2. Teil: Diskrete Strukturen Kenntnis der Zahlenbereiche N, Z, Q, R, C setzen wir voraus. Axiomatische Einführung von N über Peano-Axiome. Z aus N leicht abzuleiten. Wie wird Q definiert? R ist der erste überabzählbare Zahlenbereich. Von R gelangt man zu C durch Hinzunahme von i = p 1. In N gibt es die wichtige Teilmenge der Primzahlen. Einheit 14 Folie 14.1
Halbgruppen und Monoide Sei M eine Menge und eine zweistellige Verknüpfung, d.h. : M M! M, (m, n) 7! (m, n) Man schreibt dann oft m n statt (m, n). Wenn eine assoziative Verknüpfung ist, sagen wir: (M, ) bildet eine Halbgruppe. Hierbei bedeutet assoziativ, dass 8a, b, c 2 M :(a b) c = a (b c). Wenn in einer Halbgruppe (M, ) außerdem noch ein neutrales Element existiert, d.h. ein e 2 M, fürdasa e = e a = a für alle a 2 M, dannsagenwir (M, ) bildet ein Monoid. Manchmal schreibt man auch (M,, e), um das neutrale Element herauszuheben. Einheit 14 Folie 14.2
Gruppen Wenn ein Monoid für jedes Element ein sogenanntes beidseitiges Inverses enthält, so nennen wir es eine Gruppe: (G,, e) Wir zählen noch einmal alle Bedingungen an die Gruppenstruktur auf, man nennt sie auch Gruppenaxiome: : G G! G, (g 1, g 2 ) 7! g 1 g 2 (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) für alle g 1, g 2, g 3 2 G g e = e g = g für alle g 2 G Für jedes g 2 G gibt es ein h 2 G mit g h = h g = e Gilt außerdem g h = h g für alle g, h 2 G, dannistg eine kommutative oder abelsche Gruppe. Einheit 14 Folie 14.3
Ringe und Körper Ein Ring R besteht aus einer additiven Gruppe mit neutralem Element 0, d.h. (R, +, 0) ist eine abelsche Gruppe, sowie einer zusätzlichen Operation (der Multiplikation), so dass (R,, 1) mit einem Element 1 2 R ein Monoid bildet und die Distributivgesetze gelten: a (b + c) =a b + a c und (a + b) c = a c + b c. Ein Körper K ist ein kommutativer Ring (also ein Ring, bei dem auch die Multiplikation kommutativ ist, d.h. a b = b a für alle a, b), bei dem die Menge K \{0} mit der Multiplikation ebenfalls eine Gruppe bildet, d.h. für jedes a 2 K \{0} gibt es ein Inverses b 2 K \{0}, sodassa b = b a = 1gilt. Einheit 14 Folie 14.4
Unterstrukturen Wenn X eine algebraische Struktur ist, dann ist eine Teilmenge Y X eine Unterstruktur, falls Y ebenfalls die von X geforderten Struktureigenschaften hat. So gibt es also Untergruppen in Gruppen, Untermonoide in Monoiden, Unterhalbgruppen in Halbgruppen, und natürlich auch Unterringe in Ringen und Unterkörper in Körpern. Beispiele: In der Gruppe (Z, +, 0) ist für festes n 2 N die Menge nz = {n z z 2 Z} eine Untergruppe. Im Körper R ist Q ein Unterkörper. Im Monoid aller Wörter über dem Alphabet {a, b, c} bilden die Wörter, die nur aus a s und b s bestehen, ein Untermonoid. Einheit 14 Folie 14.5
Homomorphismen Ein Homomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung. So ist z.b. ein Monoid-Homomorphismus eine Abbildung ' von einem Monoid (M 1, 1, e 1 ) in ein Monoid (M 2, 2, e 2 ) mit der Eigenschaft, dass '(m 1 m 0 )='(m) 2 '(m 0 ) und '(e 1 )=e 2 gilt. In ähnlicher Weise gibt es auch Gruppenhomomorphismen, Ringhomomorphismen und Körperhomomorphismen. Homomorphismen mit zusätzlichen Eigenschaften haben spezielle Namen: Monomorphismus (injektiver Homomorphismus), Epimorphismus (surjektiver Homomorphismus), Isomorphismus (bijektiver Homomorphismus). Einheit 14 Folie 14.6
Euklidischer Algorithmus Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers mit Euklid: function ggt (m, n) Hierbei ist m begin 0undn 0vorausgesetzt. if m = 0 then return n else return ggt (n mod m, m) fi end Man sieht leicht, dass die folgende Gleichheit gilt: ggt (n mod m, m) =ggt (m, n) Denn jeder Teiler von m und n teilt auch n mod m, undjeder Teiler von m und n mod m teilt auch n. Daraus folgt unmittelbar die Korrektheit des Algorithmus. (Die Termination des Algorithmus ist klar, da die Zahlen immer kleiner werden.) Einheit 14 Folie 14.7
Beispiele Wir illustrieren die Arbeit des Euklidischen Algorithmus bei der Berechnung des ggt von 68 und 171: 171 = 2 68 + 35 68 = 1 35 + 33 35 = 1 33 + 2 33 = 16 2 + 1 2 = 2 1 + 0 171 = 3 68 33 68 = 2 33 + 2 33 = 16 2 + 1 2 = 2 1 + 0 Rechts die Variante mit negativen Zahlen der ggt ist 1 und wird in beiden Varianten korrekt berechnet. Zur Übung berechnen wir noch ggt (210, 78): 210 = 2 78 + 54 78 = 1 54 + 24 54 = 2 24 + 6 24 = 4 6 + 0 Also: ggt (210, 78) =6 Einheit 14 Folie 14.8
Lemma von Bézout Das Lemma von Bézout besagt, dass man ggt (m, n) immer als Linearkombination von m und n darstellen kann: Lemma: Für alle m, n 2 Z existieren a, b 2 Z, sodass ggt (m, n) = am + bn Beweis: Es sei ohne Einschränkung m > n > 0. Mit Euklids Algorithmus erhalten wir Reste r 0 > r 1 > > r k,sodass r 0 = m, r 1 = n, r k = 0, r k 1 = ggt (m, n) und für alle 1 apple i < k: r i 1 = q i r i + r i+1 Damit ist r k 1 eine Linearkombination von r k 2 und r k 3,undmankann induktiv schließen, dass r k 1 auch eine Linearkombination von r 1 = n und r 0 = m ist. Da aber r k 1 = ggt (m, n) ist, erhalten wir die Behauptung. Einheit 14 Folie 14.9
Zwei Aufgaben Aufgabe 1.1: Zeige, dass log 10 (p) 62 Q für beliebige Primzahl p. Lösung: Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, log 10 (p) = a b mit a, b 2 N. Dann folgt: p b =(10 log 10 (p) ) b = 10 a = 2 a 5 a. Damit müssten sowohl 2, als auch 5 Teiler von p b, und damit von p sein, ein Widerspruch, da ja p eine Primzahl ist! Aufgabe 1.2: a) Berechne x, y 2 Z mit ggt (35, 56) =x 35 y 56. b) Und jetzt dasselbe für x, y 2 N. Bitte selbst lösen. Zur Kontrolle die Ergebnisse: 7 =( 3) 35 ( 2) 56 und 7 = 53 35 33 56. Einheit 14 Folie 14.10