Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24

Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und Ausblick Roland Stamm 2 / 24

1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und Ausblick Roland Stamm 3 / 24

Derivate Ein Derivat ist ein Finanzinstrument, dessen Wert vom Wert einer Ware oder eines anderen Finanzinstruments abhängt. Beispiele: Käufe oder Verkäufe auf Termin, d.h. die vertragliche Verpflichtung, eine Ware oder ein Finanzinstrument an einem zukünftigen Termin zu einem heute festgelegten Wert zu tauschen (Waren-, Aktientermingeschäfte) Die Option (keine Verpflichtung!), eine Aktie in der Zukunft zu einem heute festgelegten Kurs zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put) (Aktienoptionen) Forward-Darlehen: Darlehen, die in der Zukunft mit einem heute festgelegten Zins starten (Zinsderivat) Roland Stamm 4 / 24

Einfaches Beispiel Gegeben sei eine Aktie, die heute den Kurs 10 Euro hat. Angenommen, wir wüssten, dass der Aktienpreis in einem Jahr nur den Wert 8 Euro oder 12,50 Euro annehmen kann. Eine Händlerin möchte heute die Option verkaufen, die Aktie in einem Jahr für 9 Euro zu kaufen. Was muss sie wissen, um den fairen Wert V der Option zu bestimmen? Bei einem Aktienkurs von 12,50 Euro muss die Händlerin 3,50 Euro auszahlen. Bei einem Kurs von 8 Euro verfällt die Option wertlos. Der Erwartungswert der Auszahlung der Option in einem Jahr ist also E = p 3,5 + (1 p) 0, wobei p die Wahrscheinlichkeit für einen Anstieg auf 12,50 Euro ist. Was ist p?! Roland Stamm 5 / 24

Binomialbaum S1 u = 12,5 P1 u = 3,5 S 0 = 10 V =? S1 d = 8 P d 1 = 0 Roland Stamm 6 / 24

Arbitragefreiheit Eine Arbitragemöglichkeit ist ein Portfolio, das keinen Einsatz erfordert, fast sicher keinen Verlust macht, mit positiver Wahrscheinlichkeit Gewinn macht. Wir setzen voraus, dass ein effizienter Markt keine Arbitragemöglichkeiten erlaubt ( There is no such thing as a free lunch ). Sobald sich kurzfristig eine ergibt, wird sie von Marktteilnehmern solange ausgenutzt, bis sie verschwindet. Roland Stamm 7 / 24

Einfaches Beispiel, Fortsetzung Idee: Die Händlerin kauft heute so viele Aktien, dass das Portfolio aus Aktien und verkaufter Option in einem Jahr immer denselben Wert hat. Der Wert des Portfolios heute ist also eindeutig bestimmt. Da wir den heutigen Wert der Aktie kennen, kennen wir dann auch den Wert der Option. Angenommen, die Händlerin kauft heute Aktien und verkauft die Option. Bestimme : 12,5 3,5 = 8 = 7 9. Roland Stamm 8 / 24

Einfaches Beispiel, Fortsetzung Das Portfolio hat in einem Jahr also sicher den Wert 8 7/9 = 56/9. Eine einjährige sichere Geldanlage von 1 Euro erwirtschaftet den risikolosen Zinssatz r, zahlt also 1 + r zurück. Umgekehrt ist ein sicherer Euro in einem Jahr heute 1/(1 + r) Euro wert. Der Portfoliowert heute ist also 56/(9 (1 + r)). Ist etwa r = 1%, so ist der heutige Portfoliowert 56/(9 1, 01) = 6,16 Euro. Der Wert der Option alleine ist also gegeben durch 7/9 10 6,16 = 1,62 Euro. Wo ist die Wahrscheinlichkeit p abgeblieben?! Roland Stamm 9 / 24

Voraussetzungen Aktien und andere Finanzinstrumente lassen sich in beliebigen Stückzahlen (auch in Bruchteilen) zum selben Preis kaufen und verkaufen Es gibt einen risikolosen Zinssatz r, zu dem alle Marktteilnehmer Geld aus- und verleihen können Der Handel findet nur zu zwei Terminen statt, in t = 0 und t = 1 Der zukünftige Aktienkurs kann nur zwei Werte annehmen Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten Roland Stamm 11 / 24

Binomialmodell mit einer Periode In t = 0 sei der Aktienkurs durch S 0 gegeben. In t = 1 kann der Aktienkurs S u 1 = us 0 oder S d 1 = ds 0 sein, mit d < 1 + r < u. Sei P u bzw. P d die Auszahlung der Option in t = 1. Gesucht wird der Wert V der Option. Bestimme so, dass S u 1 Pu = S d 1 Pd, also Für den Wert des Portfolios heute gilt damit = Pu P d S 0 (u d). (1) ds 0 P d = S 0 V. 1 + r Satz. Der heutige Wert der Option für den Inhaber der Option ist gegeben durch ( V = S 0 1 d ) ( + Pd 1 + r 1 + r = S 0 1 u ) + Pu 1 + r 1 + r. (2) Roland Stamm 12 / 24

Beobachtung I Setzen wir Gleichung (1) in Gleichung (2) ein, so erhalten wir durch Umstellen: V = ppu + (1 p)p d, mit 1 + r (3) p = 1 + r d u d. (4) Wegen der geforderten Voraussetzungen an u und d gilt 0 < p < 1. Somit lässt p sich als Wahrscheinlichkeit interpretieren. Mit dieser Interpretation ist V dann tatsächlich der abdiskontierte Erwartungswert der Auszahlung der Option. Das zu p gehörige Wahrscheinlichkeitsmaß heißt risikoneutrales Maß. Der Wert der Option hängt nur von der Schwankungsbreite (ausgedrückt durch u und d) und dem risikolosen Zinssatz ab. Roland Stamm 13 / 24

Beobachtung II Interpretiert man u und d als mögliche Renditen des Aktienportfolios, so ergibt sich als erwartete Rendite unter dem risikoneutralen Maß R = pu + (1 p)d = 1 + r d u d = 1 + r u d = 1 + r. u + u 1 r u d (u d) du ud u d Das risikoneutrale Maß lässt sich also als das Maß charakterisieren, unter dem die erwartete Rendite des Aktienportfolios der risikolosen Rendite entspricht (daher auch der Name). d Roland Stamm 14 / 24

Die Rolle der Voraussetzungen Angenommen, die Händlerin in unserem Beispiel findet für die Aktienoption einen Käufer für 1,65 Euro. Sie verkauft eine Million Optionen für 1,65 Mio Euro Sie leiht sich 6,13 Mio Euro (zu 1%), um sich (mit der Prämie) 777.777,78 Aktien zu 10 Euro zu kaufen In einem Jahr hat ihr Portfolio garantiert den Wert 6,22 Mio Euro Sie muss aber nur 6,19 Mio zurückzahlen, hat also 30.000 Euro risikolosen Gewinn. Analog wird sie massiv Optionen kaufen und Aktien leer verkaufen, wenn sie einen Verkäufer findet, der die Option unter 1,62 Euro verkauft. Roland Stamm 15 / 24

Binomialmodell mit mehreren Perioden Handel mit der Aktie ist nun an mehreren Terminen möglich: t i = t 0 + i δ, i = 0,..., n, n 1. In t i hat die Aktie den Kurs S i, der pro Zeitschritt um die Faktoren u bzw. d steigen bzw. sinken kann, 0 < d < 1 + r, u = 1/d (damit wird der Baum rekombinierend). Die Zinsrate r ist dieselbe für alle Perioden. Wir schreiben S k,l i = u k d l S 0 = u k l S 0 mit k = Anzahl der Schritte nach oben, l = Anzahl der Schritte nach unten, k + l = i. Jede Verzweigung wird so behandelt wie im Einperiodenfall. Roland Stamm 17 / 24

Bewertung im n-periodenmodell Satz. Gegeben sei ein Derivat auf eine Aktie, das nach n Perioden in t n das Auszahlungsprofil Pn k,l habe, wobei k bzw. l die Anzahl der Schritte nach oben bzw. unten beschreibt, mit k + l = n. Definiere p wie in (4), also p = 1 + r d u d. Dann gilt unter den obigen Voraussetzungen für den Wert V des Derivates in t 0 = 0: V = 1 (1 + r) n n j=0 Beweis durch vollständige Induktion. Für n = 1 ist der Satz bereits bewiesen. ( ) n p j (1 p) n j Pn j,n j. j Roland Stamm 18 / 24

Bewertung im n-periodenmodell, Fortsetzung Sei n > 1, die Aussage richtig für n 1. Definiere für k + l = n 1, k = 0,..., n 1 das Auszahlungsprofil P k,l n 1 := 1 1 + r (ppk+1,l n + (1 p)pn k,l+1 ). Ein Derivat mit Laufzeit t n 1 und Auszahlungsprofil P k,l Induktion den Wert V n 1 = = = = = 1 (1 + r) n 1 1 n 1 ( ) n 1 p j (1 p) n 1 j P j,n j 1 n 1 j j=0 n 1 ( n 1 (1 + r) n j j=0 1 n ( n 1 (1 + r) n j 1 j=1 1 P n,0 n 1 ( n (1 + r) n n + j j=1 1 n ( n (1 + r) n j=0 j ) p j (1 p) n 1 j ( pp j+1,n 1 j n ) p j (1 p) n j P j,n j ) p j (1 p) n j P j,n j ) p j (1 p) n j P j,n j n. n 1 ( ) n 1 n + j j=0 n 1 + (1 p)p j,n j ) n n + (1 p) n P 0,n n p j (1 p) n j P j,n j n hat per Roland Stamm 19 / 24

Schwächen des Modells Die Kauf- und Verkaufpreise von Finanzinstrumenten sind unterschiedlich. Je illiquider ein Instrument, desto höher ist diese sogenannte Geld-Brief-Spanne (Bid/Ask Spread). Je kleiner die Kapitalisierung einer Firma, desto stärker bewegt man durch einen Kauf oder Verkauf selbst den Marktpreis. Leerverkäufe sind für viele Aktien in der Praxis nicht möglich, in einigen Jurisdiktionen sogar verboten. Die Zinssätze für das Aus- und Verleihen von Geld unterscheiden sich erheblich; außerdem sind sie für jeden Marktteilnehmer von seiner Kreditqualität abhängig. Die Annahme diskreter Handelszeitpunkte und bekannter Kursstände ist eine grobe Vereinfachung. Das Portfolio, das zur Herleitung des Optionswertes gebildet wird, ist gar nicht risikolos, da der Verkäufer der Option seiner Zahlungsverpflichtung evtl. nicht nachkommt. Seit der Finanzkrise unterscheidet sich die Bewertung von Derivaten und Krediten erheblich. Roland Stamm 21 / 24

Verbesserungsmöglichkeiten und Ausblick Für sehr große Unternehmen ist die Liquidität praktisch unbegrenzt, einzelne Teilnehmer können den Markt kaum bewegen, die Spreads sind klein und können für solche Aktien ignoriert werden. Durch Schrumpfung der Zeitschritte auf infinitesimale Größe geht das Modell in das Black-Scholes-Modell über, das die Bewegung des Aktienkurses als einen stetigen stochastischen Prozess modelliert. Allerdings macht das BS-Modell die unrealistische Annahme, dass die relativen Kursveränderungen normalverteilt sind. Dies lässt sich jedoch durch komplexere Modelle beheben (stochastische Volatilität, lokale Volatilität, etc.). Das Problem des möglichen Ausfalls des Optionsverkäufers lässt sich in die BS-Formel einarbeiten (Credit Value Adjustment, CVA). Die Unterscheidung in der Bewertung von Derivaten und Krediten lässt sich ebenfalls berücksichtigen (Basis-Spreads). Roland Stamm 22 / 24

Anhang Roland Stamm 23 / 24

Anhang Setzen wir (1) in (2) ein, so erhalten wir V = Pu P d ( S 0 (u d) S 0 1 d ) + Pd 1 + r 1 + r = Pu P d 1 + r d + u d 1 + r ( 1 1 + r d = 1 + r u d 1 ( = pp u + (1 p)p d), 1 + r (u d)pd (1 + r)(u d) P u + u d + d 1 r u d P d ) mit p = (1 + r d)/(u d). Roland Stamm 24 / 24