Biostatistik, Sommer 2018

Transkript

1 1/37 Biostatistik, Sommer 2018 Folgen, Summen, Exponentialfunktion, Lambert-Beer Prof. Dr. Achim Klenke 1. Vorlesung:

2 2/37 Inhalt 1 Organisatorisches Themen Literatur 2 Folgen Begriffsbildung Grenzwerte 3 Summen und Produkte Summenzeichen Produktzeichen 4 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Logarithmus Lambert-Beer Gesetz

3 3/37 Organisatorisches Orte, Zeiten, Übungen, Zulassungskriterien,... Übungen: elektronisch via ilias, von Fridolin Kielisch betreut. Abgabe jeweils bis Freitag. Tutorien für Fragen, Besprechung der Übungsaufgaben, etc. Klausur (Modul 4-1): , 8-10 Uhr.

4 4/37 Organisatorisches Tutoriumstermine und -räume Es wird fünf Tutorien geben. Voraussichtliche Termine: 1 Mo 12 14, Raum Sandra Kozuschek 2 Di 12 14, Raum Lukas Metzdorf 3 Di 14 16, Raum Niklas Bockius 4 Mi 12 14, Raum Lukas Metzdorf 5 Do 12 14, Raum Daniela Bauer Räume im Institut für Mathematik, Staudingerweg 9 Anmeldung elektronisch.

5 Themen Organisatorisches Themen Wiederholung Schulmathematik Folgen, Grenzwerte Exponential- und Logarithmusfunktion Differential- und Integralrechnung Differenzialgleichungen Beschreibende Statistik Mittelwert, Median, Quantile, Standardfehler Lineare Regression Histogramme etc. Schließende Statistik Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Schätzer Konfidenzintervalle Tests (t, χ 2, Rangtests) 5/37

6 6/37 Organisatorisches Literatur Literaturhinweise (UB Lehrbuchsammlung) 1 Steland, Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung, Springer Bohl, Mathematik in der Biologie, Springer H. Vogt, Grundkurs Mathematik für Biologen, 2. Aufl., Teubner, A. Riede, Mathematik für Biologen, Vieweg, F. Bärlocher, Biostatistik, Thieme, W. Timischl, Biostatistik : eine Einführung für Biologen und Mediziner, 2. Aufl., Springer, W. Köhler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik : eine Einführung für Biologen und Agrarwissenschaftler, 4. Aufl., Springer, (Auch als E-Book vorhanden)

7 7/37 Organisatorisches Quellen Diese Vorlesung basiert in Teilen auf Material von Brooks Ferebee (Universität Frankfurt) Gaby Schneider (Universität Frankfurt) Anton Wakolbinger (Universität Frankfurt) Martin Hutzenthaler und Dirk Metzler (LMU München) Matthias Birkner (Uni Mainz)

8 Folgen Begriffsbildung Eine Folge von Zahlen ist... eine Folge von Zahlen a 1, a 2, a 3,.... Beispiele für Folgen 1 1, 1, 1,..., a n = 1 für jedes n 2 1, 2, 4, 8,..., a n = ( 2) n 1 für jedes n 3 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., a 1 = a 2 = 1, a n+1 = a n 1 + a n (Fibonacci Zahlen) 4 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... a n ist die n-te Primzahl, 5 6, 3, 5, 2, 3, 2, 6, 1, 4, 6, 5, 4,.... Würfelergebnisse Ein Bildungsgesetz... kann manchmal explizit angegeben werden (1), (2) kann manchmal rekursiv angegeben werden (3) ist manchmal sehr komplex (4) gibt es manchmal nicht (5) 8/37

9 Grenzwerte Folgen Grenzwerte Wir schreiben a = lim n a n, falls sich a n für großes n immer weiter an a annähert. Beispiele 1 lim n n = 0 lim n n2 = 2 + 1/n 2 lim n 3 + 1/n = 2 3 lim n ( 1)n existiert nicht lim (1 + n 1/n)n = = e (Euler sche Zahl) lim (1 + n 3/n) n = lim m 1 = (1 + 1/m)3m 1 lim ((1 + m 1/m)m ) = 3 1/e3 = (mit 3m = n) 9/37

10 10/37 Summenzeichen Summen und Produkte Summenzeichen Wir definieren n a i = a 1 + a a n. i=1

11 11/37 Summen und Produkte Summenzeichen Beispiel: Arithmetische Summe 10 i=1 i = = i = i=1 = ( ) + (2 + 99) ( ) = = Allgemein für n = 1, 2, 3,... n i = i=1 n(n + 1) 2

12 Summen und Produkte Summenzeichen Beispiel: Geometrische Summe/Reihe 9 2 i = i=0 = = 1023 = Allgemein ist Für 1 < a < 1 ist n i=0 a i = an+1 1 a 1. i=0 a i = 1 1 a. 12/37

13 13/37 Produktzeichen Summen und Produkte Produktzeichen Wir definieren n a i = a 1 a 2 a n. i=1 Beispiel 5 1 (2 + i) = = 2520 i=1 2 n! = n i = n (sprich: n Fakultät ) i=1

14 14/37 Summen und Produkte Produktzeichen Beispiel: Geburtstagsproblem Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass von 23 Leuten mindestens zwei am selben Tag Geburtstag feiern? Also ist Taschenrechner: 1 p = p = 1 22 i=0 p = i 365. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag feiern, beträgt 50.73%.

15 15/37 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Definition der Exponentialfunktionen Für a > 0 sei f a (x) = a x für x R. Nach den Rechenregeln für Potenzen ist f a (0) = 1 f a (1) = a f a (x + y) = f a (x) f a (y) für alle x, y R. Diese drei Eigenschaften legen die Funktion f a eindeutig fest.

16 16/37 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Asymptotik der Exponentialfunktionen Für a > 1 gilt a < a 2 < a 3 <... und Also lim n an =. lim f a(x) = falls a > 1. x Wegen f a ( x) f a (x) = f a ( x + x) = f a (0) = 1 ist f a ( x) = 1/f a (x). Also gilt lim f a(x) = 0 falls a > 1. x

17 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen f a mit a > x 2 x 3 x /37

18 18/37 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Asymptotik der Exponentialfunktionen Für a < 1 gilt a > a 2 > a 3 >... und lim n an = 0. Also Wie oben gilt lim f a(x) = 0 falls a < 1. x lim f a(x) = falls a < 1. x Dies folgt auch aus f a (x) = a x = (1/a) x = f 1/a ( x).

19 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen f a mit a < x 0.5 x 0.8 x /37

20 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Zusammenfassung Exponentialfunktionen f a (x) = a x für a > 0 und x R. Satz (Rechenregeln) f a (0) = 1, f a (1) = a f a (x + y) = f a (x) f a (y) f a (x) = f 1/a ( x) Satz (Asymptotik) Für a > 1 ist f a monoton wachsend und lim f a(x) = und lim f a(x) = 0. x x Für a < 1 ist f a monoton fallend und lim f a(x) = 0 und lim f a(x) =. x x 20/37

21 21/37 Euler sche Zahl Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Die Euler sche Zahl e ist e = n=0 1 n! = Man prüft leicht, z.b. mit dem Taschenrechner, dass 5 n=0 1 n! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! = =

22 22/37 Exponentialfunktion Exponentialfunktionen Natürliche Exponentialfunktion Mit exp(x) = e x bezeichnen wir die natürliche Exponentialfunktion oder kurz die Exponentialfunktion. Wir werden noch sehen, was an dieser Wahl natürlich ist.

23 Exponentialfunktion Logarithmus Definition des Logarithmus Sei a > 1 und y > 0. Wir wollen f a (x) = a x = y ( ) nach x auflösen. Wir wissen: a x 0, falls x und a x, falls x. Also gibt es eine Lösung von ( ). Wir nennen x den Logarithmus von y zur Basis a und schreiben x = log a (y). Es gilt also Andererseits ist a log a (y) = y für jedes y > 0. log a (a x ) = log a (y) = x für jedes x R. Wir sagen, dass log a die Umkehrfunktion von f a ist. 23/37

24 24/37 Exponentialfunktion Logarithmus Charakteristische Gleichung Für a x = y und a x = y ist log a (y y ) = log a (a x a x ) = log a (a x+x ) = x + x = log a (y) + log a (y ). Analog wird log a für 0 < a < 1 definiert.

25 25/37 Exponentialfunktion Natürlicher Logarithmus Logarithmus Für a = e = die Euler sche Zahl nennen wir ln = log = log e den natürlichen Logarithmus. Dies ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion exp.

26 26/37 Exponentialfunktion Logarithmus Rechenregeln des Logarithmus Satz Für x R und y, z > 0 sowie 0 < a < 1 oder a > 1 gilt log a (a x ) = x, a log a (y) = y log a (yz) = log a (y) + log a (z) log a (y) = log(y) log(a) = ln(y) ln(a) log a (1) = 0, log a (a) = 1 Für y 0 gilt ln(y). Für y gilt ln(y).

27 Exponentialfunktion Logarithmus Natürlicher Logarithmus ln ln(y) /37

28 Wie groß ist α(c, L)? 28/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Lambert-Beer Gesetz I 0 L Küvette mit Konzentration c, Breite L. Einfallendes Licht I 0 (Lux). Ausfallendes Licht I 1 = I 1 (c, L). Anteil: α(c, L) = I 1 (c, L)/I 0. I 1

29 29/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite I 0 L/2 L/2 Einfallendes Licht I 0 (Lux). Ausfallendes Licht I 1 = I 0 α(c, L/2) α(c, L/2). Anteil: α(c, L) = α(c, L/2) 2. I 1

30 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite I 0 Einfallendes Licht I 0 (Lux). Ausfallendes Licht Anteil: L/4 L/4 L/4 L/4 I 1 = I 0 α(c, L/4) α(c, L/4) α(c, L/4) α(c, L/4) α(c, L) = α(c, L/4) 4. I 1 30/37

31 31/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Breite Allgemein für x > 0: α(c, L) = α(c, L/x) x. Für x = L α(c, L) = α(c, 1) L.

32 32/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration I 0 L I 1 Küvette mit Konzentration c, Breite L. Anteil: α(c, L) = I 1 /I 0. Linke Küvette mit Konzentration 2c, Breite L/2. Rechte Küvette mit Konzentration 0, Breite L/2. I 0 L I 1

33 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration I 0 L/2 L/2 Linke Küvette mit Konzentration 2c, Breite L/2. Rechte Küvette mit Konzentration 0, Breite L/2. Also I 1 = I 0 α(2c, L/2) α(0, L/2) = I 0 α(c, L). α(2c, L/2) = α(c, L). I 1 33/37

34 34/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Abhängigkeit von der Konzentration Allgemein für x > 0: Mit x = 1/c folgt α(cx, L/x) = α(c, L). α(c, L) = α(cx, L/x) = α(1, cl) = α(1, 1) c L. α(1, 1) =Anteil des Lichtes, der bei einer Dicke von L = 1m und einer Konzentration c = 1mol/l durchkommt. Setze ε := log 10 α(1, 1) dekadischer Extinktionskoeffizient. Dann ist α(1, 1) = 10 ε, also α(c, L) = α(1, 1) c L = 10 ε c L.

35 35/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz I 0 = Stärke einfallendes Licht I 1 = Stärke ausfallendes Licht L = Breite der Küvette c = Konzentration der Lösung ε = dekadischer Extinktionskoeffizient (Tabelle). Satz (Lambert-Beer sches Gesetz) Es gilt Oft wird mit I 1 = I 0 10 εcl. E = log 10 I 0 I 1 die Extinktion bezeichnet. Es gilt also E = εcl.

36 36/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Photometrie, Beispiel: Tryptophan Bei einer Wellenlänge von 280 nm (UV) absorbiert die aromatische Aminosäure Tryptophan (Trp). Wir messen die Extinktion E = log 10 I 0 I 1 = Küvettenbreite: L = 1cm. Wie hoch ist die Trp-Konzentration?

37 37/37 Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz Photometrie, Beispiel: Tryptophan Bei einer Wellenlänge von 280 nm (ultraviolett) wird eine Extinktion I 0 E = log 10 = 0.05 I 1 gemessen. Tabelle: l ε = 5600 mol cm. Also ist c = E εl = 0.05 mol cm cm l 6 mol = l = 8.93µmol/l.