i zur Beschriftung hinzu f new rechte Kante von l i update F und T V mit f new suche mit der Region links von f new in P left und P right und update H right, P left, H int, T i s und P right wie beschrieben entferne alle Verweise auf p i aus den Datenstrukturen 2

3 Was ist eine Landkarte? r e d o 3 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie

4 Die Ära der dynamischen Karten Die meisten Karten sind heute nicht mehr statisch und allgemein, sondern dynamisch und individuell. 4

5 Die Ära der dynamischen Karten Die meisten Karten sind heute nicht mehr statisch und allgemein, sondern dynamisch und individuell. Welche Eigenschaften haben dynamische Karten, wie wirkt sich das auf die Beschriftung aus? 4

6 Die Ära der dynamischen Karten Die meisten Karten sind heute nicht mehr statisch und allgemein, sondern dynamisch und individuell. Kartenansicht bewegt sich kontinuierlich wenn der Nutzer zoomt verschiebt rotiert neigt Layout und Beschriftung müssen sich an die dynamische Kartenbewegung anpassen! kontinuierliche Generalisierung! kontinuierliche Kartenbeschriftung 4

7 Lassen sich statische Verfahren nutzen? Die meisten heuristischen statischen Ansätze nutzen Konfliktgraph als Modell für Überlappungen und suchen große unabhängige Labelmenge. 5

8 Lassen sich statische Verfahren nutzen? Die meisten heuristischen statischen Ansätze nutzen Konfliktgraph als Modell für Überlappungen und suchen große unabhängige Labelmenge. Übertragung auf dynamische Karten: schnelle Algorithmen um jeden Frame einer Animation in Echtzeit zu beschriften. 5

9 Lassen sich statische Verfahren nutzen? Die meisten heuristischen statischen Ansätze nutzen Konfliktgraph als Modell für Überlappungen und suchen große unabhängige Labelmenge. Übertragung auf dynamische Karten: schnelle Algorithmen um jeden Frame einer Animation in Echtzeit zu beschriften. Ansatz 1: Vorberechnung & Abfragen [Petzold, Gröger, Plümer 03] konstruiere reaktiven Konfliktgraph, Abfrage während Interaktion, verwende greedy Verfahren für statische Labelauswahl 5

10 Lassen sich statische Verfahren nutzen? Die meisten heuristischen statischen Ansätze nutzen Konfliktgraph als Modell für Überlappungen und suchen große unabhängige Labelmenge. Übertragung auf dynamische Karten: schnelle Algorithmen um jeden Frame einer Animation in Echtzeit zu beschriften. Ansatz 1: Vorberechnung & Abfragen [Petzold, Gröger, Plümer 03] konstruiere reaktiven Konfliktgraph, Abfrage während Interaktion, verwende greedy Verfahren für statische Labelauswahl Ansatz 2: schnelle on-the-fly Berechnung berechne lokalen Konfliktgraph, schätze Positionskosten, suche greedy günstigste Position [Mote 07] partikelbasierte Konflikterkennung, sequentielle Platzierung nach absteigender Positionspräferenz [Luboschik, Schumann, Cords 08] 5

11 Lassen sich statische Verfahren nutzen? Die meisten heuristischen statischen Ansätze nutzen Konfliktgraph als Modell für Überlappungen und suchen große unabhängige Labelmenge. Übertragung auf dynamische Karten: schnelle Algorithmen um jeden Frame einer Animation in Echtzeit zu beschriften. Ansatz 1: Vorberechnung & Abfragen [Petzold, Gröger, Plümer 03] konstruiere reaktiven Konfliktgraph, Abfrage während Interaktion, verwende greedy Verfahren für statische Labelauswahl Ist das Problem damit gelöst? Ansatz 2: schnelle on-the-fly Berechnung berechne lokalen Konfliktgraph, schätze Positionskosten, suche greedy günstigste Position [Mote 07] partikelbasierte Konflikterkennung, sequentielle Platzierung nach absteigender Positionspräferenz [Luboschik, Schumann, Cords 08] 5

12 Neue Verfahren sind notwendig Die bisherigen Ansätze sind zwar schnell genug, aber die resultierenden Kartenanimationen sind oft unbefriedigend. jeder Frame wird unabhängig von Nachbarframes beschriftet Label neigen zu Flackern und Sprüngen zeitliche Kohärenz oder Konsistenz wird nicht betrachtet 6

13 Neue Verfahren sind notwendig Die bisherigen Ansa tze sind zwar schnell genug, aber die resultierenden Kartenanimationen sind oft unbefriedigend. jeder Frame wird unabha ngig von Nachbarframes beschriftet Label neigen zu Flackern und Spru ngen zeitliche Koha renz oder Konsistenz wird nicht betrachtet Aktuelle reale Beispiele zeigen noch immer negative E ekte! 6 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie

14 Neue Verfahren sind notwendig Die bisherigen Ansa tze sind zwar schnell genug, aber die resultierenden Kartenanimationen sind oft unbefriedigend. jeder Frame wird unabha ngig von Nachbarframes beschriftet Label neigen zu Flackern und Spru ngen zeitliche Koha renz oder Konsistenz wird nicht betrachtet Aktuelle reale Beispiele zeigen noch immer negative E ekte! Konsistenzkriterien [Been, Daiches, Yap 06] Label sollen beim Vergro ßern nicht verschwinden und beim Verkleinern nicht auftauchen (Monotonita t) sichtbare Label sollen Position und Gro ße kontinuierlich a ndern Platzierung und Auswahl der Label soll eine Funktion des Kartenzustands sein und nicht von der Historie abha ngen feste Labelgro ße auf dem Bildschirm 6 Dr. Martin No llenburg Vorlesung Algorithmische Kartografie

15 1) Beschriftung für dynamisches Zoomen [Been et al. 2010] 7

16 Label in Karten mit Zoomfunktion großer Maßstab Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 8

17 Label in Karten mit Zoomfunktion großer Maßstab kleiner Maßstab Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 8

18 Label in Karten mit Zoomfunktion großer Maßstab kleiner Maßstab Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 grafisches Zoomen erzeugt kleine Label 8

19 Label in Karten mit Zoomfunktion großer Maßstab kleiner Maßstab Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 Label 5 Label 4 Label 2 Label 3 Label 1 identische Labelgröße erzeugt neue Konflikte 8

20 Label in Karten mit Zoomfunktion großer Maßstab kleiner Maßstab Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 Label 6 Label 7 Label 5 Label 4 Label 2 Label 3 Label 1 Label 8 Label 9 neue Punkte kommen hinzu 8

21 Label in Karten mit Zoomfunktion großer Maßstab kleiner Maßstab Label 5 Label 2 Label 4 Label 3 Label 1 Label 6 Label 5 Label 2 Label 8 Label 7 Label 1 Label 9 ) beim Herauszoomen wachsen Label relativ zur Karte und neue Konflikte müssen aufgelöst werden, ohne dass Label springen oder flackern 8

22 3D Modell für dynamisches Beschriften Dynamisches Beschriftungsmodell [Been, Daiches, Yap 06] (inverser) Maßstab auf z-achse horizontaler Schnitt bei z = z 0 liefert Karte in Maßstab 1/z 0 jedes Label an festem Punkt verankert ) kein Springen 9

23 3D Modell für dynamisches Beschriften Dynamisches Beschriftungsmodell [Been, Daiches, Yap 06] z (inverser) Maßstab auf z-achse horizontaler Schnitt bei z = z 0 liefert Karte in Maßstab 1/z 0 jedes Label an festem Punkt verankert ) kein Springen verfügbares Maßstabsintervall S L für jedes L x 9

24 3D Modell für dynamisches Beschriften Dynamisches Beschriftungsmodell [Been, Daiches, Yap 06] z (inverser) Maßstab auf z-achse horizontaler Schnitt bei z = z 0 liefert Karte in Maßstab 1/z 0 jedes Label an festem Punkt verankert ) kein Springen verfügbares Maßstabsintervall S L für jedes L x 9

25 3D Modell für dynamisches Beschriften Dynamisches Beschriftungsmodell [Been, Daiches, Yap 06] (inverser) Maßstab auf z-achse horizontaler Schnitt bei z = z 0 liefert Karte in Maßstab 1/z 0 jedes Label an festem Punkt verankert ) kein Springen x verfügbares Maßstabsintervall S L für jedes L berechne ein aktives Intervall A L S L ) kein Flackern aktive Intervalle müssen disjunkte Pyramidenstümpfe (bzw. allg. Labelkörper) induzieren ) gültige Beschriftung Ziel: maximiere aktive Gesamthöhe P L A L z 9

26 Komplexität Satz 1: Es ist NP-schwer P L A L zu maximieren, bzw. für geg. K>0 ist es NP-vollständig zu entscheiden ob es eine Beschriftung mit P L A L K gibt.?? selbst wenn S L =[0,z max ] für alle Label L! 10

27 Komplexität Satz 1: Es ist NP-schwer P L A L zu maximieren, bzw. für geg. K>0 ist es NP-vollständig zu entscheiden ob es eine Beschriftung mit P L A L K gibt.?? selbst wenn S L =[0,z max ] für alle Label L! Beweisskizze: Reduktion von PLANAREM 3-SAT: (NP-schwer: [Lichtenstein 82]) planare 3-Sat Formel ' x 1 _ x 2 _ x 3 x 1 _ x 3 _ x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Menge von Punkten & Labeln, K>0: ' erfüllbar, max P L A L K x 1 _ x 2 _ x 4 x 2 _ x 3 _ x 4 10

28 Komplexität Satz 1: Es ist NP-schwer P L A L zu maximieren, bzw. für geg. K>0 ist es NP-vollständig zu entscheiden ob es eine Beschriftung mit P L A L K gibt.?? selbst wenn S L =[0,z max ] für alle Label L! Beweisskizze: Reduktion von PLANAREM 3-SAT: (NP-schwer: [Lichtenstein 82]) planare 3-Sat Formel ' Variablengadget x 1 _ x 2 _ x 3 x 1 _ x 3 _ x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Menge von Punkten & Labeln, K>0: ' erfüllbar, max P L A L K x 1 _ x 2 _ x 4 x 2 _ x 3 _ x 4 Klauselgadget 10

29 Variablengadget x x x 11 Pyramiden berühren sich bei Höhe z max /2 x

30 Variablengadget x x x x Variable x ist wahr 11

31 Variablengadget x x x x Variable x ist falsch 11

32 Klauselgadget 12 Pyramiden berühren sich bei Höhe z max /2

33 Klauselgadget 3 Literale sind wahr! Klausel-Beitrag:? 12

34 Klauselgadget 3 Literale sind wahr! Klausel-Beitrag: 2 z max 12

35 Klauselgadget 2 Literale sind wahr! Klausel-Beitrag: 2 z max 12

36 Klauselgadget 1 Literal ist wahr! Klausel-Beitrag: 2 z max 12

37 Klauselgadget 0 Literale sind wahr! Klausel-Beitrag:? 12

38 Klauselgadget 0 Literale sind wahr! Klausel-Beitrag: 1.5 z max 12

39 Approximationsalgorithmen 13

40 Greedy Top-Down Sweep Algorithmus Algorithmus 1 Input: Menge E von (o enen) Labelpyramiden, verfügbare Intervalle (s E,S E ) für alle E 2E Output: aktive Intervalle (a E,A E ) für alle E 2E foreach E 2E do (a E,A E ) (s E,S E ) Q Priority Queue für E lexikogr. absteigend sortiert nach (A E,S E ) while Q6= ; do E Q.extractMax foreach E 0 2Qdo if E 0 \ E 6= ; then A E 0 min{a E 0,s EE 0} if A E 0 = a E 0 then lösche E 0 aus Q s EE 0: größter z-wert, so dass E \ E 0 \ (s EE 0)=; s EE 0 E 0 E (s EE 0) 14

41 Greedy Top-Down Sweep Algorithmus Algorithmus 1 Input: Menge E von (o enen) Labelpyramiden, verfügbare Intervalle (s E,S E ) für alle E 2E Output: aktive Intervalle (a E,A E ) für alle E 2E foreach E 2E do (a E,A E ) (s E,S E ) Q Priority Queue für E lexikogr. absteigend sortiert nach (A E,S E ) while Q6= ; do E Q.extractMax foreach E 0 2Qdo s if E 0 \ E 6= ; then A E 0 min{a E 0,s EE 0} if A E 0 = a E 0 then lösche E 0 aus Q x 14

56 Greedy Top-Down Sweep Algorithmus Algorithmus 1 Input: Menge E von (o enen) Labelpyramiden, verfügbare Intervalle (s E,S E ) für alle E 2E Output: aktive Intervalle (a E,A E ) für alle E 2E foreach E 2E do (a E,A E ) (s E,S E ) Q Priority Queue für E lexikogr. absteigend sortiert nach (A E,S E ) while Q6= ; do E Q.extractMax foreach E 0 2Qdo s if E 0 \ E 6= ; then A E 0 min{a E 0,s EE 0} if A E 0 = a E 0 then lösche E 0 aus Q x Lösung Algorithmus 14

57 Greedy Top-Down Sweep Algorithmus Algorithmus 1 Input: Menge E von (o enen) Labelpyramiden, verfügbare Intervalle (s E,S E ) für alle E 2E Output: aktive Intervalle (a E,A E ) für alle E 2E foreach E 2E do (a E,A E ) (s E,S E ) Q Priority Queue für E lexikogr. absteigend sortiert nach (A E,S E ) while Q6= ; do E Q.extractMax foreach E 0 2Qdo s if E 0 \ E 6= ; then A E 0 min{a E 0,s EE 0} if A E 0 = a E 0 then lösche E 0 aus Q x optimale Lösung 14

58 Greedy Top-Down Sweep Algorithmus Algorithmus 1 Input: Menge E von (o enen) Labelpyramiden, verfügbare Intervalle (s E,S E ) für alle E 2E Output: aktive Intervalle (a E,A E ) für alle E 2E foreach E 2E do (a E,A E ) (s E,S E ) Q Priority Queue für E lexikogr. absteigend sortiert nach (A E,S E ) while Q6= ; do E Q.extractMax foreach E 0 2Qdo if E 0 \ E 6= ; then A E 0 min{a E 0,s EE 0} if A E 0 = a E 0 then lösche E 0 aus Q Lemma 1: Algorithmus 1 berechnet eine gültige Beschriftung und lässt sich naiv in O(n 2 ) Zeit und O(n) Platz implementieren. 14

59 Blockade-Lemma Lemma 2: Sei E eine Menge von Labelkörpern. Falls gilt, dass jedes E 2E für jeden z-wert s nicht mehr als c paarweise unabhängige Labelkörper blockiert, dann liefert Algorithmus 1 eine (1/c)-Approximation. 15

60 Blockade-Lemma Lemma 2: Sei E eine Menge von Labelkörpern. Falls gilt, dass jedes E 2E für jeden z-wert s nicht mehr als c paarweise unabhängige Labelkörper blockiert, dann liefert Algorithmus 1 eine (1/c)-Approximation. Begri e: E 2E blockiert E 0 2E am Wert s in einer Lösung A, falls a E apple s apple A E und tr s (E) \ tr s (E 0 ) 6= ; die Spur tr s (E) eines Labelkörpers E 2E zum Wert s ist der Schnitt von E mit der Ebene (s) :z = s E,E 0 2E sind unabhängig am Wert s, fallstr s (E) \ tr s (E 0 )=; 15

61 Blockade-Lemma Lemma 2: Sei E eine Menge von Labelkörpern. Falls gilt, dass jedes E 2E für jeden z-wert s nicht mehr als c paarweise unabhängige Labelkörper blockiert, dann liefert Algorithmus 1 eine (1/c)-Approximation. Begri e: E 2E blockiert E 0 2E am Wert s in einer Lösung A, falls a E apple s apple A E und tr s (E) \ tr s (E 0 ) 6= ; die Spur tr s (E) eines Labelkörpers E 2E zum Wert s ist der Schnitt von E mit der Ebene (s) :z = s E,E 0 2E sind unabhängig am Wert s, fallstr s (E) \ tr s (E 0 )=; Was ist c für den Fall von quadratischen Einheitslabeln? Was ist c für den Fall einheitlich großer Rechtecke? 15

62 Approximation für Einheitslabel Satz 2: Für n achsenparallele Label gleicher Größe berechnet Algorithmus 1 eine 1/4-Approximation der optimalen aktiven Gesamthöhe. Der Algorithmus lässt sich in O((n + k) log 2 n) Zeit und O(n log n) Platz implementieren. k ist die Anzahl von Seitenflächen-Schnitten der Labelpyramiden 16

63 Approximation für Einheitslabel Satz 2: Für n achsenparallele Label gleicher Größe berechnet Algorithmus 1 eine 1/4-Approximation der optimalen aktiven Gesamthöhe. Der Algorithmus lässt sich in O((n + k) log 2 n) Zeit und O(n log n) Platz implementieren. k ist die Anzahl von Seitenflächen-Schnitten der Labelpyramiden Range Tree: geometrische Datenstruktur zur Beantwortung rechteckiger Bereichsanfragen für eine Punktmenge P der Größe n. Aufbau: O(n log n), Speicher:O(n log n), Query: O(k + log 2 n) k Punkte 16

64 Übungen 1) Betrachten Sie den Greedy Top-Down Sweep Algorithmus nun für kreisförmige Label einheitlicher Größe. Welchen Approximationsfaktor liefert das Blockadelemma? 17

65 Übungen 1) Betrachten Sie den Greedy Top-Down Sweep Algorithmus nun für kreisförmige Label einheitlicher Größe. Welchen Approximationsfaktor liefert das Blockadelemma? 2) In der Beschreibung des Greedy Top-Down Sweep Algorithmus haben wir die Labelkörper E lexikographisch nach (A E,S E ) sortiert betrachtet. Zeigen Sie, dass eine andere Reihenfolge zweier kongruenter, aber in z-richtung verschobener Labeltrapeze E, E 0 mit A E = A E 0 die Approximationsgarantie verschlechtern kann. 17