Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg
Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 + x 2 = 2 x 1 + x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 1 2x 1 + 2x 2 = 2 78
Lineare : Einführung Beispiele linearer } 2x a) 1 3x 2 = 1 x x 1 + x 2 = 2 1 = x 2 = 1 } x b) 1 + x 2 = 4 L = x 1 + x 2 = 2 } x c) 1 x 2 = 1 unendlich viele Lösungen 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen 78
Lineare : Einführung Beispiele linearer } 2x a) 1 3x 2 = 1 x x 1 + x 2 = 2 1 = x 2 = 1 } x b) 1 + x 2 = 4 L = x 1 + x 2 = 2 } x c) 1 x 2 = 1 unendlich viele Lösungen 2x 1 + 2x 2 = 2 Probleme: System lösbar oder nicht? Verfahren zum Auffinden von Lösungen Darstellung von mehrdeutigen Lösungen Dazu gibt es: Den Gaußschen Algorithmus (erzeugt Dreiecksmatrix) das Verfahren von Gauß-Jordan (modifizierte Gauß: erzeugt Einheitsmatrix) 78
Allgemeines lineares Gleichungssystem Ein System von Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten Die a ij und b i heißen Koeffizienten des Gleichungssystems In Matrixform: Lösungsmenge: Ax = b L = {x : Ax = b} 79
Lösungsdarstellung Beispiel für Enddarstellung: x 1 + x 3 = 4 x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 7 Dabei bezeichnet: ( 1 0 1 ) 0 0 1 3 2 ( ) ( ) x E R B = b x N x 1 x 2 x 3 x 4 kann nach Basisvariablen aufgelöst werden: x 1 = 4 x 3, x 2 = 7 3x 3 2x 4 (allgemeine Lösung) In diesem Fall immer lösbar, zum Beispiel mit x N = ( x3 x 4 ) = ( ) 0 0 x B = ( x1 x 2 ) = ( ) 4 = 7 ( ) 4 7 Gesucht: Verfahren zur Überführung beliebiger in diese Form 80
Lösung von LGS Elementare Umformungen Das sind Umformungen der Koeffizientenmatrix, die die Lösung nicht verändern Erlaubt ist Multiplikation einer Zeile mit beliebigen Zahlen c 0 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen von Zeilen oder Spalten Lösungsalgorithmus Lösung mit Verfahren von Gauß-Jordan: Systematische Umformungen nach obigem Prinzip, bis Darstellung der Koeffizientenmatrix in Einheits- und Restmatrix ensteht Algorithmus und Lösungsvarianten siehe Vorlesung 81
Invertierung von Matrizen Definition Gegeben: n n-matrix (quadratisch) Existiert eine n n-matrix X mit AX = XA = E, so heißt X die zu A inverse Matrix Schreibweise: X = A 1 AA 1 = A 1 A = E Inverse Matrizen und Falls A 1 existiert, gilt: Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ex = x = A 1 b Damit existiert genau eine Lösung und zwar: x = A 1 b 82
LGS und Orthogonalität Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus: Ansatz: Ax + Ey = 0 A 1 Ax + A 1 Ey = 0 Ex + A 1 y = 0 Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen folgendermaßen umformen: Orthogonale Matrizen (A E) ( E A 1) Eine n n-matrix A heißt orthogonal, wenn gilt: AA T = A T A = E Bei orthogonalen Matrizen A gilt also: A 1 = A T Mit A ist damit auch A T orthogonal 83
Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Sei M = {a 1,, a n } eine n-elementige Menge Dann: jede Anordnung (a p1,, a pn ) der Elemente a 1,, a n mit {p 1,, p n } = {1,, n} heißt eine Permutation Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion Also: Ausgehend von Permutation (a 1,, a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion Beispiel Gegeben: Menge {1,2,3} 84
Determinanten: Vorüberlegung PLUS Permutationen und Inversionen Sei M = {a 1,, a n } eine n-elementige Menge Dann: jede Anordnung (a p1,, a pn ) der Elemente a 1,, a n mit {p 1,, p n } = {1,, n} heißt eine Permutation Wenn für ein Paar (a i, a j ) einerseits i < j, und andererseits p i > p j, gilt: Inversion Also: Ausgehend von Permutation (a 1,, a n ): Jede Vertauschung zweier Elemente a i und a j ist eine Inversion Beispiel Gegeben: Menge {1,2,3} Damit: Folgende 6 Permutationen: (1,2,3) ohne Inversion, (1,3,2), (2,1,3) mit je einer Inversion, (2,3,1), (3,1,2) mit je zwei Inversionen, (3,2,1) mit drei Inversionen 84
Definition Determinante PLUS Gegeben: A, eine n n-matrix Außerdem: (1,, n) sei geordnetes n-tupel der Zeilenindizes und p = (p 1,, p n) eine Permutation von (1,, n) mit v(p) Inversionen Determinante von A ist dann: Beispiele det A = p Gegeben: A als eine n n-matrix ( 1) v(p) a 1p1 a 2p2 a npn Für n = 1 gilt dann A = (a 11 ) sowie det A = det (a 11 ) = a 11 Für n = 2 enthält die Determinante 2! = 2 Summanden, nämlich: a 11 a 22 ohne Inversion und a 12 a 21 mit einer Inversion ( ) a11 a Damit: det A = det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 22 85
Determinanten von 3 3-Matrizen PLUS Beispiel: Determinante einer 3 3-Matrix Für n = 3: Determinante hat 3! = 6 Summanden, nämlich a 11 a 22 a 33 ohne Inversion, a 12 a 23 a 31 und a 13 a 21 a 32 mit zwei Inversionen, a 11 a 23 a 32 und a 12 a 21 a 33 mit einer Inversion und a 13 a 22 a 31 mit drei Inversionen Es gilt: det A = a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Einfacher zu merken: Regel von Sarrus (siehe Vorl) 86
Zahlenbeispiel Determinanten PLUS Beispiel A = ( ) 5 4, 3 2 1 2 3 B = 1 1 1, 2 1 0 1 2 1 C = 1 1 0 1 1 2 Zeigen Sie: det A = 2, det B = 6, det C = 0 87
Minor, Kofaktoren PLUS Gegeben: n n-matrix A mit n 2; Streiche Zeile i und Spalte j, Matrix mit n 1 Zeilen und n 1 Spalten: a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n a i 1,1 a i 1,j 1 a i 1,j a i 1,j+1 a i 1,n A ij = a i1 a i,j 1 a ij a i,j+1 a in a i+1,1 a i+1,j 1 a i+1,j a i+1,j+1 a i+1,n a n1 a n,j 1 a nj a n,j+1 a nn nach dem Streichen heißt diese Matrix Minor Damit kann man das algebraische Komplement oder den Kofaktor d ij zur Komponente a ij von A berechnen: { d ij = ( 1) i+j det Aij für i + j gerade det A ij = det A ij für i + j ungerade (i, j = 1,, n) 88
Kofaktoren PLUS Entwicklungssatz von Laplace Entwicklungssatz für Determinanten Gegeben: A eine n n-matrix und D die Matrix der Kofaktoren Dann gilt für n = 2,3, det A 0 0 0 det A 0 AD T = 0 0 det A Insbesondere wird mit: det A = a T i d i = a i1 d i1 + + a in d in (i=1,,n) = a jt d j = a 1j d 1j + + a nj d nj (j=1,,n) die Determinante von A nach der i-ten Zeile a T i a 1j j-ten Spalte a j = von A entwickelt a nj = (a i1,, a in ) bzw nach der 89
Beispiel: Entwicklungssatz PLUS Beispiele Zeigen Sie: 1 2 0 1 A = 2 0 0 1 1 1 2 0 det A = 5 0 3 1 1 1 2 1 3 B = 0 1 2 0 2 0 0 0 det B = 0 1 1 1 1 90