Grundlagen der Informatik II

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1 Grundlagen der Informatik II Dr.-Ing. Sven Hellbach S. Hellbach Grundlagen der Informatik II Abbildungen entnommen aus: Dirk W. Hoffmann: Theoretische Informatik; Hanser Verlag 2011, ISBN:

2 Kurze Vorstellung Dr.-Ing. Sven Hellbach A317 Forschungsinteressen Mensch-Roboter-Interaktion Künstliche Intelligenz Neuronale Netze Bildverarbeitung Bewegungsanalyse Sprechzeiten auf Anfrage S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 2

3 Organisatorisches Lehrmaterialien unter => Teaching => Grundlagen der Informatik II Vorlesung: wöchentlich Donnerstag 11:00-12:30 (L211) Übung: ungerade Woche 16/043/61: Dienstag 11:00-12:30 (S229) 16/043/01: Dienstag 13:20-14:50 (S229) Ablauf der Übung: Übungsaufgaben entweder zu Hause oder in der Übung lösen Dabei Unterstützung durch mich, Gruppenarbeit möglich Gezieltes Vorstellen kritischer Aufgaben 1. Übung am wird durch Vorlesung gefüllt Abschluss: Schriftliche Prüfungsleistung 90 Minuten S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 3

4 Grundlagen der Informatik II Was ist das überhaupt? Modulux: Einführung in die theoretischen Hauptkonzepte der theoretischen Informatik; Vermittlung der theoretischen Grundlagen Kann man durch theoretische Informatik praktisch mehr erreichen? S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 4

5 I. Mathematische Grundlagen: Aussagenlogik Mengenlehre Relationen S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 5

6 Wiederholung: Aussagenlogik Eine Aussage ist: Wahr oder falsch Variablen: a,b,x,... Kombinationen mit den Operationen: Negation: a Konjunktion (UND): a b Disjunktion (ODER): a b Implikation (WENN...DANN) a b Äquivalenz (Genau dann wenn): a b Antivalenz: (XOR) a b Algebraische Gesetze: Kommutativität, Distributivität, Assoziativität, DeMorgan S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 6

7 Mathematische Grundlagen: Mengenlehre Mengendefinition (Cantor): Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. Aufzählende Beschreibung N = {1, 2, 3, 4,...} N 0 = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} = {2, 4, 6, 8,...} = {0, 1, 2, 4, 8, 16...} M 3 = {42} Deskriptive Beschreibung M 4 = {n 2 N n mod 2 = 0} M 5 = {2 n n 2 N 0 } S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 7

8 Mengenrelationen Teilmengenbeziehungen Echte Teilmenge :, a 2 ) a 2 :, =, ^ :, ^ 6= :, ^ 6= S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 8

9 Mengenoperationen Vereinigung [ := {a a 2 _ a 2 } T Schnitt tt \ := {a a 2 ^ a 2 } T Differenz enz \ := {a a 2 ^ a 62 } T Negation M = T \ M ement \ M T..Trägermenge M S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 9 T

10 Konzepte für Körpermodelle aus Computergrafik Boole sche Mengenoperationen Positionierung der Grundkörper (ggf. auch komplexeren Körper) notwendig Gemeinsames Koordinatensystem Boole sche Mengenoperation Schnitt Vereinigung Differenz S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 10

11 ! M 3! (! M 3 ) =! M 3! (! M 3 ) = M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 M 3 = = = = M 3 M 3 M 3!! M 3 (! )! (! M 3 ) M 3 M 3 M 3!! M 3 (! )! (! M 3 ) S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 11

12 Rechengesetze Kommutativgesetze = = Distributivgesetze ( M 3 )=( ) ( M 3 ) ( M 3 )=( ) ( M 3 ) Assoziativgesetze ( M 3 )=( ) M 3 ( M 3 )=( ) M 3 Idempotenzgesetze M M = M M M = M Neutrale Elemente M /0 = M M T = M Absorptionsgesetze ( )= ( )= Auslöschungsgesetze M T = T M /0 = /0 Inverse Elemente Gesetze von De Morgan (Abbildung Gesetz 2.8) der Doppelnegation M M = T M M = /0 Potenzmenge = = P =2 M := {M 0 M 0 M} M = M S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 12

13 Relationen Kartesisches Produkt Sei M eine beliebige Menge. Die Menge M M := {(x, y) x, y 2 M} nennen wir das kartesische Produkt von M. Relation Sei M eine beliebige Menge. Jede Menge R mit R M M heißt Relation in M. Wir schreiben x R y für (x, y) 2 R und x 6 R y für (x, y) 62 R S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 13

14 Einschub: Graphentheorie Ein gerichteter Graph ist ein Paar G =(V,E) mit einer endlichen Menge V 6=? und einer endlichen Menge E {(u, v) u, v 2 V,u 6= v}. Die Elemente von V heißen Knoten (auf englisch: vertex) von G. Die Elemente von E heißen Kanten oder Pfeile (auf englisch: edge) von G. Begriffe: Ungerichteter Graph Ein Knoten v und eine Kante e heißen inzident, wenn e=(u,v) oder (v,u) Knoten u und v sind adjazent, wenn es eine Kante (u,v) gibt Suggested Reading: Alexandra Schwartz: Einführung in die Graphentheorie (Julius-Maximilians-Universität Würzburg) schwartz S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 14

15 Einschub: Graphentheorie Anwendungsfälle Suchstrategien (Breiten-, Tiefensuche) Minimale Spannbäume (Verkehrs-, Versorgungsnetzplanung) Kürzeste Wege (Pfadplanung, Routingprobleme) Dijkstra, A* S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 15

16 Einschub: Graphentheorie Anwendungsfälle Matchings (Zuordnungsprobleme, Resourcenverteilung) Eulerwege (Königsberger Brückenproblem, Haus vom Nikolaus) Norden (N) Neuer Pregel Pregel Insel (I) Osten (O) Süden (S) Alter Pregel Rundreiseprobleme (Traveling Sales Person) S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 16

17 Einschub: Graphentheorie Anwendungsfälle Planarität (Einbettbarkeit) Knotenfärbung (4-Farben-Satz, Frequenzplanung im Mobilfunk) S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 17

18 Darstellung von Relationen Mengendarstellung (siehe Definition) R = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (3, 1), (4, 3)} Graph-Darstellung Tabellarische Darstellung / Adjazenzmatrix A R = S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 18

19 Eigenschaften von Relationen Eine Relation R in der Menge M heißt reflexiv in M, falls x x für alle x M gilt, irreflexiv in M, falls x x für alle x M gilt, symmetrisch in M, falls aus x y stets y x folgt, asymmetrisch in M, falls aus x y stets y x folgt, antisymmetrisch in M, falls aus x y und y x stets x=y folgt, transitiv in M, falls aus x y und y z stets x z folgt, linkstotal in M, falls für alle x M ein y M existiert mit x y, rechtstotal in M, falls für alle y M ein x M existiert mit x y, linkseindeutig in M, falls aus x z und y z stets x=y folgt, rechtseindeutig in M, falls aus x y und x z stets y=z folgt. S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 19

20 Beispiele für Relationen Äquivalenzrelation (reflexiv, transitiv und symmetrisch) [x] := {y x y} z. B. R 1 := {(x, y) x, y 2 N, (x mod 2) = (y mod 2)} Ordnungsrelation (reflexiv, transitiv und antisymmetrisch) z. B. R 1 := {(x, y) x apple y} S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 20

21 Funktionen Definition Mit M und N seien zwei beliebige Mengen gegeben. Unter einer Funktion oder einer Abbildung f : M! N verstehen wir eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge M höchstens ein Element f(x) der Zielmenge N zuweist. Eigenschaften von Funktionen Sei f : M N eine totale Funktion. f heißt surjektiv, falls für alle y N ein x M mit f(x) = y existiert, injektiv, falls aus f(x)=f(y) stets x=y folgt, bijektiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist. S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 21

22 Zahlen Natürliche Zahlen Peano-Axiome N 0 0 ist eine natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger succ(n). 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl. Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind ebenfalls verschieden. N 0 N 0 Enthält eine Teilmenge M die Zahl 0 und zu jedem Element n auch ihren Nachfolger succ(n), so gilt M = S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 22

23 Kardinalität M bezeichnet und entspricht für endliche Mengen schlicht der Anzahl ihrer Elemente = ;) =0 = {1, 2, 3} ) =3 Mit und seien zwei beliebige Mengen gegeben. und heißen gleichmächtig, geschrieben als =, wenn eine bijektive Abbildung f :! existiert. Jede unendliche Menge M heißt abzählbar,falls M = N, und überabzählbar, falls M 6= N gilt. S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 23

24 Rekursion Rekursion: siehe Rekursion Rekursive Definition: Beschreibung eines Problems, einer Funktion oder eines Verfahrens durch sich selbst. Das gesuchte Ergebnis setzt sich dabei aus Teilergebnissen kleinerer Ordnung zusammen. Meist existiert ein nicht weiter zerlegbarer Basisfall. Beispiel: def fak_rekursiv( n ): if ( n > 1 ): f = n * fak_rekursiv( n - 1 ) else: f = 1 return f Rad des Theodorus (Wurzelschnecke) S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 24

25 Induktion Vollständige Induktion: Sei n 0 N und A(n) eine parametrisierte Aussage über den natürlichen Zahlen. Wenn die folgenden beiden Aussagen gelten, so ist A(n) für alle n mit n n 0 wahr. A(n 0 ) ist wahr. Für alle k mit k n 0 gilt: Aus A(k) folgt die Aussage A(k+1). Vorgehen: Induktionsanfang: Für den Startwert n 0 wird die Behauptung A(n 0 ) bewiesen. Induktionsannahme: Für einen beliebigen Wert n mit n n 0 wird die Aussage A(n) als wahr angenommen. Induktionsschritt: Unter der Induktionsannahme wird der Beweisgeführt, dass die Aussage A(n + 1) ebenfalls wahr ist. Prinzip kann auch auf N abbildbare Mengen angewendet werden. S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 25

26 Strukturelle Induktion Beispiel: Binärbaum Ein Binärbaum (binary tree) über einer Blättermenge L ist wie folgt definiert: Jedes Blatt l L ist ein Binärbaum. Sind B 1 und B 2 Binärbäume, dann sind es auch B 1 B 1 B 2 S. Hellbach Grundlagen der Informatik II 26