Lehrstuhl für Statstk und emprsche Wrtschaftsforschung Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Masterprüfung SS 07 Fach: Ökonometre Prüfer: Prof. Regna T. Rphahn, Ph.D. Vorbemerkungen: Anzahl der Aufgaben: Bewertung: Erlaubte Hlfsmttel: Wchtge Hnwese: De Klausur besteht aus 5 Aufgaben, de alle bearbetet werden müssen. Es wrd nur der Lösungsbogen engesammelt. Es können maxmal 90 Punkte erworben werden. De maxmale Punktzahl st für jede Aufgabe n Klammern angegeben. Se entsprcht der für de Aufgabe empfohlenen Bearbetungszet n Mnuten. Formelsammlung (st der Klausur begefügt) Tabellen der statstschen Vertelungen (snd der Klausur begefügt) Taschenrechner Fremdwörterbuch Sollte es vorkommen, dass de statstschen Tabellen, de deser Klausur belegen, den gesuchten Wert der Frehetsgrade ncht auswesen, machen Se des kenntlch und verwenden Se den nächstgelegenen Wert. Sollte es vorkommen, dass be ener Berechnung ene erforderlche Informaton fehlt, machen Se des kenntlch und treffen Se für den fehlenden Wert ene plausble Annahme.
Aufgabe : [7 Punkte] In Musterstadt gbt es set enem Monat dre neue Autohändler. Alle haben zur Eröffnung Werbeplakate aufgehängt. Der erste hat en Plakat aufgehängt und hat setdem 5 Autos verkauft. Der zwete hat ebenfalls en Plakat aufgehängt und hat 4 Autos verkauft. Der drtte hat zwe Plakate aufgehängt und hat 8 Autos verkauft. Se regresseren de Anzahl verkaufter Autos auf de Anzahl der Plakate mt folgendem Modell: Verkau fte_autos = β + β Anzahl_Plakate + ε. Berechnen Se n Matrzenschrebwese mthlfe der KQ-Methode de geschätzten Koeffzenten b und b. [6 Punkte]. Interpreteren Se den geschätzten Koeffzenten b nhaltlch. [ Punkt] Hnwes: Sollten Se n Aufgabe. kene Lösung gefunden haben, verwenden Se b =. Aufgabe : [0 Punkte] Ene Krankenkasse beauftragt Se, de Determnanten der Häufgket von Arztbesuchen hrer Verscherten zu analyseren. Ihnen stehen dazu Daten aus ener Befragung von 3670 Verscherten m Jahre 06 mt folgenden Varablen zur Verfügung: ln_dvsts Anzahl der Arztbesuche von Person m Jahr 06 (logarthmert) age Alter der Person n Jahren f emale Dummy-Varable, =, wenn Person weblch, =0 sonst hstatus5 Selbstenschätzung des Gesundhetszustandes von Person für das Jahr 05 (Skala von -5) hstatus6 Selbstenschätzung des Gesundhetszustandes von Person für das Jahr 06 (Skala von -5) eduhgh Dummy-Varable, =, wenn Person ene hohe Bldung (mnd. 3 Bldungsjahre) hat, =0 sonst Se stellen folgendes Regressonsmodell auf und schätzen es anschleßend mt Stata: ln_dvsts = β + β age + β 3 f emale + β 4 age_ f emale + β 5 hstatus6 + β 6 eduhgh + ε (Modell I) wobe age_ f emale = age f emale glt. Source SS df MS umber of obs = 3670 -------------+------------------------------ F( 5, 3664) = 64.96 Model 397.89477 5 79.5789453 Prob > F = 0.0000 Resdual 767.55976 3664.484599 R-squared = 0.837 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.86 Total 65.45449 3669.590093 Root MSE =.69456 ------------------------------------------------------------------------------ ln_dvsts Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- age.004875.0006 4.74 0.000.00856.0068094 female.38955.073573 4.47 0.000.846769.47374 age_female -.0048.003-3.3 0.00 -.0067986 -.006578 hstatus6.333856.03505 4.4 0.000.974064.3493647 eduhgh.06807.079707.44 0.05.033674.30467 _cons.04396.067708 7.88 0.000.98387.5504 ------------------------------------------------------------------------------ Runden Se m Folgenden alle Zahlenangaben auf de drtte achkommastelle.. Interpreteren Se den geschätzten Koeffzenten b 6 nhaltlch und statstsch. [ Punkte]. Leten Se den margnalen Effekt der Varable age auf de Anzahl an Arztbesuchen allgemen her. We groß st der margnale Effekt für Frauen? We groß st er für Männer? Interpreteren Se de Ergebnsse. [4 Punkte]
.3 Berechnen Se de erwartete Anzahl an Arztbesuchen enes 30-jährgen Mannes mt hoher Bldung, der senen Gesundhetszustand 06 mt 4 bewertet hat. [4 Punkte].4 Se vermuten, dass sch glechzetg mt dem Effekt von age auch der Effekt von hstatus6 zwschen Männern und Frauen unterschedet und führen enen entsprechenden F-Test auf Geschlechterunterschede n beden Effekten auf dem %-Sgnfkanznveau durch. Se erhalten folgenden Wert der Teststatstk: F = 6,0. Stellen Se das Modell, das dem F-Test unterlegt, nachvollzehbar dar. Geben Se anschleßend de ull- und Alternatvhypothese, den krtschen Wert und das Testergebns für den durchgeführten F-Test an. [4 Punkte].5 En Kommltone behauptet, dass Ihre Varable hstatus6 endogen st. ennen Se enen möglchen Grund für das Vorlegen der Endogentät und erläutern Se desen. [,5 Punkte].6 Ihr Kommltone rät Ihnen, Ihr Endogentätsproblem durch Instrumenterung von hstatus6 zu lösen. Er schlägt vor, de Selbstenschätzung des Gesundhetsstatus aus dem Vorjahr (hstatus5) als Instrument n ener two-stage-least-squares (SLS)-Schätzung Ihres Modells I zu verwenden..6. Stellen Se de für de SLS-Schätzung benötgten Modellglechungen auf. ennen Se enen Fall, n dem hstatus5 ken geegnetes Instrument darstellt. [3 Punkte].6. We können Se testen, ob es sch be hstatus5 um en schwaches Instrument handelt? Geben Se de ullhypothese des Tests an. [,5 Punkte] Aufgabe 3: [0 Punkte] Se nteresseren sch für de Determnanten der am Sasonende errechten Punktzahl des. FC ürnberg. Dazu legt en Datensatz mt Informatonen von 996 bs 07 vor: ponts t value t possesson t coach t Am Sasonende errechte Punktzahl des. FC ürnberg m Jahr t Marktwert aller Speler des. FC ürnberg n Mllonen e m Jahr t Durchschnttlcher Ballbestz n Prozent (-00) pro Spel m Jahr t Dummy-Varable, =, wenn es m Jahr t zu enem Tranerwechsel bem. FC ürnberg kam, =0 sonst bundeslga t Dummy-Varable, =, wenn der. FC ürnberg m Jahr t n der.bundeslga gespelt hat, =0 sonst Es wrd folgendes Regressonsmodell aufgestellt und anschleßend mt Stata geschätzt: ponts t = β + β value t + β 3 possesson t + β 4 coach t + β 5 bundeslga t + ε t Source SS df MS umber of obs = -------------+-------------------------------- F( 4, 7) = 8.85 Model 688.588 4 7.039557 Prob > F = 0.0000 Resdual 465.556058 7 7.3856504 R-squared = 0.5965 -------------+-------------------------------- Adj R-squared = 0.5648 Total 53.749 54.9387757 Root MSE = 5.33 --------------------------------------------------------------------------------- ponts Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- value.379058.0779 5.6 0.000.37635.5047 possesson.48706.470640 5.8 0.000.5669 3.443 coach -8.744706.404095-3.64 0.000-3.467-4.0740 bundeslga -0.37705 7.634737 -.67 0.008-35.3468-5.40789 _cons -74.6435 0.8498-3.58 0.000-6.349-3.947 --------------------------------------------------------------------------------- Runden Se m Folgenden alle Zahlenangaben auf de drtte achkommastelle. 3
3. Interpreteren Se den geschätzten Koeffzenten b 3 nhaltlch und statstsch. [ Punkte] 3. Begründen Se, warum der geschätzte Koeffzent b 4 eventuell ncht kausal nterpretert werden kann. Erläutern Se den Mechansmus anhand enes Bespels. [ Punkte] 3.3 Der folgende Stata-Output enthält de Ergebnsse enes Whte-Tests auf Heteroskedaste. Führen Se den Test auf enem Sgnfkanznveau von 0% durch. Geben Se de Hypothesen und Hlfsregresson an. Defneren Se de abhängge Varable der Hlfsregresson. Bestmmen Se zudem de Teststatstk, Frehetsgrade, krtschen Wert und Testentschedung. [7 Punkte] Whte s test for Ho:??? aganst Ha:??? ch(?) =,84 Prob > ch =?????? 3.4 Warum könnte n dem vorlegenden Modell postve Autokorrelaton m Fehlerterm vorlegen? Welche Folgen hat unkorrgerte Autokorrelaton für de geschätzten Parameter und deren Standardfehler? [,5 Punkte] 3.5 Führen Se enen Breusch-Godfrey-Test auf Autokorrelaton. Ordnung auf enem Sgnfkanznveau von 5% durch. Geben Se de Hypothesen, de Hlfsregresson, de Teststatstk, de Frehetsgrade, den krtschen Wert und de Testentschedung an. Defneren Se dabe formal Autokorrelaton. Ordnung. Hnwes: Das Bestmmthetsmaß aus der Hlfsregresson lautet: R = 0,. [6,5 Punkte] Aufgabe 4: [3 Punkte] Se nteresseren sch für de Determnanten des Rauchverhaltens von Amerkanern. Herfür steht Ihnen en Datensatz mt 807 Befragten zur Verfügung. Er enthält folgende Varablen: smoker educ age nc Dummy-Varable, =, wenn Person raucht, =0 sonst Bldung von Person n Jahren Alter von Person n Jahren Jahresenkommen von Person n Dollar Ihnen snd folgende deskrptve Statstken zu den Daten gegeben: Varable Obs Mean Std. Dev. Mn Max -------------+-------------------------------------------------------- smoker 807.384388.486696 0 educ 807.47088 3.0576 6 8 age 807 4.379 7.079 7 88 ncome 807 9970.58 9498.39 500 3700 Se führen mt Stata ene Logt-Schätzung des folgenden Modells durch: P(smoker = X) = F(β + β educ + β 3 age + β 4 age ) Logstc regresson umber of obs = 807 LR ch(3) = 47.57 Prob > ch = 0.0000 Log lkelhood = -53.783 Pseudo R = 0.0443 ------------------------------------------------------------------------------ smoker Coef. Std. Err. z P> z [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- educ -.350465.068896-5.0 0.000 -.87749 -.083438 age.06049.069834 3.93 0.000.053563.58995 age^ -.003844.0003073-4.5 0.000 -.009867 -.00078 _cons -.4479964.5755-0.78 0.434 -.5705.6743 ------------------------------------------------------------------------------ 4
Runden Se m Folgenden alle Zahlenangaben auf de drtte achkommastelle. 4. We hoch st de durchschnttlche vorhergesagte Wahrschenlchket zu rauchen? [ Punkt] 4. Berechnen und nterpreteren Se den margnalen Effekt enes zusätzlchen Bldungsjahres am Mttelwert der Daten. [6 Punkte] 4.3 Ene zwete Logt-Schätzung mt dem glechen Datensatz, be der zusätzlch zu den bshergen Varablen noch das Enkommen berückschtgt wrd, erzelt enen Log-Lkelhoodwert von 50, 7. Prüfen Se, ob das Enkommen enen sgnfkanten Effekt auf de Wahrschenlchket zu rauchen hat. Führen Se dazu enen Lkelhood-Rato-Test am %-Sgnfkanznveau durch. Geben Se zuerst das restrngerte Modell und das unrestrngerte Modell an. Benennen Se dann Hypothesen und krtschen Wert. Treffen Se ene Testentschedung. [6 Punkte] Aufgabe 5 - MC Fragen [30 Punkte] Btte geben Se de zutreffende Antwort auf Ihrem Multple-Choce-Lösungsblatt an. Zu jeder Frage gbt es genau ene rchtge Antwort. Für jede korrekt beantwortete Frage erhalten Se enen Punkt. Falsche Antworten führen ncht zu Punktabzug. Be mehr oder wenger als ener markerten Antwort auf ene Frage glt dese als ncht beantwortet. Angaben auf dem Aufgabenblatt werden ncht gewertet.. Im Modell y t = β + β x t + β 3 y t + ε führt Autokorrelaton. Ordnung n ε a zu unobserved heterogenety (unbeobachtete Heterogentät). b zu Endogentät von y t. c zum attenuaton bas. d zu ener Verzerrung von β.. En RESET-Test überprüft a mt Hlfe enes t-tests, ob Fehlspezfkaton des Regressonsmodells vorlegt. b c d, ob durch Änderung der Modellspezfkaton das angepasste Bestmmthetsmaß R sgnfkant stegt. auf Bass enes F-Tests, ob en Problem ausgelassener Varablen vorlegt. ob sch de margnalen Effekte m Modell für Telgruppen unterscheden. 3. Das Modell Lohn = β + β un + β 3 west + β 4 un west + ε wrd mttels KQ geschätzt (un =, falls Un-Abschluss, west = falls Westdeutscher). Welche Aussage trfft für de Schätzung des Modells zu? a Der margnale Effekt von un für Ostdeutsche lautet: b + b 4. b Der Lohnuntersched zwschen west- und ostdeutschen Un-Absolventen lautet: b 3 + b 4. c Der vorhergesagte Lohn für Westdeutsche mt Un-Abschluss lautet: b + b 3 + b 4. d Der Lohnuntersched zwschen westdeutschen Un-Absolventen und westdeutschen cht-absolventen lautet: b. 4. Se schätzen das Modell y = β + β x + ε und Ihr Kommltone das Modell y = β + β x + β 3 z + ε. Se cov(x,z) < 0. Dann glt: a E[b ] < β, wenn β 3 < 0. b E[b ] < E[b ], wenn β 3 < 0. c E[b ] β > 0, wenn β 3 > 0. d E[b ] E[b ], wenn β 3 = 0. 5. Ene KQ-Schätzung des Modells y = β + β x + β 3 x + ε ergbt b = 5, b = -0,5 und b 3 =0,05. Be welchem Wert von ŷ st der margnale Effekt von x glech null? a 5 b,5 c 0 d 0,5 5
6. Für das Modell y = β + β x + β 3 x + u testen Se H 0 : β = vs. H : β. Auf enem Sgnfkanznveau von 5% führt ene t-teststatstk von,6 a be n = 6 ncht zur Ablehnung von H 0. b be n = 5 zur Ablehnung von H 0. c be n = 7 ncht zur Ablehnung von H 0. d be n = 4 zur Ablehnung von H 0. 7. De Schätzung des Modells zu f redenhet = β + β f rezet + ε mt KQ ergbt be 50 Beobachtungen b =,5, se(b ) = 0,5. Welche Aussage trfft für de Schätzung von β zu? a De untere Grenze des 95 % Konfdenzntervalls für β beträgt 3,48. b Der krtsche Wert für enen t-test auf Sgnfkanz mt α = 0,0 beträgt,36. c Der p-wert für den bedsetgen t-test der H 0 : β =,5 st größer als 0,0. d De ullhypothese β 0 enes t-tests wrd ncht verworfen, wenn der krtsche Wert,8 beträgt. 8. Im lnearen Modell y = β + β x + β 3 x + β 4x + β 5 x + ε mt b < 0, b 3 > 0, b 4 < 0 und b 5 < 0 st a der margnale Effekt von x für große x -Werte negatv und betragsmäßg zunehmend. b der margnale Effekt von x für klene x -Werte negatv und betragsmäßg zunehmend. c der margnale Effekt von x für klene x -Werte negatv und betragsmäßg abnehmend. d der margnale Effekt von x für große x -Werte postv und betragsmäßg abnehmend. 9. Welche Aussage bezüglch des Durbn-Wu-Hausman Test st rchtg? a De ullhypothese besagt, dass de nstrumenterte Varable endogen st. b Be Ablehnung der ullhypothese legt Endogentät vor. c In der Hlfsregresson wrd de Instrumentenvarable auf de geschätzten Resduen aus der. Stufe der SLS-Schätzung regressert. d De Anzahl der Zählerfrehetsgrade des krtschen Wertes entsprcht der Anzahl der Instrumente. 0. Welche Aussage bezüglch des Bestmmthetsmaßes R m multplen Regressonsmodell be Beobachtungen st rchtg? a Im Modell ohne Konstante glt R = 0. b Wenn n = e = 0 glt, glt R =. c Wenn R = 0,49 glt, glt für das angepasste Bestmmthetsmaß R = 0,5 K. d Im Modell mt Konstante und K > glt 0 R < 0,5.. En Konfdenzntervall a wrd mt c.p. stegender Präzson schmaler. b wrd mt c.p. stegender Stchprobengröße schmaler. c wrd mt c.p. snkendem Sgnfkanznveau α schmaler. d hat stets negatve Intervallgrenzen, wenn b j < 0.. Se V (ɛ) = σ Ψ de Varanz-Kovaranz-Matrx der Störterme. Legt Heteroskedaste und Autokorrelaton vor, st de Matrx Ψ a ene untere Dreecksmatrx. b ene obere Dreecksmatrx. c ene symmetrsche Matrx. d ene Dagonalmatrx. 3. Der Breusch-Pagan Test a kann de falsche H 0 mt höherer Wahrschenlchket verwerfen als der Whte-Test. b st allgemener als der Whte-Test. c prüft n der Hlfsregresson, ob e durch de ursprünglchen Regressoren und deren Quadrate erklärt werden kann. d hat ene höhere Anzahl an Frehetsgraden J als der Whte-Test. 6
4. Unkorrgerte Heteroskedaste m lnearen Regressonsmodel führt zu a Verzerrung des KQ-Schätzers. b Inkonsstenz des KQ-Schätzers. c Effzenz des KQ-Schätzers. d fehlerhaft geschätzten Konfdenzntervallen. 5. Es se V (ε ) = σ Enkommen 4. Zu konstanter Störtermvaranz führt de Tranformaton a ε /Enkommen 6. b ε /Enkommen 8. c ε Enkommen 4. d ε /Enkommen. 6. Der Cochrane-Orcutt Schätzer a korrgert ncht für negatve Autokorrelaton m Störterm. b korrgert für Autokorrelaton höherer als. Ordnung. c nutzt de Beobachtung für t = ncht. d lefert mmer de glechen Standardfehler we der Pras-Wnston Schätzer. 7. Für de Schätzglechung ŷ = x + 3 x 3 und de Beobachtung (y,x,x 3 ) = (,, ) beträgt das Resduum a 3. b. c -. d 3. 8. De obere und untere Grenze für den krtschen Wert enes Durbn-Watson Tests auf postve Autokorrelaton für en lneares Modell mt 00 beobachteten Peroden, ener Konstante und unabhänggen Varablen beträgt auf enem Sgnfkanznveau von 5% a d L =,63 und d W =,7. b d L =,65 und d W =,69. c d L =,6 und d W =,7. d d L =,6 und d W =,74. 9. Wenn kene Autokorrelaton. Ordnung n den Resduen vorlegt, st der Wert der Durbn-Watson Teststatstk nahe a -. b 0 c. d 4. 0. Wenn unter den erklärenden Varablen enes lnearen Regressonsmodels perfekte Multkollneartät vorlegt, glt für de Matrx X X, dass se a ncht den vollen Rang hat. b regulär st. c nverterbar st. d ene Determnante unglech ull hat.. Wrd en Modell enmal mt Probt und enmal mt Logt geschätzt a snd de margnalen Effekte dentsch. b snd de geschätzten Koeffzenten dentsch. c snd bede Schätzungen effzent. d st mndestens ene der beden Schätzungen ncht konsstent.. Wenn ene KQ-Schätzung ncht konsstent st, dann a snd de Koeffzenten mmer verzerrt. b enthalten de Koeffzenten kene valden Informatonen über Korrelatonen zwschen den Varablen. c st der Erwartungswert des Resduums trotzdem 0. d st das angepasste R klener als 0. 7
3. De Matrx X X a st mmer nverterbar. b st mmer quadratsch. c hat mmer enen nedrgeren Rang als de Matrx X. d hat mmer enen höheren Rang als de Matrx X. 4. En Untersched zwschen Wald-Test und Lkelhood Rato-Test st, dass der Wald-Test a wenger Frehetsgrade hat. b mehr Restrktonen auf enmal testen kann. c präzser st. d nur ene Schätzung erfordert. 5. Der margnale Effekt n enem Probt-Modell mt nur ener unabhänggen Varable a st am größten am Mttelwert der unabhänggen Varable. b st am größten be Beobachtungen mt x = 0. c kann mmer als Sem-Elastztät nterpretert werden. d st betragsmäßg mmer klener als der Koeffzent. 6. Wenn das Pseudo-R ener Logt-Schätzung 0,8 beträgt, de Log-Lkelhood des unrestrngerten Modells -00 und de des restrngerten Modells -0, we hoch st dann de Anzahl der Beobachtungen? a 5 b 0 c 40 d 00 7. Be unabhänggen Beobachtungen entsprcht de Lkelhoodfunkton a dem Produkt der ndvduellen Wahrschenlchketsdchten der beobachteten abhänggen Varablen. b der Summe der quadrerten ndvduellen Wahrschenlchketsdchten der beobachteten abhänggen Varablen. c der Summe der ndvduellen Wahrschenlchketsdchten der beobachteten abhänggen Varablen. d dem Logarthmus der ndvduellen Wahrschenlchketsdchten der beobachteten abhänggen Varablen. 8. En Messfehler n x führt be ener KQ-Schätzung des Modells y = β + β x + ε a zum Problem des attenuaton bas. b zur Überschätzung von β. c zu endogenen Störtermen. d zu ener Unterschätzung der Störtermvaranz. 9. Was st ene Egenschaft des KQ-Schätzers n enem lnearen Modell mt bnärer abhängger Varable? a Der Fehlerterm st homoskedastsch. b Be großer Stchprobengröße st er effzenter als Probt. c Be gewöhnlch berechneten Standardfehlern snd t-tests auf Sgnfkanz der Kovarate ungültg. d De Summe der errechneten Wahrschenlchketen st glech ȳ. 30. De Verletzung welcher Annahme schleßt de kausale Interpretaton ener Schätzung aus? (s. Formelsammlung) a A b A3 c A7 d A 8
Tabelle : Perzentle der t-vertelung Zellenentrag: x, sodass Prob x P, mt n Frehetsgraden t n P n 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995.000 3.078 6.34.706 3.8 63.657 0.87.886.90 4.303 6.965 9.95 3 0.765.638.353 3.8 4.54 5.84 4 0.74.533.3.776 3.747 4.604 5 0.77.476.05.57 3.365 4.03 6 0.78.440.943.447 3.43 3.707 7 0.7.45.895.365.998 3.500 8 0.706.397.860.306.896 3.355 9 0.703.383.833.6.8 3.50 0 0.700.37.83.8.764 3.69 0.697.363.796.0.78 3.06 0.696.356.78.79.68 3.055 3 0.694.350.77.60.650 3.0 4 0.69.345.76.45.64.977 5 0.69.34.753.3.60.947 6 0.690.337.746.0.583.9 7 0.689.333.740.0.567.898 8 0.688.330.734.0.55.878 9 0.688.38.79.093.539.86 0 0.687.35.75.086.58.845 0.686.33.7.080.58.83 0.686.3.77.074.508.89 3 0.685.30.74.069.500.807 4 0.685.38.7.064.49.797 5 0.684.36.708.060.485.787 6 0.684.35.706.056.479.779 7 0.684.34.703.05.473.77 8 0.683.33.70.048.467.763 9 0.683.3.699.045.46.756 30 0.683.30.697.04.457.750 35 0.68.306.690.030.438.74 40 0.68.303.684.0.43.705 45 0.680.30.679.04.4.690 50 0.679.99.676.009.403.678 60 0.679.96.67.000.390.660 70 0.678.94.667.994.38.648 80 0.678.9.664.990.374.639 90 0.677.9.66.987.368.63 00 0.677.90.660.984.364.66 0.674.8.645.960.36.576 Quelle: In R generert
Tabelle 3: Perzentle der -Vertelung Zellenentrag: c, sodass Prob c P, mt n Frehetsgraden n P n 0.005 0.0 0.05 0.05 0. 0.5 0.5 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.00004 0.000 0.00 0.004 0.06 0.0 0.455.33.706 3.84 5.04 6.635 7.879 0.0 0.0 0.05 0.0 0. 0.58.39.77 4.6 5.99 7.38 9. 0.60 3 0.07 0. 0. 0.35 0.58..37 4. 6.5 7.8 9.35.34.84 4 0. 0.30 0.48 0.7.06.9 3.36 5.39 7.78 9.49.4 3.8 4.86 5 0.4 0.55 0.83.5.6.67 4.35 6.63 9.4.07.83 5.09 6.75 6 0.68 0.87.4.64.0 3.45 5.35 7.84 0.64.59 4.45 6.8 8.55 7 0.99.4.69.7.83 4.5 6.35 9.04.0 4.07 6.0 8.48 0.8 8.34.65.8.73 3.49 5.07 7.34 0. 3.36 5.5 7.53 0.09.96 9.73.09.70 3.33 4.7 5.90 8.34.39 4.68 6.9 9.0.67 3.59 0.6.56 3.5 3.94 4.87 6.74 9.34.55 5.99 8.3 0.48 3. 5.9.60 3.05 3.8 4.57 5.58 7.58 0.34 3.70 7.8 9.68.9 4.73 6.76 3.07 3.57 4.40 5.3 6.30 8.44.34 4.85 8.55.03 3.34 6. 8.30 3 3.57 4. 5.0 5.89 7.04 9.30.34 5.98 9.8.36 4.74 7.69 9.8 4 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 0.7 3.34 7..06 3.68 6. 9.4 3.3 5 4.60 5.3 6.6 7.6 8.55.04 4.34 8.5.3 5.00 7.49 30.58 3.80 6 5.4 5.8 6.9 7.96 9.3.9 5.34 9.37 3.54 6.30 8.85 3.00 34.7 7 5.70 6.4 7.56 8.67 0.09.79 6.34 0.49 4.77 7.59 30.9 33.4 35.7 8 6.6 7.0 8.3 9.39 0.86 3.68 7.34.60 5.99 8.87 3.53 34.8 37.6 9 6.84 7.63 8.9 0..65 4.56 8.34.7 7.0 30.4 3.85 36.9 38.58 0 7.43 8.6 9.59 0.85.44 5.45 9.34 3.83 8.4 3.4 34.7 37.57 40.00 8.03 8.90 0.8.59 3.4 6.34 0.34 4.93 9.6 3.67 35.48 38.93 4.40 8.64 9.54 0.98.34 4.04 7.4.34 6.04 30.8 33.9 36.78 40.9 4.80 3 9.6 0.0.69 3.09 4.85 8.4.34 7.4 3.0 35.7 38.08 4.64 44.8 4 9.89 0.86.40 3.85 5.66 9.04 3.34 8.4 33.0 36.4 39.36 4.98 45.56 5 0.5.5 3. 4.6 6.47 9.94 4.34 9.34 34.38 37.65 40.65 44.3 46.93 30 3.79 4.95 6.79 8.49 0.60 4.48 9.34 34.80 40.6 43.77 46.98 50.89 53.67 35 7.9 8.5 0.57.47 4.80 9.05 34.34 40. 46.06 49.80 53.0 57.34 60.7 40 0.7.6 4.43 6.5 9.05 33.66 39.34 45.6 5.8 55.76 59.34 63.69 66.77 45 4.3 5.90 8.37 30.6 33.35 38.9 44.34 50.98 57.5 6.66 65.4 69.96 73.7 50 7.99 9.7 3.36 34.76 37.69 4.94 49.33 56.33 63.7 67.50 7.4 76.5 79.49 Quelle: In R generert 3
Tabelle 4b: 99% Perzentle der F-Vertelung Zellenentrag: f, sodass Prob f 0. 99 F n, n n = Frehetsgrade des Zählers n 3 4 5 6 7 8 9 405.8 4999.50 5403.35 564.58 5763.65 5858.99 598.36 598.07 60.47 98.50 99.00 99.7 99.5 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 3 34. 30.8 9.46 8.7 8.4 7.9 7.67 7.49 7.35 4.0 8.00 6.69 5.98 5.5 5. 4.98 4.80 4.66 5 6.6 3.7.06.39 0.97 0.67 0.46 0.9 0.6 6 3.75 0.9 9.78 9.5 8.75 8.47 8.6 8.0 7.98 7.5 9.55 8.45 7.85 7.46 7.9 6.99 6.84 6.7 8.6 8.65 7.59 7.0 6.63 6.37 6.8 6.03 5.9 9 0.56 8.0 6.99 6.4 6.06 5.80 5.6 5.47 5.35 0 0.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.0 5.06 4.94 5 8.68 6.36 5.4 4.89 4.56 4.3 4.4 4.00 3.89 0 8.0 5.85 4.94 4.43 4.0 3.87 3.70 3.56 3.46 5 7.77 5.57 4.68 4.8 3.86 3.63 3.46 3.3 3. 30 7.56 5.39 4.5 4.0 3.70 3.47 3.30 3.7 3.07 40 7.3 5.8 4.3 3.83 3.5 3.9 3..99.89 50 7.7 5.06 4.0 3.7 3.4 3.9 3.0.89.79 70 7.0 4.9 4.07 3.60 3.9 3.07.9.78.67 00 6.90 4.8 3.98 3.5 3..99.8.69.59 6.66 4.63 3.80 3.34 3.04.8.66.53.43 n = Frehetsgrade des Zählers n 0 5 0 30 40 50 60 6055.85 606.3 657.8 608.73 660.65 686.78 630.5 633.03 636.68 99.40 99.4 99.43 99.45 99.47 99.47 99.48 99.48 99.50 3 7.3 7.05 6.87 6.69 6.50 6.4 6.35 6.3 6.4 4 4.55 4.37 4.0 4.0 3.84 3.75 3.69 3.65 3.47 5 0.05 9.89 9.7 9.55 9.38 9.9 9.4 9.0 9.03 6 7.87 7.7 7.56 7.40 7.3 7.4 7.09 7.06 6.89 7 6.6 6.47 6.3 6.6 5.99 5.9 5.86 5.8 5.66 8 5.8 5.67 5.5 5.36 5.0 5. 5.07 5.03 4.87 9 5.6 5. 4.96 4.8 4.65 4.57 4.5 4.48 4.3 0 4.85 4.7 4.56 4.4 4.5 4.7 4. 4.08 3.9 5 3.80 3.67 3.5 3.37 3. 3.3 3.08 3.05.88 0 3.37 3.3 3.09.94.78.69.64.6.43 5 3.3.99.85.70.54.45.40.36.8 30.98.84.70.55.39.30.5..0 40.80.66.5.37.0..06.0.8 50.70.56.4.7.0.0.95.9.70 70.59.45.3.5.98.89.83.78.56 00.50.37..07.89.80.74.69.45.34.0.06.90.7.6.54.50.6 Quelle: In R generert 5
Tabelle 5: Durbn-Watson Teststatstk d L und d U am 5% Sgnfkanznveau k= k=3 k=4 k=5 k=6 k= k=6 n dl du dl du dl du dl du dl du dl du dl du 5.08.36 0.95.54 0.8.75 0.69.97 0.56. 6.0.37 0.98.54 0.86.73 0.74.93 0.6.5 0.6 3.30 7.3.38.0.53 0.90.7 0.78.90 0.67. 0.0 3.8 8.6.39.05.53 0.93.69 0.8.87 0.7.5 0.4 3.07 9.8.40.08.54 0.97.68 0.86.85 0.75.0 0.9.97 0.0.4.0.54.00.68 0.90.83 0.79.06 0.34.89 0.06 3.68..4.3.54.03.67 0.93.8 0.83.0 0.38.8 0.09 3.58.4.43.5.54.05.66 0.96.80 0.86.99 0.4.73 0. 3.55 3.6.44.7.54.08.66 0.99.79 0.90.96 0.47.67 0.5 3.4 4.7.45.9.55.0.66.0.78 0.93.64 0.5.6 0.9 3.33 5.9.45..55..66.04.77 0.95.9 0.54.57 0. 3.5 6.30.46..55.4.65.06.76 0.98.90 0.58.5 0.6 3.8 7.3.47.4.56.6.65.08.76.0.89 0.6.47 0.9 3. 8.33.48.6.56.8.65.0.75.03.88 0.65.43 0.33 3.05 9.34.48.7.56.0.65..74.05.86 0.68.40 0.36.99 30.35.49.8.57..65.4.74.07.85 0.7.36 0.39.94 3.36.50.30.57.3.65.6.74.09.84 0.74.33 0.43.99 3.37.50.3.57.4.65.8.73..83 0.77.3 0.46.84 33.38.5.3.58.6.65.9.73.3.83 0.80.8 0.49.80 34.39.5.33.58.7.65..73.5.8 0.8.6 0.5.75 35.40.5.34.53.8.65..73.6.8 0.85.4 0.55.7 36.4.5.35.59.9.65.4.73.8.8 0.87. 0.58.68 37.4.53.36.59.3.66.5.7.9.80 0.89.0 0.60.65 38.43.54.37.59.3.66.6.7..80 0.9.8 0.63.6 39.43.54.38.60.33.66.7.7..80 0.93.6 0.65.59 40.44.54.39.60.34.66.9.7.3.79 0.95.5 0.68.56 45.48.57.43.6.38.67.34.7.9.79.04.09 0.79.44 50.50.59.46.63.4.67.38.7.34.79..04 0.88.35 55.53.60.49.64.45.68.4.7.38.78.7.0 0.96.8 60.55.6.5.65.48.69.44.73.4.77..98.03.3 65.57.63.54.66.50.70.47.73.44.77.7.96.09.8 70.58.64.55.67.5.70.49.74.46.77.30.95.4.5 75.60.65.57.68.54.7.5.74.49.77.34.94.8. 80.6.66.59.69.56.7.53.74.5.77.37.93..09 85.6.67.60.70.57.7.55.75.5.77.40.9.6.07 90.63.68.6.70.59.73.57.75.54.78.4.9.9.06 95.64.69.6.7.60.73.58.75.56.78.44.90.3.04 00.65.69.63.7.6.74.59.76.57.78.46.90.35.03 50.7.75.7.76.7.76.69.77.68.79.6.86.54.5 00.76.78.76.78.75.79.74.80.73.8.68.86.6.6 Anmerkung: k st de Anzahl der Regressoren mt Konstante. Quelle: Johnston, J. and J. Dardo, 997, Econometrc Methods, 4 th ed., ew York: McGraw-Hll 6
Formeln Ökonometre I. Mathematsche Grundlagen. Algebra ( ) AB ' = B'A ' ( ) A' ' = A AA I = und ( A ) ' = ( A' ) A A ( ) AB = B A Abletung von Matrzen = I Für de Matrx A und de Vektoren x und c glt be passender Ordnung: c'x = c x Ax = A' x Wenn A symmetrsch st: x 'Ax = Ax x. Varanz, Kovaranz und Korrelatonskoeffzent Varanz: σ = V Y = E Y E Y { } { } ( ( )) { } E{ Y} = E Y Kovaranz: { } { } ( ( ))( ( )) { } E{ X} E{ Y} σ YX = cov Y,X = E Y E Y X E X = E XY Korrelatonskoeffzent: { Y, X } { } { } cov, YX ρ YX = = ρyx σyσx V X V Y X,Y snd unkorrelert, wenn cov{y,x} = 0 Rechenregeln: Wenn a, b, c, d Skalare und X, Y Zufallsvarablen snd: { + } = { } V ay b a V Y { + } = { } + { } + { } V ay bx a V Y b V X ab cov Y, X σ II. Annahmen m lnearen Modell A { } E ε = 0 =,,..., A { x,,x } und { ε,, ε } unabhängg snd A 3 V{ ε } =σ =,,, A 4 { j} cov ε, ε = 0,j =,,, j A 5 ε ~ (0,σ I ) A 5' ε ~ ID (0,σ ) A 6 xx ' konvergert gegen ene postv = defnte nchtsnguläre Matrx Σxx. A 7 E{x ε } = 0 A 8 xt und εt snd für gegebenes t statstsch unabhängg A 9 V{ X} Dag { h } A 0 E{ε X} = 0 A ε t ~ IID (0, σ ) A ε =σ =σψ εt st über de Zet unkorrelert, mt Erwartungswert 0. III. Das Lneare Regressonsmodell Lösung für β: b= xx ' xy st bzw. wenn = = ( ) = b= X'X X'ywenn X'X nverterbar st Lösung für b wenn y = β + βx + ε : b = ( x x)( y y) = ( x x) = Varanz des KQ Schätzers: { } ( ) xx ' nverterbar =σ =σ = V b X X'X x x '
Unverzerrter Schätzer für σ : s = e K = IV. Maxmum Lkelhood Lkelhood Funkton m Modell mt ener bnären abhänggen Varable: ( β ) = { = β } { = β} y y = L P y x ; P y 0 x ; Log-Lkelhood Funkton m Modell mt ener bnären abhänggen Varable: ( β ) = ( β ) + ( ) ( ( β )) log L y log F x ' y log F x ' = = Margnale Effekte m Probt und Logt Modell: Probt: ( x ' ) Φ β = φ ( x ' β ) β k xk Logt: ( x' ) expx' ( ) xk ( exp( x ' )) Λ β β = β + β V. Gütemaße ( ) ŷ y e = = = = R ( y y) ( y y) = = Angepasstes R R = = = AIC ( ) e K ( y y) ( ) K = AIC = log e + BIC K = BIC = log e + log k pseudo R pseudor = + ( log L log L 0) / Mc Fadden R ( ) McFadden R = log L / log L0 VI. Tests Krtscher Wert be enem ensetgen Test P tk > t K; α =α { } Konfdenzntervall zum veau - α b t se b <β < b + t se b Teststatstk für enen F-Test auf gemensame Sgnfkanz ( S0 S ) /J F = ~FJ, K S / ( K) F = ( 0) ( ) R R /J R / ( K) Teststatstk Goldfeld-Quandt-Test sa λ= ~F A K,B K s B Teststatstk Durbn-Watson-Test dw = T ( et et ) t= T t= e t Teststatstk Wald-Test ξ W = Rθ q [RV R ] Rθ q ~χ J Teststatstk Lkelhood-Rato-Test ( ) log L( ˆ ) ξ LR = log L θ θ χ VII. IV Schätzer ˆ β = zx' zy IV = = ( ˆ β β IV ) 0 σ ( xz zz zx ), ( ) ( ) k α k k k α k K; K; J ( )