Mathmatik MB Übungsblatt ***LÖSUNGEN*** Thmn: Diffrntialrchnung Grundlgnd Funktionn Umfang: Hilfsmittl: Aufgabn Sind kin notwndig Ein Formlsammlung und in nicht programmirbarr Taschnrchnr könnn abr vrwndt wrdn Aufgab A (Vollständig Kurvndiskussion): Führn Si an dn folgndn bidn Funktionn Grads in vollständig Kurvndiskussion durch Dis umfasst: Vollständig Kurvndiskussion: Di Ablitungn (maimal ) Symmtri ds Schaubilds (grad, ungrad) Di Nullstlln Vrhaltn für bzw Dfinitionslückn Di Etrmpunkt 6 Di Wndpunkt 7 Das Schaubild a) f ( ) b) g ( ) a) Di Ablitungn sind f '( ), f ''( ) 6 und f '''( ) 6 Es ligt kin rknnbar Symmtri vor Di Nullstlln: Wir ratn di Nullstll Mit dm Hornr-Schma rhaltn wir: f() DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Di quadratisch Funktion, wlch durch Abspaltung ds Linarfaktors aus dr Funktion f ntstht, ist p ( ) Drn Nullstlln bstimmn wir mit dr Mittrnachtsforml: / ; Bi ligt somit in dopplt Nullstll vor Das Vrhaltn für : Diss richtt sich nach dr höchstn Potnz, womit das glich Vrhaltn wi bi g( ) vorligt: Für folgt f (), für folgt f () Di Etrmstlln sind bi f '( ) zu findn Mit dr Mittrnachtsforml rhaltn wir 6 / ; 6 6 Durch das Einstzn disr in di zwit Ablitung rknnn wir: - f ''() 6, also Tifpunkt T ( / f ()) T (/ ) 6 f, also Hochpunkt H / f ( )) H ( / ) ' - '( ) 6 ( 7 6 Dn Wndpunkt bkommn wir, wnn wir f ''( ) lösn Das lifrt uns W Und da f ''( ) 6 ist, ligt in Wndpunkt vor Disr lautt ' W / f ( )) W( / ) ( 7 7 Das Schaubild: Figur : Schaubild dr Funktion aus Aufgabntil a) DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN b) Di Ablitungn sind g '( ) 6, g ''( ) 6 6 und g '''( ) 6 Es ligt kin rknnbar Symmtri vor Di Nullstlln: Wir ratn di Nullstll Mit dm Hornr-Schma rhaltn wir: 6 g() Di quadratisch Funktion, wlch durch Abspaltung ds Linarfaktors aus dr Funktion f ntstht, ist p ( ) 6 Drn Nullstlln bstimmn wir mit dr Mittrnachtsforml: / ; Das Vrhaltn für : Diss richtt sich nach dr höchstn Potnz, womit das glich Vrhaltn wi bi g( ) vorligt: Für folgt g (), für folgt g () Di Etrmstlln sind bi g '( ) zu findn Mit dr Mittrnachtsforml rhaltn wir 6 / 6 6 Durch das Einstzn disr in di zwit Ablitung rknnn wir (mit Hilf ins Taschnrchnrs):: - g '( ), also Tifpunkt T / g( )) T (,7 /,) ' ( - g '( ), also Hochpunkt H / g( )) H (,7 /,) ' ( DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN 6 Dn Wndpunkt bkommn wir, wnn wir g ''( ) lösn Das lifrt uns Und da g '''() 6 ist, ligt in Wndpunkt vor Disr lautt W ( / g()) W (/ 6) W 7 Das Schaubild: Figur : Schaubild dr Funktion aus Aufgabntil b) Aufgab A (Funktion Grads mit Paramtr, nicht anwndungsorintirt): Es ist di Funktion f t ( ) ( t ) ( t) t mit t und ggbn a) Bstimmn Si di Nullstlln dr Funktion für t b) Zign Si, dass jd Funktion dr Schar gnau zwi Stlln mit waagrchtr Tangnt bsitzt Warum istirn kin Funktionn mit inr odr kinr waagrchtn Tangnt? c) Zign Si, dass sich all Funktionn in zwi Punktn schnidn Gbn Si dis auch an a) Di Funktion für t lautt: f ( ) 6 Wir wolln di Nullstlln brchnn Dazu ratn wir zu Bginn in Nullstll Es ist in Nullstll, dnn f ( ) 6 Hirmit führn wir nun das DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Hornr-Schma (odr in Polynomdivision) durch, um dn zughörign Linarfaktor abzuspaltn und in Polynom Grads zu rhaltn Hornr-Schma: 6 6 6 Addition dr Wrt ~ Wir brchnn für das Polynom f ( ) 6 di Nullstlln mit Hilf dr Mittrnachtsforml und rhaltn / ; Di Schnittpunkt mit dr -Achs sind somit: N ( / ), N ( / ), N (/ ) Figur : Das Schaubild dr Funktion b) Untrsuchung allr Funktionn auf waagrcht Tangntn Di Ablitung lautt f ' ( ) ( t ) ( t ) DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Wir stzn glich und lösn di Glichung Es ist dann ( t ) ( t ) ( t) t t t / 6 6 Damit zwi Lösungn istirn muss di Diskriminant sin Wir rchnn t t t t t 7 t t 7 6 : quadratisch Ergänzn 6 Disr Ausdruck ist wgn dm Quadrat auf dr linkn Sit immr wahr und somit gibt s für jds t zwi Lösungn, dh zwi Punkt mit waagrchtr Tangnt c) Schnitt allr Funktionn in zwi Punktn Wir wähln zwi konkrt Kurvn dr Schar, zb di für t und t, und rhaltn f ( ) f ( ), Dis bidn Funktionn stzn wir glich und lösn di ntsthnd quadratisch Glichung, wlch lautt Di Lösungn sind und Wir stzn dis nun in di Funktionsglichung mit t in: f t ( ) ( t ) ( t) t t t und f t ( ) ( t ) ( t) t t t t DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE 6 VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Di Funktionswrt sind unabhängig von Funktionsschaubildr in dn Punktn t und darum schidn sich all S ( /) und S (/ ) Figur : Ein paar Scharkurvn zur Illustration dr gminsamn Punkt Aufgab A (Abschnittswis dfinirt Funktionn): Ggbn si di Funktion f m ) n (, Wlch Bdingung müssn m, n rfülln, damit di Funktion sttig ist? Es muss gltn, dass lim f ( ) f (), also rgibt sich n n m m n m n, lim Das ist di gsucht Bdingung DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE 7 VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Aufgab A (Minimalr Flächninhalt): Für jds t + ist in Grad g t mit dr Glichung g t ( ) tt mit ggbn Dis Grad schnidt di Koordinatnachsn in dn Punktn muss man t wähln, damit das Drick Gbn Si zusätzlich disn Inhalt an Y t t X t und Y t Wi OX inn minimaln Flächninhalt bsitzt? Wir bstimmn zurst di Achsnschnittpunkt Mit dr y -Achs: Mit dr -Achs: g ( ) t Y /t t t gt ( ) tt t t X t t / t In Figur sind mplarisch in paar dr Funktionn ingzichnt, womit di Drick bnfalls zu rknnn sind Figur : Gradnschar DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Dr Skizz ntnhmn wir, dass t 6t t t 6 A ( t) t t t t Wir rknnn, dass für t dr Flächninhalt bnfalls ggn unndlich ght ( t wächst ins Unndlich, vrschwindt) Für t ght dr Flächninhalt bnfalls ggn t unndlich ( t vrschwindt, wächst ins Unndlich) t Nachdm wir nun di Randwrt untrsucht habn, könnn wir uns dm Minimum mit dr rstn Ablitung zuwndn Dis lautt A' ( t) t Wir stzn glich und rhaltn Da t + ist 9t t t / t t t 9 6 t t di gsucht Lösung und wgn (mit A'' ( t) t ) A '' ligt auch wirklich in Minimum vor Bgründt durch di obn durchgführt Randwrtuntrsuchung ist s das global Minimum Dr gsucht Flächinhalt ist somit A 6 6 FE Aufgab A (Lösn von Glichungn): Lösn Si di folgnd Glichung für ; : sin cos sin DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE 9 VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Es ist cos sin Damit lautt di Glichung sin sin sin sin sin sin sin sin Wir substituirn u : sin und rhaltn u u Dis Glichung lösn wir mit dr Mittrnachtsforml u / 9 6 u u Durch di Rücksubstitution findn wir, 7 und sin sin,7 ist, sind di gfundnn Lösungn di inzign bidn im ggbnn Intrvall (sih Figur ) Da Figur : Intrvall und zu substituirnd Funktion DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Aufgab A6 (Sinusfunktion Ein Pndluhr): Wir btrachtn in Pndluhr (Figur ): Figur : Ein Pndluhr Dr Ausschlag ds Pndls am untr End bträgt maimal cm Für di Durchführung inr Schwingung braucht das Pndl Skundn Das Pndl start bi unsrn Btrachtungn aus dr Ruhlag a) Stlln Si in Funktion dr Form f ( t) A sin( t ) auf, wlch dn Ausschlag ds Pndls zur Zit t (gmssn in Skundn) in Zntimtrn angibt Das Pndl braucht nun für in Schwingung akt, Skundn, di Uhr misst abr für sich slbr nur Skundn b) Wnn für di Pndluhr Stundn vorbi sind, um wi vil Skundn muss man si dann korrigirn Wi spät ist s also tatsächlich? Di Einstllungn für das Pndl wrdn gändrt Es braucht nun, Skundn für in Schwingung, di Uhr misst abr für sich slbst Skundn c) Um wi vil Proznt untrschidt sich nun di Abwichung aus Aufgabntil b) von dm Wrt, dr nun bi dr glichn Btrachtung hrauskommt? Wi lang dürft di Uhr hir für in Schwingung brauchn, wnn s kinn Untrschid zu dr Abwichung aus Aufgabntil b) gäb? a) Wir suchn in Funktion dr Gstalt f ( t) A sin( t ) DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Dabi ist mit A di Amplitud, also dr maimal Ausschlag bzichnt, gibt di sog Krisfrqunz an, wlch di Priod dr Funktion zu p bstimmt und ist di Phasnvrschibung, gibt also an, bi wlchm y -Wrt dr Sinusfunktion wir uns zum Zitpunkt t bfindn Vrglichn wir nun das Gsagt mit dn im Tt ggbnn Informationn, so rgibt sich: Amplitud A (cm) Di Priodndaur ist p Skundn Aus p folgt Wir startn in dr Ruhlag, dh sin( ), womit k mit k,,,,,, gilt Wir wähln k Damit ist di gsucht Funktion gfundn und lautt f ( t) sin t b) Wnn für di Uhr in Tag vrgangn ist, dann hat das Pndl 6 6 7 Schwingungn vollführt In aktr Zit sind dann abr 7, 6,6 Skundn vrgangn, so dass wir brits sit, 6 Skundn inn nun Tag habn, dh di Uhr hinkt dr Zit hintrhr Somit müssn wir di Uhr um twa in halb Minut vorstlln c) Di glich Rchnung wi in Aufgabntil b) lifrt, dass das Pndl nun 6 Schwingungn vollführt hat, wnn für di Uhr in Tag vorbi ist Eakt gmssn sind dann abr 67, Skundn vrgangn, womit di Uhr nur noch 7, Skundn dr Zit hintrhr hinkt Vrglichn wir di Ergbniss aus b) und c), so rhaltn wir, dass sich di Abwichung dr Uhr aus Til b) von dr aus c) um DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN,6 7, % % 7, untrschidt, di Abwichung in b) damit dopplt so groß ist wi in c) Wnn di Uhr nun in c) bnfalls, 6 Skundn Abwichung wi in b) habn darf, rhaltn wir 6,6 t c 6 t c, Skundn als akt gmssn Zit für in Schwingung, in dr di Uhr nur Skundn rgistrirt Aufgab A7 (Voglflug mit Sinuskurv): Wir btrachtn in Vöglchn Diss flig gradlinig, währnd das Schlagn sinr Flügl in Sinuskurv bschribt Mit jdm Schlag kommt das Vöglchn Mtr voran und dr höchst Punkt sins Flügls bim Schlagvorgang ist cm vom tifstn Punkt sins Flüglschlags ntfrnt Es fligt in inr Höh von Mtrn (gmssn zur Mitt ds Flüglschlags) übr dm Erdbodn a) Stlln Si inn Trm auf, wlchr di Höh ds Flügls in Mtrn übr dm Erdbodn bschribt in Abhängigkit von dr zurückglgtn Strck b) Wnn das Vöglchn mit 7 km / h fligt, wi oft schlägt s dann in dr Skund mit dn Flügln? c) Wi ist di Funktion aus Aufgabntil a) zu vrändrn, wnn wir nicht in Abhängigkit von dr Wgstrck, sondrn in Abhängigkit von dr Flugzit rchnn wolln? a) Di Sinusfunktion muss in Funktionsglichung dr Form h( ) a sin b c habn, da wir in Variation dr Priod vornhmn, di Amplitud ggbn habn und di Flughöh bnso Wir ghn davon aus, dass wir zu inm Zitpunkt auf dn Flügl schaun, wnn disr sich gnau in dr Mitt zwischn tifstm und höchstm DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Schlagpunkt bfindt und zusätzlich in sinr Bwgung auf dm Wg nach obn ist Damit brauchn wir kin zusätzlich Addition ins konstantn Wrts innrhalb ds Argumnts ds Sinuss, Es ist nun a, Mtr (Umrchnn ds Zntimtrwrts, da Angab in Mtrn vrlangt), da dr Untrschid zwischn Minimum und Maimum grad das dopplt dr Amplitud ist Ds Witrn habn wir c Mtr, wlchs di Flughöh ist, so dass wir bis zur Mitt ds Flüglschlags gmssn habn Zu gutr Ltzt ist di Priod ds Flüglschlags mit p Mtrn anggbn Es gilt für di Sinusfunktion, dass p b b p Somit habn wir, wnn di zurückglgt Strck in Mtrn angibt, dn Funktionstrm mit ggbn h( ), sin b) Wnn das Vöglchn mit 7 Kilomtrn pro Stund fligt, dann sind dis km km m 7 m m 7 7 7 h h 6s,6 s s Damit schlägt s :, Mal pro Skund (Frqunz ds Flüglschlags ist,, s Hz (Hrtz)) c) Nun wolln wir in Abhängigkit von dr Flugzit rchnn An dn Wrtn für a und c ändrt sich dabi nichts, si hängn ja nicht von dr Wgstrck bzw dr Flugzit ab Di Wgstrck brchnt sich bi ggbnr Fluggschwindigkit v zu ( t) v t Dis stzn wir in h () in und rhaltn h( ) h( ( t)) h( t), sin v t, sin m v s t DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON Aufgab A (Trocknübung Lösn von Glichungn): Lösn Si di folgndn Glichungn akt: a) b) c) d) ) f) ln g) h) i) j) Wir brchnn di Lösungn dr Glichungn: a) Es si Da für all könnn wir dn Faktor abdividirn und rhaltn b) ln ln c) d) ) f) ln ln ln g) h) ln ln ln ln ln ln
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN i) Binomisch Forml j) ln : Aufgab A9 (Eponntialfunktionn): Ggbn sind di Funktionn f k ( ) und g k ( ) mit k Zign Si, dass ihr bidn Schaubildr unabhängig von k immr gnau inn Punkt gminsamn habn und dass dis immr drslb Punkt bi alln Paarn ist k Wir rchnn k k k Stzn wir disn Wrt in, so rgibt k k sich Also habn all Paar inn Punkt gminsam und zwar immr dn Punkt P ( /) Aufgab A (Eponntialfunktionn): Es si f a ( ) a mit a ggbn Bstimmn Si dn Paramtr a so, dass di Funktion f an dr Stll ln inn Wndpunkt hat Ein Wndpunkt bi W bdutt, dass f ''( ) W Es ist f a ( ) a, also f '( ) a a f ''( ) a a a, a f a a a a a a Damit folgt ''(ln ) ln a a a Da in dr gratn! vorltztn Glichung dr link Til strng monoton fällt und dr rcht strng monoton wächst für a (bid Sitn als Funktionn von a aufgfasst), ist dis di inzig Lösung! Aufgab A (Wachstum inr Pflanz): Di Höh inr Pflanz (in Mtrn) zur Zit t (in Wochn sit dm Bginn dr Bobachtung) soll zunächst durch in Funktion h mit DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE 6 VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN nährungswis bschribn wrdn h ( t), kt a) Wi hoch ist di Pflanz zu Bginn dr Bobachtung? Bstimmn Si k, wnn di Höh dr Pflanz in dn rstn 6 Wochn dr Bobachtung um, m zugnommn hat Wi hoch müsst dmnach di Pflanz Wochn nach dm Bginn dr Bobachtung sin? Di Pflanz ist nach Wochn tatsächlich nur, m hoch Di Höh wird dshalb für t 6 bschribn durch di Funktion h mit h t a b,6t ( ) b) Bstimmn Si a und b aus dn bobachttn Höhn nach 6 und nach Wochn Brchnn Si lim h ( t) Wlch Bdutung hat disr Wrt für di Pflanz? t a) Di Pflanz misst zu Bginn dr Bobachtung h (),, Mtr Aus dm Tt rfahrn wir, dass 6k h (6),,,, Mtr ln k,, 6 ist Daraus rrchnn wir ln, 6 Pflanz nach Wochn hoch sin 6 ln 6 h (),,6 Mtr Dmnach müsst di b) Wir habn nun h 6) h (6), Mtr und h (), Mtr Damit rgibt sich das ( folgnd Linar Glichungssystm (linar, wil kin dr Variabln mit Potnzn, Wurzl tc vrshn ist): h (6) a b h () a b,66,6,, DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE 7 VON
MATHEMATIK STUDIENGANG: MB ÜBUNGSBLATT LÖSUNGEN Wir zihn di rst von dr zwitn Glichung ab und rhaltn,6 6,6, b, b, 679,66,6 Stzn wir dis in, so rhaltn wir,,66 a,, Mtr,66,6 Somit lautt di Forml h t 679 Wir btrachtn nun dn gfordrtn Lims:,6t ( ),,,6t,6t,679 lim, lim,679, lim h ( t) lim, Mtr t t t t Bdutung: Dis ist di maimal Höh dr Pflanz, größr kann si nicht wrdn DHBW STUTTGART MB MATHEMATIK SEITE VON