Elektronik Im Versuch Elektronik ging es um den ersten Kontakt mit elektronischen Instrumenten und Schaltungen. Zu diesem Zweck haben wir aus Widerständen, Kondensatoren und Spulen verschiedene Schaltungen gebaut (Spannungsteiler, Filter, Schwingkreise), welche wir mit verschiedenen Stromarten (aus einem Funktionsgenerator) betrieben und mit einem Oszilloskop untersuchten. Durchgeführt von Linus Becker Katrin Niedermann Assistenz: Sergei Kühn Zürich, den 9.4.25 1
Theorie Die elektrische Spannung zwischen zwei Punkten (Potentialdifferenz) ist die Energie, um eine positive Ladung vom elektronegativeren zum elektropositiveren Punkt zu bewegen. Ihre Einheit ist das Volt. Der Strom ist die Flussgeschwindigkeit von elektrischer Ladung pro Zeit an einem bestimmten Ort, die Einheit ist das Ampère. Bei Gleichstrom (DC) ist die Amplitude der Spannung über die Zeit unverändert, während bei Wechselstrom (AC) die Amplitude zeitlich periodisch ändert, z.b. sinus- oder rechteckförmig. Nichtsinusförmige Kurvenformen werden durch Addition von Sinusfunktionen gemäss der Fouriertheorie dargestellt. Die Sinusfunktionen für Spannung und Strom sind: ω, t) = cos( ωt + ϕ ) ( I ω, t) = I cos( ωt + ϕ ). ( I (1) (2) und I sind die Amplituden, ω die Kreisfrequenz und ϕ die Phasen der Spannung resp. des Stroms. Die Kreisfrequenz ω ist mit der Frequenz f verknüpft: ω = 2πf. (3) Die allgemeine Darstellungsform für Spannung und Strom werden als komplexe Grössen geschrieben: ( ω, t) = exp( iωt). I( ω, t) = I exp( iωt). (4) (5) An jedem Knotenpunkt einer elektronischen Schaltung (Verzweigung) fliesst gleichviel Ladung zu, wie ab (Knotenregel): i I i =. (6) Die Spannung zwischen zwei Punkten in einer Schaltung ist wegunabhängig (Maschenregel): i i =. (7) Beim ohmschen Widerstand ist der Strom proportional zu angelegten Spannung: = RI. (8) R ist der Widerstand mit der Einheit Ω (Ohm) = VA -1. Widerstände können in Serie oder parallel angeordnet werden, es gilt für den Gesamtwiderstand: R seriell = R i. (9) i 2
1 1 = R parallel R i i. (1) Eine Kapazität (Kondensator) ist ein Schaltelement, welches bei der angelegten Spannung die Ladung Q speichert. Die Kapazität C hat die Einheit F (Farad) = AsV -1. Q = C. (11) In einer Induktivität (Spule) ist die zeitliche Ableitung des Stroms proportional zu angelegten Spannung. Die Induktivität L hat die Einheit H (Henry) = VsA -1. ( t) = iωli ( t). (12) Das frequenzabhängige Verhältnis einer analogen Schaltung zwischen Ausgangs- und Eingangsspannung gibt die Spannungsübertragungsfunktion G(ω) an. A ( ω) G ( ω) =. (13) ( ω) Mit der Grenzfrequenz f g (3 db Punkt) bezeichnet man die Frequenz, bei welcher die 2 Ausgangsintensität auf die Hälfte abgenommen hat. A E 3
Versuche Apparaturen Ein Multifunktionsgerät METEX MS-915 diente zur Spannunsgversorgung, als digitales Multimeter, als Funktionsgenerator und Frequenzzähler. Ein KIKSI DSS-54 Oszilloskop für die Darstellung von Spannungskurven und das (analoge) Auslesen von Amplitude, Frequenz und Phase. Die Schaltungen wurden mit Elektronikmodulen der Lehrwerkstätte Bern aufgebaut. Spannungsteiler, Gleichspannung Ein Spannungsteiler wurde nach folgendem Schaltplan gebaut: Abb. 1 Spannungsteiler. Es wurde eine Gleichspannung von E = 1 V angelegt. Vorgegeben wurde Widerstand R 1 =1 kω und A =.91 V. R 2 wurde berechnet nach: ( A R2 = R1 ) = 1. kω. (14) E A Die Spannungen über den Widerständen wurden mit dem Multimeter gemessen: 1 = 9.7 V (Spannung über R 1, berechnet:.83v) 2 = A =.91 V (Spannung über R 2, berechnet:.83 V) Durch hinzufügen eines dritten Widerstandes R 3 kann die Ausgangsspannung bei sonst gleich bleibenden Widerständen R 1 und R 2, und gleicher Eingangsspannung E erhöht, resp. erniedrigt werden. m die Ausgangsspannung zu erhöhen wurde R 3 (1kΩ) parallel zu R 1 geschaltet, um sie zu erniedrigen parallel zu R 2. Abb. 2 Spannungsteiler mit höherer Ausgangsspannung (R 3 parallel zu R 1 ). Ausgangsspannung A = 1.68 V (berechnet A = 1.67 V). 4
Abb. 3 Spannungsteiler mit niedrigerer Ausgangsspannung (R 3 parallel zu R 1 ). Ausgangsspannung A =.84 V (berechnet A =.83 V). Spannungsteiler, Wechselspannung An den Spannungsteiler wurde nun eine Wechselspannung mit Amplitude E = ± 5V und einer Frequenz ω = 19.91 Hz angelegt (für die restlichen Versuche wird nur noch mit Wechselstrom gearbeitet). Auf dem Oszilloskop (im Dual Modus, mit Storage Schalter, Triggerimpuls vom Funktionsgenerator) wurden A (am CH1) und E (am CH2) betrachtet. Die Phasendifferenz wurde als bestimmt, die Amplitude von A =.46 V gemessen (berechnet.45 V). RC-Tiefpass Ein RC-Tiefpass dämpft hohe Frequenzen, und lässt niedrige Frequenzen und Gleichstrom passieren. Nach folgendem Schaltplan wurde ein RC-Tiefpass gebaut: Abb. 4 RC-Tiefpass mit Oszilloskop. R = 1 kω, C = 1 nf, E = ± 5V. Bei verschiedenen Frequenzen der Eingangsspannung wurde auf dem Oszilloskop (Dual Modus, getriggert über das TTL Signal des Funktionsgenerators) die Amplituden und die Phasenverschiebung der Ausgangsspannung abgelesen und das frequenzabhängige Verhalten des RC-Tiefpasses gezeigt. 5
1.2 1.8 G(f).6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequenz / Hz Fig. 1 Frequenzabhängige Spannung über dem Kondensator. 1 9 8 7 Phase / Grad 6 5 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 Frequenz / Hz Fig. 2 Frequenzabhängige Phasengang. Der 3-dB-Punkt ist die Frequenz, bei welcher gilt: 1 A = E. (15) 2 Er wurde bei 134.9 Hz gemessen (berechnet 159.15 Hz). 6
m die Lade-/ Entladekurve des RC-Gliedes zu bestimmen, wurde für E eine Rechtecksspannung mit kleiner Frequenz gewählt, und das Verhalten der Ausgangspannung betrachtet. Die Funktion ist von der Form: t C ( t) = C, exp( ). (16) τ m den Faktor τ zu bestimmen, lässt sich die Spannung logarithmisch gegen die Zeit auftragen: 1 C ( t) t = ln( ). (17) τ C, 1.2 1.8 G(f).6.4.2 1 2 3 4 5 6 Zeit / ms Fig. 3 Entladekurve des RC-Gliedes. m den Faktor τ mit einer linearen Regression zu bestimmen, lässt sich die Spannung logarithmisch gegen die Zeit auftragen: 1 C ( t) t = ln( ) (18) τ τ wurde zu (89±2) * 1-5 s bestimmt. C, 7
CR-Hochpass Ein CR-Hochpass dämpft tiefe Frequenzen und lässt hohe Frequenzen passieren. Nach folgendem Schaltplan wurde ein CR-Hochpass gebaut: Abb. 5 CR-Hochpass (mit Oszilloskop). R = 1 kω, C = 1 nf, E = ±5 V. Mit konstanter Eingangsspannung und variablen Frequenzen wurden mit dem Oszilloskop (getriggert über das TTL Signal des Funktionsgenerators) die Phasenverschiebung und die Spannung über dem Widerstand gemessen. 1.2 1.8 G(f).6.4.2 5 1 15 2 25 Frequenz / Hz Fig. 4 Frequenzabhängige Spannung über dem Kondensator. 8
-1 Frequenz / Hz 5 1 15 2 25-2 Phasenverschiebung / Grad -3-4 -5-6 -7-8 -9-1 Fig. 5 Frequenzabhängiger Phasengang des CR-Hochpasses. Der 3-dB Punkt für den CR-Hochpass wurde bei 1.764 khz gemessen (berechnet 1.591 khz). Angestossene gedämpfte Schwingung Ein elektrischer Serienschwingkreis wurde gemäss Schaltplan gebaut. Abb. 6 Serienschwingkreis (mit Oszilloskop). Die Resonanzfrequenz sollte zwischen 1-1 khz liegen. Die Induktivität der Spule betrug 2.1 mh, dazu sollte ein passender Kondensator berechnet werden: 2 ( f Re s 2π ) C =. (19) L 9
Es wurde eine Kapazität C = 1 nf gewählt, welche zu einer theoretischen Resonanzfrequenz von 34.73 khz führt. Über einen Widerstand von 1 Ω wurde eine Rechteckspannung (5 V) angelegt. Mit dem Oszilloskop wurde die Periode T einer Resonanzschwingung abgelesen, sie betrug 3.2*1-5 s. Mit f Res = T -1 entspricht dies einer Resonanzfrequenz von 31.3 khz. Bei einem Widerstand von 1 kω war keine Dämfpungsschwingung mehr sichtbar, da die Dämpfung sehr gross war, die Ausgangsspannung hat sich exponentiell der Eingangsspannung angenähert.. Wenn zusätzlich die Kapazität von 1 nf nach 1 nf verringert wurde, war eine Dämpfungsschwingung sichtbar, jedoch keine ganze Periode. Erzwungene gedämpfte Schwingung mit induktiver Kopplung Gemäss Schaltplan wurde ein induktiv gekoppelter Schwingkreis gebaut. Mit zwei gekoppelten Spulen mit L 1 = 25.1 µh und L 2 =.63 mh. Die Resonanzfrequenz sollte zwischen 1 khz und 1 khz liegen. Mit Gleichung (19) wurde der Kondensator zu 1 nf berechnet. Die berechnete Resonanz beträgt somit 63.4kHz. Abb. 7 Serienschwingkreis mit induktiver Kopplung (mit Oszilloskop). Über einen Vorwiderstand von R 1 = 1 kω wurde der Schwingkreis induktiv angeregt. Bei einer Rechteckspannung von E = 5 V wurde die Periode der Ausgangschwingung bestimmt. Sie betrug 14.2 µs, dies entspricht einer Schwingungsfrequenz von f Res = 7.4 khz. Im x-y- Modus des Oszilloskops wurden Lissajous-Figuren um die Resonanzfrequenz betrachtet. m die Durchlasskurve und das Phasenverhalten der Resonanz zu bestimmen, wurde am induktiv gekoppelten Schwingkreis Sinus-Wechselspannung angelegt. Bei verschiedenen Frequenzen wurden die Phasenverschiebung und die Amplitude über dem Kondensator gemessen. 1
1 8 6 4 Verschiebung / Grad 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-2 -4-6 -8-1 -12 Frequenz / khz Fig. 6 Frequenzabhängige Verschiebung des induktiv gekoppelten Serienschwingkreis. Diskussion Spannungsteiler, Gleichspannung Die berechnete und die gemessene Spannung A stimmen im Rahmen der Fertigungsgenauigkeit von Widerständen (etwa 2% Abweichung) gut überein. Die Messresultate konnten einfach am digitalen Multimeter abgelesen werden. Spannungsteiler, Wechselspannung Gemessene und theoretische Ausgangsspannung stimmt recht gut überein. Die Ausgangsspannung wurde mit dem Oszilloskop bestimmt. RC-Tiefpass Obwohl leider zu wenige Messungen bei höheren Frequenzen durchgeführt wurden, ist aus der Abbildung 5 gut ersichtlich, wie die Frequenzabhängige Spannung über dem Kondensator mit steigender Frequenz exponentiell abnimmt. Der Tiefpass lässt, wie der Name sagt, tiefere Frequenzen passieren, d.h. die Spannungsübertragungsfunktion G(f) fällt von 1 gegen. In der gleichen Messserie wurde jeweils nicht nur die Amplitude der Ausgangsspannung, sondern auch die Zeitverschiebung zur Eingangsspannung gemessen. Daher haben wir leider 11
auch für den Frequenzabhängigen Phasengang zuwenig Messpunkte im hohen Frequenzbereich. mτ, die charakteristische Grösse der Entladekurve, zu bestimmen, wurden die Spannungswerte logarithmiert und gegen die Zeitverschiebung aufgetragen, die Steigung der angepassten Gerade entspricht -1/τ. Für die Regression wurde ein Ausreisser weggelassen. CR-Hochpass Die Auftragung der Frequenzabhängigen Spannung über dem Kondensator (Fig. 4) zeigt gut das typische Verhalten eines Hochpasses: Spannungen von niedrigerer Frequenz werden blockiert, solche von höherer Frequenz können passieren. Leider zeigt der Frequenzabhängige Phasengang (Fig. 5) einen Ausreisser. Schwingkreise Die Resonanzfrequenzen der beiden Schwingkreise stimmen etwa mit 1% Genauigkeit mit den theoretischen überein. Die Betrachtung der Lissajous Figuren stellt eine gute Methode dar, um die Resonanzfrequenzen auszulesen. Wird eine Diagonale anstatt einer Ellipse gezeigt, hat man die Resonanzfrequenz eingestellt. Literatur Meister, E. Grundpraktikum Physikalische Chemie: Theorie und Experimente, vdf, Zürich, 23, S. 257ff. Hugel, J. Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen, Teubner, Stuttgart, 1998. 12
Anhang Der Anhang enthält die Messdaten und die daraus abgeleiteten Werte. RC-Tiefpass Frequenz / Hz a / V G(w) = a/e Phase / ms Phase / Grad 1.2 4.9.98 19.51 4.8.96 1 7.236 5 4.5.9.8 14.4 5.69 4.2.84.8 14.59872 1.48 3.8.76.9 32.55552 15.58 3.4.68.7 37.94616 15.52.14.17 91.8 Messdaten (Frequenz, Spannung und Phase) und berechnete Daten für den RC-Tiefpass. Lineare Regression für die Entladekurve des RC Tiefpasses Delta T / ms c / V Delta T / s LN (c) 9.6 2.2617631.5 5.4.5 1.68639895.8 4.8 1.38629436 1 3.2.1 1.1631581 1.4 2.14.69314718 2 1.2 2.5.6.25 -.5182562 Aus der Entladekurve ausgelesene Parameter (Delta T und c), ein Ausreisser (s.u.) wurde weggelassen. 13
2.5 2 1.5 1 Ln(c).5.5 1 1.5 2 2.5 3 -.5-1 -1.5 Zeit / ms Fig. 7 Linearisierte Datenpunkte der Entladekurve (für die Regression wurde der Ausreisser verworfen). Regressions-Statistik Multipler Korrelationskoeffizient.9998976 Bestimmtheitsmaß.999619448 Standardfehler.2647174 Beobachtungen 7 Koeffizienten Standardfehler ntere 95% Obere 95% Schnittpunkt 2.26177457.1382263 2.22624236 2.2973679 X Variable 1-1116.15771 9.73935693-1141.19353-191.1219 Geradengleichung: Y=-1116.2 + 2.26 τ 1 = =.89593 1 s, 95% Vertrauensintervall = 1.993 *1-5. X Variable CR-Hochpass Delta T / ms Spannung / V Frequenz / Hz G = A/E Phasenverschiebung / Grad -1.2.35 119.6.7-51.6672-1.3.6 2.19.12-93.68892 -.26 2 71.1.4-66.46536 -.16 2.5 1.5-57.6 -.5 3.7 22.74-36.36 -.1 4.6 54.92-18.144 -.2 5 1521 1-1.9512 -.1 5 22 1-7.272 Messdaten (Delta T, Spannung, Frequenz) und daraus abgeleitete Grössen für den CR-Hochpass. 14
Erzwungene gedämpfte Schwingung mit induktiver Kopplung Frequenz / khz Verschiebung / ms Verschiebung / Grad 37.2 -.7-93.3 41.4 -.6-89.4 49.9 -.48-86.2 6.46 -.36-78.4 7.5.55 14. 8.19.26 75.1 93.17.24 8.5 Messdaten (Verschiebung und Frequenz) für den CR-Hochpass. Antworten zu den Quizfragen Ohmsches Gesetz: = R*I. Für Wechselspannungen: Spannung und Strom müssen nicht in Phase sein -> Ohmsches Gesetz für komplexe Ströme (ω,t) = Z*I(ω,t) (Z: komplexer Widerstand). Man rechnet komplex: cos(ω,t) wird zu Re{ exp e iωt }. Die Realteile der Ausdrücke geben wieder die tatsächlich gemessene Spannung. Man misst (t) und I(t), der Betrag des komplexen Widerstandes Z=(t)/I(t) ist Z = 2 2 Im{ Z} Re{ Z} + Im{ Z} und die Phaseφ = arctan. Re{ Z} Mit dem Ohmschen Gesetz: E = (R 1 + R 2 )*I, 1 = R 1 *I -> E / (R 1 +R 2 ) = 1 /R 1 -> 1 = E *R 1 /(R 1 +R 2 ) analog für die Spannung über R 2 : 2 = E *R 2 /(R 1 +R 2 ) Ein Knoten: ein Stromverzweigungspunkt. Eine Masche: ein in sich geschlossener Stromkreis (kann elektr. Bauteile enthalten) I 1 +I 2 +I 3 = (Knotenregel), 2-3 =, 1 + 2 = E Der Gesamtwiderstand ist R 1 +(1/R 2 +1/R 3 ) -1 Nichts, denn die Knoten- und Maschenregeln gelten für Gleich- und Wechselströme Ein Vierpol hat 4 Anschlüsse, 2 werden als Eingang und 2 als Ausgang bezeichnet. Sein frequenzabhängiges Verhalten beschreibt die Spannungsübertragungsfunktion, d.h. das Verhältnis zw. Eingangs- und Ausgangsspannung. A ( ω) E G ( ω) =, A =, demnach ist G( ω ) = irωc. E ( ω) irωc E K R iω L iωl, demnach ist K = E. + iωl R 15