Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Adam Georg Balogh Sommersemester 2017 Dr. rer. nat. habil. Adam Georg Balogh E-mail: adam-georg.balogh@h-da.de 1

Ökonomische Funktionen In der Ökonomie werden für Erklärung und Beschreibung ökonomische Sachverhalte allgemein mathematische Modelle verwendet. Allgemeine Bemerkungen: -häufig ist bei vermuteten funktionalen Zusammenhänge zwischen unterschiedlichen ökonomischen Variablen eine genau definierte Funktion nicht vorgegeben. Dann muss man einen Funktionsaudruck mit statistischen Methoden schätzen oder aus vorgegebenen Mess- bzw. Beobachtungswerten mit Hilfe von Interpolation, Approximation oder Regression eine Funktionsgleichung konstruieren. - zur qualitativen Erklärung ökonomischer Prozesse genügen häufig einfache Funktionstypen, die nur in ihren wesentlichen Eigenschaften, wie z.b. Monotonie, Krümmungsverhalten (siehe: Kurvendiskussion), mit der Realität übereinstimmen. - um mathematische Modelle anwenden zu können, ersetzt man häufig diskrete Variablen durch stetigen. Adam Georg Balogh 2

- funktionale Zusammenhänge zwischen ökonomischer Größen dürfen nicht unbedingt als kausale Ursachen/Wirkungs-Zusammenhänge interpretiert werden. Man kann zwischen ökonomischer Variablen auch dann eine Korrelation konstruieren, wenn zwischen denen inhaltlich gar keinen Zusammenhang besteht. - häufig hängt der Wert einer ökonomischen Größe gleichzeitig von mehreren unabhängigen Variablen ab. Z.B.: die Höhe des Sozialprodukts eines Volkswirtschaft hängt von Variablen, wie Arbeit, Kapital, Boden und technischer Fortschritt ab. Um solche Sachverhalte trotzdem durch Funktionen (wie y = f(x)) abbilden und in 2D graphisch darstellen zu können, betrachtet man die Variationen des Funktionwertes nur in Abhängigkeit von einer Variablen und vermutet dabei, dass alle Andere konstant bleiben. Adam Georg Balogh 3

Beispiele für ökonomische Funktionen: - Preis-Absatz-Funktion - Angebotsfunktion - Umsatzfunktion - Produktionsfunktion - Kostenfunktion - Gewinnfunktion - Konsunfunktion - usw. Adam Georg Balogh 4

Die Preis-Absatz-Funktion (Nachfragefunktion): Zusammenhang zwischen: - p Preis eines Gutes in GE/ME (Geldeinheit/Mengeneinheit) und - x nachgefragter/abgesetzter Menge eines Gutes in ME x = x(p) oder p = p(x) Umkehrfunktionen Mögliche Verläufe der Funktion: Allgemein wird angenommen, dass die Funktion streng monoton fällt (Ausnahme: Güter mit Snob-Effekt ) Adam Georg Balogh 5

Die Umsatzfunktion (Erlösfunktion, Ausgabenfunktion): Zusammenhang zwischen: - abgesetzter Gütermenge x in ME bzw. Güterpreis p in GE/ME und - Umsatz E in GE (Erlös aus der Sicht der Anbieter) Erlös = Menge x Preis, d.h. E = x p E p = x p p oder E x = x E = x p ( ) ( ) ( ) p( x) 1.) wenn p = konstans, dann, lineare Erlösfunktion die Steigung der Erlösgeraden ist der konstanten Marktpreis des Gutes Adam Georg Balogh 6

2.) falls p = konstant, sondern z.b. linear, dann erhalten wir die qudratische Erlösfunktion: Zum Beispiel: p p 2 ( x) = a b x E( x) = a x b x Parabel 2 2 ( x) = 10 1,25 x E( x) = 10x 1,25x bzw. x( p) = 8 0,8 p E( p) = 8p 0,8p Adam Georg Balogh 7

Die Kostenfunktion: Hochschule Darmstadt Zusammenhang zwischen: - x Output (Produktionsmenge, Beschäftigung) in ME und - K Gesamtkosten in GE K = K(x) und K(x) = K v (x) + K f K v (x) variable Kosten, hängen von Art und Höhe der Beschäftigung ab K f konstans, fixe Kosten, wie z.b. Miete, Abschreibungen, Zinsen, usw. k k k ( x) v f ( x) ( x) ( x) K = x K v = x Kf = x ( x) - durchschnittliche Gesamtkosten (Stückkosten) - durchschnittliche variable Kosten - durchschnittliche fixe Kosten Adam Georg Balogh 8

Beispiel: sei gegeben eine Gesamtkostenfunktion 1 3 K x = x 2x 3 Hochschule Darmstadt 2 ( ) + 10x + 72 Dann erhalten wir die Stückkosten als folgt: k k k ( x) v f ( x) ( x) ( x) K = = x K v = x Kf = = x ( x) 1 3 = 72 x x 2 1 3 2x + 10 + x 2 2x + 10 72 x Adam Georg Balogh 9

Die Gewinnfunktion: Hochschule Darmstadt Zusammenhang zwischen : - Produktionsmenge x in ME und - Betriebserfolg G in GE (Gewinn) G(x) = E(x) K(x) bzw. G(x) = xp(x) K(x) Beispiel: 1.) gegeben sei die Gesamtkostenfunktion und der Marktpreis p = const. K G ( x) = x 3 12x p = 52,50 GE ME E 2 + 60x + 98 und ( x) = 52,5 x 3 2 ( x) = E( x) K( x) = x + 12x 7,5x 98 Adam Georg Balogh 10

2.) x und p sind über die Preis-Absatz-Funktion verknüpft: p G G ( x) = 120 10x E( x) = x p( x) 2 3 2 ( x) = E( x) K( x) = 120x 10x ( x 12x + 60x + 98) 3 2 ( x) = x + 2x + 60x 98 = 120x 10x 2 Adam Georg Balogh 11

Aufgabe 1: sei gegeben eine Preis-Absatz-Funktion: p(x) = -0,1x+1600 und eine Gesamtkostenfunktion: K(x) = 900.000+600x a.) wie lautet die Gewinnfunktion? Welche Nullstellen hat sie? b.) für welche Produktmenge und bei welchem Preis ist der Gewinn maximal? c.) füllen Sie folgende Tabelle aus, stellen Sie G graphis dar und tragen Sie den Punkt des maximalen Gewinns, die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze ein: x 0 500 1.000 5.000 8.000 G(x) Adam Georg Balogh 12

Lösung: a.) G(x) = U(x) K(x) G G x x Hochschule Darmstadt ( ) = x p( x) 2 ( x) = 0,1x U x 2 ( x) = 0,1( x 10.000x + 9.000.000) 3 2 6 = 5.000± ( 5 10 ) 9 10 = 1,2 1 x 2 b.) Extrema suchen: = 1.000 = 9.000 G' und ( x) x = 5.000 p = 0,1x 2 + 1.600x + 1.000x 900.000 = 0,2x + 1.000= 0 für x 5.000 G' für x 5.000 G' Maximum bei : x M = 1.100 GE ME 5.000± 4.000 ( x) 0 monoton steigend in [ 0;5.000] ( x) 0 monoton fallend in [ 5.000; + ) = 5.000, G( x ) = 1.600.000GE M Adam Georg Balogh 13 M

c.) Graph: x 0 500 1.000 5.000 8.000 G(x) -900.000-425.000 0 1.600.000 700.050 Adam Georg Balogh 14

Aufgabe 2: Gegben sei die Kostenfunktion und die variablen Durchschnittkosten: K k 3 2 ( x) = 2x 36x + 2 ( x) = 2x 36x + 300 v 300x + 400 a.) in welchem Intervall sind die variablen Durchschnittkosten fallend, in welchem wachsend? Hat die k v (x) Funktion Extrema und wenn ja, wo? b.) hat die Funktion K einen Wendepunkt, und wenn ja, wo? Adam Georg Balogh 15

Lösung: a.) k ' v für für und lim Hochschule Darmstadt ( x) = 4x 36= 4( x 9) ' 0 x 9 gilt k v ( x) 0 monoton fallend in [ 0;9] ' x 9 gilt k v ( x) 0 monoton wachsend in [ 9; + ) ' k v ( 9) = 0 Vorzeichenwechsel bei x = 9 ( 9;138) = globales Minimum ( Monotonie) lokales Minimum bei x + k v ( x) =+ kein Maximum b.) K K ' ( x) ( x) '' = 6x = 12x 72 notwendige Bedingung für Wendepunkt : K Vorzeichenwechsel für x = 6 hinreichend. Stelle : ( 6;1336) 2 72x + 300 '' = 0 x = 6 Adam Georg Balogh 16

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