Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 7. Mai 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 1
1.7 Wichtige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 1.7.1 Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Dichtefunktion 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 1 f(x) = e (x µ)2 2 2 2π mit µ = 5, = 3 5 0 5 10 15 x Parameter: µ R, 2 > 0. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 2
Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Zufallsgröße X mit Dichtefunktion f X bzw. Verteilungsfunktion F X f X (x) = 1 2π e (x µ)2 2 2, F X (x) = 1 2π x e (t µ)2 2 2 dt, x R. Dichtefunktion Verteilungsfunktion 0.00 0.04 0.08 0.12 1 f X(x) = e (x µ)2 2 2 2π mit µ = 5, = 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 X~N(µ, 2 ) mit µ = 5, = 3 F X(x) 5 0 5 10 15 5 0 5 10 15 x Bezeichnung: X N(µ, 2 ). Kenngrößen: EX = µ und VarX = 2. x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 3
Dichtefunktionen mit verschiedenen Erwartungswerten Dichtefunktionen 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 X~N(µ, 2 ) µ = 10, = 3 µ = 5, = 3 µ = 0, = 3 10 5 0 5 10 15 20 x Die Dichtefunktion ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = µ, deshalb gilt für den Median auch x 0.5 = µ. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 4
Dichtefunktionen mit verschiedenen Varianzen Dichtefunktionen 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 X~N(µ, 2 ) µ = 5, = 5 µ = 5, = 3 µ = 5, = 2 10 5 0 5 10 15 20 x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 5
Verschiedene Dichtefunktionen Dichtefunktionen 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 X~N(µ, 2 ) µ = 9, = 2.5 µ = 5, = 2 µ = 1, = 3 10 5 0 5 10 15 20 x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 6
Standardnormalverteilung Die Zufallsgröße X ist standardnormalverteilt, falls X normalverteilt ist mit µ = EX = 0 und 2 = VarX = 1, d.h. X N(0, 1). Die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion sind dann φ(x) = 1 2π e x2 2 bzw. Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt, x R. Ist die Zufallsgröße X normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz 2, dann ist die standardisierte Zufallsgröße Z := X µ standardnormalverteilt, d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 7
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten Geg.: X N(µ, 2 ), a < b. Ges.: P(a X b). Wegen Z = X µ N(0, 1) gilt P(a X b) = ( a µ P X µ b µ ) = ( a µ P Z b µ ) = ( ) ( ) b µ a µ Φ Φ. Dabei ist Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 8
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten II ( ) ( ) b µ a µ P(a X b) = Φ Φ, ( ) a µ P(a X ) = 1 Φ, ( ) b µ P(X b) = Φ. Die Funktionswerte von Φ können aus einer Tabelle (z.b. im Anhang der Formelsammlung zur Lehrveranstaltung) abgelesen werden oder z.b. mit einem Taschenrechner berechnet werden. Für alle reelle Zahlen x gilt: Φ( x) = 1 Φ(x). Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 9
Rechenbeispiel 1.11 Geg.: X N(30, 25). Ges.: P(28 X 35). Dichtefunktion 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 X~N(µ, 2 ) mit µ = 30, = 5 15 20 25 30 35 40 45 x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 10
Intervall symmetrisch zum Erwartungswert Geg.: X N(µ, 2 ) und c > 0. ( ) ( ) (µ + c) µ (µ c) µ P(µ c X µ + c) = Φ Φ ( c ) ( ) c = Φ Φ ( c ) ( ( c )) = Φ 1 Φ ( c ) = 2Φ 1 Beispiel.: 3-Regel: c = 3. P(µ 3 X µ + 3) = 0.9974 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 11
k Regeln für Normalverteilung Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert einer Zufallsgröße X N(µ, 2 ) um nicht mehr als 3 vom Erwartungswert ( Sollwert ) µ abweicht? Antwort: P(µ 3 X µ + 3) = ( ) 3 2Φ 1 = 2Φ(3) 1 = 2 0.9987 1 = 0.9974 3 Regel: 2 Regel: 1 Regel: Innerhalb von µ ± 3 liegen 99.7% der Messwerte. Innerhalb von µ ± 2 liegen ca. 95.4% der Messwerte. Innerhalb von µ ± liegen ca. 68.3% der Messwerte. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 12
Beispiel 1.12 2 Intervall Geg.: X N(5, 9), d.h. µ = 5 und = 3. 0.954 = P(µ 2 X µ + 2) = P(5 2 3 X 5 + 2 3) = P( 1 X 11) Dichtefunktion 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 1 f X (x) = e (x µ)2 2 2 2π 0.954 mit µ = 5, = 3 5 0 5 10 15 x Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 13
Quantile der Standardnormalverteilung Die Quantilsfunktion ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) der Verteilungsfunktion. Das p-quantil der Standardnormalverteilung wird mit z p bezeichnet. Sei 0 < p < 1 eine Wahrscheinlichkeit und Z N(0, 1), dann ist: P(Z < z p ) = Φ(z p ) = p = z p = Φ 1 (p). Die Werte von z p können aus einer Tabelle (z.b. im Anhang der Formelsammlung zur Lehrveranstaltung) abgelesen werden oder z.b. mit einem Taschenrechner berechnet werden. Es gilt: z p = z 1 p Beispiel: z 0.05 = z 0.95 = 1.645. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 14
Beispielaufgabe 1.13 vorgegebene Wahrscheinlichkeit Frage: In welchem Intervall I = [µ c; µ + c] liegen im Mittel (z.b.) 90% der Messwerte für X N(µ, 2 )? Ges.: c, so dass P( X µ c) = 0.9. Lsg.: ( c ) Φ 0.9 = P( X µ c) = P(µ c X µ + c) = 2Φ = 0.9 + 1 2 = 0.95 c = z 0.95 = 1.645 (0.95-Quantil) c = 1.645. ( c ) 1 D.h., zwischen µ 1.645 und µ + 1.645 liegen im Mittel 90% der Messwerte. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 15
Beispielaufgabe 1.14 zum Additionssatz Additionssatz: X 1 N(µ 1, 1 2), X 2 N(µ 2, 2 2), unabhängig, a 1, a 2 R a 1 X 1 + a 2 X 2 N(a 1 µ 1 + a 2 µ 2, a1 22 1 + a2 2 2 2 ). Geg.: Ges.: Abfüllmenge in ml Flasche: X N(1000, 100) Flaschenvolumen in ml: Y N(1020, 25) Wahrscheinlichkeit, dass Flasche beim Abfüllen überläuft. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 16
Zentraler Grenzwertsatz I X i i=1 Die Summe S n = n von n unabhängigen N(µ, 2 )-verteilten Zufallsgrößen X 1,..., X n ist normalverteilt mit Erwartungswert nµ und Varianz n 2. Näherungsweise gilt eine ähnliche Aussage auch für Zufallsgrößen mit anderen Verteilungen. Für unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen X 1, X 2,... mit EX i = µ, VarX i = 2 > 0 konvergiert die Verteilung der standardisierten Summe gegen die Standardnormalverteilung, d.h. es gilt für z R P ( Sn ES n VarSn bzw. für große n gilt: ) ( ) Sn nµ < z = P < z Φ(z), n 2 n P (S n < x) Φ ( ) x nµ. n 2 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 17
Zentraler Grenzwertsatz II Häufig ergeben sich Zufallsgrößen (z.b. Messfehler) durch (additive) Überlagerung vieler kleiner stochastischer Einflüsse. Der zentrale Grenzwertsatz bewirkt dann, dass man diese Größen (näherungsweise) als normalverteilt ansehen kann. Spezialfall: Sind X 1,..., X n identisch Bernoulli-verteilt, d.h. X i Bin(1, p), so gilt für die Summe S n Bin(n, p) und nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt für z R : ( ) S n np P < z np(1 p) n Φ(z) bzw. für große n (np(1 p) > 9) gilt ( ) x np P (S n < x) Φ (Satz von Moivre-Laplace). np(1 p) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 18
Beispiel 1.15 Zentraler Grenzwertsatz I Eine Weinkellerei lädt 200 Kunden zur Weinverkostung ein. Erfahrungsgemäß kommt es mit 60% der Kunden zu einem Verkaufsabschluss. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass genau 130 Kunden abschließen und dass mehr als 130 Kunden abschließen? ZG X = Anzahl der Abschlüsse Bin(200, 0.6) E(X ) = Var(X ) = P(X = 130) = ( 200 130) 0.6 130 0.4 70 = 0.0205 P(X > 130) = 200 k=131 ( 200 ) k 0.6k 0.4 200 k = 0.0639. Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 19
Beispiel 1.15 Zentraler Grenzwertsatz II Approximation mittels Normalverteilung P(X = 130) = P(129.5 < X < 130.5) P(X > 130) = 1 P(X 130) = 1 P(X < 130.5) Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April 2018 20