1 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechung 1.1 Grundbegriffe Alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperiments fassen wir in einer Ereignismenge Ω zusammen. Ereignisse sind Teilmengen von Ω. Umfasst das Ereignis nun ein Element von Ω, dann handelt es sich um ein Elementarereignis. Bei einem Würfel mit sechs Seiten wäre Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ein mögliches Ereignis A ist, dass man eine gerade Zahl würfelt: A={2, 4, 6} Ein Elementarereignis wäre B={6}, also das Ereignis, dass eine 6 gewürfelt wird. Laplace-Experiment: Man geht davon aus, dass es nur endlich viele Elementarereignisse gibt: Ω = n. Jedes Elementarereignis E soll mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten P(E) =. Somit gilt für ein Ereignis A: P(A) =. Beispiel fairer Würfel: Hier gibt es 6 mögliche Elementarereignisse, wobei jedes (deshalb fairer Würfel ) mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt. Beispielsweise gilt dann: P({6}) = P({2, 4, 6}) = = A sei das Ereignis, dass keine 6 geworfen wird: A = {1, 2, 3, 4, 5} Damit ergibt sich das Komplement von A (dies sind alle Elemente von W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, die nicht in A liegen): A ={6} Somit gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für keine 6 gleich ist. P(A) =1 P(A) =1 =
- 2-1.2 Wahrscheinlichkeitsbaum Eine Urne enthält 10 blaue (b), 6 rote (r) und 4 gelbe (g) Kugeln. Es wird 2-mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Hier sind folgende Elementarereignisse denkbar: {(b, b), (b, r), (b, g), (r, b), (r, r), (r, g), (g, b), (g, r), (g, g)} Dies sind 3 2 = 9 Elementarereignisse. Würde man dreimal ziehen, so ergäben sich 3 3 = 27 Elementarereignisse. Man kann dieses Zufallsexperiment mit einem Baum darstellen (wie allgemein bei Experimenten, die wiederholt ausgeführt werden). Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln blau sind, ergibt sich durch P({(b, b)})= =.
- 3 - Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel (d.h. genau eine) blau ist wäre: P({(b, r)})+ P({(b, g)})+ P({(r, b)})+ P({(g, b)})= + + + = Wie sieht es aus, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird? Hier würde sich nach jedem Zug die Wahrscheinlichkeiten ändern, da die jeweils gezogene Kugel fehlt. Wir zeichnen für diesen Fall einen Baum mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Hier wäre beispielsweise P({(b, b)}) = =.
- 4 - Ein weiteres Beispiel für die Verwendung eines Baumes: Es wird 3-mal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dabei mindestens eine 6 zu würfeln (Ereignis A)? 1. Möglichkeit: Die Wahrscheinlichkeit beträgt: P(A) = + + = 0,4213 = 42,13% Sobald im Baumdiagramm eine 6 vorkommt, kann der Ast beendet werden (das wäre das selbe, wie bei einem Spiel, bei dem ein Spieler 3-mal würfelt und gewinnt, sobald die erste 6 fällt). Wenn man die Verästlung fortsetzen würde, so müsste man über alle diese Äste summieren und es würde sich letztendlich nur derselbe Wert ergeben. Denn wenn man 100-mal würfelt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim ersten Wurf eine 6 zu erhalten 1/6 (wenn es egal wäre, was danach gewürfelt wird). 2. Möglichkeit: P(A) =1 P(A) =1 = 1 = 0,4213 = 42,13% Das Komplementärereignis A ist das Ereignis, dass keine 6 gewürfelt wurde.
- 5-2 Kombinatorik Permutationen: Die Anzahl der Möglichkeiten n verschiedene Objekte in ihrer Reihenfolge zu vertauschen ist n!=1 2 3 n Zu n! sagt man n Fakultät. Dabei ist 0! = 1. Es sind 5 Pferde bei einem Rennen gestartet. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieldurchlauf? Antwort: 5! = 120 Somit gäbe es auch 120 Möglichkeiten für 5 Personen sich in einer Reihe anzustellen. Sind bestimmte Objekte nicht unterscheidbar, dann kann man wie im folgenden Beispiel vorgehen: Wie viele Wörter kann man theoretisch aus den Buchstaben A A A B B C C C C bilden? Antwort:!!!! = 1260 Für nur 2 verschiedene Buchstaben A und B in einem Wort aus n Buchstaben vorkommen, dann ergibt sich für die Anzahl der möglichen Wörter der sogenannte Binomialkoeffizient: A A A B B B k- mal (n- k)- mal Anzahl möglicher Vertauschungen:!! ( )! =: Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge: Wenn es sich nun um n verschiedene Objekte handelt, von denen man k (ohne Beachtung der Reihenfolge) auswählen möchte, dann gibt es (gesprochen n über k) Möglichkeiten. (a) Ein Verein mit 20 Mitgliedern wählt einen Vorstand aus 5 Personen. Wie viele Möglichkeiten gibt es theoretisch? Antwort:
- 6 - (b) In einer Klasse bestehend aus 15 Mädchen und 10 Jungs sollen 5 Mädchen und 5 Jungen ausgewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es theoretisch? Antwort: Es gibt Möglichkeiten. Für den Binomialkoeffizienten gilt: = = 1 = Ziehen mit Zurücklegen und mit Betrachtung der Reihenfolge: Werden aus n verschiedenen Objekten k mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, so gibt es n Möglichkeiten. Beispiele: (a) Bei einem Spielautomaten gibt es 4 Felder mit jeweils 5 verschiedenen Symbolen. Wie viele Möglichkeiten gibt es (die im Display angezeigt werden können)? Antwort: 5 Möglichkeiten. (b) Ein Autokennzeichen besteht aus 2 Buchstaben und 3 Ziffern. Wie viele Möglichkeiten gibt es, falls theoretisch jede Kombination an Buchstaben zugelassen wäre? Antwort: 26 9 10 = 608.400, falls die erste Ziffer keine Null sein darf.
- 7-3 Stichproben und Häufigkeiten Würde man z.b. n =10 mal ein Spiel spielen und sich jeden Gewinn notieren, so könnte man die absolute Häufigkeit für jeden Wert angeben, als auch die relative Häufigkeit. Wir betrachten ein Spiel, bei dem man 0, 2, 4 oder 6 gewinnen kann und spielen dieses 10 mal. Wir gewinnen: 0, 2, 2, 6, 2, 4, 0, 4, 4, 4 Stichprobe a absolute Häufigkeit a(a ) relative Häufigkeit r(a ) 0 2 2 3 4 4 6 1 Relative Häufigkeit 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0 2 4 6 Wenn man den Stichprobenumfang vergrößern würde, dann liegen die relativen Häufigkeiten in etwa bei der Wahrscheinlichkeit. Genau genommen konvergiert die relative Häufigkeit (bei einem Grenzwert nach Wahrscheinlichkeit und unter gewissen Voraussetzungen) gegen die entsprechende Wahrscheinlichkeit.
- 8-4 Die Binomialverteilung 4.1 Bernoulli-Experiment und die Binomialverteilung Wir betrachten zunächst ein sogenanntes Bernoulli-Experiment. Bei diesem Zufallsexperiment gibt es nur 2 mögliche Ausgänge (d.h. 2 Elementarereignisse). Das eine, für welches man sich gleich bei der Binomialverteilung interessiert (wir nennen es A), tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf, das andere ( ) mit Wahrscheinlichkeit q =1 p. P(A) = p P(A) =1 P(A) =1 p=q 1) Münzwurf: Sei A = {Kopf}, womit ={Zahl} wäre. Hier ist p = P(A) = (bei einer faire Münze ) und q = P(A) =1 =. 2) Würfeln. Man interessiert sich für A: Es wurde eine 6 gewürfelt. p=p(a)= q=p(a) = 1 = Führt man ein Bernoulli-Experiment n mal (unabhängig voneinander) durch und betrachtet man die Zufallsvariable X =Anzahl, wie oft A aufgetreten ist, dann ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p.
- 9 - Die Wahrscheinlichkeit, dass A k mal auftritt (d.h. P(X = k)), berechnet sich dann wie folgt: P(X =k) = p (1 p) Wie ergibt sich diese Formel? A soll k mal auftreten. Damit tritt A (n k) mal auf. Die Wahrscheinlichkeit für die Folge A, A, A,, A, A,A,,A wäre p (1 p). k mal (n k) mal Dies entspricht genau einem Pfad entlang des Baumes. Wäre die Reihenfolge so vorgegeben, dann würde man den Faktor nicht benötigen. ist nun die Anzahl der Pfade am Baum, bei denen k mal A und (n k) mal A vorkommt, denn:!!()! = Somit ist die Wahrscheinlichkeit P(X =k) = p (1 p). Es wird 100 mal ein fairer Würfel gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 10 Sechsen gewürfelt werden? Antwort: n = 100; p = Also ca. 100*0,0214 % = 2,14%. ; P(X =10) = 0,0214