3. Wechselstrom I 3.. Erzeugung von Wechselströmen Wir betrachten wieder die eiterschleife im homogenen Magnetfeld von <9..>: Wie wir dort bereits festgestellt hatten führt ein Strom in der eiterschleife zu einem Drehmoment und schließlich zu einer Drehung. Was geschieht jedoch nun, wenn ein Drehmoment/eine Drehung aufgeprägt wird? Im rechten Schenkel der eiterschleife herrscht ein E r '-Feld d.h. r E E r E r v B r (9- ) v sin α B v B () v ist dabei die Komponente von v r, auf die es bei der Erzeugung von E r wirklich ankommt Das elektrische Feld E entspricht einer Spannung S entlang des Schenkels von s b E Mit Gl. () folgt daraus s b v sin α B () Aus <9.8.> ist bekannt, dass dies äquivalent ist zur OENTZ-Kraft auf die adungen im Schenkel 78
Die gesamte Spannung in der Schleife ist doppelt so groß. S Daraus folgt schließlich mit v ω a a b ω sin α B A b a B A ω sin α α ωt B A ω sin ωt (3) Dasselbe erhält man, wenn man den magnetischen Fluss Φ m durch die eiterschleife betrachtet: Φ m B A B A cos α Φ m B A cosωt (4) Mit dem Induktionsgesetz (Gl. (3-4)) folgt aus Gl. (4) Φ & m B A d dt cos ωt B A ω sin ωt sin ωt Kommentar: Die Spannung hat die Amplitude (3) B A ω und ändert sich mit der Frequenz ω ν π ν... Drehfrequenz der Schleife Maßeinheit: SI [ ν] s 79
Wie üblich vervielfacht sich die Spannung mit der Windungszahl der Schleife. Auch die Wechselspannungsquelle hat das Klemmenspannungs-Problem (vgl. <6..>): Erfolgt keine Stromentnahme, ist die Klemmenspannung maximal, und zwar sin ωt Bei einer Stromentnahme fällt am Innenwiderstand der Spannungsquelle ( OHMSCHE Widerstand der Spule) ein bestimmter Spannungsanteil ab, und zwar I i i Das Magnetfeld B r wird in der egel durch Stromfluss erzeugt. Meist nimmt man den selbst erzeugten Strom dazu (sog. selbsterregter Generator, sonst fremderregter Generator). Der Start erfolgt dank der estmagnetisierung (J ) des Eisenkerns 3.. Effektivwerte von Strom und Spannung... sind ein Versuch, zeitlich veränderlichen Strom/Spannung mit Gleichstrom/Gleichspannung vergleichbar zu machen. Wir betrachten die an einem OHMschen Widerstand umgesetzte eistung sin ωt (3) I sin ωt (5) Wie wir später noch sehen werden, geht die einfache Berechnung des Wechselstromes in dieser Form nur beim OHMschen Widerstand Für die eistung P I (6-4) folgt mit Gl. (3) und (5) P sin ωt Mit Effektivwert von Spannung/Strom sind nun diejenigen Gleichspannungs-/Gleichstromwerte gemeint, die im zeitlichen Mittel dieselbe eistung umsetzen, also (6) P sin ωt zeitl. Mittel (7) 8
nter Verwendung des Additionstheorems sin α cos α (8) berechnet sich das zeitliche Mittel zu sin ωt zeitl. Mittel cos ωt zeitl. Mittel Dabei ist ( cos ωt) zeitl. Mittel und es folgt sin ωt zeitl. Mittel (9) Also ergibt sich für den Effektivwert:,7 () 8
Die Angabe V Wechselspannung ist die eines Effektivwertes. Sie bedeutet: Es herrscht eine Sinusspannung mit V 3 V - die einer Effektivgleichspannung von V entspricht. Die Äquivalenz betrifft die Wechselwirkung mit einem OHMschen Widerstand. Bezüglich der Wechselwirkung mit einer Kapazität oder Induktivität verhält sich ein Wechselstrom aber ganz anders, wie wir im folgenden Kapitel sehen werden. 3.3. Wechselstromwiderstände Für alle weiteren Erläuterungen sei ein Wechselstrom von I(t) I sin ωt (X) fest vorgegeben. 3.3.. OHMscher Widerstand In jedem Moment folgen die Spannung und der Strom I am Widerstand dem OHMschen Gesetz (t) I(t) (6-6 ) Mit dem vorgegebenen Strom I(t) aus Gl. (X) folgt sin ωt I(t) () Kommentar: Strom und Spannung haben die gleiche Zeitabhängigkeit, es gibt keine Phasenverschiebung zwischen und I. 8
3.3.. induktiver Widerstand... ist eine Spule mit ihrer Selbstinduktion. Der OHMsche Widerstand der Spule wird zunächst vernachlässigt. Aus der Maschenregel folgt für den so gebildeten Stromkreis (t) + i (t) () wobei für die Selbstinduktionsspannung gilt (t) i & I (3- ) An der Spule fällt die Induktionsspannung i ab, und nur in diesem Maße kann sich entgegengesetzt gleich die angelegte Spannung (t) aufbauen Einsetzen von Gl. (3 - ) in Gl. () ergibt (t) & I + & I (t) & I (3) Mit dem aufgeprägtem Strom I(t) aus Gl. (X) erhalten wir (t) ω I cos ωt (4) Gl. (4) ist gewissermaßen das OHMsche Gesetz für diesen Fall: mit: (t) Ẑ I(t) Ẑ... Wechselstromwiderstand der Spule (5) 83
Ein Vergleich zeigt Z Ẑ ω (6a) und (t) π ~ cosωt sin ωt + (6b) Strom und Spannung haben eine Phasendifferenz von π/, d.h. der Strom läuft der äußeren Spannung um π/ hinterher. Kommentar: Der induktive Widerstand ist frequenzabhängig (Z ~ ω), d.h., für Gleichstrom (ω ) gilt, weil wir den OHMschen Widerstand vernachlässigt haben: Z Die Phasendifferenz betrifft die äußere anliegende Spannung und den fließenden Strom Wir betrachten die eistung am induktiven Widerstand P (t) (t) I(t) Mit I(t) aus Gl. (X) und Gl. (4) folgt daraus P(t) ω I sin ωt cosωt Mit dem Additionstheorem sin α cosα sin α vereinfacht sich dieser Ausdruck P(t) ω I sin ωt (7) Kommentar: Die eistung P fluktuiert mit doppelter Frequenz (vgl. Skizze oben) P fluktuiert symmetrisch um Null, d.h. P zeitl. Mittel (8) Es geschieht abwechselnd folgendes: Einmal wird der Stromquelle Energie entnommen und in den Aufbau des Magnetfeldes gesteckt, dann wird das Magnetfeld abgebaut und die Energie zurückgegeben. Gl. (8) gilt nur, weil wir den OHMschen Widerstand gesetzt haben ( ideale Spule ) 84
3.3.3. kapazitiver Widerstand... ist ein idealer Kondensator, d.h. keine OHMschen Widerstände in den Zuleitungen, kein eckstrom. Die über dem Kondensator C abfallende / an C anliegende Spannung hängt von der auf dem Kondensator befindlichen adung Q(t) ab: Q(t) (t) C (t) I(t) dt C (7-7) (9) Mit dem Strom I(t) aus Gl. (X) erhält man nun (t) C ω I cos ωt () Gl. () ist das OHMsche Gesetz für den kapazitiven Widerstand: mit Û(t) Ẑ C Î(t) Ẑ C... Wechselstromwiderstand des Kondensators () Ein Vergleich zeigt und Z C (t) Ẑ C ω C π ~ cos ωt sin ωt (a) (b) Strom und Spannung haben eine Phasendifferenz von π/, d.h., der Strom eilt der Spannung um π/ voraus bzw. die Spannung hinkt dem Strom hinterher. 85
Kommentar: Der kapazitive Widerstand ist frequenzabhängig (Z ~ ω - ), d.h., er geht für Gleichstrom gegen. (Der Kondensator ist für Gleichstrom eine eitungsunterbrechung) Wir betrachten die eistung am kapazitiven Widerstand P (t) (t) I(t) Mit I(t) aus Gl. (X) und Gl. () folgt P(t) I sin ωt cosωt ω C Mit dem Additionstheorem sin α cosα sin α vereinfacht sich dieser Ausdruck wiederum zu P(t) I sin ωt ω C (3) Kommentar: Alle Kommentare zu Gl. (7) lassen sich analog auf diesen Fall übertragen, insbesondere gilt P zeitl. Mittel Fazit Ein realer Stromkreis enthält OHMsche Widerstände, aber auch stets irgendwelche Induktivitäten und Kapazitäten. Dadurch kommt es zu komplizierten Überlagerungen der unterschiedlichen phasenverschiebenden Wirkungen. Siehe nächsten Abschnitt 3.4. Beispiel: und in eihe Wir nehmen wieder den Strom als Maßstab für die Phasenverschiebung, d.h. wir setzen I(t) I sin ωt (4) Für die Spannung setzen wir formal (t) sin( ωt + ϕ) (5) 86
Wir suchen nun (t) und ϕ. Dazu wenden wir den Maschensatz auf den dargestellten Stromkreis an: (t) (t) + (t) Mit Gl. () und (4) folgt daraus (t) ω I cos ωt + I sin ωt (t) (t) (6) Kunstgriff : Wir erweitern mit + ω : ω (t) + ω I ω + sin ωt cos t + ω + ω A B (7) Kunstgriff : Wir sehen, dass A und B stets sind und dass gilt: A + B Wir dürfen ansetzen sin α cosα ω + ω + ω (8) Damit wird Gl. (7) zu (t) + ω I ( sin α cos ωt + cosα sin ωt) Mit dem aus der Mathematik bekannten Additionstheorem sin α cosβ + cos α sin β sin( α + β) vereinfacht sich der entstandene Ausdruck weiter (t) + ω I sin( ωt + α) (9) Wir dürfen dies ansetzen, weil sin α und cos α eben gerade die Bedingung A + B erfüllen 87
Der Vergleich von Gl. (9) mit Gl. (5) zeigt Der nach Gl. (8) definierte Winkel α ist mit dem Winkel ϕ in Gl. (5) identisch Es gilt sin α tan ϕ tan α cosα Mit Gl. (8) folgt also ω tan ϕ (3) Der wirksame Gesamtwiderstand ist I + ω (3) Kommentar: Die Phasenverschiebung ϕ in Gl. (5) liegt also zwischen und ϕ (für >> ω ) π ϕ (für << ω ) 88
3.5. Wechselstromkreise und komplexe Zahlen In diesem Kapitel werden wir auf unser Wissen zu komplexen Zahlen zurückgreifen, mit denen wir bereits in <6.3.> Bekanntschaft geschlossen haben. Es wird sich zeigen, dass man bei Verwendung komplexer Größen die einfachen Gleichungen für OHMsche Widerstände ( I) formal beibehalten kann und dennoch die Kompliziertheit des Wechselstromes (Phasenverschiebung, usw.) richtig herausbekommt Ein Sinusstrom in komplexer Darstellung ist ein rotierender Zeiger in der komplexen Ebene: Î I iωt (cos ωt + i sin ωt) I e (3) e( Î) I cosωt Im( Î) i I sin ωt Physikalisch real ist jedoch die Projektion des Kreises. 89
Betrachten wir zunächst einen OHMschen Widerstand: Û Î d.h. die Zeiger von Î und Û sind parallel zueinander und rotieren gemeinsam. (Diese Aussage ist äquivalent zu dem, was wir bereits in <3.3..> festgestellt haben) Nun zum induktiven Widerstand: Wir wissen bereits, dass für den Wechselstromwiderstand einer Spule gilt Ẑ ω (6) Es zeigt sich, dass der komplette Ausdruck lautet: Ẑ i ω (33) Wir sehen gleich, dass im i die Phasenverschiebung steckt. Mit dem jetzigen Wissen schreiben wir Gl. (5) ganz korrekt Û(t) Ẑ Î(t) (5 ) Einsetzen von Gl. (33) und (3) in Gl. (5 ) liefert Û (t) i ω I (cos ωt + i sin ωt) Mit der bekannten Beziehung folgt i Û (t) ω I (i cos ωt sin ωt) (34) Veranschaulichung von Gl. (34), wobei wir nur den otationsteil betrachten: Jetzt sind also auch Strom und Spannung komplex 9
Die Multiplikation mit i bringt den Phasenunterschied von π/; die Spannung eilt dem Strom voraus Kommentar: Die beiden Zeiger stehen starr zueinander (π/ const.) und rotieren gemeinsam. Die Projektion auf die ealteil-achse würde die Kurven für Strom und Spannung bringen, die wir bereits in <3.3..> erhalten haben. Zusammengefasst kann man sagen:.) Auch für Wechselstrom gilt das OHMsche Gesetz: Û Î Ẑ (35).) Wechselstromwiderstände können ausgedrückt werden als: OHMscher Widerstand: Ẑ induktiver Widerstand: i ω Ẑ (36) kapazitiver Widerstand: Ẑ C i i ω C ω C 3.) Bei eihenschaltung komplexer Widerstände gilt: Ẑ Ẑ + Ẑ + Ẑ3 ges +... (37) bei Parallelschaltung gilt: Ẑ ges Ẑ + Ẑ + Ẑ 3 +... (38) 4.) Für die komplex geschriebenen Ströme bzw. Spannungen gelten die KICHHOFFschen egeln (vgl. auch <6..>): Knotenregel: i Maschenregel: i Îi (39) Ûi (4) m den Vorteil der komplexen Zahlen zu zeigen, wiederholen wir das Beispiel von <3.4.> 9
Wir haben wieder Î(t) I e iωt (4 ) und Û(t) e i( ωt+ϕ) (5 ) und suchen (t) und ϕ. Nach dem Maschensatz gilt Û Û + Û nter Ausnutzung der Gl. (36) erhält man Û (Ẑ + Ẑ ) Î bzw. Û ( + i ω ) Î Ẑ ges Î (4) Wir bilden Û Î + i ω Ẑ ges woraus unter Verwendung von Gl. (4 ) und (5 ) folgt iϕ Ẑ ges e (4) I Aus der komplexen Darstellung (Überlagerung der Widerstände) (Überlagerung der Spannungen ) Dabei gilt nach Gl. (36) Û ~ Ẑ 9
kann man ablesen ω ϕ arctan sowie (3) Û ges Ẑ ges Î ( + ω ) I woraus nach mformung entsteht I + ω (3) 3.6. Blind-, Schein- und Wirkleistung Am Beispiel einer Spule oder eines Kondensators haben wir schon gesehen, dass echte Ströme und Spannungen infolge ihrer gegenseitigen Phasenlage zu P führen können. zeitl. Mittel Wenn es nur OHMsche Widerstände gibt, ist die Spannung mit dem Strom I in Phase und die eistung ist lt. Gl. () sowie analog zu <6.4.> P I I (43) Im Beispiel der eihenschaltung von Spule und OHMschen Widerstand (vgl. <3.5.>) ist diejenige Spannungs-Komponente, die mit I in Phase ist, gleich cosϕ Dies bestimmt die umgesetzte eistung : cosϕ Anstelle der Gl. (43) ergibt sich nun also PW I cos ϕ (44) P W... Wirkleistung Die Wirkleistung ist die echte, in Wärme oder Arbeit umgesetzte Wechselstromleistung. 93
Kommentar: Für ϕ sind Spannung und Strom in Phase und die Wirkleistung wird maximal. P W I Für cos ϕ, d.h. ϕ ± π/ (Kondensator oder Spule) wird die Wirkleistung, wie schon bekannt, minimal. P W Die Blindleistung flutet lediglich hin und her und ist im Zeitmittel Null. PB I sin ϕ (45) Sie ist der Imaginärteil der eistung. Die Wirk- und Blindleistung setzen sich zur komplexen Scheinleistung zusammen. P I (45) S Kommentar: Die Messung der Effektivwerte von Strom und Spannung liefert nicht die interessierende Wirkleistung, sondern die Scheinleistung P s. Ein Wattmeter erfasst auch cos ϕ mit Die Energieversorger sind bemüht, ϕ klein zu halten, damit nicht für ein bestimmtes P W eine unnötig große Blindleistung P B bzw. Scheinleistung P S bewegt werden muss. Die Spannungsabfälle im Netz sowie in den Generatoren werden nämlich von dem fließenden Gesamtstrom, d.h. Scheinstrom, bestimmt und sollen nur so hoch wie unvermeidlich sein. Die Verbraucher sollen ihre Blindleistung kompensieren, z.b. existieren spezielle Kondensatoren in Motoren (die aus Spulen bestehen). 3.7. Skinekt Wir betrachten einen Strom in einem dicken Draht: Auch im Drahtinnern existiert ein B r -Feld (entsprechend dem umfassten Strom) Bei Wechselstrom ist E &r r, d.h. auch B &r r. Es wird ein sekundäres E r - Feld erzeugt 94
Die genaue Betrachtung der ichtungsbeziehungen ergibt, dass E r ind schwächend und außen verstärkend wirkt: innen Das E r -Feld und damit der Strom wird an die eiterwand gedrängt. Der Stromfluss ist bei HF auf eine Oberflächenschicht der Dicke d begrenzt. Es zeigt sich, dass gilt: ρ d (47) µµ ω ρ... spezifischer Widerstand ω... Frequenz Man erkennt, dass der Skinekt besonders bei großen Frequenzen ω sehr stark ist, d.h. die Dicke d der stromführenden Schicht sehr klein ist. Für HF genügt, es Hohlleiter zu verwenden 95