Kapitel 2. Differenzengleichungen. 2.1 Problemstellung

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1 Kapitel Differenzengleichungen.1 Problemstellung Nimmt man an, daß die Welt diskret, d.h. aus Teilchen aufgebaut ist, die gewisse, wohldefinierte Kräfte aufeinander ausüben, so müßte sich die gesamte klassische Physik auf die Integration von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen reduzieren lassen. Die Aufstellung und Diskussion dieser Bewegungsgleichungen hat u.a. zur Erfindung der Differentialgleichungen als Limes von Differenzengleichungen geführt. Selbst wenn man die Bewegungsgleichungen beliebig großer Teilchensysteme integrieren könnte, wäre damit aber nicht viel gewonnen, da man sich in der Praxis meisicht für die Koordinaten von Einzelteilchen, sondern für Fragestellungen auf einem mehr makroskopischen Niveau interessiert. Viele physikalische Phänomene lassen sich daher wesentlich eleganter in einem Kontinuumsbild beschreiben, in dem statt Einzelteilchen Teilchendichten oder Felder betrachtet werden. Dies führt i.a. auf partielle Differentialgleichungen, wie sie aus der Hydrodynamik, Elastizitätstheorie oder Elektrodynamik bekannt sind. Andererseits erfolgt in der nachklassischen Physik selbst die Beschreibung von Einzelteilchen schon durch Felder, d.h. Funktionen von Raum und Zeit wie etwa die Wellenfunktion der Quantenmechanik, die ebenfalls partiellen Differentialgleichungen gehorchen. Da bei einer numerischen Lösung von Differentialgleichungen am Computer natürlich nur endlich viele Werte berechnet und gespeichert werden können, ist es notwendig, die Differentialgleichungen zu diskretisieren, also den obigen Limes in einem gewissen Sinn rückgängig zu machen und zu Differenzengleichungen überzugehen. Raum und Zeit werden durch ein Gitter in diskrete Intervalle unterteilt und die interessierenden Funktionen nur an diesen Gitterpunkten betrachtet. Das hat zur Folge, daß keine Aussagen über Phänomene gemacht werden können, die räumlich oder zeitlich so schnell variieren, daß sich die Funktionswerte von einem Gitterpunkt zum nächsten signifikant ändern würden, da ja keinerlei Anhaltspunkte über den Verlauf der Funktion zwischen den Gitterpunkten vorhanden sind. In diesem Sinn stellt eine numerische Lösung also stets eine langwellige (im Vergleich zur Gitterweite) Näherung an die exakte Lösung der Differentialgleichung dar. Sowohl von der physikalischen Fragestellung als auch von den praktischen Lösungsmethoden her können partielle Differentialgleichungen (PDGs) prinzipiell in zwei Gruppen eingeteilt werden: Randwertprobleme und Anfangswertprobleme. Ein typisches Randwertproblem ist z.b. 19

2 0 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN die Poisson-Gleichung in zwei Dimensionen, φ = πρ. (.1) Hier ist das elektrostatische Potential φ(x, y) in einem Gebiet G gesucht, wobei die Ladungsdichte ρ(x, y) in G und die Werte von φ (oder der Ableitung von φ) am Rand von G vorgegeben sind (Abb..1). Durch die Diskretisierung geht Gl. (.1) in ein System von algebraischen Gleichungen über, das numerisch gelöst werden kann. Randwertaufgaben sind insofern stationär, als das Problem als gelöst betrachtet werden kann, wenn die Werte von φ im Inneren von G überall bekannt sind. φ(x, y) x y Abbildung.1: Randwertproblem in zwei Dimensionen. Als Beispiel für ein Anfangswertproblem betrachten wir die zeitabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen in einer Dimension, i h Ψ t = H Ψ, (.) wo Ψ(x, t) die Wellenfunktion des Teilchens und H der Hamilton-Operator (i.a. ein partieller Differentialoperator in den Ortskoordinaten) ist. Üblicherweise ist Ψ(x, 0) = f(x) als Anfangsbedingung vorgegeben, und die Aufgabe besteht darin, Ψ(x, t) für t > 0 zu berechnen (Abb..). Zusätzlich müssen noch (räumliche) Randbedingungen formuliert werden, z.b. daß Ψ für alle Zeiten an den Grenzen des betrachteten Intervalls [0, L] oder im Unendlichen verschwindet. Die Lösungsmethoden sind hier Zeit-Integrationsverfahren, die es ermöglichen, aus der Kenntnis von Ψ zur Zeit t die Funktion zu einem etwas späteren Zeitpunkt t + t vorherzusagen und durch eine ganze Reihe von solchen Schritten beliebig weit in die Zukunft zu propagieren.

3 .. RÄUMLICHE ABLEITUNGEN 1 Ψ(x, t) x t Abbildung.: Anfangswertproblem in einer Dimension. Da sich die Lösungsmethoden für Randwert- und Anfangswertprobleme sehr voneinander unterscheiden, gehen wir in diesem Kapitel und in Kapitel 3 zunächst auf Zeit-Integrationsverfahren ein. Methoden zur Lösung von Randwertproblemen werden in Kapitel 4 behandelt.. Räumliche Ableitungen Wir wollen die unbekannte Funktion, die von einer Reihe von Ortsvariablen, x, y,..., und der Zeit t abhängen kann, allgemein mit u = u(x, y,..., t) (.3) bezeichnen. Da alle unabhängigen Variablen diskretisiert werden müssen, können sie nur endlich viele (aber sonst beliebige) Werte, x j, y l,...,, annehmen. Der Einfachheit halber werden wir meist davon ausgehen, daß diese Werte auf einem äquidistanten Gitter liegen, x j = j x, y l = l y,. = n t, (.4) mit den Gitter-Schrittweiten x, y,..., t. Als Abkürzung werden wir oft u (n) j,l,... = u(x j, y l,..., ) (.5) schreiben, wobei der obere Index den Zeitpunkt bezeichnet, die unteren Indizes die räumlichen Variablen.

4 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Da bei der Integration partieller Differentialgleichungen für die Approximation räumlicher Ableitungen durch Funktionswerte auf dem Gitter nur sehr einfache Formeln in Frage kommen, genügt es, die beiden folgenden Taylor-Entwicklungen von u(x j±1 ) = u(x j ± x) zu betrachten: u(x j+1 ) = u(x j ) + u x (x j ) x + u xx (x j ) x + u xxx(x j ) x3 6 + O( x4 ), (.6) u(x j 1 ) = u(x j ) u x (x j ) x + u xx (x j ) x u xxx(x j ) x3 6 + O( x4 ). (.7) Dabei haben wir die unwesentlichen Variablen, y,..., t, nicht explizit ausgeschrieben. Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar u j+1 u j = u x (x j ) x + O( x ), (.8) also nach Division durch x u j+1 u j x = u x (x j ) + O( x). (.9) Dies nennt man aus offensichtlichen Gründen die Vorwärtsdifferenz. Analog ergibt sich aus Gl. (.7) die Rückwärtsdifferenz u j u j 1 x = u x (x j ) + O( x). (.10) Man sagt von beiden Approximationen, daß sie erster Ordnung sind, weil der Fehler für kleine x wie die erste Potenz von x nach Null geht. Eine symmetrische und wesentlich genauere Formel erhalten wir aus der Differenz von Gl. (.6) und (.7), u j+1 u j 1 = u x (x j ) x + O( x 3 ). (.11) Da die Terme mit u xx einander aufheben, ergibt sich also u j+1 u j 1 x = u x (x j ) + O( x ). (.1) Diese Näherung heißt Zentraldifferenz und wird häufig verwendet, da sie ebenso einfach wie die vorigen, aber von zweiter Ordnung in x ist (d.h. der Fehler geht quadratisch gegen Null). Eine einfache Formel für die zweite Ableitung u xx liefert die Summe von Gl. (.6) und (.7), u j+1 + u j 1 = u j + u xx x + O( x 4 ), (.13) und, da sich diesmal die Terme mit u xxx aufheben, u j+1 u j + u j 1 x = u xx (x j ) + O( x ). (.14)

5 .. RÄUMLICHE ABLEITUNGEN 3 Auch diese Formel ist symmetrisch und von zweiter Ordnung in x. Approximationen höherer Ordnung lassen sich analog herleiten, indem man zusätzlich zu Gl. (.6) und (.7) auch noch Taylor-Entwicklungen von u(x j± ) usw. betrachtet und das entstehende lineare Gleichungssystem nach der gewünschten Ableitung auflöst. Diese Beziehungen enthalten i.a. Beiträge von mehr als drei benachbarten Stützpunkten und werden weniger häufig verwendet, da sie in der Praxis den Formeln zweiter Ordnung oft erst bei sehr kleinen x überlegen sind und es somit effizienter sein kann, beim primitiveren Verfahren zu bleiben und die Genauigkeit einfach durch Verringerung der Schrittweite zu erhöhen. Die verwendete Näherung sollte jedenfalls konsistent sein, d.h. im Limes x 0 gegen den exakten Differentialquotienten gehen. Bei Formeln, die mit Hilfe von Taylor-Entwicklungen gewonnen wurden, ist dies natürlich per Konstruktion garantiert. Für andere Ansätze muß diese Konsistenzeigenschaft jedoch im allgemeinen explizit überprüft werden. Ein sowohl bei Rand- als auch bei Anfangswertproblemen häufig vorkommender Differentialoperator ist der Laplace-Operator = x + y + z. (.15) Mit Hilfe von Gl. (.14) und analogen Beziehungen für u yy und u zz können wir sofort eine Näherung zweiter Ordnung auch für diesen Operator angeben, z.b. in zwei Dimensionen u(x j, y l ) = 1 x [u j+1,l u j,l + u j 1,l ] + 1 y [u j,l+1 u j,l + u j,l 1 ] + O( x, y ). (.16) Dabei ist u j,l = u(x j, y l ) usw. Für den Spezialfall gleicher Gitterweiten in beiden Koordinatenrichtungen, x = y = h, ergibt sich die kompakte Formel u(x j, y l ) = 1 h [u j+1,l + u j 1,l + u j,l+1 + u j,l 1 4u j,l ] + O(h ). (.17) Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen lautet offenbar u(x j, y l, z m ) = 1 h [u j+1,l,m + u j 1,l,m + u j,l+1,m + u j,l 1,m + u j,l,m+1 + u j,l,m 1 6u j,l,m ] (.18) + O(h ). Partielle Differentialgleichungen, in denen nur räumliche Ableitungen auftreten (also typische Randwertprobleme), gehen bei Diskretisierung nach dem obigen Muster in Systeme von gekoppelten algebraischen Gleichungen über, aus denen die Funktionswerte an den Stützstellen, u j,l,... = u(x j, y l,...), berechnet werden können. Lösungsverfahren für die dabei auftretenden speziellen Gleichungssysteme werden in Kapitel 4 besprochen.

6 4 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN.3 Zeitentwicklung Die Behandlung von Anfangswertproblemen unterscheidet sich grundsätzlich von den Lösungsmethoden für Randwertaufgaben. Beim Anfangswertproblem sind im einfachsten Fall z.b. eine Funktion u(x, t = 0) sowie gewisse räumliche Randbedingungen vorgegeben; gesucht ist u(x, t) als Funktion von x und t für t > 0. Die Vorgangsweise besteht in der Regel darin, daß man, ausgehend von der Anfangsbedingung, u(x, t) nach der Zeit integriert, also für eine Reihe von diskreten Zeitpunkten, t 1, t, t 3,..., zu berechnen versucht. Im Prinzip lassen sich alle derartigen Integrationsverfahren auf einen Elementarschritt zurückführen, nämlich eine Vorschrift, wie man, zu einem allgemeinen Zeitpunkt, aus dem als bekannt vorausgesetzten u(x, ) die Lösung zum nächsten Zeitpunkt, u(x, +1 ), konstruiert. Durch wiederholte Anwendung dieses Integrationsschrittes kann man offenbar u(x, t) beliebig weit in die Zukunft propagieren. Wir werden für unsere formalen Überlegungen das Anfangswertproblem in der Form u t = Lu = f(u, u x,..., x,..., t) (.19) schreiben. (Dazu gehöratürlich auch eine entsprechende Anfangsbedingung.) L ist im allgemeinen ein nichtlinearer partieller Differentialoperator, der, wie angedeutet, außer von u und den räumlichen Ableitungen von u, auch noch explizit von den unabhängigen Variablen abhängen kann. Daß Gl. (.19) nur erste Ableitungen in der Zeit enthält, stellt keine Einschränkung dar, denn man kann PDGs höherer Ordnung immer in Systeme von Gleichungen erster Ordnung (in der Zeit) umschreiben. Ebenso kann u i.a. für einen Vektor von unbekannten Funktionen stehen. In diesem Fall ist (.19) als Gleichungssystem für die einzelnen Komponenten von u zu lesen. Als Beispiel betrachten wir die eindimensionale Wellengleichung für eine Funktion A(x, t), A t = c A x. (.0) Bezeichnen wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung mit v = A/ t bzw. w = c A/ x, so können wir die Gleichung umschreiben in v t w t = c w x, = c v x. (.1) Der Vektor der unbekannten Funktionen ist dann u = (v, w). Um wieder im allgemeinen Fall zu einer konkreten Formulierung für den elementaren Integrationsschritt beim Anfangswertproblem erster Ordnung zu kommen, integrieren wir Gl. (.19) bei festen Ortskoordinaten von bis +1 = + t, 1 tn+1 dt u t = tn+1 dt (Lu) t. (.) 1 Hier und im folgenden bezeichnet (...) icht die Ableitung nach t, sondern deutet an, daß der Klammerausdruck zur Zeit t auszuwerten ist.

7 .3. ZEITENTWICKLUNG 5 Das ergibt u(x,..., +1 ) u(x,..., ) = oder, in Kurzschreibweise, tn+1 dt (Lu) t (.3) u (n+1) = u (n) + tn+1 dt Lu. (.4) Lu +1 Abbildung.3: Elementarer Integrationsschritt für das Anfangswertproblem. Abbildung.3 illustriert das Dilemma mit dieser Formel: Um u (n+1) berechnen zu können, müßten wir Lu als Funktion von t für alle t +1 (und damit insbesondere u (n+1) ) schon kennen, denn die Differenz zwischen u (n) und u (n+1) ist gerade die Fläche unter der Funktion Lu zwischen und +1. Von Lu als Funktion von t kennen wir aber zu diesem Zeitpunkur den markierten Wert bei t =, nämlich (Lu) tn = (Lu) (n), den wir ja aus u (n) ausrechnen können. Um das Integral dennoch auswerten zu können, muß man also zu irgendwelchen Näherungsverfahren greifen. Die Qualität derartiger Approximationen kann man charakterisieren, indem man das numerische Verfahren mit einer formalen Entwicklung von Gl. (.4) vergleicht. Dazu entwickeln wir (Lu) t in eine Taylor-Reihe um den Zeitpunkt, (t ) k ( ) d k (Lu) t = k=0 k! dt Lu, (.5) k und setzen in (.4) ein u (n+1) = u (n) + tn+1 (t ) k dt k=0 k! ( ) d k dt Lu. (.6) k

8 6 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Nach Integration ergibt sich wegen +1 = t u (n+1) = u (n) + k=1 t k k! ( ) d k 1 Lu. (.7) dtk 1 Stimmt ein näherungsweises Integrationsverfahren mit dieser Entwicklung bis zum Term in t p überein, ( ) ( ) u (n+1) = u (n) + t (Lu) tn + t d dt Lu tp d p 1 Lu p! dtp 1 + O( t p+1 ), (.8) dann sagt man, daß das Verfahren genau p-ter Ordnung in t ist. Der Fehler geht also in diesem Fall für kleine t wie t p+1 nach Null. In der Praxis kommen allerdings Verfahren mit p > kaum zur Anwendung. Eine weitere Näherung wird dadurch notwendig, daß Lu partielle Ableitungen von u nach den Ortskoordinaten enthält. Diese müssen mit Hilfe der in Abschnitt. abgeleiteten (oder ähnlicher) Formeln durch räumliche Differenzenquotienten von u auf den Gitterpunkten approximiert werden. Je nachdem, ob zur Berechnung von u (n+1) nur Informationen zum Zeitpunkt oder von mehreren, eventuell auch weiter zurückliegenden Zeitpunkten verwendet werden, unterscheidet man zwischen Ein- und Mehrschrittverfahren..3.1 Einschrittverfahren Euler-Verfahren Lu +1 Abbildung.4: Explizites Euler-Verfahren. Das einfachste Einschrittverfahren erhält man, wenn man in Gl. (.4) das Integral durch den Wert des Integranden am linken Rand des Intervalls, multipliziert mit der Intervallbreite,

9 .3. ZEITENTWICKLUNG 7 ersetzt (Abb..4), u (n+1) = u (n) + t (Lu) (n). (.9) Dies ist das explizite Euler-Verfahren. Die Bezeichnung explizit kommt davon, daß auf der rechten Seite der Gleichung nur bekannte Größen auftreten und daher expliziach der Unbekannten, u (n+1), aufgelöst werden kann. Wie der Vergleich mit Gl. (.8) zeigt, stimmur der Term in t mit der formalen Taylor-Entwicklung überein, d.h. das Verfahren isur von erster Ordnung im Zeitschritt und daher nicht besonders genau. Lu +1 Abbildung.5: Implizites Euler-Verfahren. Von derselben Ordnung, aber in der Praxis wesentlich stabiler, ist das implizite Euler- Verfahren. Man erhält es, wenn man bei der Approximation des Integrals durch eine Rechtecksfläche als Höhe den Funktionswericht am linken, sondern am rechten Rand des Intervalls nimmt (Abb..5), u (n+1) = u (n) + t (Lu) (n+1). (.30) Da die Unbekannte, u (n+1), auch auf der rechten Seite vorkommt, handelt es sich um ein implizites Verfahren. Ist Gl. (.30) linear in u (n+1), dann läßt sie (bzw. das Gleichungssystem) sich noch relativ leicht auflösen, bei transzendenten Gleichungen wird man aber lieber ein explizites Verfahren verwenden. Um zu zeigen, daß auch das implizite Euler-Verfahren nur von erster Ordnung ist, ersetzen wir in Gl. (.30) (Lu) (n+1) durch die Taylor-Entwicklung ( ) d (Lu) (n+1) = (Lu) (n) + t dt Lu + O( t ) (.31) und erhalten u (n+1) = u (n) + t (Lu) (n) + t ( d dt Lu ) + O( t 3 ), (.3) was von Gl. (.8) schon im Koeffizienten von t abweicht.

10 8 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Implizites Verfahren zweiter Ordnung Sowohl der Mittelwertsatz der Analysis, tn+1 dt Lu = t (Lu) t für ein t +1, (.33) als auch ein Blick auf Abb. (.4) und (.5) lassen es naheliegend erscheinen, daß ein Ansatz u (n+1) = u (n) + t [ (1 λ)(lu) (n) + λ(lu) (n+1)] (.34) mit 0 λ 1, also ein Mittelwert zwischen explizitem und implizitem Euler-Verfahren, ein genaueres Verfahren abgeben müßte. Für λ 0 sind diese Verfahren natürlich alle implizit. Lu +1 Abbildung.6: Implizites Verfahren zweiter Ordnung. Der Spezialfall λ = 1 führt auf das implizite Verfahren zweiter Ordnung, u (n+1) = u (n) + t [ (Lu) (n) + (Lu) (n+1)]. (.35) Wie Abb..6 zeigt, wird dabei das Integral in Gl. (.4) durch die Trapezregel approximiert. Daß dieses Verfahren tatsächlich von zweiter Ordnung ist, sehen wir wieder durch Taylor- Entwicklung des Terms (Lu) (n+1), u (n+1) = u (n) + t = u (n) + t (Lu) tn + t [ (Lu) (n) + (Lu) (n) + t ( ) ( ) ] d dt Lu + t d dt Lu +... ( ) ( ) d dt Lu + t3 d 4 dt Lu +... (.36) Die Abweichung vom exakten Integral, Gl. (.8), liegt also im Term dritter Ordnung.

11 .3. ZEITENTWICKLUNG 9.3. Mehrschrittverfahren Verfahren mit Hilfsschritt Ist ein implizites Verfahren nicht praktikabel, so kann die Ordnung eines Differenzenschemas auch dadurch erhöht werden, daß der Integrand Lu nichur am Anfangs- oder Endpunkt, sondern auch an einer oder mehreren Stützstellen im Inneren des Intervalls [, +1 ] ausgewertet wird. Der Wert von u an diesen Stützpunkten kann natürlich wieder nur näherungsweise bestimmt werden. Verfahren dieser Art, die den Vorteil haben, explizit zu sein, sind bei der Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen sehr beliebt und werden dort als Runge Kutta- Verfahren bezeichnet. Lu (Lu) (n+1 ) Abbildung.7: Explizites Verfahren mit Hilfsschritt. Das einfachste derartige Verfahren besteht darin, daß man zunächst in einem Hilfsschritt mit einem expliziten Euler-Verfahren einen Schätzwert für u (n+1/) in der Mitte des Intervalls bestimmt und dann im eigentlichen Integrationsschritt das Integral in Gl. (.4) mit der Mittelpunktsregel berechnet (Abb..7), u (n+ 1 ) = u (n) + t (Lu)(n), u (n+1) = u (n) + t (Lu) (n+ 1 ). (.37) Um zu beweisen, daß dieses Schema von zweiter Ordnung ist, nehmen wir an, daß der räumliche Differentialoperator von der Form Lu = f(u, u x,..., t) ist. Die exakte Taylor-Entwicklung, Gl. (.8), lautet dann, explizit ausgeschrieben, u (n+1) = u (n) + t f(u, u x,..., t) tn + t [ f u u t + f u x u x t f t ] +... (.38)

12 30 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Andererseits ergibt Einsetzen des Hilfsschrittes in Gl. (.37) und Entwickeln von u, u x,..., t um u (n), u (n) x,..., u (n+1) = u (n) = u (n) + t f ( u (n) + t f(u(n),...), + t f(u (n), u x (n),..., ) + t [ u (n) + t ] x f(u(n),...),..., + t ) [ f u f + f f u x x f ] +..., (.39) t also wegen u/ t = f und u x / t = u/ x t = f/ x bis zur Ordnung t dasselbe. (In der nächsten Ordnung treten allerdings bereits Abweichungen auf.) Leapfrog-Verfahren Lu 1 +1 Abbildung.8: Leapfrog-Verfahren. Eine andere Methode, zusätzliche Informationen über den Verlauf der Funktion Lu in das Integrationsverfahren einzubauen, besteht darin, Werte von u aus der Vergangenheit wiederzuverwerten, die von den letzten Integrationsschritten her noch bekannt sind. Ein beliebtes Verfahren dieser Art, das sich auf zwei Zeitpunkte in der Vergangenheit stützt (Zweischrittverfahren), ist das Leapfrog-Verfahren, u (n+1) = u (n 1) + t (Lu) (n). (.40) Wie Abb..8 zeigt, wird dabei über zwei Zeitschritte integriert und das Integral durch die Fläche des Rechtecks mit der Höhe des mittleren Stützpunktes approximiert (Mittelpunktsregel). Da beim n-ten Zeitschritt u (n) und u (n 1) ja bekannt sind, ist dieses Verfahren explizit und außerdem

13 .3. ZEITENTWICKLUNG 31 von zweiter Ordnung, denn die Integration der formalen Taylor-Entwicklung um ergibt [ ( ) ( ) ] u (n+1) = u (n 1) tn+1 d + dt (Lu) tn + (t ) 1 dt Lu (t tn) d + dt Lu +... ( ) = u (n 1) + t (Lu) tn + t3 d 3 dt Lu + O( t 5 ). (.41) Die Diskrepanz zu Gl. (.40) ist also O( t 3 ). Ein Nachteil des Leapfrog-Verfahrens besteht allerdings darin, daß es nicht selbst-startend ist: Neben der Anfangsbedingung u (0) wird zusätzlich noch u (1) oder u ( 1) benötigt. Dieser Wert, von dem die Lösung außerdem noch empfindlich abhängt, muß daher i.a. mit einem anderen, genaueren Verfahren berechnet werden..3.3 Stabilität Wir können jedes der in den letzten Abschnitten besprochenen (bzw. jedes beliebige andere) Integrationsverfahren für Anfangswertprobleme formal durch einen Integrationsoperator T symbolisieren, der für die spezielle Vorschrift steht, wie man u (n+1) aus den Werten von u zu den früheren Zeitschritten berechnet, z.b. im Fall eines Einschrittverfahrens u (n+1) = T [u (n) ]. (.4) T ist i.a. ein nichtlinearer Operator und hängt von den Details des Differenzenverfahrens, wie den Gitterweiten x,... und dem Zeitschritt t, ab. Die sukzessive Anwendung von T liefert eine Folge von Werten, u (0), u (1), u (),..., (.43) von der man hofft, daß sie für hinreichend feine Gitter die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung beliebig genau approximiert. Eigentlich müßte man die Folge (.43) als die numerisch exakte Lösung der Differenzengleichungen bezeichnen, d.h. die Lösung, die sich ergäbe, wenn alle numerischen Operationen mit unendlicher Genauigkeit ausgeführt werden könnten. In Wirklichkeit treten aber bei allen numerischen Verfahren wegen der endlichen Genauigkeit der Zahlendarstellung (im Prinzip unkontrollierbare) Rundungsfehler auf, sodaß wir statt der Folge (.43) als Ergebnis u (0) + ε (0), u (1) + ε (1), u () + ε (),... (.44) erhalten, wobei ε (n) der kumulative Rundungsfehler zur Zeit ist. Damit ein Integrationsverfahren numerisch brauchbar (stabil) ist, dürfen diese Rundungsfehler offenbar im Lauf der Zeit nicht zunehmen, wenigstens wenn die Differentialgleichung keine exponentiell anwachsenden Lösungen besitzt. Statt Gl. (.4) hätten wir also genaugenommen schreiben müssen u (n+1) + ε (n+1) = T [u (n) + ε (n) ]. (.45)

14 3 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Da Stabilitätsbetrachtungen für den Fall, daß T nichtlinear ist, schwierig sind, nimmt man entweder an, daß T linear ist, oder linearisiert die letzte Beziehung durch Entwicklung in eine Taylor-Reihe, u (n+1) + ε (n+1) = T [u (n) ] + (T [u(n) ]) u (n) ε (n) +... (.46) Nachdem die numerisch exakte Lösung durch Gl. (.4) definiert ist, ergibt sich daraus als Gesetz für die Fehlerfortpflanzung ε (n+1) = G ε (n) mit G = (T [u(n) ]) u (n) = u(n+1) u (n). (.47) Da u (n) und ε (n) i.a. Vektoren von Funktionen bzw. Werten an Stützpunkten sind, muß über alle partiellen Ableitungen von T [u (n) ] summiert werden. G ist also normalerweise eine Matrix und heißt die Verstärkungsmatrix. Die Frage, ob ein Verfahren stabil ist, d.h. Rundungsfehler im Lauf der Zeit beschränkt bleiben, läuft somit darauf hinaus festzustellen, ob es Vektoren gibt, die unter der Transformation G anwachsen. Wenn, wie das häufig der Fall ist, G diagonalisiert werden kann, läßt sich das unmittelbar an den Eigenwerten g µ von G ablesen. Die Stabilitätsbedingung lautet in diesem Fall offenbar g µ 1 µ. (.48) Dies ist im allgemeinen Fall eine lokale Bedingung und hängt, ebenso wie G selbst, sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab..3.4 Beurteilung von Differenzenverfahren Konsistenz Damit ein Differenzenverfahren als Lösungsverfahren für eine partielle Differentialgleichung verwendet werden kann, muß es eine Reihe von Bedingungen erfüllen. Zunächst muß die Diskretisierung überhaupt einmal mit der Differentialgleichung konsistent sein, d.h. im Limes x,..., t 0 muß die Differenzengleichung in die ursprüngliche Differentialgleichung übergehen. Mit Hilfe des Integrationsoperators T von Gl. (.4) heißt das T [u] u lim x,..., t 0 t = Lu. (.49) Diese Bedingung, die man in der Regel durch Taylor-Entwicklung und Betrachtung der Restglieder überprüft, muß insbesondere unabhängig davon sein, in welcher Weise x,..., t gegen Null gehen.

15 .4. BEISPIELE 33 Genauigkeit Ob und in welchem Grad die Lösung des Differenzenschemas die exakte Lösung der Differentialgleichung approximiert, hängt von der Größe verschiedener Fehler ab. Der lokale Abbruchfehler (Truncation Error) ist der Unterschied zwischen der kontinuierlichen Differentialgleichung und dem diskreten Differenzenschema an einem Gitterpunkt, wenn in beide die exakte Lösung der Differentialgleichung, U, eingesetzt wird. Er wird im wesentlichen durch die räumliche und zeitliche Ordnung des Integrationsverfahrens bestimmt und kann ebenfalls durch Taylor-Entwicklung aller im Differenzenschema vorkommenden Funktionswerte um diesen Gitterpunkt und Betrachten der Restglieder ermittelt werden. Als Diskretisierungsfehler bezeichnet man den Unterschied zwischen der exakten Lösung der Differentialgleichung, U(x j, y l,,..., ), und der exakten Lösung der Differenzengleichung, u (n) j,l,..., an einem Gitterpunkt (x j, y l,..., ). Die Lösung der Differenzengleichung ist konvergent, wenn für jeden Punkt (x j, y l,..., ) im Integrationsgebiet u (n) j,l,... U(x j, y l,..., ), (.50) wenn x, y,..., t 0. Stabilität und das Lax sche Äquivalenztheorem Ob die Lösung eines Differenzenschemas gegen die Lösung der Differentialgleichung konvergiert, ist im allgemeinen Fall theoretisch kaum zu beweisen. Für lineare Anfangswertprobleme existiert jedoch ein Satz, der zeigt, daß Stabilität gegen Rundungsfehler und Konvergenz einander wechselseitig bedingen. Dazu muß zuerst definiert werden, was ein korrekt gestelltes Problem ist: Eine partielle Differentialgleichung sowie die zugehörigen Anfangs- und Randbedingungen stellen ein korrekt gestelltes Problem dar, wenn 1. eine Lösung existiert,. die Lösung eindeutig ist, 3. die Lösung stetig von den Anfangs- und Randbedingungen abhängt. Das Lax sche Äquivalenztheorem sagt dann aus, daß für ein korrekt gestelltes lineares Anfangswertproblem mit einem zugehörigen Differenzenverfahren, das die Konsistenzbedingung erfüllt, die Stabilität eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz des Verfahrens ist..4 Beispiele Wir wollen in diesem Abschnitt die bisher kennengelernten Integrationsverfahren am Beispiel zweier einfacher gewöhnlicher Differentialgleichungen illustrieren und vergleichen. Dabei soll,

16 34 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN um das Verständnis dieses Konzepts zu erhöhen, insbesondere die Stabilität der Verfahren näher untersucht werden. Die Beispiele eine einfache Zerfallsgleichung und der harmonische Oszillator sind so einfach gewählt, daß wir sowohl für die exakte Differentialgleichung als auch für die verschiedenen Differenzenverfahren jeweils die Lösung in geschlossener Form angeben und somit numerisch exakte und analytische Lösung unmittelbar vergleichen können. Außerdem stellen sie einfache Prototypen für zwei wichtige Klassen von partiellen Differentialgleichungen, nämlich parabolische und hyperbolische PDGs, dar (s. Abschnitt 3.1). Wie sich zeigen wird, sind für jedes der beiden Modellprobleme nur bestimmte Integrationsverfahren brauchbar, was offenbar mit dem völlig andersgearteten Charakter der Lösungen der Differentialgleichungen (also zeitlich abklingend im einen bzw. ungedämpft oszillatorisch im anderen Fall) zusammenhängt. Das heißt, daß im allgemeinen Fall die Frage, welches Integrationsverfahren zu wählen ist, ganz vom spezifischen Typ der betrachteten Differentialgleichung abhängen wird..4.1 Zerfallsgleichung Die Zerfalls- oder Relaxationsgleichung, die z.b. den Zerfall einer radioaktiven Substanz beschreibt, lautet u = 1 u, (.51) mit der Anfangsbedingung u(0) = u (0). Dabei ist die Relaxationszeit. Die analytische Lösung ist eine Exponentialfunktion, u(t) = u(0) e t/. (.5) Wir betrachten nun verschiedene numerische Intergrationsverfahren. Explizites Euler-Verfahren Die Anwendung des expliziten Euler-Verfahrens, Gl. (.9), auf das Problem (.51) führt auf das Schema u (n+1) = u (n) + t ( 1 ) ( u(n) = 1 t ) u (n). (.53) Unter Einbeziehung der Rundungsfehler lautet es aber eigentlich ( u (n+1) + ε (n+1) = 1 t ) (u (n) + ε (n)). (.54) Die Fehlerfortpflanzung erfolgt daher nach der Gesetzmäßigkeit ( ε (n+1) = 1 t ) ε (n). (.55)

17 .4. BEISPIELE 35 Daraus liest man den Verstärkungsfaktor ab, zu dem die Verstärkungsmatrix hier entartet, g = 1 t. Stabilität liegt vor, wenn g 1, also oder (.56) 1 t 1 (.57) 1 1 t 1. Der rechte Teil dieser Ungleichung ist immer erfüllt, wenn t 0, der linke nur, wenn t. (.58) (.59) Wir haben also eine Bedingung an den Zeitschritt erhalten. Man sagt daher in diesem Fall, daß das Verfahren nur bedingt stabil ist. Die wiederholte Anwendung von Gl. (.53) liefert folgenden Zusammenhang zwischen Startund Endwert ( u (n) = 1 t ) n u (0). (.60) Wie man sieht, garantiert Stabilitäoch nicht Genauigkeit, denn für 1 < t/ < ist der Faktor in Klammer zwar dem Betrag nach noch immer kleiner als eins, aber negativ, d.h. die Lösung des Differenzenschemas oszilliert, was natürlich keine brauchbare Approximation an die exakte Lösung darstellt. Im allgemeinen wird man daher immer t wählen müssen. Halten wir den Zeitpunkt t fest und verkleinern t = t/n durch Erhöhen der Anzahl der Zeitschritte, n, so können wir bei diesem einfachen Beispiel explizit sehen, daß die numerische gegen die analytische Lösung konvergiert, denn es gilt lim n u(n) = lim n ( 1 t/ n Implizites Euler-Verfahren ) n u (0) = e t/ u(0) = u(t). (.61) Einsetzen der Relaxationsgleichung (.51) in das implizite Euler-Verfahren, Gl. (.30), liefert das Schema u (n+1) = u (n) t u(n+1). (.6) Da diese Gleichung linear ist, kann sie leichach u (n+1) aufgelöst werden u (n+1) = t/ u(n). (.63)

18 36 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Der Verstärkungsfaktor ist in diesem Fall also g = t/ 1, t 0, (.64) und das Verfahren daher für alle Zeischritte (d.h. unbedingt) stabil. Bezüglich der Genauigkeit gilt aber auch hier das schon für das explizite Euler-Verfahren Gesagte, nämlich daß nur kleine Zeitschritte zu einer quantitativ brauchbaren Lösung führen. Beide Euler-Verfahren sind ja lediglich von erster Ordnung in t. Implizites Verfahren zweiter Ordnung Das arithmetische Mittel aus explizitem und implizitem Euler-Verfahren ergibt ein implizites Verfahren zweiter Ordnung, Gl. (.35). Für die Zerfallsgleichung lautet es u (n+1) = u (n) + t [ 1 u(n) 1 u(n+1) ]. (.65) Auch hier kann man nach u (n+1) auflösen und erhält explizit bzw. u (n+1) = 1 t/() 1 + t/() u(n), (.66) u (n+1) = Der Verstärkungsfaktor ist g = 1 t/() 1 + t/() [ ] n 1 t/() u (0). (.67) 1 + t/() 1, t 0, (.68) und das Verfahren somit unbedingt stabil. Da es von zweiter Ordnung ist, sollte man in der Praxis mit etwas größeren Zeitschritten als beim reinen Euler-Verfahren das Auslangen finden. Verfahren mit Hilfsschritt Beim expliziten Verfahren zweiter Ordnung mit Hilfsschritt, Gl. (.37), wird zunächst ein Stützpunkt in der Intervallmitte berechnet, u (n+ 1 ) = u (n) t u(n), (.69) und dann in u (n+1) = u (n) t 1 u(n+ ) (.70)

19 .4. BEISPIELE 37 eingesetzt. Ausmultipliziert ergibt das [ u (n+1) = 1 t + 1 ( ) t ] u (n). (.71) Der Verstärkungsfaktor, g = 1 t + 1 ( ) t, (.7) erfüllt für 0 t/ die Bedingung g 1. Damit ist das Verfahren mit Hilfsschritt im selben Bereich wie das explizite Euler-Verfahren, t, (.73) bedingt stabil, aber genauer als jenes, da von zweiter Ordnung. Man kann das hier direkt aus dem Klammerausdruck in Gl. (.71) ablesen, der genau die Taylor-Entwicklung von e t/ bis zum quadratischen Term wiedergibt. Leapfrog-Verfahren Die Anwendung des Leapfrog-Verfahrens auf die Zerfallsgleichung liefert eine Formel, die jeweils drei aufeinanderfolgende Zeitschritte verknüpft u (n+1) = u (n 1) t u (n). (.74) Da dies eine lineare Beziehung ist, gehorchen die Rundungsfehler demselben Fortpflanzungsgesetz, ε (n+1) = ε (n 1) t ε (n). (.75) Eine homogene Rekursionsrelation dieser Art löst man mit dem Ansatz ε (n) g n. (.76) Einsetzen in Gl. (.75) ergibt g n+1 = g n 1 t g n, was auf die quadratische Gleichung g + t mit den Lösungen g 1, = t ± (.77) g 1 = 0 (.78) ( t ) + 1 (.79)

20 38 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN führt. Wie man sofort sieht, ist hier auf jeden Fall für eine der Wurzeln (nämlich g ) g > 1. Das Verfahren ist daher immer instabil und für die Integration der Zerfallsgleichung nicht geeignet. Um zu verstehen, wie diese Instabilität zustande kommt, betrachten wir die spezielle Gestalt der Lösung der Zerfallsgleichung, wie sie sich mit dem Leapfrog-Verfahren ergeben würde. Da die u (n) derselben Rekursionsformel gehorchen wie die ε (n), setzen wir wieder an u (n) λ n (.80) und erhalten wie vorhin ( t λ 1, = t ) ± + 1. (.81) Die allgemeine Lösung ist eine Linearkombination der beiden unabhängigen Lösungen, u (n) = Aλ n 1 + Bλ n = [u (0) B]λ n 1 + Bλ n, (.8) wobei wir berücksichtigt haben, daß auf Grund der Anfangsbedingung A + B = u (0) gelten muß. Da λ 1 < 1, aber λ > 1, enthält die numerische Lösung also einen Anteil, der, wie es die Differentialgleichung verlangt, im Lauf der Zeit zerfällt. Dazu kommt aber immer auch ein physikalisch unsinniger, durch den Algorithmus bedingter Beitrag, der unaufhaltsam anwächst. Da man beim Leapfrog-Verfahren zwei Startwerte vorgeben muß, nämlich z.b. u (0) und u ( 1), könnte man hier immer noch versuchen, u ( 1) so zu wählen, daß B = 0. Die störende Komponente proportional zu λ kann aber auch später, durch Rundungsfehler, jederzeit spontan auftreten und die numerische Lösung zerstören. Außerdem kann man im allgemeinen Fall natürlich die numerische Lösung nicht in geschlossener Form angeben und ist daher bezüglich u ( 1) ohnehin auf Schätzwerte angewiesen, etwa mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung hinreichend hoher Ordnung, u ( 1) u (0) t u (0) + t ü(0). (.83) (Die höheren Ableitungen von u können durch weiteres Differenzieren aus der ursprünglichen Differentialgleichung gewonnen werden.).4. Der Harmonische Oszillator Die Bewegungsgleichung für den Harmonischen Oszillator lautet mẍ = mω x, (.84) wobei m die Masse und ω die Kreisfrequenz ist. Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung ist äquivalent zu einem System von gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung für den Ort x und die Geschwindigkeit v v = ω x, ẋ = v. (.85)

21 .4. BEISPIELE 39 Dazu gehören noch Anfangsbedingungen x (0) = x(0) und v (0) = v(0). Fassen wir x und v zu einem Vektor ( ) v u = x (.86) zusammen, so können wir Gl. (.85) auch in der zu Beginn von Kap..3 eingeführten allgemeinen Form, u = Lu, schreiben, wobei L der Differentialoperator L = 0 ω 1 0 (.87) (.88) ist. Eine besonders elegante Behandlung des Harmonischen Oszillators ergibt sich, wenn man Ort und Geschwindigkeit als Komponenten einer komplexen Koordinate z = x + iv/ω (.89) interpretiert. Als Bewegungsgleichung erhält man dann nämlich ż = ẋ + i v/ω = v + i( ω x)/ω = v iωx = iω(x + iv/ω), (.90) also ż = iωz, (.91) mit der Anfangsbedingung z(0) = x(0) + iv(0)/ω. Die analytische Lösung, z(t) = e iωt z(0), (.9) stellt eine Bewegung auf einer Kreisbahn in der komplexen Ebene (bzw. im Phasenraum mit den Achsen x und v/ω) dar. Daß die Trajektorie im Phasenraum auf einem Kreis verläuft, ist nichts anderes als ein Ausdruck für die Energieerhaltung, denn z(t) z(0), z = x + v ω = [ ] m mω v + mω x (.93) (.94) ist proportional zur Gesamtenergie des Oszillators. Wir betrachten nun wieder verschiedene numerische Verfahren zur Lösung von Gl (.85).

22 40 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Explizites Euler-Verfahren Um auch ein Beispiel für die Behandlung von Systemen von Differentialgleichungen zu geben, wenden wir das explizite Euler-Verfahren, Gl. (.9), zunächst auf die Bewegungsgleichungen in der umständlicheren Form (.85) an und erhalten v (n+1) = v (n) ω t x (n), x (n+1) = x (n) + t v (n). Da eine analoge Beziehung auch für die Rundungsfehler, ε (n) v sofort auch die Verstärkungsmatrix G ablesen G = 1 ω t t 1. (.95) und ε (n) x, gilt, können wir daraus (.96) Die Eigenwerte von G sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung, d.h. G gi = (1 g) + ω t = 0, (.97) g 1, = 1 ± iω t. (.98) Leider gilt für alle Zeitschritte t 0 g 1, = 1 + ω t > 1. (.99) Zum Unterschied von der Relaxationsgleichung ist das Verfahren hier also unbedingt instabil. Auf einem schnelleren Weg zum selben Ergebnis gelangt man durch die komplexe Schreibweise. Das Euler-Verfahren führt hier sofort auf z (n+1) = z (n) iω t z (n) = (1 iω t) z (n) (.100) und den (skalaren) Verstärkungsfaktor g = 1 iω t, g = 1 + ω t, (.101) (.10) was ebenfalls die Instabilität beweist. Aus der geschlossenen Form der Lösung, z (n) = (1 iω t) n z (0), (.103) sieht man wegen 1 iω t > 1, daß die Phasenraumtrajektorien nicht Kreise, sondern expandierende Spiralbahnen sind, auf denen die Energie kontinuierlich zunimmt.

23 .4. BEISPIELE 41 Implizites Euler-Verfahren Die implizite Version des Euler-Verfahrens, Gl. (.30), lautet in komplexer Schreibweise z (n+1) = z (n) iω t z (n+1) (.104) und nach z (n+1) aufgelöst, z (n+1) = iω t z(n). Der Verstärkungsfaktor ist mit g = g = iω t, ω t < 1, falls t 0. Das Verfahren ist daher unbedingt stabil. Aus z (n) = 1 (1 + iω t) n z(0) (.105) (.106) (.107) (.108) sieht man jedoch, daß die Phasenraumtrajektorien nun kontrahierende Spiralen sind und der Oszillator im Lauf der Zeit systematisch Energie verliert. Für eine Integration der Bewegungsgleichung über einen längeren Zeitraum ist also das implizite Euler-Verfahren nur bei hinreichend kleinem Zeitschritt geeignet. Implizites Verfahren zweiter Ordnung Das implizite Verfahren zweiter Ordnung, Gl. (.35), angewandt auf den Harmonischen Oszillator, ergibt das Schema z (n+1) = z (n) iω t bzw. aufgelöst [ z (n) + z (n+1)], (.109) z (n+1) = 1 iω t/ 1 + iω t/ z(n). (.110) Der Verstärkungsfaktor ist daher und erfüllt g = 1 iω t/ 1 + iω t/ g = 1 + ω t /4 1 + ω t /4 (.111) 1, (.11)

24 4 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN sodaß auch dieses Verfahren unbedingt stabil ist. Aus der expliziten Formel, z (n) = [ ] n 1 iω t/ z (0), (.113) 1 + iω t/ sehen wir außerdem, da der Faktor in der Klammer den Betrag eins hat, daß dieses Verfahren beim Harmonischen Oszillator exakt die Energie erhält. Der einzige Unterschied zur analytischen Lösung der Differentialgleichung besteht darin, daß die Kreisbahn im Phasenraum nicht mit der Winkelgeschwindigkeit ω, sondern, je nach dem Wert von t, mit einer davon leicht verschiedenen (kleineren) Geschwindigkeit ω eff = 1 t arctan ω t 1 ω t /4 (.114) durchlaufen wird. Verfahren mit Hilfsschritt Wir berechnen gemäß Gl. (.37) zunächst den Hilfsschritt, z (n+ 1 ) = z (n) iω t und setzen ihn in z (n), (.115) z (n+1) = z (n) iω t z (n+ 1 ) (.116) ein. Das ergibt z (n+1) = Für den Verstärkungsfaktor, [1 iω t 1 ω t ] z (n). (.117) gilt jedoch g = 1 iω t 1 ω t, (.118) g = ω4 t 4 > 1. (.119) Das Verfahren ist daher beim Harmonischen Oszillator unbedingt instabil. Aus der Tatsache, daß g > 1 ist, folgt wie beim expliziten Euler-Verfahren, daß die Phasenraumtrajektorien statt Kreisen expandierende Spiralen sind und die Energie im Lauf der Zeit exponentiell zunimmt.

25 .4. BEISPIELE 43 Leapfrog-Verfahren Der allgemeine Integrationsschritt mit dem Leapfrog-Verfahren, Gl. (.40), hat beim Harmonischen Oszillator die Gestalt z (n+1) = z (n 1) iω t z (n). (.10) Zur Berechnung des Verstärkungsfaktors machen wir wieder den Ansatz ε (n) g n (.11) und erhalten nach Einsetzen in die Rekursion die quadratische Gleichung g + iω t g 1 = 0 (.1) mit den Lösungen g 1, = iω t ± ω t + 1. (.13) Wenn hier die Wurzel reell ist, d.h. ω t 1 (.14) (andernfalls ist ohnehin für mindestens eine Lösung g > 1), dann gilt g 1, = ω t + [ ω t + 1 ] 1. (.15) Das Verfahren ist also bei hinreichend kleinem Zeitschritt bedingt stabil. Sowohl die Trajektorie als auch die Rundungsfehler und Fehler in den Anfangsbedingungen (s. unten) bleiben beschränkt. Da das Leapfrog-Verfahren wegen der Notwendigkeit, einen zusätzlichen Startwert zu spezifizieren, sehr empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt, wollen wir die numerische Lösung näher untersuchen. Die Rekursion (.10) löst man, genau wie bei der Relaxationsgleichung, mit dem Ansatz z (n) λ n, (.16) der nach Einsetzen in Gl. (.10) auf eine quadratische Gleichung mit den Wurzeln führt. λ 1, = iω t ± 1 ω t (.17)

26 44 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN Im λ Re λ λ λ 1 Abbildung.9: Phasenfaktoren beim Leapfrog-Verfahren. Die allgemeine Lösung ist daher wieder eine Linearkombination, z (n) = [z (0) B]λ n 1 + Bλ n. (.18) Falls man durch geschickte Wahl des zusätzlichen Startwerts (z.b. z ( 1) ) erreichen könnte, daß der Parameter B verschwindet, hätte man als Lösung einfach z (n) = z (0) λ n 1. (.19) Das ist, da λ 1 = 1 und arg λ 1 ω t, die physikalisch korrekte Lösung, nämlich Bewegung auf einer exakten Kreisbahn mit annähernd der richtigen Winkelgeschwindigkeit ω. In der Praxis ist dieser Lösung aber immer ein kleiner Anteil der zweiten Komponente, B 0, beigemischt, die wegen λ = 1 ebenfalls eine Kreisbewegung mit beschränkter Amplitude, aber sehr hoher Frequenz beschreibt (arg λ π, s. Abb..9). Insgesamt führt die numerische Lösung also eine Art Epizykelbewegung um die analytische Lösung der Differentialgleichung aus..4.3 Zusammenfassung Tabelle.1 faßt unsere Beobachtungen über die Stabilität der verschiedenen Integrationsverfahren nochmals zusammen. Abgesehen davon, daß implizite Verfahren immer stabil sein dürften, scheinen sich explizite Verfahren eher für Gleichungen vom Zerfallstyp zu eignen. Eine wichtige Ausnahme bildet das Leapfrog-Verfahren, das wiederum nur für Gleichungen mit oszillierenden Lösungen brauchbar erscheint. Man wird daher im gegebenen Fall immer nachprüfen müssen, ob sich ein zur Lösung einer bestimmten Differentialgleichung vorgeschlagenes Verfahren auch wirklich dafür eignet.

27 .4. BEISPIELE 45 Methode Ordnung Zerfallsgleichung Harmonischer Oszillator Euler explizit t t/ instabil Euler implizit t stabil stabil Implizites Verfahren. Ordnung t stabil stabil Verfahren mit Hilfsschritt t t/ instabil Leapfrog t instabil ω t 1 Tabelle.1: Stabilität verschiedener Integrationsverfahren.

28 46 KAPITEL. DIFFERENZENGLEICHUNGEN