1. Emission und Absorption von Quanten (Licht etc.),

Kapitel 4 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse Die meisten physikalischen Übergänge sind nicht stationär, sondern laufen in einem endlichen Zeitintervall ab, d.h. man muß die zeitabhängige Schrödinger Gleichung bzw. zeitabhängige Operatoren zur Beschreibung des Systems benutzen. Wichtige Beispiele sind: 1. Emission und Absorption von Quanten (Licht etc.), 2. Zerfälle von Teilchen, 3. Streuprozesse. Einschaltvorgang In der Regel wird die für die betrachteten Vorgänge maßgebliche Wechselwirkung V(t) erst zu einer Zeit t > T, T 0, wirksam und ist später für t > T nicht mehr spürbar, d.h. wir haben: V(t) = 0 für t > T 0. Äquivalent hierzu kann man auch einen langsamen Einschaltvorgang V(t) V ε (t) = V 0 e ε t e iωt mi < ε 1, wählen. Hierbei ist ω die Frequenz der Störung, z.b. die des Lichtfeldes. 4.1 Schrödinger Bild Zeitunabhängiger Hamilton-Operator Die infinitesimale Zeitentwicklung eines Schrödinger Zustandes ψ S (t) ist durch i h t ψ S (t) = Hψ S (t) gegeben. Falls der Hamilton-Operator H nicht von der Zeit t abhängt, so ist die Zeitentwicklung von ψ S ( ) zur Zeit nach ψ S (t) zur Zeit t > (siehe Kap. 3.1) durch die unitäre Trans- 43

44 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse formation ψ S (t) = U(t, )ψ S ( ) U(t, ) = e ih(t )/ h U(, ) = 1 H(t) H, gegeben. Zeitabhängiger Hamilton-Operator Für den allgemeinen Fall H = H(t) finden wir aus der Definition des Zeitenwicklungsoperators, ψ S (t) = U(t, )ψ S ( ), und der Schrödinger-Gleichung i h t ψ S (t) = i h t U(t, )ψ S ( ) = H(t)ψ S (t) = H(t)U(t, )ψ S ( ), für U(t, ) die Differentialgleichung i h t U(t, ) = H(t)U(t, ), welche als Grundlage für weitere Darstellungen des Zeitentwicklungsoperators dienen wird. Integralgleichung für U(t, ) Die Differentialgleichung für U(t, ) ist zusammen mit der Anfangsbedingung U(, ) = 1 zu der folgenden Integralgleichung für U(t, ) äquivalent, U(t, ) = 1+ 1 dt H(t )U(t, ), i h wie man leicht durch Differentiation nachprüfen kann. Neuman-Reihe Die Lösung der Integralgleichung läßt sich iterativ in Form einer sogenannten Neumann schen Reihe angeben: Man setzt U (0) (t, ) = 1, U (1) (t, ) = 1+ 1 i h U (2) (t, ) = 1+ 1 i h = 1+ 1 i h also allgemein für U (n) (t, ): dt 1 H(t 1 )U (0) (t 1, ), dt 2 H(t 2 )U (1) (t 2, ), ( ) 1 2 dt 1 H(t 1 )+ dt 2 H(t 2 ) i h U (n) (t, ) = 1+ 1 i h 2 dt n H(t n )U (n 1) (t n, ), dt 1 H(t 1 ),

4.1 Schrödinger Bild 45 so daß U(t, ) = ( ) 1 n Z dt n dt 1 H(t n ) H(t 1 ). n=0 i h t t n t 1 Unter dem Integral ist die Reihenfolge der H(t i ) wichtig, da i.a. H(t 2 )H(t 1 ) H(t 1 )H(t 2 ). Der Teilraum, über den integriert wird, sieht für n = 2 so aus: t 2 t 2 t 1 t 1 Zeitordnungs-Operator Die Integration über t 1 und t 2 etc. in der Neumann schen Reihe läßt sich durch die Einführung des sog. Zeitordnungsoperators T symmetrisieren. Er ist wie folgt definiert: ( ) T H(t 1 )H(t 2 ) { H(t1 )H(t 2 ) für t 1 > t 2 H(t 2 )H(t 1 ) für t 2 > t 1 ( ) ( ) Insbesondere gilt T H(t 1 )H(t 2 ) = T H(t 2 )H(t 1 ) und somit dt 2 H(t 2 ) Mit der Stufenfunktion θ(t), 2 dt 1 H(t 1 ) = 1 2 T ( ) H(t 1 )H(t 2 ) dt 1 dt 2. θ(t) = { 1 für t > 0, 0 für t < 0, läßt sich der Zeitordnungsoperator auch als ( ) T H(t 1 )H(t 2 ) = θ(t 1 t 2 )H(t 1 )H(t 2 ) + θ(t 2 t 1 )H(t 2 )H(t 1 ), schreiben. Allgemein gilt somit ( ) T H(t 1 ) H(t n ) = θ(t α1 t α2 ) θ(t αn 1 t αn )H(t α1 ) H(t αn ). Permut.

46 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse Der Zeitentwicklungsoperator spielt in allen störungstheoretischen Darstellungen eine fundamentale Rolle, insbesondere auch in der Theorie der Green schen Funktionen, durch welche alle Meßprosses in der Vielteichlichentheorie dargestellt werden. Formelle Darstellung der Neumann-Reihe Mit Hilfe des Zeitordnungsoperators T lässt sich die Neumann-Reihe für den Zeitentenwicklungsoperators U(t, ) formal wie folgt darstellen: U(t, ) = n=0 T ( ) 1 n 1 i h n! ( { exp ī h ( ) dt 1 dt n T H(t 1 ) H(t n ) }) dt H(t ). Diese Darstellung ist formal, da jede praktische Rechnung mit der ursprünglichen Definition durchgeführt werden muss. Für formale Umformungen und die Entwicklung diagramatischer Methoden ist der Zeitordnungsoperator jedoch unerläßlich. Unitarität Für zwei allgemeine Lösungen ψ(t) und φ(t) gilt i h d ( ) ( ) ( ) ψ(t),φ(t) = ψ(t), H(t)φ(t) H(t)ψ(t), φ(t) = 0 dt für die zeitliche Entwicklung des Skalarprodukt, da H(t) selbstadjungiert ist. Damit ist also das Skalarprodukt eine Konstante der Bewegung und aus ( ) ( ) ( ) ψ(t),φ(t) = U(t, )ψ( ),U(t, )φ( ) = ψ( ),φ( ) folgt das U(t, ) unitär ist. 4.2 Dirac oder Wechselwirkungsbild Dieses, vor allem für die Störungstheorie wichtige Bild zur zeitlichen Entwicklung eines quantentheoretischen Systems, wurde von Dirac eingeführt (s. Kap. 3.1). Zeitunabhängiges ungestörtes System Im Normalfall gilt H(t) = H 0 +V(t), das ungestörte System H 0 ist also nicht explizit von der Zeit abhängig. Zeitentwicklung durch H 0 Beim Wechselwirkungsbild separiert man die Zeitentwicklung von Wellenfunktion im Schrödinger- Bild, ψ S (t) in zwei Anteile. Die Zeitentwicklung durch H 0 ist durch ψ I (t) = e ih 0t/ h ψ S (t) A I (t) = e ih 0t/ h A S e ih 0t/ h

4.2 Dirac oder Wechselwirkungsbild 47 gegeben. ψ I (t) ist die Wellenfunktion im Wechselwirkungsbild (I steht für interaction). Ohne Störung (V = 0) gilt ψ I (t) = ψ S (t). Für eine Störung V(t), welche für t > T verschwindet, sind also die Anfangs- und Endzustände ψ S ( T) durch ψ S ( T) = ψ I ( T) gegeben. Zeitentwicklung durch die Störung Die Zeitentwicklung ist im Wechselwirkungsbild durch geben, also i h d dt ψ I = H 0 e ih 0t/ h ψ S (t) + e ih 0t/ h i h d dt ψ S(t) (4.1) = e ih 0t/ h ( H(t) H 0 )ψ S (t) (4.2) = e ih 0t/ h V(t)e ih 0t/ h e ih 0t/ h ψ S (t) (4.3) = V I (t)ψ I (t) (4.4) i h t ψ I = V I (t)ψ I (t) und d dt A I = ī h [H 0,A I ]+( t A) I. Das Wechselwirkungsbild erlaubt es also die unterschiedliche physikalische Bedeutung von H 0 und der Störung V(t) mathematisch präzise zu erfassen. Zeitentwicklungsoperator U I (t, ) im Welchselwirkungsbild Von Interesse ist nun der Zeitentwicklungsoperator U I (t, ) im Welchselwirkungsbild, welcher via ψ I (t) = U I (t, )ψ I ( ), U I (, ) = 1 definiert ist. Falls V(t) nicht explizit von der Zeit abhängt, so gilt (s. Kap. 3.1) U I (t, ) = e ih 0t/ h e iht/ h e ih/ h e ih 0 / h. Ist V(t) dagegen zeitabhängig, so bemerkt man wieder (wie im Schrödinger Bild), daß die Differentialgleichung i h t U I (t, ) = V I (t)u I (t, ) zusammen mit der Anfangsbedingung U I (, ) = 1 zu der Integralgleichung U I (t, ) = 1+ 1 dt V I (t )U I (t, ) i h

48 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse äquivalent ist. Diese hat nun wiederrum die formale Lösung U I (t, ) = = T n=0 1 1 n! (i h) n ( exp { ī h dt 1 dt n T (V I (t 1 ) V I (t n )) }) dt V I (t ). Diese Darstellung ist der maßgebliche Ausgangspunkt für sehr viele störungstheoretische Rechnungen, indem man sukzessive die Terme mit n = 1,2,3 etc. berücksichtigt. 4.3 Übergänge 1. Ordnung Liegt zur Zeit t = der Zustand ψ I ( ) vor, so entwickelt sich daraus aufgrund der Störung V I (t) zur Zeit t der Zustand ψ I (t) = U I (t, ) ψ I ( ). Lineare Störungstheorie Nimmt man aus der Reihe für U(t, ) nur die Terme mit n = 0 und 1 mit, so folgt: ψ I (t) = ψ I ( ) + 1 dt V I (t ) ψ I ( ). i h Die Korrektur ist also linear in der Störung. Eigenzuständen von H 0 Es seien ϕ n, H 0 ϕ n = E n ϕ n, die stationären Eigenzustände von H 0. Wir wählen einen Eigenzustand als Anfangszustand: ψ I ( T) = ϕ n, = T, T 0. Entwicklung nach Eigenfunktionen von H 0 Die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, daß sich das System zur Zeit t = +T im Zustand ϕ m befindet, ist durch ϕ m ψ I (T) = δ mn + 1 Z +T dt ϕ m V I (t ) ϕ n i h T gegeben. Aus V I (t) = e ih 0t/ h V(t)e ih 0t/ h, folgt ϕ m V I (t) ϕ n = e i(e m E n )t/ h ϕ m V(t) ϕ n,

4.3 Übergänge 1. Ordnung 49 und daher ϕ m ψ I (T) = δ mn + 1 i h Z +T T dt e i(e m E n )t / h ϕ m V(t ) ϕ n. Übergangswahrscheinlichkeit Dies ist die grundlegende Formel für die Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit w n m (2T) = ϕ m ψ I (T) für die Störungstheorie in ersten Ordnung in V(t). Um die Formel weiter auszuwerten, sind zusätzliche Kenntnisse zur Form von V(t) notwendig. Zwei wichtige Beispiele werden nun diskutiert. 4.3.1 Zeitunabhängiges Potential Falls V nicht explizit von der Zeit abhängt, so läßt sich das Zeitintegral unmittelbar ausführen: Z +T T dt e iω nmt = 2 sin(ω mnt), ω mn = 1 h ) (E m E n. ω mn 2 Darstellung der δ-funktione Bei der Berechnung von w n m (2T) ist die Darstellung ( sin 2 ) (xt) lim T πx 2 = δ(x), T für die Distribution δ(x) nützlich. Begründung: Es sei f(x) eine Testfunktion. Dann gilt Z +a a Für große T folgt daraus dx sin2 (xt) x 2 T f(x) = Z +at at dy sin2 (y) y 2 f(y/t), y = T x. Z +... f(0) dy sin2 (y) y 2 = f(0)π. Übergangswahrscheinlichkeit Wir erhalten somit für E m E n und T w n m (2T) = 4π 1 h 2 T δ(ω mn) < ϕ m V ϕ n > 2 für die Übergangswahrscheinlichkeit. Wegen δ(ax) = 1 a δ(x) bekommen wir damit für die Übergangsrate Γ n m = w n m (2T)/(2T)

50 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse das wichtige Resultat Γ n m = 2π h δ(e n E m ) ϕ m V ϕ n 2. Fermi s goldene Regel Im allgemeinen steht als Endzustand nicht nur ein einziger Zustand ϕ m mit scharfer Energie experimentell zur Verfügung, sondern ein Energieintervall E m, in dem ρ(e m ) (E m ) Zustände liegen. Dann beträgt die Gesamtrate Γ n (E n ) = Z de m ρ(e m )Γ n m = 2π h ρ(e n) ϕ n V ϕ n 2. Diese Formel wird nach Fermi als Goldene Regel der 1. Ordnung für die zeitabhängige Störungstheorie bezeichnet. Es sei betont, daß die 1. Ordnung der Störungstheorie nur Sinn macht, falls die höheren Ordnungen entsprechend vernachlässigt werden können. Wenn die Matrixelmente < ϕ n V ϕ n > nur schwach von der Energie E n abhängig sind so läßt sich die Zustandsdichte ρ(e n ) experimentell mittels der goldenen Regel bestimmen. 4.3.2 Zeitlich periodisches Potential V(t) habe die Gestalt V(t) = Ae iωt + A + e iωt, wobei A eine beliebiger Operator ist. Damit ist V(t) selbstadjungiert und periodisch in der Zeit t. Übergangsamplitude Für die Übergangsamplitude ergibt sich daraus ϕ m ϕ I (T) = 1 i h Z +T T dt [ ] e i(ωmn ω)t m A n + e i(ωmn+ω)t m A + n. Bei der Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit ist zu beachten, daß die gemischten Terme beim Quadrieren wegfallen: Für sehr große T gilt nämlich für m n Z +T T Wir haben demnach für große T Z +T dt e i(ω mn ω)t dt e i(ω mn+ω)t δ(ω mn ω)δ(ω mn + ω) = 0. T w n m = 4πT 1 h 2 [δ(ω mn ω) m A n 2 + δ(ωmn + ω) m A + n 2].

4.4 Potentialstreuung: 1. Ordnung Störungstheorie 51 Emission und Absorption Für die Rate Γ n m = w m n /(2T) folgt daraus Γ n m = 2π h [ δ(e m E n hω) m A n 2 + δ(e m E n + hω) m A + n 2]. Wegen E m = E n + hω beschreibt der Operator A einen Absorptionsprozeß, während A + wegen E m = E n hω einen Emissionsprozeß für ein Quant der Energie hω beschreibt. Photonen Die gerade skizzierten Überlegungen sind sehr wichtig für die Absorption und Emission von Strahlung. Dabei sind dann die A + und A die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Lichtquanten, den Photonen. Allerdings kommt dann zu V(t) auch noch die Ortsabhängigkeit der ebenen Wellen, exp(ik x) hinzu. 4.4 Potentialstreuung: 1. Ordnung Störungstheorie Es sei H 0 = 2m h2 und Ṽ ein Potential, an dem die im Anfangs- und Endzustand freien Teilchen gestreut werden, H = H 0 +Ṽ. Periodische Randbedingungen Das System sei in einem Volumen V = L 3 gegeben. Als Basis wählen wir die freien Wellenfunktionen ϕ k = 1 e i k x. V Da wir am Limes V interesiert sind können wir die Randbedingungen frei wählen. Günstig sind die periodischen Randbedingungen: e ik jl = 1, k = 2π L n, n = (n 1,n 2,n 3 ), n i = 0,±1,±2,... Anfangs- und Endzustand Wir betrachten einen Streuprozess an einem räumlich begrenzten Potential Ṽ. Dann sind sowohl der Anfangs- wie auch der Endzustand ebene Wellen: Anfangszustand: ϕ k a = 1 V e i k a x, Endzustand: ϕ ke = 1 V e i k e x, E a = h2 k 2 a 2m, E e = h2 k 2 e 2m. Goldene Regel Für die Übergangsrate Γ ka k e erhält man nach der Goldene Regel Γ k a k e = 2π h δ(e e E a ) k e Ṽ k a 2,

52 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse mit ke Ṽ k a 2 = 1 V Z d 3 xe i( k a k e ) x Ṽ( x). Die Anzahl der Zustände im Endzustandsintervall k 1e k 2e k 3e = 3 k e ist durch 3 n e = V (2π) 3 3 k e gegeben und die zugehörige Rate durch Γ k a k e 3 n e = 1 (2π) 2 hv δ(e a E e ) 3 k e Z d 3 xe i( k a k e ) x Ṽ( x) 2. Teilchenstromdichte Die Teilchenstromdichte j a der einfallenden Teilchen ist hier j a = 1 V h k a m, und damit erhalten wir für den 3-fach differentiellen Wirkungsquerschnitt σ = j e Ω e / j a σ = Γ ka k e 3 n e j a = m 1 (2π h) 2 k a δ(e a E e ) 3 Z k e d 3 xe i( k a k e ) x 2 Ṽ( x). Wegen bekommen wir schließlich mit k e = k a 3 k e = k 2 e dk edω e = m h 2 k ede e dω e σ = m 2 Z (2π h 2 ) 2 d 3 xe i( k a k e ) x Ṽ( x) 2 δ(e a E e )de e dω e. Differentielle Wirkungsquerschnitt Die Integration über die Endzustandsenergie E e ergibt die wichtige Formel dσ (1) dω e = m 2 Z (2π h 2 ) 2 d 3 xe i( k a k e ) x Ṽ( x) 2. (Der Index (1) soll andeuten, daß es sich lediglich um die 1. Näherung handelt!) Impulsübertrag Man sieht, daß dσ (1) /dω e nur vom Impulsübertrag q = k a k e abhängt.

4.4 Potentialstreuung: 1. Ordnung Störungstheorie 53 so daß Falls Ṽ( x) = Ṽ(r), so läßt sich das Integral noch weiter vereinfachen: Z Z Z π d 3 xe irqcos θ Ṽ(r) = 2π dr r 2 Ṽ(r) dθe irqcos θ sinθ dσ (1) dω e = = 2π = 4π q 0 Z 0 Z 0 dr r 2 Ṽ(r) 0 Z +1 dze irqz 1 dr rṽ(r) sin(qr), ( 4m 2 ) Z q 2 h 4 dr rṽ(r) sin(qr) 0 2. Yukawa Potential Das abgeschirmte Coulomb-Potential Ṽ(r) = g e µr r wird auch das Yukawa-Potential genannt, hierbei ist 1/µ die Abschirmlänge. Da R 0 dr e µr sin(rq) = q, so folgt q 2 +µ 2 dσ (1) dω e = ( 2mg h 2 ) 2 1 (q 2 + µ 2 ) 2. Da q 2 = ( k a k e ) 2 = 2ka(1 2 cos[ ( k a, k e )]), ( k a, k e ) = ϑ : Streuwinkel, und (1 cosϑ) = 2sin 2 (ϑ/2), so folgt q 2 = 4k 2 a sin 2 ϑ 2 = 8mE a h 2 sin 2 ϑ 2. Rutherford sche Streuformel Für µ= 0 ergibt sich daher dσ (1) dω = g2 16E 2 a sin 4 ϑ 2 Dies ist die Rutherford sche Formel für die Coulomb Streuung. Sie ergibt sich also quantenmechanisch in 1. Ordnung Störungstheorie. 1.

54 Störungstheorie zeitabhängiger Prozesse