Mitschrieb zur Vorlesung: Theoretische Physik E: Quantenmechanik II

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1 Mitschrieb zur Vorlesung: Theoretische Physik E: Quantenmechanik II Prof. Dr. Dieter Zeppenfeld Vorlesung Wintersemester 4/5 Letzte Aktualisierung und Verbesserung:. Februar 5 Mitschrieb der Vorlesung Theoretische Physik E: Quantenmechanik II von Herrn Prof. Dr. Dieter Zeppenfeld im Wintersemester 4/5 von Marco Schreck. Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit. Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an Marco.Schreck@gmx.de.

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3 Inhaltsverzeichnis Einführung 5. Notation Messprozess Basiswechsel Zeitentwicklung Zeitabhängige Potentiale Beispiel: -Niveau-System mit harmonischem Potential Beispiel: Spin-/-Elektron im externen B-Feld Beispiel: Konstante Störung Beliebige zeitabhängige Potentiale Wechselwirkung mit klassischem Strahlungsfeld Elektrische Dipol-Approximation Summenregel Strahlung mit Materie Photoelektrischer Effekt Totaler Absorptions-Wirkungsquerschnitt Adiabatisches Einschalten Rotationssymmetrische Systeme 3. Drehungen Darstellungen von Gruppen und Lie-Algebren Transformation von Zuständen unter Drehungen Alternative Parametrisierung von Drehungen über Euler-Winkel Addition von Drehimpulsen Gruppentheorie Unterschiede: Lie-Algebra Lie-Gruppe Rotationssymmetrische Systeme Eigenzustände der Drehimpulsoperatoren Anwendung: -Nukleon-System mit Spin / Fermionen mit Bahndrehimpuls l Produkte von Darstellungsmatrizen D j m,m ω Vektor/Tensor-Operatoren Matrixelemente von Tensoroperatoren Wigner-Eckart-Theorem Projektionstheorem Projektionstheorem: Matrixelement eines Vektoroperators Streuprozesse Einführung Formale Streutheorie Lokales Potential Wirkungsquerschnitt Bornsche Näherung

4 INHALTSVERZEICHNIS 3.3. Beispiel: Yukawa-Potential Coulomb-Fall Übergangsoperator Transitionsoperator T Optisches Theorem Streuung und Rotationssymmetrie Unitarität Bestimmung von Streuphasen Sphärische Bessel- und Neumann-Funktionen Streuung an harter Kugel Resonanzstreuung Pfadintegrale Beispiel: Freies Teilchen Relativistische Quantenmechanik Notation: Vierervektoren Rapidität Inneres Produkt zweier Vierervektoren Definition der Viererableitungen Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Klein-Gordon-Gleichung Lösung der Klein-Gordon-Gleichung Die Dirac-Gleichung Elektromagnetische Wechselwirkung und Dirac-Gleichung Nichtrelativistischer Limes Relativistische Korrekturen Dirac-Gleichung und Lorentz-Transformation Beispiel: Ebene Wellen Dirac-Gleichung und Lorentz-Transformation Lorentz-Transformationsmatrizen für Spinoren Transformation des Wahrscheinlichkeitsstroms Allgemeiner Fall Eigenschaften von γ Parität als Lorentztransformation Anwendung: β-zerfall Drehungen von Spinoren Ebene-Wellen-Lösungen Löcher-Theorie, Dirac-See Freie Anti-Fermionen u- und v-spinoren Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte Ladungskonjugation Drehimpuls und Diracgleichung Beispiel: Konstantes B-Feld Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Freies Strahlungsfeld Hilbert-Raum für Strahlungsfeld Teilchenzahloperator Operator Parameter Grenzübergang zum unendlichen Volumen Wechselwirkung von Strahlung mit Materie Störungstheorie Lebensdauer eines angeregten atomaren Zustands Beispiel: Atomarer Wasserstoff Plancksche Strahlungsformel

5 Kapitel Einführung. Notation Zustände wollen wir im folgenden mit c, n,... bezeichnen; es handelt sich dabei um Vektoren im Hilbertraum H. Das innere Produkt dieses Raumes besitzt die Eigenschaft a b a b b a. Ist ein Operator A hermitesch, so handelt es sich um eine Observable, andererseits muss eine Observable hermitesch sein. Normierte Eigenzustände a n von A bilden eine Orthonormalbasis von H. Es gilt also:. Normierung: a n a m δ nm. Vollständigkeit: n a n a n c n c n a n a n a n c mit c n a n c n }{{} Beispiel: X sei der Ortsoperator und x ein Eigenzustand dieses Operators: X x x x.. Orthogonalität: x x δx x. Vollständigkeit: dx x Die Wellenfunktion für den Zustand c lautet: c dx x x c mit x c ψx. Messprozess Ein System befinde sich in einem Zustand c. Die Messung von A ergibt einen der Eigenwerte a n von A mit der Wahrscheinlichkeit P n a n c. Nach der Messung ist das System im Zustand a n. Betrachten wir folgendes Beispiel: ψx ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall [x, x + dx] zu finden..3 Basiswechsel { a n } und { b n } seien Basen: a n m b m b m a n mit U mn b m a n 5

6 KAPITEL. EINFÜHRUNG k U mk U kn }{{} Unk k b m a k b n a k }{{} a k b n U mn ist eine unitäre Matrix. b m k a k a k b n δ mn U n,m a m U }{{} mn a n m b m a n a m b m a n a n n m }{{} a m b m Eine unitäre Transformation vollzieht einen Übergang von der einen in die andere Basis..4 Zeitentwicklung Die Zeitentwicklung eines quantenmechanischen Systems ist gegeben durch den Hamilton-Operator H im Schrödinger-Bild: i c, t H c, t t Falls H zeitunabhängig ist kann man die Zeitentwicklung durch einen unitären Operator beschreiben. Der Operator muss unitär sein, damit Wahrscheinlichkeiten, das System in irgendeinem Zustand zu finden, erhalten bleiben. c, t exp i Ht t c, t }{{} Ut,t Allgemein wird die Zeitentwicklung beschrieben durch einen unitären Operator Ut, t so, dass c, t Ut, t c, t..4. Zeitabhängige Potentiale Der Hamilton-Operator H lasse sich beschreiben als Summe aus einem Hamilton-Operator H, dessen Eigenwerte und Eigenzustände bekannt seien das Eigenwertproblem H n E n n sei also gelöst und eines zusätzlichen zeitabhängigen Potentials V t, also als H H + V t. Gesucht sind nun Übergangswahrscheinlichkeiten von Eigenzuständen n nach Zuständen m. Wir setzen an dieser Stelle der Einfachheit halber t, lässt sich ein Zustand α folgendermaßen entwickeln: α n c n n Zu einem späteren Zeitpunkt t > sieht diese Entwicklung folgendermaßen aus: α, t c n t exp ie nt n n Die Zeitabhängigkeit von c n t kommt also nur von der Störung V t. Die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Eigenzustand n zu finden, ergibt sich aus c n t. Wir wollen die Zustände im Wechselwirkungsbild beschreiben.. Schrödinger-Bild: Der Zustand zur Zeit t sei α und der Ket im Schrödinger-Bild sei α, t S. In diesem Bild sind Zustände zeitabhängig und Observable A zeitunabhängig. 6

7 .4. ZEITENTWICKLUNG. Heisenberg-Bild: Zustände und Operatoren unterliegen einer unitären Transformation durch den Zeitentwicklungsoperator: α, t H U t, t α, t S α, t S Zustände sind also komplett zeitunabhängig. Observable werden folgendermaßen transformiert: A H U t, t A S Ut, t Damit ergibt sich die sogenannte Heisenberg-Gleichung: da H dt i [A H, H] +U A S t U } {{ } A H t Der letzte Term fällt nur dann nicht weg, wenn eine explizite Zeitabhängigkeit von A H vorliegt. 3. Wechselwirkungsbild: Hier sind sowohl Zustände als auch Observablen zeitabhängig: ih t α, t I exp α, t S ih t A I exp A S exp ih t Schauen wir uns die Zeitabhängigkeit von Zuständen im Wechselwirkungsbild an: i t α, t I i [ ] ih t ih t ih t exp α, t S H exp α, t S + exp t ih t exp V S t exp }{{} V I t ih t ih t exp α, t S } {{ } α,t I i t α, t S }{{} H +V S t α,t S i t α, t I V I t α, t I Die zeitliche Entwicklung von Observablen ist gegeben durch: da I dt i [A I, H ] Wir vergleichen nun die zeitliche Entwicklung im Heisenberg-Bild, Wechselwirkungsbild und Schrödinger- Bild: Heisenberg-Bild Wechselwirkungsbild Schrödinger-Bild Zustände Kets Konstant Zeitliche Entwicklung Zeitliche Entwicklung durch V t durch H Operator Zeitliche Entwicklung Zeitliche Entwicklung Konstant durch H H + V durch H Die Zeitentwicklung eines Zustandes im Schrödinger-Bild sieht dann folgendermaßen aus: α, t S c n t exp ie nt n n 7

8 KAPITEL. EINFÜHRUNG Gehen wir nun ins Wechselwirkungsbild: α, t I c n t exp ie nt ih t exp n n n c n t exp ie nt exp ien t n n c n t n mit c n t n α, t I Schreiben wir die Schrödinger-Gleichung unter Ausnutzung der Vollständigkeit der Basis { m } auf: i t n α, t I n V I t m m α, t I n }{{} exp ih t V t exp ih t m c m t m m c nt m n exp ien t Unter Verwendung der Abkürzungen ω mn E m E n erhalten wir schließlich: ω nm, V nm n V t m V t exp ie nt m c m t m [ ien E m t exp ] n V t m c m t i t c nt m exp iω nm t V nm c m t Diese Gleichung kann nur bei einigen speziellen Problemen analytisch gelöst werden..4. Beispiel: -Niveau-System mit harmonischem Potential Betrachten wir den Hamilton-Operator H in der Matrixdarstellung; in der Energiebasis ist diese Matrix dann diagonal: E H für E E < E V t soll ein hermitescher Operator sein; wir schreiben deshalb: γ exp iωt V t γ exp iωt Gesucht ist genau: α, t I c n t n n Werten wir explizit unsere Differentialgleichung für dieses Problem aus, wobei wir nur V berücksichtigen müssen: γ expiωt iċ t γ expiωt exp iω t c t Die andere Gleichung lautet analog: iċ t γ exp iωt exp iω t c t Zur Lösung dieses Differentialgleichungssystem machen wir den Ansatz c n t expiλ n tc n. Mit den Anfangsbedingungen c und c erhalten wir folgende Lösungen: c t iγ Ω sinωt exp iω ω t mit Ω γ + ω ω 4 8

9 .4. ZEITENTWICKLUNG Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand n zu finden? Dazu müssen wir den Zustand auf α, t I projizieren und das Betragsquadrat bilden: α, t I c t γ γ + ω ω 4 sin Ωt, c c mit ω E E > Was ist die maximale Wahrscheinlichkeit, zu finden? c max γ γ + ω ω 4 Dies ist eine typische Resonanz; das Maximum liegt bei ω ω. Außerdem gilt c max für ω ω γ. Damit ergibt sich eine Halbwertsbreite von 4γ..4.3 Beispiel: Spin-/-Elektron im externen B-Feld Angenommen, wir haben das Magnetfeld B B ẑ + B ˆx cosωt + ŷ sinωt. Der Hamilton-Operator des Systems lautet H µ B mit µ e m e S oder anders mit den Pauli-Matrizen geschrieben: µ e m e σ. H e B e [ ] i B m e cosωt + sinωt m e i E exp iωt + γ E expiωt mit ω e B, γ e B i exp iωt und cosωt sinωt m e m e i expiωt Unser Ziel ist nun, den Zeitentwicklungsoperator Ut, t I für [V t, V t ] herzuleiten. i t α, t I V I T α, t I, α, t I Ut, t α, t I Die Lösung ist eine Integralgleichung für Ut, t mit der Randbedingung Ut, t : Ut, t i t t V I t Ut, t I dt 9

10 KAPITEL. EINFÜHRUNG Überprüfen wir dies durch Einsetzen in die obere Gleichung: i i t Ut, t I i V I t Ut, t I V I t Ut, t I Diese Integralgleichung lässt sich nun schön iterativ lösen: Ut, t i t dt V I t i t dt V I t Ut, t t t i t t t i dt V I t + dt dt V I t V I t t t t t t t n i dt dt... dt n V I t V I t... V I t n +... t t t Man setzt also für Ut, t immer wieder die Integralgleichung selbst ein. Die früheste Zeit steht ganz rechts und die späteste ganz links. Zur besseren Schreibweise führen wir einen Zeitordnungsoperator T ein: V t V t V t 3 für t > t > t 3 T V t V t V t 3 V t V t 3 V t für t > t 3 > t. Da in der iterativen Lösung die Produkte schon zeitgeordnet sind, kann man auch den Zeitordnungsoperator einfügen. Betrachten wir zuerst den Fall n : t t dt dt V t V t dt dt T V t V t t t t t t t Für beliebige n gilt: t t t t t n dt t t dt dt... n T V t... V t n T dt V t t T t dt V t t n! bezeichnet die Zahl der Permutationen von t, t,..., t n. Damit ergibt sich dann schließlich eine Formel, die man sich leicht merken kann: t n i Ut, t I + dt V I t t n i n! T dt V I t +... t t T exp i t t n n! V I t dt ih t mit V I t exp V t exp ih t

11 .4. ZEITENTWICKLUNG Ausgeschrieben lautet dies nochmal: t Ut, t I i dt V I t + t i t t dt t t dt V I t V I t +... Damit ergeben sich die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen Energie-Eigenzuständen von H. Am Anfang befinde sich unser quantenmechanisches System im Zustand i. Wir erhalten dann den Zustand im Schrödinger- und Wechselwirkungsbild mit: i, t S exp ie t i i, t I exp ih t i, t S i i, t Ut, t I i, t n c n t n Wir hatten schon früher gesehen, wie man die Zeitentwicklungskoeffizienten c n t erhält: c n t n i, t I n Ut, t I i δ ni }{{} c n t i t t t i dt n V I t i + dt dt n V I t V I t i +... t t t }{{}}{{} c n t c 3 n t Damit ergibt sich die Übergangswahrscheinlichkeit für einen Übergang vom Zustand i zum Zustand n : P i n c n t i n c n t + c n t Beispiel: Konstante Störung Wir betrachten eine Störung der folgenden Form: für t < t V t V für t > Hierbei gilt nun für die Zeitentwicklungskoeffizienten der verschiedenen Ordnungen: Nullte Ordnung: c n Erste Ordnung: c n i t t i δ ni dt n exp ih t V exp ih t i dt exp iω ni t V ni mit ω ni E n E i, n V i V ni Kommen wir nun zur Berechnung des Integrals, wobei wir das Ergebnis mittels der Sinusfunktion ausdrücken wollen: c n i expiω t nit iω ni V ni i expiω nit V ni iω ni i Vni exp iω nit exp iωni t exp i ω ni t i ω ni

12 KAPITEL. EINFÜHRUNG Also folgt die Übergangswahrscheinlichkeit: P i n c n t i V ni ωni t sin 4 V ni ω ni Zeichen wir die Funktion in Abhängigkeit von ω auf: fω, t 4 sin ωt ω mit ω E n E i fω, t ω 4 ωt ω t, fω, t große t c δω sin E n E i t E n E i P i n Wenn man also relativ lange wartet, so finden nur Übergänge von einem Zustand i zum selben Zustand i statt Energieerhaltung!. Betrachten wir folgende typische Fälle: Streuung: β-zerfall: Die Summe läuft über alle Zustände mit E n E i. Die Zahl der Zustände im Intervall [E, E + de] ergibt sich durch das Produkt ϱe de, wobei ϱe die Dichte der Endzustände ist. P cn t n i E n E i ϱe de c n t 4 de n V ni sin E n E i t E n E i ϱe n Für große t geht das Argument wie zuvor schon erwähnt gegen eine δ-funktion: E t E sin c δe Wie bestimmt man nun die Konstante c? c de c δe E sin E t de E t x t sin x x Damit ergibt sich weiter für die Übergangswahrscheinlichkeit für große t: P 4 de n V ni π t δe n E i ϱe n πt V ni ϱe n dx π t EnE i

13 .4. ZEITENTWICKLUNG Der Ausdruck V ni bedeutet, dass V ni über alle Zustände n i mit E n E i summiert wird. Wir definieren nun noch die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit: W i [n] P i [n] t π V ni ϱe n En E i Dies ist gerade die bekannte Fermi s Goldene Regel. Höhere Ordnungen: c n t t i dt i t dt m t t W i [n] dt n V I t m m V I t i m i V nm V mi i m V nm V t mi E i E m dt exp iω nm t exp iω mi t V nm V mi t dt exp iω nm t exp iω mit iω mi dt [exp iω ni t exp iω nm t ] Für E n E i gilt: E m E i E n : expiω nm t ist stark oszillierend und somit expiω nm t dt E m E E n : Der Integrand ist gleich. c n t i m E m E i V nm V t mi E i E m c n t c n + c n +... i dt exp iω ni t V ni + m E m E i V nm V mi +... E i E m t dt exp iω ni t Zustände m mit E m E i bezeichnet man als virtuelle Zustände. In höheren Ordnungen gilt also: W i [n] π V ni + V nm V mi +... E i E m m i ϱe n.4.5 Beliebige zeitabhängige Potentiale Ein beliebiges zeitabhängiges Potential lässt sich Fourier-zerlegen: V t dω [Ṽ ω expiωt + Ṽ ω exp iωt] Damit haben wir eine harmonische Zeitabhängigkeit V expiωt. Wir betrachten nun V t V expiωt + V exp iωt. Wir interessieren uns für die Übergangsamplitude i n:.ordnung: c n δ ni 3

14 KAPITEL. EINFÜHRUNG.Ordnung: c n t i t i Emission: [ dt V ni t expiω ni t V ni t dt exp [i ω + ω ni t ] }{{} δ E n E i +ω t +V ni dt exp [i ω + ω ni t ] }{{} δ E n E i ω ] Absorption: Der erste Term beschreibt die Emission, der zweite die Absorption. Betrachten wir Fermis Goldene Regel für große t: W i n π V ni δ E n E i + ω Emission V ni δ E n E i ω Absorption.5 Wechselwirkung mit klassischem Strahlungsfeld Das Elektron besitzt die Masse m und die Ladung e e. Wir folgen der Konvention von Sakurai, dass nämlich e als negativ vorausgesetzt wird. Für E und B lautet der Hamilton-Operator H p m. Ist E, B, so ersetzt man p durch p q A, woraus sich ergibt: H p ea m Allgemein gilt: p A + A p A p + i + eφ r p m + eφ e A }{{} m p }{{} H V A + e m A }{{} Ordnung e : klein Wir verwenden die Coulomb-Eichung A, womit der zweite Summand wegfällt und wir den Hamilton-Operator so schreiben können wie oben. φ kommt nur durch äußere Ladungen zustande. Ax, t sei eine ebene Welle: ω [ A x, t A ˆξ cos c ˆn x ωt A ˆε exp i k x iωt + exp i ] k x + iωt mit ω c ˆn k 4

15 .5. WECHSELWIRKUNG MIT KLASSISCHEM STRAHLUNGSFELD A ˆε exp i k x V, A ˆε exp i k x V Das Störpotential lautet also: V t e m A exp i k x ˆε p }{{} V expiωt e m A exp } {{ } V i k x ˆε p exp iωt Dann ergibt sich die Absorptionsrate beschrieben durch den exp iωt-term durch: W i n π e m A n exp i k x ˆε p i δ En E i ω Der Wirkungsquerschnitt der Absorption ist definiert durch: σ abs Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit Photon-Fluss Anzahl der Photonen pro Fläche und Zeit ω ω Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit Photon-Fluss Anzahl der Photonen pro Fläche und Zeit Energie pro Zeit absorbiert in i n Energiefluss Energiefluss Energie c t Fläche Energiedichte Fläche Zeit Fläche t u c c ε E + B c ε E µ Das E-Feld ergibt sich aus dem Vektorpotential A durch Ableiten nach der Zeit t: E A t A ˆε ω sin k x ωt Damit kommen wir zum Energiefluss c u c ε 4A ω sin k x ωt c ε A ω und somit zum Wirkungsquerschnitt: σ abs ω W π ω i n c ε A e A m n exp i k x ˆε p i δ En E i ω ω c ε A ω π m ω e c ε π π n exp i k x ˆε p i δ En E i ω 4π m ω α n exp i e k x ˆε p i δ En E i ω mit α 4π ε c.5. Elektrische Dipol-Approximation Es sei λ R Atom : ω Z e Z e 4πε a 4πε R Atom 5

16 KAPITEL. EINFÜHRUNG λ π c ω c ω R Atom e Z 4πε c Damit ist: R Atom Z α k x k x ω c R Atom Z α Man kann also den Term k x oft als sehr klein voraussetzen. V ni n exp i k x ˆε p i expi k x + k x+... n ˆε p i Dieses Verfahren bezeichnet man als Dipol-Approximation. [ H p m + eφ r [x i, H ] x i, p j p j m ] m [x i, p j ]p j m iδ ij p j i m p i, da [x, φ] Damit ist es möglich, in V ni den Impuls p durch den Ort x zu ersetzen: V ni ε i n p i i ε i m i n [x i, H ] i ε i m i n xh H x i ε i m i n x ie i E n x i i ε i m i n x i i Ei E n In Dipol-Approximation gilt: imω ni n x i ε σ Abs 4π m ω α m ω n x i ˆε δ E n E i ω Mit δe n E i ω δ[ω ni ω] δω ni ω ergibt sich schlussendlich: σ Abs 4π α ω ˆε n x i δω ω ni δω ω ni bezeichnet man auch als Resonanzfunktion..5. Summenregel dω σ Abs w 4π α ω ni n x i ˆε n n n Wir definieren an dieser Stelle die Oszillatorstärke: f ni mω ni n x i Wir betrachten außerdem: 4π α ω ni n x i für ˆε ˆx i [x, [H, x]] i i m i i i m 6

17 .6. STRAHLUNG MIT MATERIE Mit [x, [H, x]] xh x xh H x xh x x H x x H H x lässt sich dies auch schreiben als: A i x H x E i x i n [ i x n n H x i E i i x n n x i ] n E n E i n x i n ω ni n x i n m f ni Als Ergebnis erhalten wir also: f ni n dω σ Abs ω 4π α f ni m 4π α m Dies gilt unabhängig vom Atom!.6 Strahlung mit Materie n Die Störung eines quantenmechanischen Systems werde durch äußere Felder verursacht: V t e At m p für At cos k x ωt Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs: W i n π V ni δe n E i ω Der Wirkungsquerschnitt für Absorption lautet: σ abs 4π m e ω α n exp i k x ε p i δen E i ω i und n seien Bindungszustände, wobei x R Atom λ gelten soll und damit expi k x. In Dipolapproximation gilt dann: σ abs 4π α ω ni ε n r i δ ω ni ω Betrachten wir dazu den Ortsoperator r sin θ cos φ r r sin θ sin φ, cos θ welcher ein irreduzibler Tensoroperator ist. Wir vergleichen mit den Kugelflächenfunktionen: Y P cos θ cos θ, Y,± sin θ exp±iϕ Für r beträgt der Drehimpuls l ; i sei Zustand mit Drehimpuls l und damit tragen nur Zustände n mit l l ± bei. 7

18 KAPITEL. EINFÜHRUNG.6. Photoelektrischer Effekt Der Endzustand n befindet sich hoch im Kontinuum, E n liegt damit weit oberhalb der Ionisationsgrenze. n sei in Näherung eine Ebene Welle: x k expi k x expi k x L 3 expi k x L 3 Zur Normierung betrachten wir einen Würfel der Kantenlänge L mit periodischen Randbedingungen, also gilt x k x+ê i L k, wobei ê, ê und ê 3 Einheitsvektoren in x, y und z-richtung seien. Damit diese Bedingung gewährleistet ist, kann k folgende Werte annehmen: k π L n x, n y, n z mit n i Z Wir wollen außerdem die Dichte der Zustände im Phasenraum, also der k x -k y -Ebene berechnen. Ein einziger Zustand beansprucht für sich ein Volumen von π 3. L Die Zustandsdichte in k ist damit L 3. π }.6. Totaler Absorptions-Wirkungsquerschnitt Die Summe über alle n lässt sich im Grenzübergang L als Volumenintegral über den k-raum schreiben, womit sich mittels der Zustandsdichte und der Isotropie der Zustände im k-raum ergibt: σ 3 L σ abs d 3 k π 3 L σ abs k dk dω π 3 L σ abs k dk π de de }{{} Differentieller Wirkungsquerschnitt dσ dω dω 8

19 .6. STRAHLUNG MIT MATERIE Wir drücken k durch die Energie E aus: E n E p m k m k k me dk de me m k dk de m k me m 3 ϱe Hiermit ergibt sich weiter für den differentiellen Wirkungsquerschnitt: dσ dω 3 L de σ abs m k π de 4π m ω α kf exp i k x ε p i δ Ef E i ω 3 L m k f π mit i k x ω ˆn x i k f sei der Endzustand und k der Wellenvektor des einfallenden Photons. Wir berechnen das Matrixelement für ein Elektron e in der K-Schale eines Wasserstoffatoms: ψ i x Y θ, φ R r 3 Z exp Z r 4π a a i befinde sich in der Ortsdarstellung. Damit ergibt sich: kf exp i ω c ˆn x ε p i d 3 x exp i k x L 3 exp i ω c ˆn x ε i ψ i x Mit partieller Integration ergibt sich weiter, wobei Oberflächenterme für x aufgrund der abfallenden Exponentialfunktion von ψ i wegfallen. d 3 x ε L 3 i [ exp i k f ω ] c ˆn x ψ i x d 3 x q exp i q x ψ L 3 i x mit q k f ω c ˆn Der Integralausdruck ist bis auf einem Vorfaktor π 3 die Fourier-Transformierte von ψ i : L 3 ε k f d 3 x exp i q x ψ i x mit d 3 x exp i q x ψ i x φ i q π 3 φi q Steht ˆn, also der Vektor der Ausbreitungsrichtung, senkrecht auf dem Polarisationsvektor ε, so gilt ε q ε k f. dσ dω 4π α m ω L 3 ε k f φ i q L 3 π 3 m k f Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist von der Größe L 3 des Kastens unabhängig. Mit me m Ei + ω k f ergibt sich weiter: dσ dω α π k f m ω ε k f φ i q Die Näherung ist für kleine q jedoch ungültig! Damit ist eine direkte Messung der Wellenfunktion im Impulsraum möglich. ε q ε kf ω c ˆn ε k f weil ˆε ˆn 9

20 KAPITEL. EINFÜHRUNG ε sei die Richtung des Vektorpotentials. In zweiter Ordnung Störungstheorie gilt für c n t für V t V const. c n i m V nm V t mi E m E i t dt [expiω ni t expiω nm t ] Folgende Fallunterscheidung muss hierbei für das Integral I durchgeführt werden: expiω mn t für E m E n, E n E i I [expiω ni t expiω nm t ] dt für E m E i Diese Fallunterscheidung kann man durch Einführung einer adiabatischen Zeitabhängigkeit vermeiden: V t expη t V, wobei η > beliebig klein sein soll. Für n i gilt dann: Nullte Ordnung: c n t Erste Ordnung: c n t i lim t t t i expη t + iω ni t η + iω ni expη t expiω ni t V ni dt i expη t + iω ni t η + iω ni Die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit ergibt sich dann für η :.6.3 Adiabatisches Einschalten Es sei V t expη t V mit konstantem V und infinitesimalem η >. c n t δ ni i V expη t + iω ni t ni i V nm V mi η + iω ni E m i E m + iη expη t + iω ni t +... η + iω ni Kommen wir zum Zerfall des Zustands i : c i t i V ii expη t η + i V expη t ii η i V im V mi expη t +... E i E m + iη η m i Außerdem kann man V im V mi i V m V mi m V i V mi V mi setzen. ċ i t i V ii expη t + i V expη t ii i η V mi expη t +... E i E m + iη m i t

21 .6. STRAHLUNG MIT MATERIE ċ t i [ V ii expη t i ] V expη t ii +... i η V mi expη t +... E i E m + iη }{{} m i c i t c i t i V ii i V mi E i E m + iη +... c [ i ] i m i Die Lösung dieser Differentialgleichung ist, wie wir wissen: [ c i t I c i exp i ] i t mit i V ii m i V mi E i E m + iη +... Im Schrödinger-Bild wäre das Ergebnis: c i t S c i t I exp ie [ it c i exp i ] E i + i t i stellt die Energiekorrektur dar. lim ε + P L L x x + iε lim ε + dx lim x ε + x + ε i ε x + ε ε L x dx + L ε x dx P x + i ε x + ε dx P x iπδx lim η + i V ii + P m i V mi iπ V mi δe i E m E i E m m i Mit W i n π V ni δe i E m können wir dies schreiben als: Re i i W i m Re i i Γ i mit Γ i W i m π V mi δe i E m m i Γ i beschreibt einen exponentiellen Zerfall: c i t c i exp i E i + Re i exp i i Γ i t c i exp Γ i t c i exp tτi mit τ i Γ i m i m i

22 KAPITEL. EINFÜHRUNG Man bezeichnet τ i auch als Lebensdauer des Zustandes. Betrachten wir die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit für c : c i + c m W i m t W i m t Ov 3 m i m i m i }{{} Γ i t Die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit bezeichnet man im Fachjargon auch als Unitarität. Wir haben hier die Unitarität der Zeitentwicklung gezeigt.

23 Kapitel Rotationssymmetrische Systeme. Drehungen. Klassisch: Wir haben einen Ortsvektor r, der sich mittels einer 3 3-Drehmatrix R ω unter Drehungen transformiert, also r R ω r. Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen im dreidimensionalen Raum; es gilt R ω R ω. Außerdem gilt für gewöhnliche Drehungen detr +. Die Gruppenstruktur äußert sich in der Verknüpfung zweier Drehungen, für die R ω R ω R ω 3 ist. Man bezeichnet folgende Gruppe als Drehgruppe: SO3 {R ω RR, det R } Dies ist außerdem eine sogenannte Lie-Gruppe.. Quantenmechanisches System α : Ein Zustandsvektor α transformiert sich unter Drehungen mittels einer unitären Transformation U ω, also α U ω α. Man setzt: [ U ω exp i ] ω j Auch hier haben wir für die Verknüpfung zweier unitärer Transformationen folgende Relation: U ω U ω U ω 3 Explizit gilt für die generelle Form einer Rotation: R ω r ˆωˆω r + cos ω [ r ˆωˆω r] sin ω r ω Diese Beschreibung von Drehungen ist jedoch für unsere Zwecke nicht geeignet; wir wollen Drehungen mittels der Generatoren der Gruppe SO3 beschreiben: R ω exp i l ω mit l k i R ω ω k ω o l k sind nun die erwähnten Generatoren. Speziell für l x, l y und l z gilt: l x i cosω sinω ω i sinω cosω ω i i i l y, l z i i 3

24 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME Es gilt die Kommutatorrelation [l x, l y ] il z und zyklisch [l i, l j ] iε ijk l k i 3 ε ijk l k k Generatoren beschreiben den ersten Term in der Taylor-Reihe. Für kleine ω gilt nämlich: R ω i e ω Ω Ω [ Ω N N, R Ω R N ] N i Was ist der Zusammenhang von R und U? R ω R ω R ω 3 U ω U ω U ω 3 N e Ω lim N exp i e N Ω R U A i ω l i ω j B i ω l i ω j Nach dem Baker-Campbell-Hausdorff-Theorem gilt: expa expb expc exp A + B + [A, B] + [A, [A, B]] +... exp i ω 3 l exp i ω + ω + ω ω l Das bekommt man nur, wenn die Kommutatoren von j den Kommutatoren von l entsprechen. [j i, j j ] iε ijk j k. Darstellungen von Gruppen und Lie-Algebren Wir betrachten die Gruppe G {g i i,...}. Eigenschaften einer Gruppe sind: Multipliziert man Elemente g und g der Gruppe miteinander, so erhält man wieder ein Element aus der Gruppe, nämlich g 3 : G G G g g g 3 Es gibt eine Einheit e, so dass ge g eg gilt. Es existiert ein Inverses g für alle g G, so dass gg e gilt. Definition: Eine Darstellung von G ist eine Abbildung r: G C n,n : rg i M i, so dass für alle g g g 3 gilt rg, g rg rg und rg rg. M i sei eine n n-matrix. Matrizen M i haben gleiche multiplikative Eigenschaften wie die g. Die Konsequenz daraus ist rgg rgrg rgrg n. 4

25 .. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN UND LIE-ALGEBREN Definition: Eine reduzible Darstellung M i rg i ist eine Darstellung, so dass alle M i gleichzeitig durch eine einzige unitäre Transformation auf dieselbe Blockdiagonalform gebracht werden können. M i U M.... M i U i i M n i M k i ist dabei eine n k n k -Matrix für alle i. Das Gegenteil davon ist eine irreduzible Darstellung. Beispiel: Drehmatrizen In der j, m -Basis ist DR exp i ω J j + j + -dimensionalen Blöcken. σ i J. i... J i... J i Damit hat auch ω J n dieselbe Struktur: ω σ i n n ω J. i... J i... ω J 3 n.... i blockdiagonal, denn J x, J y und J z sind blockdiagonal mit So ergibt sich: D. ω... J i D. ω Die Drehmatrizen zum Drehimpuls j, D j ω exp i ω J j sind irreduzibel. Wigner-Funktionen sind Matrix-Elemente von exp i ω J j. j, m D ω j, m δ j,j j, m exp i J ω j, m δ j,j D j m m ω 5

26 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME D j m m -Matrizen bilden eine j + -dimensionale irreduzible Darstellung der SU... Transformation von Zuständen unter Drehungen Zerlege α j,m c j,m j, m durch Einschieben der Einheit: D ω j, m j, m j, m D ω j, m j,m m D j m,m ω j, m.3 Alternative Parametrisierung von Drehungen über Euler-Winkel Dα, β, γ exp i J zα exp i J yβ exp i J zγ Man wählt J y also i ij y j, womit J y reell ist. Damit ist exp i J yβ reell. m,m j, α, β, γ m exp i J zα exp i J yβ exp i zγ J j, m j, m exp im α exp i J yβ exp imγ j, m exp i [m α + mγ] j, m exp i yβ J j, m D j Die d j m,m β sind reelle Funktionen. Speziell für j gilt: d β cos β sin β sin cos β β D α, β, γ exp [ α + γ] cos β exp [ i α γ] sin exp [ γ α] sin β exp [ i α + γ] cos a b b a mit a + b.4 Addition von Drehimpulsen Betrachten wir beispielsweise zwei Elektronen in einem gemeinsamen Zentralkraftpotential He-Atom. Die Hamilton-Funktion lautet: H p m + p m + V r + V r Bei diesem Problem lässt sich die Wellenfunktion als Produkt der Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms darstellen: ψ r, r ψ E,l,m r, θ, φ ψ E,l,m r, θ, φ β β 6

27 .5. GRUPPENTHEORIE Dabei handelt es sich um ein Produkt von Zuständen im Tensorprodukt der Hilbert-Räume, also α E, l, m E, l, m α α. Allgemein gilt: α α,α c α,α α α Der Gesamtdrehimpuls J ist gegeben als Summe der einzelnen Drehimpulse, also: J r p + r p L I + I L Alle Komponenten des ersten Drehimpulsoperators kommutieren damit mit allen Komponenten des zweiten Drehimpulsoperators. Im allgemeinen Falle werden zwei Subsysteme beschrieben durch Drehimpulseigenzustände j, m und j, m und der zu betrachtende Produktzustand als Tensorprodukt: j, m j, m. Der Drehimpulsoperator hat obige Struktur, nämlich J J I + I J mit [J k, J l ] iε klm J m und [J k, J l ] iε klm J m. Außerdem gilt [J i, J j ]. Gesucht sind die Eigenzustände von J, J z und weitere kommutierende Operatoren. J J + J J + J J + J Berechnen wir nun folgenden Kommutator: [ J, J ] [ J J, J ] k J k [J k, J ] Analog gilt [ J, J ]. Aber es ist [ J, J z ] [ J J, J z ] J k [J k, J z ] J k iε k3i J i J k iε ik3 J i ij x J y J x J y i J J 3 und ebenso gilt auch wieder [ J, J z ] ij x J y J x J y i J J 3. Der maximale Satz kommutierender Operatoren ist gegeben durch: i. J, J z, J, J : j, m j, j, j ii. J, J z, J, J z : j, j, m, m Die Verknüpfung dieser beiden Basen ist durch eine unitäre Transformation gegeben, welche wir durch Einschieben der Einheit m,m j, j z, m, m j, j, m, m wie folgt schreiben können: j, m, j, j j, j z, m, m j, j, m, m j, m, j, j }{{} m,m Clebsch Gordon Koeffizienten.5 Gruppentheorie Wir gehen aus von folgender Transformation: α α U ω α exp i ω J α Die Generatoren J i genügen einer Lie-Algebra; da { ω J} einen Vektorraum bildet. Produktoperation nichtassoziativ: [J i, J j ] iε ijk J k [ ω J, ω J] i ω ω J Jakobi-Identität: [A, [B, C]] [[A, B], C] [B, [A, C]] 7

28 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME.5. Unterschiede: Lie-Algebra Lie-Gruppe Betrachten wir beispielsweise die Pauli-Matrizen: i σ, σ, σ i 3 Diese Matrizen genügen den Relationen [σ i, σ j ] i ε ijk σ k und {σ i, σ j } δ ij, wobei die Einheitsmatrix ist. Damit lässt sich für die Spinmatrizen S i σ i die Kommutatorrelation [S i, S j ] iε ijk S k finden. Weiterhin berechnen wir: σ i σ j [σ i, σ j ] + {σ i, σ j } δ ij + iε ijk σ k σ a a3 a ia, σ a σ a + ia a b σ i σ j a i b j δ ij + iε ijk σ k a b + i a b σ für a b 3 Dies gilt mit der Einsteinschen Summenkonvention. Daraus folgt nun σ a a. Kommen wir zur Drehmatrix für den Spin /: D ω exp i ω σ ω S exp i Dies gilt, da: für gerades n ˆω σ n ˆω σ für ungerades n n n! i ω n ˆω σ n ω ω cos i ˆω σ sin Schreibe ω als ˆω n und ω ω n: ω ω D ω cos in 3 sin ω in + n sin ω in n sin ω ω a b cos + in 3 sin b a Mit n n + n + n 3 ergibt sich für die Determinate der Matrix: det D a + b cos ω + sin ω n 3 + n + n sin ω cos ω + sin ω a b Die allgemeinste Parametrisierung einer unitären -Matrix U mit detu ist b a ; man bezeichnet sie als Cayley-Klein-Parametrisierung. SU { U -Matrizen mit UU, detu } { a b b a a, b C, a + b } {D } ω ω R 3 SU und SO3 sind lokal isomorph; die bedeutet, sie haben die gleiche Multiplikationstabelle: R ω R ω R ω 3 D ω D ω D ω3 D ω 36 Damit ist SU Z SO3. Die Lie-Algebren von SU und SO3 sind identisch! 8

29 .6 Rotationssymmetrische Systeme Betrachten wir beispielsweise folgenden Hamilton-Operator: H p + V r H p, r HR p, R r m.6. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME R ist eine Rotationsmatrix; wenden wir R auf p an, so stellt dies eine unitäre Transformation dar: i R p exp ω L p exp i ω L U pu i HR p, R r U HU exp ω L H exp i ω L + i ω L H exp i ω L H Eine unitäre Transformation ändert H nicht. Da außerdem [H, L] gilt, ist H rotationssymmetrisch. Allgemein ist H rotationssymmetrisch, falls [H, J] ist. Die Energieeigenzustände sind damit Eigenzustände von J und J z..6. Eigenzustände der Drehimpulsoperatoren Für eine genaue Konstruktion siehe Theoretische Physik D! J j, m JJ + j, m, J z j, m m j, m Wie wirken nun J x und J y auf einen Zustandsvektor j, m? Dazu betrachten wir J ± J x ± ij y : J ± j, m C ± j, m j, m ± Die Koeffizienten C ± j, m wollen wir berechnen. Dazu nutzen wir die Orthonormiertheit von j, m aus: C ± j, m j, m ± C ± j, m j, m J ±J ± j, m j, m J J ± j, m Es gilt J ± J und damit: J J ± J x ij y J x ± ij y J x + J y ± ij x J y ij y J x J x + J y ± i[j x, J y ] J x + J y ± i J z J x + J y J z J J z J z J J z J z ± Daraus ergibt sich weiter, wobei wir berücksichtigen, dass die j, m normiert sind: j, m J J ± j, m j, m J J z J z ± j, m jj + m m ± [jj + mm ± ] j m j ± m + Die Phase von C ± kann frei gewählt werden. C ± j, m jj + mm ± Die explizite Form der J i in der j, m -Basis lautet: j, m J z j, m m j, m j, m mδ j,j δ m,m j, m J x j, m j, m J + + J j, m C +j, m j, m j, m + }{{} δ jj δ m,m+ + C j, m j, m j, m }{{} δ jj δ m,m δ jj [δ m,m+ jj + mm + δ m,m jj ] + mm 9

30 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME Mit J y i J + J folgt weiter: j, m J y j, m i δ jj [δ m,m+ jj + mm + δ m,m jj ] + mm Kommen wir nun noch zur Matrixdarstellung dieser Operatoren: J x j, m,,,,,, j, m,,,,,, Analog folgt für J y : J y i i } {{ } Spin / i i }{{} Spin J x, J y und J z sind in der j, m -Basis blockdiagonal mit Blöcken J j i, die j + j + -dimensional sind. j ist dabei der Blockindex und i der Generatorindex. [J j i, J j j ] iε ijk J j k Die Clebsch-Gordon-Koeffizienten sind Elemente einer unitären Matrix. j, j ; j, m ist Eigenzustand von J, J, J und J z, wohingegen j, j ; m, m Eigenzustand von J, J z, J und J z ist. j, j ; j, m m,m j, j ; m, m j, m j, j ; m, m Wenden wir J z auf einen Zustandsvektor j, j ; m, m an: J z j, j ; m, m J z + J z j, j ; m, m m + m j, j ; m, m m j, j ; m, m 3

31 .6. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME Damit sind die Clebsch-Gordon-Koeffizienten j, j ; m, m j, m nur dann ungleich, falls m + m m ist. Unitarität bedeutet: j, j ; m, m j j, j ; j, m j, j ; m, m j, m Dies ist abgeschlossen unter Drehungen, da in der Summe alle m +j, j,..., j vorkommen. Der Maximalwert von m ergibt sich aus den Maximalwerten von m und m ; diese sind m j und m j. Daraus folgt m max j + j. Das Minimum folgt analog, nämlich m min j + j. Sei im folgenden j, j ; m, m m, m als abkürzende Schreibweise: m m, m Mögliche j für j j j + j j, j j + j j + j j, j ; j, j j + j ; j + j j + j j, j ; j, j ; j, j j + j ; j + j ; j + j... j j j, j ; j, j + ;...; j j, j j + j ; j + j ;...; j j j j j, j ; j ; j + ;...; j j, j j + j ; j + j ;...; j j... j j j j, j ;...; j, j j + j ; j + j ;...; j j j j j, j j + j ; j + j ;...; j j Erlaubte Werte für J sind also j j + j, j + j,..., j j. Jedes j kommt genau einmal vor. Wir machen die Probe und zählen die Zahl der Zustände ab, wobei j > j sei: j +j j +j j +j j +j j j j +j d j + j + j j + jj j jj j jj j j j jj j j + j j + j + j j j j + j + j j j j + j + Eine übliche Notation ist: j j j + j j + j... j j Der Zustand mit höchstem Gewicht m j + j ist eindeutig. j, j ; j j + j m j, j ; m j, m j j, j ; j, j j j + j, m j + j Allgemein gilt, wenn man den Absteigeoperator J auf einen Zustand j, m anwendet: J j, m j + mj m + j, m Dann erhält man durch Anwendung von J : J + J j, j ; m j, m j j j, j ; m j, j + j j, j ; m j, m j J j j + j, m j + j j + j j j + j, m j + j Damit folgt dann weiter: j j j j + j, m j + j j, j ; j, j + j, j ; j, j j + j j + j 3

32 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME Aufgrund der Orthogonalität der Zustandsvektoren folgt weiter: j j j j + j, m j + j j, j ; j, j + j, j ; j, j j + j j + j Das Vorzeichen vor beiden Wurzeln ist Konvention. Die Phase kann im Prinzip frei gewählt werden. Wir machen deshalb Gebrauch von der Phasenkonvention von Condon-Shortley und zwar wählen wir j, j ; j m, j j m j, j reell und außerdem positiv. Fassen wir also zusammen:. Sämtliche Clebsch-Gordon-Koeffizienten sind reell; das heißt, es gilt j, j ; m, m j, m j, m j, j ; m, m. Dies folgt aus der Phasenkonvention von Condon-Shortley.. Die Clebsch-Gordon-Koeffizienten verschwinden, außer für m m + m und j {j + j ; j + j ;... ; j j }. Man spricht dabei auch von den Auswahlregeln. 3. Unitaritäten, Vollständigkeitsrelationen: j, j ; m, m j, m j, j ; m, m j, m δ jj δ mm m,m j, j ; m, m j, m j, j ; m, m j, m δ mm δ m m j,m 4. Rekursionsformeln: j, j ; m, m J ± j, m m + m j, m m + m J + J j, j ; m, m j mj ± m + j, j ; m, m j, m m + m j + m j m + j, m m + m j, j ; m, m + + j ± m j m + j, m m + m j, j ; m, m Die Rekursionsformeln zusammen mit der Condon-Shortley-Phasenkonvention bestimmen die Clebsch- Gordon-Koeffizienten eindeutig..7 Anwendung: -Nukleon-System mit Spin / Wir betrachten ein quantenmechanisches System bestehend aus zwei Spin-/-Teilchen der Masse M. Mit der reduzierten Masse µ M des Systems und den Relativkoordinaten r, p lässt sich der Hamilton-Operator H schreiben als: H p µ + V r mit V r V r + V r S S + V 3r L S Wir können das Potential außerdem umschreiben wie folgt: [ S + S S S V r V r + V r ] + V 3r [ L + S L S ] Angewendet auf einen J, L, S, S, S -Zustand ergibt: V r V + [ V r SS + 3 ] + V 3r [JJ + LL + SS + ] Damit lässt sich der Zustand des Systems beschreiben durch folgende Wellenfunktion: urylm θ, φ S, S z S, S z ψ r S, S, S, S z Erlaubte Werte von S sind: 3

33 .7. ANWENDUNG: -NUKLEON-SYSTEM MIT SPIN /. S :, m, m +, m Der Zustand mit S ist symmetrisch im Spin und muss damit antisymmetrisch in der Ortswellenfunktion sein: ψ r ψ r. Damit wird die Forderung an ein ungerades l gestellt.. S :, m S ist antisymmetrisch, womit die Ortswellenfunktion symmetrisch sein muss; also ist l gerade. Betrachten wir außerdem die Werte für l: Fall l : Im Falle l ist s und damit auch j. V r V 3 4 V Fall l : Da s gelten muss, nimmt j die Werte, und an. V r V + 4 V + 4 für j Zustand V 3 [jj + 4] mit jj + 4 für j 3 Zustände + für j 5 Zustände.7. Fermionen mit Bahndrehimpuls l Es sei j l und j. Für l ergibt sich j j und für l > folgt j l ±. Konstruktion von: j l ±, m C ± l, m, + C ± l, m +, Für k l + gilt: C + l, ; m, j l +, m m, l +, m Mit j l, j ; m m, m m +, j l + ergibt sich, wobei wir zuerst folgende Nebenrechnung machen: l + + m + l + m m, l +, m l m + l + m + m +, l +, m + + C + l, ; m, j l + ; m m, l +, m m, l +, m l + m + l + + m + m +, l +, m + j + m j + m + j + m + m j + m + + 3, j, m + j + m j j + j, m j ;, m j, j l + + m j l +, m j ;, m j, j 33

34 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME Die Clebsch-Gordon-Koeffizienten bilden eine orthogonale Matrix: C + C cosα sinα mit sinα c sinα cosα C C j l ±, m Y jl±,m l + l θ, φ ± ± m l + l ± + ± my lm, l + l + my l,m+ Y l,m θ, φ l + + m l +, C+, C + l + m l + l + m l + Y l,m+ θ, φ Dies ist ein Eigenvektor von J, L und J z. Die Eigenwerte sind gegeben durch l ±, l und m..8 Produkte von Darstellungsmatrizen D j m,m ω exp i J ω j, m m j, m j, m exp i J ω j, m }{{} D j m ω,m Die Matrixelemente sind gerade die Wigner-Funktionen. Andererseits gilt wegen J J + J : exp i J ω j, j ; m, m exp i J ω exp i J ω j, j ; m, m exp i J ω j, m exp i J ω j, m j, j ; m, m j, m exp i J ω j, m j, m exp i J ω j, m m,m }{{}}{{} D j m D j,m m ω,m D j m,m j, ω m exp i J ω j, m j, m j, j, m, m j, j, m }{{}, m exp i J ω j, j, m, m j, j ; m, m j, m m,m m,m }{{} j,j ;m,m j,m Daraus kann man D j explizit aus D konstruieren..9 Vektor/Tensor-Operatoren D j m,m ωdj m,m ω V V, V, V 3 heißt Vektoroperator, wenn V sich unter Drehungen wie der Ortsoperator transformiert: i D ωv i D ω R ij ωv j exp J ω V i exp i J ω Es gilt das Baker-Campbell-Hausdorff-Lemma: expab exp A B + [A, B] + [A, [A, B]] +...! 34

35 .9. VEKTOR/TENSOR-OPERATOREN Alternativ kann man die Kommutatorrelationen von v i und r i mit J i betrachten; diese müssen isomorph sein. Für den Ortsoperator r r, r, r 3 gilt: [L i, r j ] [ε ikl r k p l, r j ] ε ikl r k [p l, r j ] iε ikjr k iε ijkr k }{{} iδ lj v v, v, v 3 ist ein Vektoroperator, wenn gilt [J i, V j ] iε ijk V k. Wir gehen von der kartesischen Basis über in die J z -Basis. Für den Ortsoperator wäre das er Übergang x, y, z ry lm θ, φ. Wir definieren Operator durch folgende Art und Weise: V m V m : V ± V ± iv, V V 3 Wie sehen nun die Kommutatorrelationen [J z, V m und [J ±, V m ] aus? [ [J z, V ± ] J 3, ] V ± iv iv ± i i V V ± iv ± V ± [J z, V ] [J z, V z ] [J z, V m ] m V m [J ±, V ] [J + ij, V 3 ] iv ± i V V iv V ± iv V ± }{{} V ± Ebenso gilt: [J +, V + ] [J, V ], [J +, V ] V [J, V + ] Die Relationen sind ganz analog zu J z j, m m, m und J ±,, ±. Wir haben also folgende Korrespondenz: V m, m, [J i, V m ] J i, m Wir wenden die Drehung auf einen dieser Zustände an: D ω, m m D m,m ω, m D ωv m D ω D N m,m ωv m m D m,m sind die Wigner-Matrizen. Ein Zustand korrespondiert also mit einem Vektoroperator. Definition: Ein irreduzibler, sphärischer Tensoroperator vom Rang j ist ein Satz von j + Operatoren T m j j +,..., j mit: m j, [J z, T j m ] mt j m, [J ±, T j m ] j m j ± m + T j m± Wir haben wir also auf Operatoren mit wohldefiniertem Drehimpuls verallgemeinert. Kommutatoren haben die gleichen Eigenschaften wie bei der Anwendung auf Zustände. Kommen wir zur Interpretation des ganzen: Die T m j tragen den Drehimpuls J jj +, J z m. Wir betrachten als Beispiel die Multiplikation eines Zustandes mit Yl m θ, φ, was ein irreduzibler Tensoroperator darstellt: Yl m θ, φψ j,m,e r. Beweis: [L i, Y m l θ, φ] L i Yl m θ, φ L z Yl m myl m, L ± Yl m j ± mj ± m + Y m± l 35

36 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME Beispiel: Speziell lässt sich ein Quadrupol beschreiben mit einem Satz von Operatoren r i durch den tensoriellen Ausdruck r i r j 3 δ ijr. Sei beispielsweise i 3 und j : z x r cos θ sin θ expiϕ + exp iϕ Mittels der Kugelflächenfunktionen: 5 Y m± l sin θ cos θ exp±iϕ 8π lässt sich dies ausdrücken durch eine Linearkombination dieser Kugelflächenfunktionen: z x r Y + + Y Dies besitzt eine sehr häufige Anwendung in der Kernphysik.. Matrixelemente von Tensoroperatoren Das Matrixelement α, j, m T m j α, j, m verschwindet für m m + m. Als Beispiel lässt sich hier Eigenzustand des H-Atoms Dipoloperator Eigenzustand des H-Atoms anführen. Wir wollen dies nun beweisen: α, j, m [J z, T m j ] m T m j α, j, m α, j, m m m m T m j α, j, m m m m α, j, m T j m α, j, m Genauso funktioniert dies für [J ±, T j m ]. j ± m j m + α, j, m T j m α, j, m α, j, m [J T j m ] α, j, m j mj ± m + α, j, m ± T m j α, j, m α, j, m J T m j α, j, m j ± m j m + α, j, m T m j α, j, m α, j, m T m j J α, j, m Vergleiche mit Rekursionsformel für Clebsch-Gordon-Koeffizienten! Die Matrixelemente α, j, m T j m α, j, m und die Clebsch-Gordon-Koeffizienten j, j ; m, m j, m erfüllen das gleiche lineare Gleichungssystem. Die Rekursionsformeln sind nichts anderes als ein lineares Gleichungssystem; Lösungen dieser Gleichungssysteme sind proportional zueinander.. Wigner-Eckart-Theorem α, j, m T j m α, j, m j, j ; m, m j, m α, j T j α, j }{{} j+ j, j ; m, m j, m sind die Clebsch-Gordon-Koeffizienten. Die beiden senkrechten Striche bedeuten, dass es sich um kein Matrixelement handelt, sondern nur um irgendeine komplexe Zahl; man spricht dann von einem reduzierten Matrixelement. α, j T j α, j hängt nicht mehr von m, m und m ab. Es ist damit eine Vorhersage über Verhältnisse von reduzierten Matrixelementen möglich und darüber hinaus, wie stark Übergänge zwischen verschiedenen m s sind siehe Übungszettel. Wie genau die Matrixelemente aussehen, ist nicht mehr wichtig. Damit hat das Wigner-Eckart-Theorem vielläufige Anwendungen wie beispielsweise der β-zerfall und Isospin. 36

37 .. PROJEKTIONSTHEOREM: MATRIXELEMENT EINES VEKTOROPERATORS.. Projektionstheorem V q sei ein Vektoroperator. Dann gilt α, j, m V q α, j, m α, j, m J V α, j, m j, m J q j, m jj + wobei J q gegeben ist durch J ± ± J ± ij und J J 3. Beweis: α, j, m J V α, j, m α, j, m J V J + V J V + α, j, m C jm α, j V α, j C jm hängt nicht von α, α und V ab. J V ist ein skalarer Operator mit [J i, J V ]. Das Wigner-Eckart- Theorem besagt für j und j j: α, j, m J V α, j, m, j;, m j, m α, j J V α, j }{{} j + C jm ist also m-unabhängig.. Projektionstheorem: Matrixelement eines Vektoroperators α, j, m J V α, j, m α, j, m V q α, j, m jj + j, m J q j, m Wir hatten gesehen: α, j, m J V α, j, m C j α, j V α, j Speziell für V J und α α gilt: α, j, m J α, j, m jj + C j α, j J α, j Betrachten wir nun das Wigner-Eckart-Theorem: α, j, m V q α, j, m, j; q, m j, m α, j V α, j α, j, m J q α, j, m, j; q, m j, m α, j J α, j Wir drücken den Clebsch-Gordon-Koeffizienten aus durch die untere Gleichung und schreiben damit die obere Gleichung als: α, j, m V q α, j, m α, j, m J q α, j, m α, j V α, j α, j, m J q α, j, m α, j, m J V α, j, m α, j J α, j α, j J α, j C j α, j, m J V α, j, m j, m J q j, m jj + Beachte, dass j, m J q j, m gegeben ist durch: q : j, m J z j, m mδ m m q ±: j, m J ± j, m jj + mm ± δm,m± 37

38 KAPITEL. ROTATIONSSYMMETRISCHE SYSTEME 38

39 Kapitel 3 Streuprozesse 3. Einführung Benötigt wird die Drehimpulszerlegung von Energie-Eigenzuständen freier Teilchen. Der Hamilton-Operator für zentralsymmetrische Potentiale V r sei H. Dann lautet die Schrödinger-Gleichung: [ Hψ E,l,m m r + + ] L r r mr + V r ψ E,l,m Eψ E,l,m ER E,l ryl m θ, φ mit L mr ψ E,l,m ll + m r ψ E,l,m Hier sei V : d m dr + d ll + r dr r R E,l r ER E,l Wir setzen nun k me d k dk r + k k Wellenzahl für freies Teilchen und R E,l U E,l r : ll + k r U E,l ϱ Die Energieabhängigkeit verschwindet für U l ϱ U E,l r mit ϱ k r. Mit k R E,l r U lk, r ist folgende k r Differentialgleichung zu lösen: d ll + + dϱ ϱ U l ϱ +U l ϱ Der Trick, um diese Differentialgleichung zu lösen, ist Auf- und Absteigeoperatoren einzuführen: d l d dϱ + l + ϱ, d l d dϱ + l + ϱ wegen d d dϱ dϱ 39

40 KAPITEL 3. STREUPROZESSE Entsprechend gilt für d l d l : d l d l d dϱ + l + ϱ d dϱ + l + ϱ d l + + dϱ [ d ϱ + dϱ, l + ] ϱ }{{} l+ ϱ d ll + + dϱ ϱ Damit können wir die Schrödinger-Gleichung durch die Operatoren d l und d l ausdrücken, nämlich d ld l U l U l. d l d l d l + + dϱ ϱ + l + ϱ d l d ld l U l d l U l d l d ld l U l d l+ d l+ d l U l }{{} U l+ d l + l + + dϱ ϱ d l+ d l+ Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für l + gegeben durch Lösung für l: U l+ ϱ d ϱu l l d dϱ U U Die Lösung dieser Differentialgleichung kennen wir aus dem ersten Semester; es handelt sich nämlich um die Differentialgleichung für den harmonischen Oszillator: { sinϱ regulär sinϱ U ϱ R cosϱ ϱ ϱ cosϱ singulär ϱ Für ϱ > ϱ min > sind beide Lösungen erlaubt. Für ϱ ϱ min ist nur die reguläre Lösung erlaubt. Wir multiplizieren U l+ mit ϱ l+ : U l+ ϱ R l+ d l ϱ R l R l ϱ R l + R l l + ϱ R l+ ϱ l+ ϱ d dϱ Rl ϱ l d ϱ dϱ R l ϱ l d ϱ dϱ d dϱ + l R l ϱ l+ d Rl ϱ dϱ ϱ l l+ R ϱ Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für Drehimpuls l lautet also: Regulär: R l ϱ j l ϱ ϱ l l d sinϱ ϱ dϱ ϱ j l ϱ sind sphärische Bessel-Funktionen der Ordnung l. Singulär: R l ϱ n l ϱ ϱ l l d cosϱ ϱ dϱ ϱ Bei n l ϱ handelt es sich um sphärische Neumann-Funktionen. Schreiben wir explizit einige dieser Funktionen auf: j ϱ sinϱ, j ϱ sinϱ ϱ ϱ 3 j ϱ ϱ 3 ϱ Allgemein gilt: j l ϱ ϱ ϱ l cosϱ ϱ sinϱ 3 cosϱ ϱ ϱ für ϱ l+ d R ϱ dϱ 4