Verschränktheit und topologische Ordnung in komplexen Entanglement and topological order in complex quantum systems Schuch, Norbert Max-Planck-Institut für Quantenoptik, Garching Korrespondierender Autor E-Mail: norbert.schuch@mpq.mpg.de Zusammenfassung Komplexe Systeme können sich auf vielfältige Weise ordnen. Während sich Ordnung in konventioneller Materie durch lokale Eigenschaften des Systems verstehen lässt, weisen stark wechselwirkende Quantensysteme eine sogenannte topologische Ordnung auf, bei der sich die Quantenkorrelationen des Systems, genannt Verschränktheit, global organisieren. Methoden aus der Quanteninformationstheorie erlauben es, die Verschränktheitsstruktur dieser Systeme dennoch lokal zu modellieren, was eine Vielfalt von Anwendungen in der Untersuchung und Klassifikation topologisch geordneter Systeme erschließt. Summary Complex quantum systems can order in a wide range of different ways. While order in conventional matter can be explained from local properties of the system, strongly correlated systems exhibit so-called topological order, where the quantum correlations of the system, termed entanglement, organize globally. Yet, methods from Quantum Information Theory allow model the entanglement structure of these systems locally and thus open up a plethora of applications in the study and classification of topologically ordered systems. Eine fundamentale Eigenschaft von Materie ist, dass sie verschiedene Zustandsformen, sogenannte Phasen, einnehmen kann. So kann Wasser beispielsweise je nach Temperatur flüssig (als Wasser) oder fest (als Eis) auftreten. Diese Phasen können anhand ihrer Ordnung unterschieden werden. Während Eis ein Kristallgitter formt, in dem die Wassermoleküle eine gleichmäßige Ordnung über große Abstände einnehmen, lässt der Ort eines Moleküls in Wasser keine Rückschlüsse auf die Position eines entfernten Moleküls zu. Ähnliche Phänomene lassen sich z. B. auch in magnetischen Materialien finden. Hier sind in der ferromagnetischen Phase alle Elementarmagnete parallel ausgerichtet, während diese Ordnung oberhalb der sogenannten Curie-Temperatur verloren geht und das Material dadurch nichtmagnetisch wird. In beiden Fällen lässt sich die jeweilige Phase somit durch Betrachtung lokaler Eigenschaften (der Position der Moleküle bzw. der Ausrichtung der Elementarmagnete), sogenannter Ordnungsparameter, identifizieren. Dies wurde durch den russischen Theoretiker Lew D. Landau formalisiert, der eine umfassende Theorie von Phasen und Phasenübergängen basierend auf lokalen Ordnungsparametern entwickelte. Als zugrunde liegende Annahme der Landau-Theorie kann die sogenannte Molekularfeldnäherung angesehen werden, in der das Verhalten der 2017 Max-Planck-Gesellschaft www.mpg.de 1/5
einzelnen Teilchen unabhängig voneinander beschrieben und durch den Ordnungsparameter charakterisiert wird. Bemerkenswerterweise ist diese Theorie nicht auf klassische Systeme beschränkt, sondern beschreibt in den allermeisten Fällen auch das Verhalten von quantenmechanischen Systemen sogar bei niedrigen Temperaturen sehr gut. Dies ist vor allem deshalb erstaunlich, weil sich quantenmechanische Systeme im Allgemeinen in komplexen Überlagerungszuständen, sogenannten verschränkten Zuständen, befinden können, die eine unabhängige Beschreibung der einzelnen Teilchen unmöglich macht. Warum eine solche Beschreibung trotzdem funktioniert, lässt sich mithilfe von Erkenntnissen aus der Quanteninformationstheorie verstehen. Verschränktheit ist monogam, d. h., sie kann nur zwischen festen Paaren von Teilchen bestehen und verschwindet schnell, wenn sie zwischen mehreren Partnern gleichmäßig aufgeteilt werden muss. In Quantenvielteilchensystemen ist somit im Allgemeinen nur ein verschwindendes Maß an Verschränktheit zwischen einzelnen Teilchenpaaren zu finden, was deren unabhängige Beschreibung und somit die Klassifikation von Phasen basierend auf lokalen Ordnungsparametern ermöglicht. Im Jahr 1983 konnte Duncan Haldane jedoch zeigen, dass es Quantensysteme gibt, die zwar geordnet sind, für die sich jedoch keinerlei lokaler Ordnungsparameter finden lässt [1]. Stattdessen organisieren sich solche Systeme global, d. h., es entsteht eine Ordnung in der globalen Verschränktheit des Systems, was eine unabhängige Beschreibung der einzelnen Teilchen unmöglich macht. Da es keinen lokalen Ordnungsparameter gibt und zudem das Verhalten solcher Systeme von globalen Eigenschaften abhängt, wie z. B. Löchern im System oder der Wahl der Randbedingungen, wird diese Art von Ordnung als topologische Ordnung bezeichnet. Topologische Systeme können eine Vielzahl von neuartigen Phänomenen aufweisen, wie beispielsweise präzise quantisierte Randströme oder Anregungen mit exotischer Statistik, die in Zukunft zum Bau von Quantencomputern verwendet werden könnten. Haldanes Erkenntnisse wurden, zusammen mit Arbeiten von David Thouless und J. Michael Kosterlitz, 2016 mit dem Nobelpreis für Physik ausgezeichnet. Wie lassen sich nun solche topologisch geordneten Systeme verstehen, die sich durch ihre globale Verschränktheit auszeichnen? Eine lokale Beschreibung wie in der Molekularfeldnäherung scheint nicht aussichtsreich, da sie die globale Verschränktheit nicht reproduzieren kann. Andererseits ist eine solche lokale Beschreibung weiterhin wünschenswert, da sie es ermöglichen würde, unmittelbar zu verstehen, wie die Struktur der (im Allgemeinen lokalen) Wechselwirkungen die (möglicherweise globale) Ordnung im System hervorbringt. Hier kommt uns die Verschränktheitstheorie zu Hilfe. Wie sich herausstellt, ist die Verschränktheitsstruktur von physikalischen Systemen sehr speziell. Die Verschränktheit zwischen zwei Bereichen eines beliebigen Quantensystems ist stets um die Grenze zwischen den Bereichen herum lokalisiert, während die Teilchen im Inneren jedes Bereichs nicht mit dem anderen Bereich verschränkt sind; ein als area law bekanntes Verhalten, das nahelegt, dass die Veschränktheit auch in solchen Systemen lokal aufgebaut ist [2]. A bb. 1: Konstruktion eines Tensornetzwerkzustands. Basierend auf dieser Einsicht in die Verschränktheitsstruktur lässt sich eine lokale Beschreibung von Quantenvielteilchensystemen konstruieren, die nichtsdestotrotz auch Zustände mit globaler topologischer 2017 Max-Planck-Gesellschaft www.mpg.de 2/5
Ordnung exakt beschreiben kann. Hierbei wird jedem Teilchen ein Tensor zugeordnet, der zum einen das Verhalten des Teilchens selbst beschreibt, zum anderen aber auch seine Verschränktheit mit den umliegenden Teilchen. Gemeinsam formen diese Tensoren dann ein sogenanntes Tensornetzwerk, das die globale Verschränktheit im System nach und nach durch Verschränkung der einzelnen Teile aufbaut ( Abb. 1) [3, 4]. Wie sich zeigen lässt, sind solche Tensornetzwerke in der Lage, die Physik von beliebigen Vielteilchensystemen präzise zu beschreiben. Ein großer Vorteil hierbei ist ihre Fähigkeit, sowohl die physikalische Struktur der Wechselwirkung, wie z. B. Symmetrien, als auch die für topologische Ordnung notwendige Verschränktheitsstruktur lokal zu kodieren. Dies ermöglicht den unmittelbaren Zugriff auf die verschiedenen Eigenschaften des Systems und gestattet es beispielsweise, Symmetrien und topologische Ordnung einerseits einzeln zu betrachten und andererseits ihr Zusammenspiel zu analysieren. A bb. 2: Antiferrom agnetische Spins auf dem Kagom e-gitter. Die Dreiecke führen zu Frustration, da sich nicht alle Spins antiparallel ausrichten können. Eine Anwendung von Tensornetzwerkzuständen ist die Untersuchung von sogenannten topologischen Spinflüssigkeiten [5]. Hierbei handelt es sich um Systeme, in denen die Elementarmagnete (Spins) antiferromagnetisch wechselwirken, sich also gegenläufig ausrichten wollen. Aufgrund der Struktur des zugrunde liegenden Gitters ist dies jedoch nicht möglich, wie zum Beispiel beim Kagome-Gitter (Abb. 2). Das Vorhandensein quantenmechanischer Wechselwirkungen führt jedoch dazu, dass das System sich bei niedriger Temperatur nichtsdestotrotz ordnet und zwar nicht magnetisch, sondern auf globaler, also topologische Ebene. Ein vielversprechender Kandidat für eine solche Spinflüssigkeit ist ein Heisenberg- Antiferromagnet auf dem Kagome-Gitter, der in guter Näherung in geschichteten Materialien wie z. B. Herbertsmithite (ZnCu 3 (OH) 6 Cl 2 ) realisiert ist. Ein vielfach verwendeter Ansatz für die Beschreibung solcher Spinflüssigkeiten sind sogenannte Resonating Valence Bond (RVB-) Zustände, die das System als Überlagerung von antiferromagnetischen Singlet-Paaren modellieren. Ihre quantenmechanische Struktur macht diese Zustände jedoch schwierig zu analysieren, da unterschiedliche Singlet-Konfigurationen nicht orthogonal sind. Hier können Tensornetzwerke ihre volle Kraft ausspielen: Sie erlauben es, die physikalische Spin-Symmetrie und die topologische Ordnung in diesen Zuständen zu trennen und somit unabhängig voneinander zu analysieren [6]. So ist es möglich, die physikalische Symmetrie stetig zu entfernen und somit ein rein topologisches, exakt lösbares Modell zu erhalten. Dabei erlauben es sogenannte Transfermatrix-Methoden, exakt nachzuweisen, dass entlang einer solchen stetigen Verformung einerseits keinerlei langreichweitige Spinordnung entsteht (das System also eine Spinflüssigkeit ist) und andererseits die topologische Ordnung erhalten bleibt, das System also tatsächlich eine sogenannte topologische Spinflüssigkeit beschreibt. Gleichzeitig ermöglicht es uns der Tensornetzwerk- Formalismus, eine exakte Wechselwirkung mit diesem Grundzustand zu finden und somit ein lösbares Modell einer topologischen Spinflüssigkeit zu konstruieren. 2017 Max-Planck-Gesellschaft www.mpg.de 3/5
A bb. 3: (a) Lokale Modellierung von topologischen Anregungen in Tensornetzwerken. (b) Phasendiagram m m it verschiedenen topologischen Phasen. Eine weitere Anwendung von Tensornetzwerken ist die Untersuchung und Klassifikation von topologischen Phasen und Phasenübergängen. Ein wesentliches Problem ist hier, dass es keine lokalen Ordnungsparameter gibt, die in der Landau-Theorie die Charakterisierung von Phasen und Phasenübergängen ermöglichen, da topologische Phasen durch globale Eigenschaften sowie die topologische Natur ihrer Anregungen charakterisiert sind. Der Tensornetzwerk-Formalismus erlaubt es nun, diese Anregungen explizit zu modellieren, und zwar nicht nur für sogenannte Renormierungs-Fixpunkte, die keine Längenskala besitzen, sondern auch für allgemeine Systeme mit endlicher Längenskala (Abb. 3(a)) [7]. Basierend darauf ist es anschließend möglich, Ordnungsparameter für topologisch geordnete Systeme zu messen, die das Verhalten dieser topologischen Anregungen charakterisieren und insbesondere wie sich ihre topologischen Eigenschaften am Phasenübergang ändern. Dies erlaubt es, Phasendiagramme von topologischen Phasen zu bestimmen (Abb. 3(b)), mithilfe dieser Ordnungsparameter zu untersuchen und in Analogie zu konventionellen Phasenübergängen das sogenannte universelle Verhalten nahe des Phasenübergangs, gegeben durch das Skalierungsverhalten der Ordnungsparameter am Übergang, zu untersuchen, und somit neue Einblicke in die Natur von topologischen Phasenübergängen zu erhalten [8]. Literaturhinweise [1] Haldane, F. D. M. Continuum dynamics of the 1-D Heisenberg antiferromagnet: Identification with the O(3) nonlinear sigma model Physics Letters A 93, 464-468 (1983) [2] Eisert, J.; Cramer, M.; Plenio, M. B. Area laws for the entanglement entropy - a review Reviews of Modern Physics 82, 277-306 (2010) [3] Verstraete, F.; Cirac, J. I. Valence-bond states for quantum computation Physical Review A 70, 060302(R) (2004) [4] F. Verstraete, F.; Cirac, J. I.; Murg, V. Matrix product states, projected entangled pair states, and variational renormalization group methods for quantum spin systems Advances in Physics 57, 143-224 (2008) 2017 Max-Planck-Gesellschaft www.mpg.de 4/5
[5] Balents, L. Spin liquids in frustrated magnets Nature 464, 199-208 (2010) [6] Schuch, N.; Poilblanc, D.; Cirac, J. I.; Perez-Garcia, D. Resonating valence bond states in the PEPS formalism Physical Review B 86, 115108 (2012) [7] Schuch, N.; Cirac, J. I.; Pérez-García, D. PEPS as ground states: degeneracy and topology Annals of Physics 325, 2153-2192 (2010) [8] Duivenvoorden, K.; Iqbal, M.; Haegeman, J.; Verstaete, F.; Schuch, N. Entanglement phases as holographic duals of anyon condensates arxiv:1702.08469 [cond-mat.str-el] 2017 Max-Planck-Gesellschaft www.mpg.de 5/5