Vorlesung Statistik, H&A Mathe, Master M

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber von Firma A angenommen wird ist P(A) = 0,2. Die Wahrscheinlichkeit von Firma B angenommen zu werden beträgt P(B) = 0,3. Von mindestens einer der beiden Firmen wird man mit der Wahrscheinlichkeit 0, 4 angenommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, von keiner der beiden Firmen eine Zusage zu erhalten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ausschließlich von Firma B eine Zusage zu bekommen? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 1

Wo bekommen wir diese gegebenen Wahrscheinlichkeiten her? Dafür gibt es zwei Möglichkeiten: in Glücksspielen oder Laplace Versuchen: Wahrscheinlichkeiten können exakt als Chance des Durchführung von V ermittelt werden Eintretens von A bei die Wahrscheinlichkeit P(A) kann mit Hilfe der beobachteten relativen Häufigkeit h n(a) abgeschätzt werden: > Stabilität der relativen Häufigkeit Das bedeutet: macht man den Versuchsumfang n sehr groß (ideal: ), so pegelt sich die relative Häufigkeit stets auf den selben festen Wert ein, und zwar auf P(A). Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 2

Experiment A 1 2 3 4 5 6 h n (A) 13 19 18 14 20 16 Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 3

P(A) = 1/6 > P(A) P(A) = 1/6 ~ 0,167 bedeutet auch, > P(A) Umgekehrt liefert eine beobachtete relative Häufigkeit einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Ereignisses. Je größer dabei n ist, desto genauer ist dieser Schätzwert für P(A). Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 4

Beispiel: Sei B i das Ereignis B i = Bauelement B i ist O.K, i=1,...3. G sei das in folgender Skizze dargestellte Gerät: Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert, wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren. Es sei folgendes bekannt: 5 % aller Bauelemente vom Typ B 1 sind defekt bei 90% aller Geräte sind sowohl B 2 als auch B 3 OK bei 87% aller Geräte sind alle 3 Bauelemente B 1,B 2, B 3 OK. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass G funktioniert und wieviel % aller Geräte sind defekt? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 5

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1.2 Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff Laplace Versuche Wahrscheinlichkeiten in Glücksspielen endlich viele, gleichwahrscheinliche Versuchsausgänge Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit 1. 2. Dann heißt V Laplace Versuch oder Glücksspiel. Satz: (Klassische Wahrscheinlichkeit in Laplace Versuchen) Sei V ein Laplace Versuch mit der Grundmenge Dann gilt: 1. 2. Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 7

Bsp.: Spielregeln: Ziehen einer zufälligen Zahl zwischen 1 und 50 (inkl.) Einsatz: 5 Ist die Zahl durch 6 oder 8 teilbar, so gewinnt man 20 Frage: Würden Sie dieses Spiel spielen? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 8

Kombinatorik Bsp.: V = Werfen mit 2 Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für a) Genau eine Sechs wird geworfen b) Mindestens eine Sechs wird geworfen c) Höchstens eine Sechs wird geworfen Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 9

Bsp.: Ein Los von 200 LED s enthält 120 rote und 80 grüne LED s. Von den roten LED s haben die Hälfte eine dreieckige Form, die anderen sind rund. Insgesamt gibt es 110 dreieckige LED s unter allen 200 Stück. Aus dem Los der 200 LED s wird zufällig eine (zur Qualitätskontrolle) herausgezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, a) dass sie rot ist, b) dass sie eine runde rote oder eine grüne ist, c) dass sie grün ist, d) dass sie grün und dreieckig ist. rot grün rund dreieckig Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 11

Bsp.: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A = 6 Richtige beim Lotto 6 aus 49? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 12

Bsp.: Ein Zahlencode besteht aus 6 Ziffern, die jeweils zwischen 1 und 9 (inkl.) liegen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Code zu erraten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Code zu erraten, wenn bekannt ist, dass alle Ziffern verschieden sind? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 13

1.3.1 Die bedingte Wahrscheinlichkeit Bsp.: Ziehen aus einer Urne: nacheinander und ohne Zurücklegen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür: a) beim ersten Zug eine rote Kugel zu ziehen? b) beim ersten Zug eine grüne Kugel zu ziehen? c) beim zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen? d) beim zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, falls beim ersten Zug eine grüne Kugel gezogen wurde? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 14

Bsp.: Werfen eines Spielwürfels. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) eine Sechs geworfen wurde? b) eine Sechs geworfen wurde, falls wir folgende Zusatzinfo erhalten: es wurde eine gerade Zahl geworfen? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 15

Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld. Seien zwei beliebige Ereignisse zu V mit P(B)>0. Dann heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 16

Verbundwahrscheinlichkeiten Multiplikationssatz: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ereignisfeld. Seien beliebige Ereignisse. Dann gilt: und dem Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 19

Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Bsp.: Werfen eines Spielwürfels 2x hintereinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) beim zweiten Mal eine Sechs geworfen wurde? b) beim zweiten Mal eine Sechs geworfen wurde, falls wir folgende Zusatzinfo erhalten: es wurde beim ersten Wurf eine Fünf geworfen? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 22

Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Definition Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, falls gilt: Folgerung: Seien A und B stochastisch unabhängig, dann gelten folgende Beziehungen: Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 23

Satz der Totalen Wahrscheinlichkeit und Bayes'sche Formel Vollständiges Ereignissystem Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld. Eine Menge von Ereignissen heißt vollständiges Ereignissystem in, falls gilt: a) für i j b) Beispiel: V = "Werfen eines Würfels" Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 28

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Bsp. Ein Produkt wird von 3 versch. Maschinen hergestellt. Maschine 1 produziert die Hälfte, Maschine 2 und 3 jeweils 1/4 der Gesamtproduktion. Außerdem ist bekannt, dass von Maschine 1 1% aller fehlerhaften Teile stammen, von Maschine 2 2% und von Maschine 3 3%. a) Wie groß ist der Anteil der fehlerhaften Teile an der Gesamtproduktion? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 29

Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge und dem Ereignisfeld. Sei B ein bel. Ereignis zu V und A 1, A 2,..., A n ein vollständiges Ereignissystem. Dann gilt: (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit) Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 30

b) Ich habe ein defektes Teil entdeckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses von Maschine 1 produziert wurde? Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 31

Formel von Bayes geg: P(A) und P(B A) ges: P(A B) Verallgemeinerung Prof. Dr. B. Grabowski, Melanie Kaspar 32