Bachelorarbeit. Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-Synchronmotor

Transkript

1 Bachelorarbeit Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-Synchronmotor Verfasser Studiengang Fahrzeugelektronik Matrikelnummer: WS 2011/12 Erstgutachter Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger

2 Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet- Synchronmotor Bachelorarbeit eingereicht im Rahmen der Bachelorprüfung für den Studiengang Fahrzeugelektronik der der Hochschule Ulm. Erstgutachter: Zweitgutachter: Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Schroer Bearbeitungszeitraum: 8. August 2011 bis 2. November 2011

3 Thema der Bachelorarbeit: Entwurf einer zeitdiskreten Stromregelung für einen Permanentmagnet-Synchronmotor Stichworte: Dead-Beat-Regler, Windup-Effekt, Störgrößenaufschaltung, feldorientierte Regelung, Matlab/Simulink Kurzbeschreibung: Inhalt dieser Bachelorarbeit ist die Bewertung verschiedener Dead-Beat-Stromregler für einen Permanentmagnet-Synchronmotor. Der Dead Beat-Regler wird mit Stellgrößenvorgabe verwendet, die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößenvorgaben wird minimal gehalten. Die Realisierung und die Simulation erfolgt in Matlab/Simulink. Title of the paper: Design of a discrete-time current control for permanent magnet synchronous motor Keywords: Dead beat controller, Windup-effect, feed forward control, field-oriented control, Matlab/Simulink Abstract: Contents of this bachelor thesis is the evaluation of various dead beat current controller for permanent magnet synchronous motor. The dead beat controller is used with plant output and the number of additional manipulated variables is kept to a minimum. Implementation and Simulation is done in Matlab/Simulink. Bachelorarbeit S e i t e i

4 Erklärung I. Erklärung Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbstständig angefertigt habe. Es wurden nur, die in der Arbeit ausdrücklich benannten Quellen verwendet. Wörtlich oder sinngemäß übernommenes Gedankengut habe ich als solches kenntlich gemacht. Ort, Datum Unterschrift: Bachelorarbeit S e i t e ii

5 Danksagung II. Danksagung Hiermit möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Claus Kröger für die Betreuung während meiner Abschlussarbeit bedanken. Er ermöglichte mir diese Arbeit durchzuführen und war während der Durchführung ein sehr wichtiger Ansprechpartner für mich. Ich möchte mich natürlich auch bei meinem Umfeld bedanken. Meiner Familie, die mich während der Arbeit voll unterstützte und meinem Freundeskreis, der mich auch mal auf andere Gedanken gebracht hat. Bachelorarbeit S e i t e i i i

6 Inhaltsverzeichnis III. Inhaltsverzeichnis I. Erklärung... ii II. Danksagung... iii III. Inhaltsverzeichnis... iv 1 Einleitung Aufgabenstellung Theorie MATLAB/Simulink MATLAB Simulink Elektrische Antriebsmaschinen Die Gleichstrommaschine Der Aufbau Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine Drehzahl-Drehmomentverhalten Gleichstrom-Nebenschlussverhalten Gleichstrom-Reihenschlussverhalten Clarke-Park-Transformation Die Inverse-Clarke-Park-Transformation Die Clarke-Transformation Die Park Transformation Der Synchronmotor Der Aufbau Das Modell der Synchronmaschine Simulationsmodell der Synchronmaschine Zeitdiskrete Regelungen Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge Das Abtast- und Halteglied Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System Stabilität zeitdiskreter Systeme Die Testfunktionen im z-bereich Die Sprungfunktion Bachelorarbeit S e i t e iv

7 Inhaltsverzeichnis Der Dirac-Impuls Zeitdiskrete Regler Dead-Beat-Regler Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe Dead-Beat-Regler mit Vorgabe des ersten Stellgrößenwerts Dead-Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben Raumzeigermodulation Berechnung beliebiger Raumzeiger Der Aussteuerungsgrad Das Simulationsmodell Modelldaten Der Regelkreis Das Motormodell Das mechanische Modell Regelung und Leistungselektronik Störgrößenaufschaltung Soll- oder Iststrom als Eingangsgröße der Störgrößenaufschaltung Regler Windup Dimensionierung der Dead Beat Regler Die Regelstrecke Dead Beat Regler ohne Stellgrößenvorgabe Simulationsergebnisse ohne Stellgrößenvorgabe Fazit Dead Beat Regler mit erster Stellgrößenvorgabe Simulationsergebnisse mit einer Stellgrößenvorgabe Fazit Dead Beat Regler mit zwei Stellgrößenvorgaben Simulationsergebnisse mit zwei Stellgrößenvorgaben Fazit Dead Beat Regler mit sieben Stellgrößenvorgaben Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben Simulationsergebnisse mit sieben Stellgrößenvorgaben und aktiver Pulsweitenmodulation Fazit Dead Beat Regler mit acht Stellgrößenvorgaben Simulationsergebnisse mit acht Stellgrößenvorgaben Bachelorarbeit S e i t e v

8 Inhaltsverzeichnis Dynamische Betrachtung mit aktiver Pulsweitenmodulation Fazit Gesamtfazit IV. Abbildungsverzeichnis V. Tabellenverzeichnis VI. Literaturverzeichnis Bachelorarbeit S e i t e vi

9 Einleitung 1 Einleitung Es war im Jahr 1900, als der Pionier Ferdinand Porsche auf der Weltausstellung in Paris das erste Hybridfahrzeug vorstellte [1]. Es hat jedoch fast hundert Jahre gedauert bis Toyota mit dem ersten Hybrid in Serie ging. Der Verkauf des Toyota Prius begann im Dezember 1997, vorerst nur in Japan [2]. Damit begann die Erfolgsgeschichte des Hybrids. Heutzutage sind die Hybridtechnik oder rein elektrisch betriebene Fahrzeuge aus der Automobilwelt nicht mehr wegzudenken, somit auch der Elektromotor als Traktionsmotor. Mit dem Einzug der e-mobility in die Fahrzeugtechnik hat sich das Berufsfeld des Fahrzeugtechnik Ingenieurs verändert. Der Fokus rückt dabei zusätzlich auf die Batterietechnik, die Leistungselektronik und elektrische Traktionsmotoren. Diese Bereiche stellen den Ingenieur in der Automobilbranche vor neue Herausforderungen. Bei der Batterietechnik stehen wir heute noch am Anfang. Zur Zeit sind mit rein elektrisch betriebenen Fahrzeugen Reichweiten von ca. 100 km pro Akkuladung möglich. Bei dieser Reichweite beginnt bei herkömmlichen Autos mit Verbrennungsmotor der rote Bereich der Tankanzeige. Experten meinen, dass bis zum Jahr 2015 Reichweiten von ca. 200 km mit rein elektrisch betriebenen Fahrzeugen möglich sind. Im Automobil werden Drehfeldmotoren als Antriebsmotor verwendet. Es werden synchrone und asynchrone Drehfeldmotoren eingesetzt. Aufgrund von Wirkungsgradvorteilen werden vermehrt permanentmagneterregte Synchronmaschinen eingesetzt. Diese sind jedoch aufwändiger zu regeln als Asynchron-Maschinen. Bachelorarbeit S e i t e 1

10 Aufgabenstellung 2 Aufgabenstellung Der Elektromotor ist aus modernen Forschung und Lehre durch den Einzug als Traktionsmotor in der Fahrzeugtechnik nicht mehr wegzudenken. Für den Student ist somit der Umgang mit dieser Technologie bereits im Studium wichtig. Im Automotive-Center der gibt es zu Lehrzwecken einen Motorenprüfstand, der aus zwei Elektromotoren besteht. Dabei ist die antreibende Maschine ein Permanentmagnet-Synchronmotor mit Oberflächenmagnet Anker und die Lastmaschine ein Asynchrondrehstrommotor. Beide Motoren arbeiten bis jetzt im ungeregelten Betrieb. Für den Synchronmotor wird in dieser Arbeit eine zeitdiskrete Regelung entworfen. Dabei wird als zeitdiskreter Regler der Dead-Beat Regler verwendet. Die Anzahl an zusätzlichen Stellgrößen wird dabei so gering wie möglich gehalten. Die Bewertung und die Simulation der einzelnen Reglerentwürfe wird in Matlab/Simulink durchgeführt. Ziel dieser Arbeit ist es, einen Dead-Beat Stromregler für den Synchronmotor anhand von Simulationsergebnissen zu bewerten und die Realisierbarkeit in der Praxis zu überprüfen. Bachelorarbeit S e i t e 2

11 Theorie 3 Theorie Dieses Kapitel soll dem Leser das Verständnis der Arbeit erleichtern. In den einzelnen Theorieteilen ist immer auf weiterführende Literatur verwiesen, die einen tieferen Einblick in den Themenbereich ermöglicht. 3.1 MATLAB/Simulink Matlab/Simulink ist ein Computerprogramm welches von The MathWorks entwickelt wird. Die Einsatzschwerpunkte der Software liegen in der Regelungstechnik, der Mathematik und der Signalverarbeitung. Die Simulation des Regelungsmodells erfolgt in Simulink, die Auswertung und Initialisierung des Modells geschieht in Matlab MATLAB Der Name Matlab lässt sich von MATrix LABoratory ableiten [3]. Matlab rechnet mit Matrizen, welche nur aus einem Element bestehen können, beziehungsweise nur eine Zeile oder Spalte enthalten können. Dadurch lassen sich einzelne Werte und Zeilenvektoren sowie Spaltenvektoren darstellen. Zur Berechnung verwendet Matlab numerische Lösungsalgorithmen. Wie aus den Hochsprachen bekannt bietet MATLAB eine Vielzahl von Funktionen. So lässt sich beispielsweise eine Einheitsmatrix der Größe (n, n) mit dem Befehl eye(n) erstellen. Um Programme in MATLAB zu programmieren, gibt es sogenannte m-files. Diese Files sind ASCII-Dateien, welche in einem Editor bearbeitet werden. Die m-files lassen sich mit dem Matlab-Compiler ausführen. Die Programmiersprache, die Matlab verwendet unterscheidet sich zum Teil von der Programmiersprache C/C++. Hierbei sei auf die ausführliche Hilfe von Matlab verwiesen. Bachelorarbeit S e i t e 3

12 Theorie Simulink Bei Simulink handelt es sich um ein Simulationswerkzeug, welches auf MATLAB beruht. Simulink ist somit eine von vielen Matlab Toolboxen. Mit Simulink lässt sich der zeitliche Verlauf dynamischer Systeme simulieren. Es lassen sich sowohl lineare als auch nichtlineare Vorgänge simulieren. Simulationsmodelle werden durch Blockschaltbilder aufgebaut. Einzelne Blockschaltbilder zusammengefasst durch Signalflusspfeile, ergeben den Signalflussplan. Auf diese Art wird in Simulink grafisch programmiert. Der Aufbau der Modelle erfolgt in mdl-files. Die Blockschaltbilder sind in verschiedenen Bibliotheken, Librarys unterteilt. Bachelorarbeit S e i t e 4

13 Theorie 3.2 Elektrische Antriebsmaschinen Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Ausführungen elektrischer Antriebsmaschinen. Elektrische Maschinen lassen sich in ihre technologischen Eigenschaften unterteilen. Die gebräuchlichsten sind [4], Bewegungsart (rotatorisch, translatorisch), Erregerfeld (z. B. Drehfeld, Permanentmagnet, steuerbar), Drehmoment-Drehzahlkennlinie (z. B. Nebenschlussverhalten, Reihenschlussverhalten), Synchron/Asynchron. Im Folgenden wird auf die Theorie der Gleichstrommaschine eingegangen und das elektrische Ersatzschaltbild abgeleitet, da dieses bei der Modellbildung der Synchronmaschine wieder erscheint. 3.3 Die Gleichstrommaschine Die Gleichstrommaschine ist die älteste und die technisch einfachste elektrische Maschine [5]. Bedingt durch ihren einfachen Aufbau und gute Regeleigenschaften wird die Gleichstrommaschine heute immer noch eingesetzt, obwohl diese höhere Wartungsintervalle als die Synchron- und Asynchronmaschine hat. Zusätzlich ist ihr Wirkungsgrad schlechter als bei Drehfeldmaschinen. Bachelorarbeit S e i t e 5

14 Theorie Der Aufbau Die Gleichstrommaschine besteht aus einem feststehenden Gehäuse, dem Ständer und einem sich drehendem Anker. Am Umfang des Ständers sind Dauermagnete oder Erregerwicklungen angebracht, die Anzahl der Dauermagnete bzw. Erregerwicklungen dividiert durch zwei beschreibt die Polpaarzahl einer Maschine. Der Anker der Gleichstrommaschine wird über Kohlebürsten elektrisch verbunden. Durch die Rotation des Ankers wird der Strom in der Ankerwicklung kommutiert. Abbildung 3-1: Permanentmagnetiesierte Gleichstrommaschine Abbildung 3-1 zeigt den technisch einfachsten Aufbau einer Gleichstrommaschine. Der Erregerfluss wird von zwei Permanentmagneten geliefert und ist dadurch als konstant zu betrachten. Die Polpaarzahl der Maschine ist eins, da diese Maschine zwei Pole hat. Die Ankerwicklung wurde aus Darstellungsgründen durch eine einzelne Wicklung dargestellt. Aufgrund des Ankerstroms und der daraus resultierenden Lorenzkraft dreht sich der Motor im Uhrzeigersinn, da das Kreuzprodukt einen Kraftvektor für den oberen Leiter nach rechts erzeugt und für den unteren Leiter nach links. Die unterschiedliche Richtung der beiden Kraftvektoren folgt aus der (3.1) Bachelorarbeit S e i t e 6

15 Theorie entgegengesetzten Stromrichtung in den beiden Leiterstücken. Im oberen Leiterstück fließt der Strom aus der Zeichenebene heraus und im unteren Leiterstück in die Zeichenebene hinein. Die Kraft am Hebelarm erzeugt ein Drehmoment nach: (3.2) Dreht sich der Anker beginnend bei der Position, siehe (Abbildung 3-2-a), mit der mechanischen Winkelgeschwindigkeit, so erreicht er in (Abbildung 3-2-b) die neutrale Zone. In dieser neutralen Zone ist das Kreuzprodukt (3.2) gleich null, da der Kraftvektor parallel zum Hebelarm ist. Im Moment des Kommutierungsvorgangs fließt für einen kurzen Zeitraum kein Strom (Abbildung 3-2-b). Abbildung 3-2: Eine halbe Umdrehung einer Gleichstrommaschine Abbildung 3-2-c zeigt die Gleichstrommaschine kurz nach dem Kommutierungsvorgang. Die Stromrichtung in der Leiterschleife wurde umgepolt, durch diese Umpolung zeigt der Vektor in die andere Richtung und somit auch. In Abbildung 3-2-d hat die Gleichstrommaschine Bachelorarbeit S e i t e 7

16 Theorie eine halbe Umdrehung zurückgelegt und befindet sich kurz vor dem nächsten Kommutierungsvorgang Elektrisches Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine Um die Vorgänge in der Gleichstrommaschine besser zu verstehen, ist die Bildung eines mathematischen Modells notwendig. Die Darstellung als Signalfußplan und als elektrisches Ersatzschaltbild erleichtert das Verständnis des Modells. Das Drehmoment lässt sich als Funktion des mechanischen Winkels darstellen. Aufgrund der Rotation des Ankers verläuft das Drehmoment für eine Leiterschleife als Cosinusfunktion, da sich der wirkende Hebelarm des Kraftvektors nach dieser Funktion verhält. Abbildung 3-3: Drehmoment der Gleichstrommaschine mit einer Leiterschleife Der in Abbildung 3-3 dargestellte Graph des Drehmoments stellt den Verlauf mit Kommutierung (durchgezogene Linie) und ohne Kommutierung (gestrichelte Linie) dar. Der Drehmomentverlauf ist für eine Spule, die in einer Nut gewickelt ist, abgebildet. Die Scheitelwerte der Kraft sind laut Gleichung (3.1) proportional zum Strom in den Leiterschleifen und somit ist auch das Drehmoment proportional dazu. Wird die Anzahl an räumlich versetzten Spulen auf zwei erhöht, ergibt sich folgender Verlauf des Drehmoments: Bachelorarbeit S e i t e 8

17 Theorie Abbildung 3-4: Drehmomentverlauf einer Gleichstrommaschine mit zwei Spulen Abbildung 3-4 zeigt das Drehmoment zweier um 90 versetzter Spulen. Zusätzlich ist das Summendrehmoment ersichtlich. Wird die Anzahl der räumlich versetzter Spulen weiter erhöht, so ist das Summendrehmoment als konstant zu betrachten, da die Oberwellen mit steigender Anzahl an Spulen immer kleiner werden. Somit ist das Drehmoment proportional zum Strom und einer Konstanten, die noch näher bestimmt werden muss. (3.3) Die drehmomentbildende Kraft ist abhängig von Radius, Spulenlänge und von dem B-Feld. Da die Kraft an beiden Leiterstücken wirkt, wird der Faktor mit zwei multipliziert. Somit spannt der Faktor (Abbildung 3-5) die Fläche der Leiterschleife auf. Die Konstante aus Gleichung (3.3) lässt sich durch beschreiben. Abbildung 3-5: Eine Leiterschleife im B-Feld Bachelorarbeit S e i t e 9

18 Theorie Die Definition des magnetischen Fluss lautet: (3.4) Über die Definition (3.4) und die zuvor abgeleiteten Zusammenhänge ergibt sich die erste Gleichung der Gleichstrommaschine. Durch die Vielzahl an räumlich versetzten Leiterschleifen ist der Einfluss der Flussänderung durch die Rotation des Ankers vernachlässigbar. Die Konstante kann als Erregerfluss angenommen werden, dieser Fluss wird vom Erregerkreis erzeugt. Je nach Motorbauart ist dieser Fluss konstant oder eine Funktion des Erregerstroms. (3.5) Durch die Rotation des Ankers wird in der Ankerinduktivität eine Spannung induziert. Diese Spannung lässt sich laut Induktionsgesetz beschreiben durch: Der Erregerfluss bei gleichmäßiger Rotation beschreibt die folgende Gleichung: (3.6) Eingesetzt in Gleichung (3.6) ergibt sich für die induzierte Spannung Folgendes: (3.7) Aufgrund der Vielzahl der räumlich versetzten Spulen in der Gleichstrommaschine ist die (3.8) Winkelabhängigkeit der induzierten Spannung vernachlässigbar. Somit gilt: (3.9) In der Ableitung der induzierten Spannung wurde bewusst auf die Kommutierung verzichtet, da die Spannung umgepolt wird und der Betrag erst nach der Differenzierung gebildet wird. Wird im Ankerkreis der Ankerwiderstand und die Ankerinduktivität in das mathematische Modell eingebunden, so ergeben sich weitere Gleichungen des Modells. (3.10) Bachelorarbeit S e i t e 10

19 Theorie (3.11) Laut Definition gilt für die mechanische Leistung der Zusammenhang: Aus Gleichung (3.10) folgt folgendes Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine: (3.12) U R I A R A L A U L U A U i Abbildung 3-6: Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine Das Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine besteht aus drei Bauelementen. Der Ankerwiderstand bildet die elektrischen Verluste im Ankerkreis ab, d. h. die Verlustleistung lässt sich beschreiben durch: (3.13) Die Ankerinduktivität des Ersatzschaltbilds wird als ideal angenommen und hat bei dynamischen Vorgängen einen nicht vernachlässigbaren Spannungsabfall. Die ideale Spannungsquelle mit der induzierten Spannung stellt die elektromotorische Kraft (EMK) dar und bildet den Übergang zwischen dem elektrischen und dem mechanischen System, siehe Gleichung (3.9). Das Ersatzschaltbild kann für den stationären Fall vereinfacht dargestellt werden. U R I A R A U A U i Abbildung 3-7: Stationäres Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine Bachelorarbeit S e i t e 11

20 Theorie Im stationären Fall gilt., dadurch ist der Spannungsabfall an der Induktivität nicht vorhanden. Wird die Gleichstrommaschine nicht belastet, so ist das Lastmoment gleich null. Demnach fließt kein Ankerstrom und daraus folgt. Eine weitere Möglichkeit das mathematische Modell darzustellen ist der Signalflussplan. Durch Umstellen der Gleichung (3.10), (3.5), (3.9) und durch Einbeziehen der Differenzialgleichung (3.14) für das mechanische Teilsystem, ergibt sich folgender Signalflussplan: (3.14) Abbildung 3-8: Vereinfachter Signalflussplan des Gleichstrommotors In dieser Darstellung wurde ebenfalls die Ankerinduktivität im Signalflussplan vernachlässigt. Die Ankerspannung ist die Eingangsgröße des Systems. Die Ausgangsgröße ist die mechanische Winkelgeschwindigkeit. Das Lastmoment stellt die Störgröße dar. Die Laplace-Übertragungsfunktion des Motormodells lautet: (3.15) Das Modell einer Gleichstrommaschine beschreibt ein PT 1 -Verhalten mit der Zeitkonstante: (3.16) Bachelorarbeit S e i t e 12

21 Theorie Die Störübertragungsfunktion lautet: (3.17) Mit derselben Zeitkonstante wie Gleichung (3.15). (Index z für Störübertragungsfunktion in Gleichung (3.17) ) Drehzahl-Drehmomentverhalten In Abschnitt wurde die Funktion der Gleichstrommaschine anhand einer permanentmagneterregten Gleichstrommaschine erklärt. Diese Variante wird nur bei kleinen Leistungen eingesetzt [4]. Es gibt jedoch verschiedene Ausführungen einer Gleichstrommaschine, die sich durch die unterschiedlichen Erregungen unterscheiden. Im Folgenden wird auf die beiden häufigsten Typen eingegangen. Weiterführende Informationen über andere Gleichstrommotorentypen liefern die unter ( [6], [4], [5]) genannten Bücher Gleichstrom-Nebenschlussverhalten Der Erregerkreis der Gleichstrommaschine wird hierbei von einem vom Ankerstrom unabhängigen Erregerstrom durchflossen. U A U E A1 I A I E M A2 E2 E1 Abbildung 3-9: Gleichstrom-Nebenschlussmotor Durch die Variation von und sind Drehzahlstellmethoden möglich [4]. In den meisten Fällen gilt jedoch Bei dem verwendeten Verbraucherzählpfeilsystem in Abbildung 3-9, stellt sich für den dargestellten Nebenschlussmotor Rechtslauf ein [7]. Der Erregerfluss ist abhängig von Erregerstrom, wie auch von der Sättigungskurve der Erregerinduktivität. Bachelorarbeit S e i t e 13

22 Theorie Abbildung 3-10: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Nebenschlussmaschine In Abbildung 3-10 ist das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Nebenschlussmaschine bei konstanter Ankerspannung und konstantem Erregerfluss dargestellt. Bei der Nebenschlussmaschine existiert eine Leerlaufdrehzahl und ein Anzugsmoment im Stillstand. Der Kennlinienverlauf der Nebenschlussmaschine ist linear Gleichstrom-Reihenschlussverhalten Bei einer Reihenschlussmaschine sind Erregerwicklung und Ankerkreis in Reihe geschaltet, dadurch fließt durch beide Wicklungen derselbe Strom. U A1 I M A2 D2 D1 Abbildung 3-11: Gleichstrom-Reihenschlussmotor Beim Reihenschlussmotor ist der Erregerfluss abhängig vom Ankerstrom. Für den Erregerfluss gilt. In Abbildung 3-11 ist der Motor im Rechtslauf verschaltet [7]. Bachelorarbeit S e i t e 14

23 Theorie Abbildung 3-12: Drehzahl-Drehmomentkennlinie der Reihenschlussmaschine Abbildung 3-12 zeigt das Drehzahl-Drehmomentverhalten der Reihenschlussmaschine bei konstanter Spannung. Auffallend ist, dass keine Leerlaufdrehzahl existiert. Im Leerlauffall gilt die Bedingung. Aus Gleichung (3.9) folgt dadurch, dass gegen null geht, sodass gegen unendlich gehen muss. Theoretisch existiert daher keine Leerlaufdrehzahl. Der Motor geht im Leerlauffall durch. Aufgrund der Reibverluste, die im Modell vernachlässigt wurden, erreicht der Motor eine endliche, aber sehr hohe Leerlaufdrehzahl. Die hohen Fliehkräfte, die bei dieser Leerlaufdrehzahl vorhanden sind, können auf den Motor zerstörend wirken. Die typische Anwendung für eine Reihenschlussmaschine ist aufgrund des hohen Anzugmoments der Anlasser im PKW. Bachelorarbeit S e i t e 15

24 Theorie 3.4 Clarke-Park-Transformation Die häufigste Anwendung der Clarke-Park-Transformation ist bei der Regelung elektrischer Drehfeldmaschinen. Für Drehfeldmaschinen kann ein mathematisches Modell abgeleitet werden, welches aus zwei gekoppelten Ersatzschaltbildern besteht (siehe Abschnitt 3.5.2). Hierbei wird das dreiphasige Drehstromnetz (L1, L2, L3) in ein System mit den neuen Bezugsgrößen des Motormodells transformiert. Bezugsgrößen werden im rotorfesten Koordinatensystem dargestellt, wobei sich das Koordinatensystem mit der elektrischen Winkelgeschwindigkeit des Rotors dreht. Für den Betrachter im rotorfesten Koordinatensystem steht somit der Rotor still. Dies bietet den Vorteil, dass im stationären Fall alle sinusförmigen Wechselgrößen zu Gleichgrößen werden. Um aus dem dreiphasigen Drehstromnetz (L1, L2, L3) ein zweiphasiges, orthogonales System zu bilden, wird die Clarke-Transformation angewandt. Hierbei wird aus dem dreiphasigen Netz ein zweiphasiges Bezugssystem mit einem feststehenden Koordinatensystem. Die Abszissenachse dieses Koordinatensystems wird mit α bezeichnet, die Ordinatenachse mit β. Daher lautet diese Transformation manchmal auch α/β- Transformation. In einem zweiten Schritt wird das orthogonale und feststehende Koordinatensystem α, β auf ein mit der elektrischen Winkelgeschwindigkeit rotierendes Koordinatensystem transformiert. Die Achsen heißen in diesem Fall d-achse für die rotierende x-achse und q- Achse für die rotierende y-achse. Diese Transformation wird als Park-Transformation bezeichnet oder alternativ als d/q-transformation. Abbildung 3-13: Wirkungsplan der Clarke-Park Transformation Abbildung 3-13 zeigt den Wirkungsplan der Clarke-Park-Transformation. Der Block Clarke- Transformation hat die drei Ströme der Phasen L1, L2 und L3 als Eingangsgröße und die Bachelorarbeit S e i t e 16

25 Theorie Größen α und β als Ausgangsvektor. Bei diesem Block kann der Eingangsvektor auf zwei Ströme verringert werden, denn im Dreiphasennetz gilt: (3.18) Der Messaufwand verringert sich, da nur noch zwei der drei Ströme gemessen werden müssen. Der Block Park-Transformation hat als Eingangsvektor die beiden Größen α, β und zusätzlich noch den elektrischen Winkel. Die Ausgangsgrößen der d/q-transformation sind die Größen d und q des rotierenden Koordinatensystems. In dieser Arbeit wird die Clarke-Park-Transformation immer in zwei Schritten durchgeführt und nicht, wie es in der Literatur zum Teil der Fall ist, in einem Schritt. Dadurch bleibt die Transformation übersichtlicher. Die Clarke-Park-Transformation wird hier für Ströme abgeleitet, da diese in der Aufgabenstellung für eine Transformation dieser physikalischen Größe erforderlich ist. Die Transformation ist natürlich auch für Spannungen oder andere physikalische Größen möglich Die Inverse-Clarke-Park-Transformation Um aus den d/q-größen die netzrelevanten Größen L1, L2 und L3 zu gewinnen, verwendet man die Inverse-Clarke-Park-Transformation, bei der eine Transformation von den beiden orthogonalen Größen d, q nach L1, L2, L3 stattfindet. Abbildung 3-14: Wirkungsplan der Inversen-Clarke-Park-Transformation Die Blockdarstellung der Inversen-Clarke-Park-Transformation ist aus Abbildung 3-14 ersichtlich. Der Block der Inversen-Park-Transformation hat als Eingangsvektor die Größen d, q und der mechanische Winkel, die beiden Ausgangsgrößen sind α und β. Bachelorarbeit S e i t e 17

26 Theorie Die Inverse-Clarke-Transformation hat als Eingangsgrößen α und β und als Ausgangsvektor die drei Phasen des Drehstromnetzes L1, L2, L Die Clarke-Transformation Bei der Clarke-Transformation wird aus dem dreiphasigen Netz ein orthogonales System mit den Ausgangsgrößen α, β gebildet. Abbildung 3-15: Clarke Transformation Nun müssen die Größen L1, L2 und L3 auf das neue Koordinatensystem in α/β-koordinaten abgebildet werden. Somit ergibt sich für die α-richtung folgende Gleichung: Und in β-richtung: (3.19) (3.20) Die Gleichungen (3.19) und (3.20) lassen sich über die Winkelfunktionen,, und darstellen: (3.21) (3.22) Bachelorarbeit S e i t e 18

27 Theorie Gleichungen (3.21) und (3.22) lauten in Matrixschreibweise wie folgt: (3.23) Der Faktor in Gleichung (3.23) normiert und auf den Betrag der Eingangsgrößen. Die Transformation mit diesem Vorfaktor nennt man Längeninvariante-Transformation. Sie hat den Vorteil, dass die Scheitelwerte der einzelnen Ströme im stationären Fall gleich groß sind. Um von den Größen α und β wieder auf die Wechselspannungsgrößen L1, L2, L3 zu gelangen, ist die Inverse-Clarke-Transformation nötig. Für die Inverse-Clarke-Transformation ist die Inverse der Transformationsmatrix aus Gleichung (3.23) nötig. Bei dieser Matrix handelt es sich um eine nicht quadratische Matrix, diese ist somit nicht invertierbar. Wird die Knotengleichung (3.18) in die Matrix von Gleichung (3.23) eingebunden, erhält man folgende quadratische Matrix: (3.24) Die Matrix in Gleichung (3.24) ist nun invertierbar, da die Determinante der Matrix ungleich null ist. Somit erhält man folgende Gleichung für die Inverse-Clarke-Transformation: (3.25) Die Knotengleichung, die in die Matrix eingebunden wurde kann nun wieder entfernt werden. Da die Transformationsmatrix der Clarke-Transformation durch eine Erweiterung invertierbar ist, ist die Clarke-Transformation eindeutig umkehrbar. Bachelorarbeit S e i t e 19

28 Theorie Die vereinfachte Transformationsgleichung lautet nun: (3.26) Die Park Transformation Die Park-Transformation bildet das statorfeste α/β-koordinatensystem auf ein rotierendes Koordinatensystem d,q ab. Abbildung 3-16: Die Park Transformation In Abbildung 3-16 lässt sich der Punkt P in beiden Koordinatensystemen beschreiben. Beschreibung in α, β: (3.27) (3.28) Beschreibung in d,q: Mit dem Additionstheoremen (3.29) (3.30) (3.31) (3.32) lassen sich die beiden Gleichungen (3.29) und (3.30) umformen. Durch Einsetzten der Gleichung (3.27) bzw. (3.28) erhält man: Bachelorarbeit S e i t e 20

29 Theorie (3.33) (3.34) Durch Anpassung an die Problemstellung von Gleichungen (3.33) und (3.34), ergibt sich folgende Transformationsgleichung in Matrixnotation für die Park-Transformation: (3.35) Bei der Transformationsmatrix in Gleichung (3.35) handelt es sich um eine orthogonale Matrix. Laut [8] gilt für orthogonale Matrizen der Zusammenhang: (3.36) Um bei der Inversen-Park-Transformation dieselbe Transformationsmatrix wie bei der Park- Transformation verwenden zu können, muss der elektrische Winkel mit minus eins multipliziert werden. Aufgrund der Achsensymmetrie des Cosinus und der Punktsymmetrie des Sinus ergibt sich für den negativen Winkel die gleiche Matrix wie nach Gleichung (3.36) (3.37) Bachelorarbeit S e i t e 21

30 Theorie 3.5 Der Synchronmotor Beim Synchronmotor dreht sich der Läufer im stationären Zustand mit der synchronen Drehzahl des Drehfelds. Diese Drehzahl lässt sich aus der Frequenz und der Polpaarzahl bestimmen (3.38). Im Leerlauf ist der Polradwinkel (Differenz zwischen Drehfeld und Polrad) gleich null. Wird die Maschine mit einem Lastmoment belastet, entsteht eine mechanische Drehwinkeldifferenz. Diese Differenz ist im motorischen Betrieb negativ und im generatorischen positiv. Ist das Lastmoment zu groß, sodass der Polradwinkel misst, so gerät die Maschine außer Tritt und bleibt stehen. (3.38) Drehstrom-Synchronmaschinen können als Motor, wie auch als Generator eingesetzt werden. Die bekannteste Anwendung der fremderregten Synchronmaschine ist als Generator bei der Erzeugung von Elektrizität [6]. Permanenterregte Synchronmotoren werden vermehrt als Traktionsantrieb bei Elektro-und Hybridfahrzeugen eingesetzt. Um bei einem Synchronmotor stufenlos die Drehzahl regeln zu können, muss laut (3.38) die Frequenz des Netzes geändert werden. Dies geschieht mit einem leistungselektronischen Stellglied. Wird die Synchronmaschine am Netz betrieben, so ist beim Anlaufen ein Frequenzhochlauf von null bis zur Sollfrequenz nötig, da sonst die Maschine außer Tritt gerät Der Aufbau Synchronmaschinen werden in verschiedenen Bauformen ausgeführt. In dieser Arbeit wird der Aufbau und die Funktionsweise von Permanentmagnet Synchronmaschinen abgeleitet, da diese in der Aufgabenstellung verwendet wird. Für Informationen über die unterschiedlichen Bauformen sei auf [6] verwiesen. Die Synchronmaschine hat drei um 120 räumlich versetzte Spulen. Diese drei Spulen können entweder im Stern oder im Dreieck verschalten werden. In der folgenden Erklärung sind die Spulen 1,2,3 an die Außenleiter L1, L2, L3 angeschlossen. Die Frequenz des Drehstromnetz und somit des Drehfelds beträgt der Polpaarzahl eins handelt., da es sich um eine Maschine mit Bachelorarbeit S e i t e 22

31 Theorie Abbildung 3-17: Das dreiphasige Drehstromnetz mit den Strömen i1, i2 und i3 Abbildung 3-18: Das Drehfeld einer Synchronmaschine In Abbildung 3-18 wird das Drehfeld einer Synchronmaschine zu vier ausgewählten Zeitpunkten aus Abbildung 3-17 grafisch dargestellt. Zum Zeitpunkt ist die Summe der Einzelflüsse ein Zeiger, der in der Waagrechten liegt und nach rechts zeigt. Zu diesem Bachelorarbeit S e i t e 23

32 Theorie Zeitpunkt liefert Spule 1 keinen Flussbeitrag, da der Strom durch sie null ist. Die Summe der Flüsse lässt sich berechnen durch: (3.39) Die Länge des Zeigers bleibt zu jedem Zeitpunkt gleich lang. Zum Zeitpunkt fließt durch alle drei Spulen ein Strom, dadurch liefert jede Spule einen Flussanteil zum Gesamtfluss. Vergleicht man die vier Teilabbildungen aus Abbildung 3-18, so lässt sich das linksdrehende Drehfeld der Synchronmaschine erkennen. Baut man nun in der Mitte des Synchronmotors einen Stabmagneten ein, so rotiert dieser mit der Drehzahl des Drehfelds umher. Abbildung 3-19: Belasteter Synchronmotor mir Drehwinkeldifferenz Abbildung 3-19 zeigt den Synchronmotor mit dem Rotor. Der Rotor wurde durch einen Stabmagneten angenähert. Auf Details im Rotoraufbau wird hier nicht weiter eingegangen, es sei auf [4] und [7] verwiesen. Die belastete Synchronmaschine ist durch ihren Polradwinkel, zwischen Drehfeld und Rotor charakterisiert Das Modell der Synchronmaschine Der Statorstrom aus Abbildung 3-20 wird mithilfe der Clarke-Park-Transformation berechnet. Dieser Strom lässt sich in beiden Koordinatensystemen darstellen. Das hochgestellte S steht für das statorfeste Koordinatensystem, das hochgestellte R für rotorfest. Bachelorarbeit S e i t e 24

33 Theorie (3.40) (3.41) Abbildung 3-20: Der Statorstrom im statorfesten- und rotorfesten Koordinatensystem Mithilfe der komplexen e-funktion bildet sich folgender Zusammenhang. (3.42) Dieselbe Transformation lässt sich auch für den Statorfluss durchführen. Betrachtet man in Abbildung 3-21 den Statorfluss, so ist der Permanentfluss nach Definition in Richtung der d-achse ausgerichtet. Abbildung 3-21: Statorfluss im statorfesten- und im rotorfesten Koordinatensystem Bachelorarbeit S e i t e 25

34 Theorie Der Statorkreis im statorfesten Koordinatensystem lässt sich durch dieses Ersatzschaltbild ableiten. i s S L s u s S Abbildung 3-22: Ersatzschaltbild des Statorkreis in erster Näherung Aus dem Ersatzschaltbild in Abbildung 3-22 lässt sich Folgendes ablesen: (3.43) Wird das Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-22 durch einen Statorwiderstand erweitert, ergibt sich Folgendes: i s S L s R s u s S u v Abbildung 3-23: Erweitertes Ersatzschaltbild des Stators Für den ohmschen Spannungsabfall an gilt in statorfesten Koordinaten: Für die rotorfesten Koordinaten gilt dieser Zusammenhang: (3.44) (3.45) Aus einem Vergleich von Gleichung (3.44) und (3.45) und der Tatsache, dass es sich um einen ohmschen Spannungsabfall handelt, ergibt sich: (3.46) Für den Statorfluss lässt sich derselbe Zusammenhang ableiten wie in Gleichung (3.42). Des Weiteren gilt die Verbindung: (3.47) (3.48) Durch Ableiten von Gleichung (3.47) und Einsetzen von Gleichung (3.48) und (3.44) ergibt sich: (3.49) Bachelorarbeit S e i t e 26

35 Theorie Durch Umformen von Gleichung (3.49) und unter Berücksichtigung des ohmschen Spannungsabfalls ergibt sich die folgende Gleichung für den Statorspannungsabfall im rotorfesten Koordinatensystem. (3.50) Durch Bildung von Real- und Imaginärteil von Gleichung (3.50) erhält man zwei Gleichungen. (3.51) (3.52) (3.53) (3.54) Analysiert man Gleichung (2.40) und (2.41), so fällt die Kreuzkopplung der beiden Flüsse auf. Der Fluss in d-richtung wirkt positiv auf die Spannung und der Fluss in q-richtung wirkt negativ auf die Spannung. Aus diesen beiden Gleichungen lassen sich zwei Ersatzschaltbilder erstellen, die Ähnlichkeiten zum Ersatzschaltbild der Gleichstrommaschine aufweisen. i d R s L d u d R s i d L d di d /dt -ω el Ψ q Abbildung 3-24: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für u d i q R s L q u q R s i q L q di q /dt ω el Ψ d Abbildung 3-25: Ersatzschaltbild der Synchronmaschine für u q Vergleicht man die beiden Ersatzschaltbilder mit dem Ersatzschaltbild aus Abbildung 3-6, so lässt sich erkennen, dass die beiden Spannungen und der elektromotorischen Kraft entsprechen. Die innere Leistung lässt sich berechnen durch: Bachelorarbeit S e i t e 27

36 Theorie (3.55) Durch Umstellen und Einsetzen der Bedingung (3.56) erhält man für Gleichung (3.55) folgenden Zusammenhang: (3.57) Der Faktor setzt sich aus mehreren Faktoren zusammen. Der Faktor drei kommt daher, da es sich beim Ersatzschaltbild um ein einphasiges Ersatzschaltbild handelt, der Synchronmotor jedoch drei Phasen hat. Der Faktor setzt sich zusammen aus da es sich sowohl bei, als auch bei um Scheitelwerte handelt. Durch erfolgt die Korrektur auf Effektivwerte. Aus Abbildung 3-21 und den bereits abgeleiteten Zusammenhängen lassen sich noch folgende Flussgleichungen ablesen. (3.58) (3.59) Durch Einsetzen von Gleichung (3.58) und (3.59) in (3.57), erhält man die Gleichung für die mechanische Leistung. Verglichen mit Gleichung (3.12) erhält man für das Drehmoment folgende Gleichung: (3.60) Das Drehmoment aus Gleichung (3.60) setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Der vordere Summand ist das sogenannte Reluktanzdrehmoment und der hintere Summand das sogenannte Hauptdrehmoment. Das Reluktanzdrehmoment resultiert aus der magnetischen Asymmetrie des Polrades in der d- und q- Achse [4]. (3.61) (3.62) Bachelorarbeit S e i t e 28

37 Theorie Bei dem am Prüfstand verwendeten Oberflächenmagnetmotor ist der Rotor rotationssymmetrisch aufgebaut, weshalb nicht zwischen einer Induktivität in d- und in q- Richtung unterschieden werden muss [9]. (3.63) Dadurch entfällt in Gleichung (3.60) das Reluktanzdrehmoment und die Momentgleichung lässt sich vereinfacht darstellen. (3.64) Der Strom wird auch momentenbildender Strom genannt, da dieser für die Drehmomentbildung verantwortlich ist. Aus Gleichung (3.64) lässt sich noch ein weiteres Merkmal des Oberflächenmagnetmotors ableiten. Der Strom trägt nicht zur Momentbildung bei. Gleichung (3.58) zeigt, dass nur die Höhe des magnetischen Flusses in d-richtung beeinflusst. Dieser Strom wird daher auch Flussstrom genannt Simulationsmodell der Synchronmaschine In diesem Abschnitt wird ein Motormodell abgeleitet, mit welchem in Matlab/Simulink der Synchronmotor simuliert werden kann. Dieses Modell dient als Grundlage für einen späteren Reglerentwurf. Als Grundlage für dieses Modell dienen die im Abschnitt abgeleiteten Gleichungen der Synchronmaschine. Durch Umstellen der Gleichungen (3.53) und (3.54) wird Folgendes ersichtlich. (3.65) (3.66) Aus den Gleichungen (3.65) und (3.66) und den beiden Flussgleichungen (3.58) und (3.59) lässt sich das Motormodell der Synchronmaschine im Signalflussplan darstellen. Bachelorarbeit S e i t e 29

38 Theorie Abbildung 3-26: Signalflussplan der Synchronmaschine aus Simulink In Abbildung 3-26 ist die Kreuzkopplung erkennbar. Der Fluss multipliziert mit der Kreisfrequenz liefert einen positiven Spannungsbeitrag zu. Der Fluss multipliziert mit der Kreisfrequenz liefert zu einen negativen Spannungsbeitrag. Zusätzlich wird in diesem Motormodell noch das Moment ausgerechnet, welches sich aus Gleichung (3.64) ergibt. Die Eingangsgrößen in diesem Modell sind die beiden Spannungen und sowie die Kreisfrequenz. Daher wird das Modell auch spannungsgesteuertes Modell genannt. Die Ausgangsgrößen sind die beiden Ströme und und zusätzlich das Hauptdrehmoment der Synchronmaschine. Bachelorarbeit S e i t e 30

39 Theorie 3.6 Zeitdiskrete Regelungen In der heutigen Zeit laufen immer mehr Regelungsalgorithmen auf einem Mikrocontroller ab. Diese Mikrocontroller arbeiten jedoch zeitdiskret d. h. sie fragen zyklisch mit einer bestimmten Abtastzeit die Wertinformationen an den Eingängen ab. Hierzu benötigen diese an den Eingängen einen Analog-Digital-Wandler und an den Ausgängen einen Digital- Analog-Wandler. Durch die A/D-Wandlung am Eingang des Mikrocontrollers entsteht aus dem zeitdiskreten und wertkontinuierlichen Signal ein zeit- und wertdiskretes Signal. Der Quantisierungsfehler kann wegen der großen Wortbreite vernachlässigt werden. Der Algorithmus der auf dem Mikrocontroller abläuft kennt somit nur diskrete Eingangswerte. Die Abtastzeit ist anwendungsabhängig. Werden schnelle Vorgänge geregelt, z. B. Drehzahlen, so ist die Abtastzeit sehr kurz, werden jedoch langsame Vorgänge geregelt, z. B. Füllstandsabfragen, so ist die Abtastzeit größer. Für den Synchronmotor soll eine Stromregelung entworfen werden, das elektrische Teilsystem ist ein schnelles Teilsystem. Das überlagerte mechanische Teilsystem ist langsamer als das elektrische. Die Faustformel besagt, dass ein Zehntel der schnellsten Zeitkonstanten als Abtastzeit verwendet wird Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge Wird ein kontinuierliches Zeitsignal zeitdiskret abgetastet, so ist eine mathematische Beschreibung dieser Abtastfolge notwendig. Abbildung 3-27: Abtastung und Abtasthalteglied In Abbildung 3-27 links wird ein zeitkontinuierliches Signal zu diskreten Abtastpunkten abgetastet. Bei der Abtastung entsteht eine Folge von Funktionswerten. Diese Werte lassen Bachelorarbeit S e i t e 31

40 Theorie sich beschreiben durch oder zusammenfassend als Folge: Mithilfe von Dirac-Impulsen lässt sich die Folge als Summe umschreiben zu: (3.67) (3.68) Wendet man nun zur Beschreibung im Frequenzbereich die Laplacetransformation auf Gleichung (3.68) an, so erhält man die folgende Transformierte: (3.69) Zur Beschreibung zeitdiskreter Vorgänge wird die z-transformation angewandt. Durch Definition der Substitution bzw. erhält man die z-transformierte der Impulsfolgefunktion. Für weitere Informationen sei auf [10] verwiesen. (3.70) Die Gleichung (3.70) lautet ausgeschrieben: Das Abtast- und Halteglied (3.71) Im vorangegangenen Abschnitt wurde das Abtast- und Halteglied bereits erwähnt, nur noch nicht näher erläutert und definiert. In Abbildung 3-27 rechts ist ein diskretes Zeitsignal nach dem Abtast- und Halteglied zu erkennen. Beim Abtastglied wird zu einem bestimmten Zeitpunkt das kontinuierliche Zeitsignal abgetastet. Das Halteglied hat hierbei die Aufgabe, den Wert für den Zeitraum kt bis (k+1)t zu halten. Bachelorarbeit S e i t e 32

41 Theorie Abbildung 3-28: Das Halteglied In Abbildung 3-28 wird der Funktionswert der Höhe w für einen Abtastzeitraum gehalten. Im Zeitbereich lässt sich dies Ausdrücken durch: (3.72) Durch Anwendung der Laplacetransformation auf Gleichung (3.72) und des Verschiebungssatz aus [10], erhält man die Laplaceübertragungsfunktion des Abtast- und Halteglieds. (3.73) Wird bei Gleichung (3.73) die Expotentialfunktion folgende Übertragungsfunktion für das Halteglied. ausgeklammert, erhält man (3.74) Darstellung kontinuierlicher Systeme als diskretes System Mithilfe der z-transformation lässt sich aus einer kontinuierlichen Systembeschreibung eine diskrete Beschreibung ableiten. Dies wird anhand eines kurzen Beispiels verdeutlicht. Die Differenzialgleichung des PT 1 -Glieds soll diskretisiert werden. Abbildung 3-29: Blockschaltbild des PT 1 -Glieds Bachelorarbeit S e i t e 33

42 Theorie Die Differentialgleichung des PT 1 -Glieds lautet: (3.75) Die Ableitung ist definiert durch: (3.76) Wird dies auf die Differentialgleichung (3.66) angewandt, so wird zum Zeitpunkt der Funktionswert von in gespeichert, der alte Funktionswert von wird in gespeichert. Dies geschieht über den Zeitraum. Dadurch kann die Ableitung mit Bildung der Rückwärtsdifferenz beschrieben werden durch: Wird dieser Zusammenhang (3.77) in Gleichung (3.75) eingesetzt und die Werte von und zu dem diskreten Zeitpunkt eingefügt, so erhält man folgende Gleichung. (3.77) Umgestellt nach ergibt sich die Gleichung: (3.78) Die Differenzengleichung hängt somit nur noch vom aktuellen Eingangswert und vom letzen Ausgangswert ab. Wird auf Gleichung (3.78) die z-transformation angewandt, ergibt sich die z-transformierte: (3.79) Durch Umstellen der Gleichung (3.79) in eine Übertragungsfunktion erhält man Folgendes: (3.80) Bachelorarbeit S e i t e 34

43 Theorie Wendet man auf die Übertragungsfunktion aus Gleichung (3.80) den Anfangswertsatz aus [11] an so erhält man den Anfangswert der diskreten Übertragungsfunkton. (3.81) Stabilität zeitdiskreter Systeme Zeitdiskrete Systeme können wie kontinuierliche Systeme stabil bzw. instabil sein. Kontinuierliche Systeme im Laplacebereich sind stabil, sobald für die Polstelle gilt: (3.82) Grenzstabil sind Systeme im Laplacebereich, falls gilt. Grenzstabile Systeme mit der Polstelle bei eins haben integrierendes Verhalten. Die Polstelle im Laplacebereich setzt sich aus einem Realteil und einem komplexen Anteil zusammen. Eine Stabilitätsbedingung wird nun für die Übertragungsfunktion abgeleitet. (3.83) im z-bereich Es sei die i-te Polstelle im z-bereich der Übertragungsfunktion Laut Definition der z-transformation gilt: (3.84) Setzt man nun Gleichung (3.83) in Gleichung (3.84) ein, so erhält man Folgendes: (3.85) Betrachtet man den Term eins darstellen lässt: so zeigt sich, dass sich dieser durch einen Zeiger der Länge (3.86) Somit muss der vordere Term ergibt sich: für die Stabilitätsbetrachtung relevant sein. Dadurch (3.87) Bachelorarbeit S e i t e 35

44 Theorie Durch eine abschnittsweise Betrachtung von Gleichung (3.87) erhält man folgenden Zusammenhang für die Stabilität im z-bereich. Sei folgt daraus instabil. Sei nun folgt daraus stabil. Für grenzstabile Systeme gilt somit. Der Stabilitätsbereich der z-transformation lässt sich also beschreiben durch den Einheitskreis mit Radius eins um null. (3.88) Die Testfunktionen im z-bereich Zur Analyse von unbekannten Systemen gibt es Testfunktionen. Die beiden wichtigsten sind die Sprungfunktion und der Deltaimpuls. Für diese zwei werden nun beispielhaft die Transformationen hergeleitet Die Sprungfunktion Betrachtet man die Sprungfunktion, mit ihrer Sprunghöhe eins, einmal als kontinuierliche Zeitfunktion und einmal als diskrete Folge, so erhält man folgendes Bild, Abbildung Abbildung 3-30: Die Sprungfunktion links, die Einheitsfolge rechts Durch Anwendung der Definition der z-transformation (3.70) gewinnt man aus den Folgewerten eine geometrische Reihe für die gilt: (3.89) Bachelorarbeit S e i t e 36

45 Theorie Der Dirac-Impuls Nun soll die z-transformierte des Einzelimpulses abgeleitet werden. In Abbildung 3-31 ist der Diracimpuls im Zeitbereich dargestellt (links) und im rechten Teil die zugehörige Folge. Abbildung 3-31: Der Diracimpuls Der Diracimpuls lässt sich als Zeitfunktion beschreiben durch: (3.90) Durch Transformieren in den Laplacebereich und durch Einsetzten der vorher definierten Substitution erhält man Folgendes: Für weitere Transformationspaare sei auf [11] verwiesen. (3.91) Tabelle 3-1: Transformationspaare Bachelorarbeit S e i t e 37

46 Theorie Zeitdiskrete Regler Zur Einführung zeitdiskreter Regler wird zu Beginn der Standardregelkreis definiert [12]. Abbildung 3-32: Standardregelkreis der Regelungstechnik Aus Abbildung 3-32 können einige Eigenschaften des Regelkreises abgeleitet werden. So ist die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises beschrieben durch: Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreis lautet somit: (3.92) (3.93) Die beiden Störübertragungsfunktionen der Störung z 2 und z 1 lassen sich beschreiben durch: (3.94) (3.95) Da die Rechenregeln für Übertragungsfunktionen im z-bereich identisch mit Übertragungsfunktionen im Laplacebereich sind, wurde in Gleichungen (3.92) bis (3.95) auf den Hinweis der Transformationsart verzichtet. Beim Entwurf von digitalen Reglern kommen die aus der Regelungstechnik bekannten Regler P-, I-, PI- und PID-Regler zur Anwendung. Diese Typen müssen jedoch in einen diskreten Algorithmus überführt werden. Für die Besonderheiten bei dieser Diskretisierung (z. B. Vorwärts-, Rückwärtsdifferenz, Trapezregel) sei auf [12] und [11] verwiesen. Bachelorarbeit S e i t e 38

47 Theorie Bei digitalen Reglern kann im Gegensatz zu analogen Reglern das Ziel verfolgt werden, nach einer endlichen Anzahl von Schritten den Endwert erreicht zu haben. Diese Regler werden Kompensationsregler für endliche Einstellzeit oder auch Dead-Beat-Regler genannt Dead-Beat-Regler Dead-Beat-Regler sind zeitdiskrete Regler, die die Eigenschaft haben, nach einer Anzahl von n-schritten bei sprungförmiger Vorgabe der Führungsgröße den Istwert auf den Sollwert geregelt zu haben. Die Ausregelzeit lässt sich bestimmen durch, wenn die Abtastzeit ist. Nach der Ausregelzeit ist somit die Regeldifferenz gleich null. (3.96) Beim Dead-Beat-Regler handelt es sich um einen Kompensationsregler, bei dem alle Pole der Strecke kompensiert werden. Aufgrund der Kompensation ist ein Dead-Beat-Regler für instabile Strecken ungeeignet, da sich Pole nicht exakt kompensieren lassen [12]. Bei der Ableitung der Formeln für den Reglerentwurf sei auf den Standardregelkreis verwiesen. Abbildung 3-33: Dead-Beat-Regelkreis In der Strecke (Abbildung 3-33) ist die Übertragungsfunktion des Abtast- und Halteglieds und die Übertragungsfunktion der Strecke zusammengefasst. Somit lassen sich zeitkontinuierliche Strecken mit dem Dead-Beat-Regler regeln. Abbildung 3-34: Abtast- und Halteglied mit Strecke im Laplacebereich Bachelorarbeit S e i t e 39

48 Theorie Die zeitdiskrete Strecke lässt sich laut Abbildung 3-34 beschreiben durch: (3.97) Durch Einsetzen der Laplacetransformierten für das Abtast- und Halteglied aus Gleichung(3.74) erhält man Folgendes: (3.98) Der Faktor entspricht im z-bereich eine Rechtsverschiebung um einen Abtastzeitpunkt. Somit folgt aus Gleichung (3.98) durch Umstellung Folgendes. Daraus folgt: (3.99) (3.100) Nun lässt sich aus einer kontinuierlichen Strecke die zeitdisktrete Strecke unter Berücksichtigung des Abtast- und Halteglieds berechnen. Um die z-transformierte mit Transformationstabellen zu berechnen, kann eine Partialbruchzerlegung des Terms nötig sein [11], [10] Herleitung des Dead-Beat Reglers ohne Stellgrößenvorgabe Zur Herleitung des Dead-Beat Reglers sei auf Abbildung 3-33 verwiesen. Die Übertragungsfunktion des Dead-Beat Reglers lässt sich beschreiben durch: (3.101) Die Übertragungsfunktion lässt sich somit aus der bekannten Übertragungsfunktion und der gewünschten Führungsübertragungsfunktion beschreiben. (3.102) Der Faktor in Gleichung (3.102) ist gleich null, da eine nicht sprungfähige Strecke angenommen wird [13]. Bachelorarbeit S e i t e 40

49 Theorie Nach n-schritten ist die Ausgangsgröße gleich der Eingangsgröße. Somit gilt bei einer Führungsgröße von eins für : Somit kann als Folge beschrieben werden: (3.103) Mit der z-transformation lässt sich die Folge ausdrücken mit: (3.104) (3.105) Die vordere Summe drückt hierbei die Ausgangswerte bis der Folge aus und die hintere Summe beschreibt das Erreichen der Führungsgröße am Ausgang. Diese Summe lässt sich in zwei Summen zerlegen, wenn der Index i nicht bei n, sondern bei null wie die vordere Summe startet. (3.106) Die mittlere Summe zieht hierbei den Fehler wieder ab, der durch die Erweiterung der hinteren Summe entsteht. Zusammengefasst gilt somit: (3.107) Mit Sprungaufschaltung erhält man die Führungsübertragungsfunktion : (3.108) Durch Umstellen von Gleichung (3.108) erhält man Folgendes für : (3.109) Somit ist Polynom ein Polynom der Ordnung n mit negativen Potenzen. Dieses endliche lautet ausformuliert: (3.110) Bachelorarbeit S e i t e 41