Herann-Hesse-Oberschule (Gynasiu) Fachbereich Matheatik Kurs a - i n áth a = das Gelernte, die Kenntnis atheatikói (µαhηµατικοί), d. h. die durch Lernen Einsicht erlangt Habenden ath atikos = lernbegierig
Prolog Wie das Frontblatt schon sagt: In der Matheatik üssen Vokabeln gelernt werden. Wer nicht weiß, was bestite Bezeichnungen wie zu Beispiel f () bedeuten, kann keinen Lernfortschritt erzielen. Einer Erklärung kann das Gehirn i Zusaenhang nicht folgen, wenn es an bestiten Stellen STOP acht, weil ein Begriff, ein Zusaenhang nicht verstanden wird, der als bekannt vorausgesetzt wird. Es wird hier die Behauptung vertreten, dass es grundsätzlich keine Menschen gibt, die Matheatik einfach nicht können. Es gibt nur Menschen, die erhebliche Defizite i Vokabelwissen haben und solche, die diese Defizite nicht oder nur in geringe Ausaß haben. Sie haben schließlich die. Klassenstufe erreicht, woraus geschlossen werden darf, dass es Ihnen nicht an logische Verstand fehlen kann. I Übrigen hat schon Goethe festgestellt, dass die Intelligenz die a gerechtesten verteilte Sache der Welt ist, weil jeder Mensch glaubt, genug davon zu haben. Auf den nächsten Seiten sollen einige Grundlagen insbesondere aus der Klassenstufe zusaengestellt werden, auf die nicht verzichtet werden kann. Es ist sinnlos, die Inhalte des Kurses a- verstehen zu wollen, wenn an nicht weiß, was anschaulich hinter de Zeichen f () steckt. Ebenso wird vorausgesetzt, dass die Kursteilneher verständig it Parabeln und einfachen ganzrationalen Funktionen dritten Grades ugehen können. Es kann nicht erwartet werden, dass an jeder Stelle Inhalte aus Klasse 7/8 (Prozentrechnung), aus Klasse 9 (p-q-forel), Klasse (Potenzrechnung, trigonoetrische Funktionen) i Kurs wiederholt werden. In Klasse fand bereits in groben Zügen eine Wiederholung wesentlicher Inhalte statt, die nun gebraucht werden. Wenn hier Mängel vorhanden sein sollten, uss an an den betreffenden Stellen auch einal außerschulische Hilfe in Anspruch nehen. Das vorliegende Skript soll ein Schulbuch ersetzen. Es spricht alle Inhalte, die der Rahenplan fordert, an. Obwohl dieses bereits die 4. verbesserte Ausgabe ist, wird es -wie jedes Buchier noch nicht frei von Druckfehlern sein. Es wird also erstens u Verständnis gebeten, dass die Verfasser nicht perfekt sind und zweitens u Rückeldung gebeten, wo Druckfehler und auch ethodisch-didaktische Ungeschicklichkeiten auffallen. Die Matheatik, die hier angeboten wird, ist jedenfalls richtig. (Das soll heißen, dass Sie keine inhaltlichen Fehler finden werden.) Ich öchte ich an dieser Stelle bei den Herren Bauann, Dietsch, Dr. Röding für die Unterstützung bei der Erstellung dieses Skripts bedanken. In diesen Dank eingeschlossen ist Herr Madincea (ein Blick in http://hoe.t-online.de/hoe/arne.madincea lohnt sich!!), ohne dessen unendliche Geduld die folgenden Zeilen, Graphiken,... nie in einen Coputer gekoen wären. B. Große. Kreuzberg, Winter vocabulu, lat. = Benennung, Bezeichnung deficere, lat. = abnehen, fehlen
Prolog
Prolog 3
Prolog 4 Bestiung des Scheitels einer Parabel Eine Parabel kann nach oben oder nach unten geöffnet sein. Man erkennt dies unittelbar aus de Faktor (Koeffizienten), der vor x² steht: Ist dieser positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet. Beispiel: f(x) ' 3 x & x & 6 (hier liegt also eine nach oben geöffnete Parabel vor, da der Koeffizient 3 positiv ist) f(x) ' 3 x & x & 6 ' 3 (x & 3x ) & 6 ' 3 (x & 3x % 9 4 & 9 4 ) & 6 ' 3 ((x& 3 ) & 9 4 ) & 6 ' 3 (x& 3 ) & 3 @ 9 4 & 6 ' 3 (x& 3 ) & 3 4 & 6 ' 3 (x& 3 ) & 6,75 () es wird teilweise ausgeklaert 3 9 () es wird addiert und subtrahiert, u 4 die binoische Forel anwenden zu können (3) es wird wieder ausultipliziert und dann (4) zusaengefasst Es liegt also eine Parabel it de Scheitel S (,5 / - 6,75) vor. Begründung: Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat also i Scheitel ihren tiefsten Punkt. Das ist der Punkt, der den kleinsten Funktionswert hat. Den kleinsten Funktionswert erhält an aber gerade für denjenigen x-wert, für den (x -,5) den Wert Null annit. Für alle anderen x-werte ist (x -,5) positiv, der Funktionswert wird dann also größer als - 6,75. Ist die Parabel nach unten geöffnet, bestit an nach derselben Methode denjenigen Punkt, der den größten Funktionswert hat.
Prolog 5 Will an die Steigung in eine Punkt P(x o /f(x o )) eines Graphen bestien, so erhält an f(x einen Näherungswert, wenn an die Steigung o % h)& f(x o ) der Sekanten s h berechnet. (Q darf natürlich nicht zu weit von P entfernt sein.) Die Tangentensteigung an der Stelle x o erhält an als Grenzwert, wenn h (h ) gegen Null konvergiert: f(x li o % h)& f(x o ) = f (x o ) h! h Üblich ist auch die folgende Schreibweise: Man bestit die Steigung der Sekanten s, auf der die Punkte P(x o /f(x o )) und Q(x n /f(x n )) liegen. f (x o ) erhält an als Grenzwert, wenn die Folge ( x n ) gegen x o konvergiert. Man beachte, dass die Funktion f hinreichend vernünftig sein uss, dait für jede Nullfolge ( h n ) (h n ), die an für h einsetzt, die zugehörige Folge der Differenzen-quotienten konvergiert. Entsprechend uss f eine Funktion sein, bei der für jede Folge ( x n ) (x n x o ), die gegen x o f(x konvergiert, die Folge n ) & f(x o ) konvergieren. x n & x o
Prolog 6 Will an die Ableitung f einer Funktion f eritteln, ohne dass eine Forel zur Erittlung dieser Ableitung bekannt ist, betrachtet an den Differenzenquotienten dieser Funktion. f(x o % h) & f(x o ) h Falls der Grenzwert dieses Differenzenquotienten für jede Nullfolge, die h durchläuft (die Folgenglieder dürfen natürlich nicht den Wert Null annehen), existiert, f(x gilt:f ( x o ) ' li o % h) & f(x o ) h! h f ( x o ) gibt die Steigung der Funktion (Steigung der Tangente) f an der Stelle x o an. Links ist der Graph der durch f(x) = definierten x Funktion f dargestellt. Der Differenzenquotient von f an der Stelle x o 3 ist: x o % h & x o h Den Grenzwert (für h! ) dieses Quotienten erhält an durch geschicktes Uforen: 3 Es ist prinzipiell unerheblich, ob an bei der Berechnung von Differenzenquotienten an einer beliebigen Stelle diese Stelle it x o oder it x bezeichnet.
Prolog 7 x o % h & h x o = x o & (x o % h) (x o % h)@ x o h = x o & (x o % h) h @ (x o % h)@ x o = & h h @ (x o % h)@ x o = & (x o % h)@ x o Also folgt: f(x) ' x ; f (x) ' & x
Prolog 8 Der Differenzenquotient der Wurzelfunktion (f(x) = x ) lautet an der Stelle x: x % h & x h Auch dessen Grenzwert kann an durch geschickte Uforung bestien. Durch Erweitern erhält an: x % h & x h = = = ( x % h & x)@ ( x % h % x) h @ ( x % h % x) x % h & x h @ ( x % h % x) x % h % x Offenbar lässt sich nun der Grenzübergang h! durchführen: li h! x % h & x h = li h! x % h % x ( x) ' @ x
Prolog 9 An der Stelle x = 4 üsste die Tangente an den Graphen der Wurzelfunktion denach die Steigung,5 haben. Dait kann an die Tangentengleichung t(x) = x + n an der Stelle 4 eritteln, da der Punkt (4/) auf der Tangente liegen uss: t(x) = x + n t(x) =,5x + n t(4) =,5 @ 4 + n = + n = n t(x) =,5 @ x +
Prolog Das newtonsche Näherungsverfahren Es soll näherungsweise die Nullstelle des Graphen von f (durchgezogen) bestit werden. I Punkt (x / f(x )) wird eine Tangente an den Graphen von f gelegt. Man bestit den Schnittpunkt x dieser Tangente it der x-achse. I Punkt (x / f(x )) wird wieder eine Tangente an den Graphen... x berechnet sich nach folgender Forel: x ' x & f(x ) f (x )
Prolog Das Bogenaß Uns ist bekannt, dass an den Vollwinkel in 36 gleichgroße Winkel teilen kann. Jeden dieser Winkel können wir wieder in 6 gleichgroße Winkel teilen. (Ein solcher Winkel hätte dann die Größe (eine Minute).) Diese Art der Unterteilung stat von den Babyloniern, die it de sogenannten Sexagesialsyste gerechnet haben. In diese Syste konnte das Zeichen für die " auch 6 oder 6 @ 6 = 6²,..., auch / 6,... bedeuten. Die Vorliebe für die Zahl 6 konnte viele Gründe haben. Bekannt ist aber heute, dass die Räder babylonischer Wagen sechs Speichen hatten (siehe Bild eines babylonischen Streitwagens). Die Ägypter bevorzugten vier Speichen. Der Ufang eines Kreises lässt sich leicht in sechs gleiche Teile zerlegen, wenn an den Radius dieses Kreises sechsal abträgt. Es entsteht dann ein regeläßiges Sechseck. (Begründung? Bitte it de Zirkel einal diese Aufgabe durchführen.) Das Zahlensyste der Babylonier hatte enore praktische Vorzüge bei koplizierten Rechnungen, wie sie z.b. in der Astronoie, de Kanalbau (künstliche Bewässerung),... notwendig waren. Dieses Syste wurde u.a. vo großen Astronoen Ptoleäus übernoen und hat seine Spuren bis auf den heutigen Tag hinterlassen ( Zeiteinteilung!). Nun ist den Matheatikern (zu Leidwesen vieler Schüler) eingefallen, dass an die Größe eines Winkels auch ganz anders essen kann. Wie dies geschieht, soll jetzt dargestellt werden:
Prolog Der Kreisufang berechnet sich nach der Forel U = πr. Nit an einen Kreis it de Radius r = (einen Einheitskreis), wird s besonders einfach: U = @π. π ist also der Ufang eines Kreises it de Radius r =. Ich zeichne einfach einal einen Winkel it der Größe α = 49. Anschließend zeichne ich einen Kreis ( r =!!!!), dessen Mittelpunkt der Scheitel des eben gezeichneten Winkels ist. Die Schenkel des Winkels schneiden nun aus de Kreis einen Bogen it ganz bestiter Länge aus. (Bitte diese Tätigkeit selbst jetzt durchführen!!!) Die Länge dieses Bogens esse ich. (Ich könnte z.b. einen Faden genau über das Bogenstück legen und anschließend das Fadenstück an ein Lineal legen. Dann hätte ich einen Näherungswert für die Bogenlänge.) Es ist doch nun wirklich gleichgültig, ob ich sage, dass der Winkel 49 groß ist oder, ob ich sage, wie lang das Bogenstück ist, das die Schenkel des Winkels aus de Einheitskreis ausgeschnitten haben, oder? Durch die Angabe dieser Bogenlänge weiß ich genau, wie groß der Winkel ist! Beispiel: Ein Winkel der Größe 6 schneidet ein Sechstel vo Ufang des Einheitskreises aus. Ein Sechstel des Ufangs π ist π/3. Also entspricht de Winkel it der Größe 6 das Bogenaß π/3 (.,5, wenn ich an π. 3,4 denke). Man kann auch sagen, dass der Winkel i Bogenaß die Größe π/3 hat. Oder kurz: Der Winkel hat die Größe π/3 (.,5). Eine Verwechslung it de Gradaß ist nicht öglich, weil ich sagte, der Winkel habe ungefähr die Größe,5 und nicht : Der Winkel sei ungefähr,5 Grad groß. Wichtiger Hinweis für das Rechnen it de TR: Ih uss an ier sagen, ob er Gradzahlen oder Zahlen i Bogenaß verarbeiten soll. Dies geschieht dadurch, dass an den TR in den MODUS DEG (degree) stellt, wenn er i gewohnten Gradaß rechnen soll. Stellt an den TR in den Modus (Zustand) RAD, rechnet er it de (noch ungewohnten) Bogenaß.
Prolog 3 Folgende Vokabeln aus Klasse sind i zweiten Teil des Seesters recht nützlich, wobei an sich auch noch einal an das ungeliebte Bogenaß erinnern öge! (Studiere dazu notfalls die folgenden Seiten.) to learn by heart 3 / π 6 π 4 π 3 45 / 6 / 9 / π sin (α),5 @.,7 @ 3.,87 cos (α) @ 3.,87 @.,7,5 Der Graph der Sinusfunktion ist punktsyetrisch zu Punkt (/). Der Graph der Kosinusfunktion ist achsensyetrisch zur y-achse. (Siehe auch Seite 43.)
Prolog 4 Trigonoetrische Funktionen und das Bogenaß (Ohne Taschenrechner zu bearbeiten).) Geben Sie die Nullstellen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion innerhalb des Intervalls [/π] exakt und auf eine Nachkoastelle gerundet an..) Geben Sie eine Stelle des Intervalls [/π] an, an der sich die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion schneiden. 3.) Ist cos(3) positiv oder negativ? (Bitte eine kurze Begründung angeben, in der auf den Verlauf des Graphen der Kosinusfunktion Bezug genoen wird.) 4.) Zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen innerhalb des Intervalls [/π] liegt die Stelle, an der die Sinusfunktion ihren kleinsten Funktionswert annit? Zwischen welchen benachbarten ganzen Zahlen (innerhalb [/π] ) liegt die Stelle, an der die Kosinusfunktion ihren kleinsten Funktionswert annit? 5.) An welchen Stellen innerhalb des Intervalls [/π] hat der Graph der Sinusfunktion waagerechte Tangenten? Geben Sie auch Näherungswerte (Dezialzahlen auf eine Nachkoastelle gerundet) für diese Stellen an. 6.) Geben Sie zwei benachbarte ganze Zahlen (innerhalb von [/π] ) an, zwischen denen die Sinusfunktion nur Tangenten it negativer Steigung hat. 7.) Geben Sie Gründe an, waru der rechts gezeichnete Graph nicht der Graph der Sinusfunktion sein kann. 8.) In wie vielen Punkten schneiden sich der Graph der Sinusfunktion und der der Kosinusfunktion innerhalb des Intervalls [/π]? Geben Sie die y- Koordinaten dieser Punkte an. (Exakt und auf zwei Nachkoastellen gerundet.) 9.) In welche Punkt ( innerhalb von [/π] ) hat der Graph der Kosinusfunktion sein größtes Gefälle (seine kleinste Steigung)? Geben Sie die Koordinaten dieses Punktes exakt und auf zwei Nachkoastellen gerundet an..)welcher Wert ist jeweils größer: cos ( ) oder cos ( )? sin (,5 ) oder sin ( 3 )?. Eine kurze textliche Erklärung it Bezug auf den Verlauf der Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion ist gefordert.
Prolog 5.) Da π. 3,4, sollte es nicht weiter schwierig sein, die entsprechenden Schnittpunkte der Graphen it der x-achse anzugeben. Die erste positive Nullstelle der Kosinusfunktion liegt also ungefähr bei,6. π 3,4 (. ',57.,6 ). π.) An der Stelle.,8 (aber nicht nur dort!) schneiden sich die Graphen ( i Gradaß 4 entspricht dies de Winkel it der Größe 45 ). 3.) Der Graph der Kosinusfunktion verläuft zwischen und (also ungefähr zwischen,6 und 4,7 ) unterhalb der x-achse. Dait folgt cos (3) <! 3π 4.) sin (7 ) = sin ( ) = sin (4,738...) = -. Einen kleineren Funktionswert als - hat die Sinusfunktion nicht. Die Sinusfunktion hat also zwischen den x-werten 4 und 5 ihren kleinsten Funktionswert. π 3π 5.) An den Stellen (.,6 ) und (. 4,7 ) hat der Graph der Sinusfunktion jeweils eine waagerechte (horizontale) Tangente. 6.) Der Graph der Sinusfunktion fällt (die Funktionswerte nehen ab) zwischen x ' π (.,6) und x ' 3π (.4,7 ); der Graph hat also auf jeden Fall zwischen den x-werten und 3 Tangenten it negativer Steigung. 7.) Z.B.: Die Nullstellen stien nicht, der größte und der kleinste Funktionswert ist jeweils falsch... 8.) Sie schneiden sich in zwei Punkten, die die y-koordinaten und haben..,7. π 3π & 9.) Wenn an den Graphen der Kosinusfunktion i Kopf hat, weiß an, dass dies i Punkt π ( / ) der Fall ist. (. (,57 / ) ).) Die Nullstellen uss an i Kopf haben!!! cos () ist positiv, cos () ist negativ. sin (,5) ist fast gleich und sin (3) kann nicht viel größer als Null sein, weil die Stelle x = 3 nicht weit von der Nullstelle π entfernt ist.
Prolog 6 Die Lösung der Gleichung x % px % q ' x % px % q ' x % px % p & p % q ' x % p & p % q ' x % p ' p & q Es uss also entweder x % p ' % p & q oder x % p gelten. ' & p & q x ' & p % p & q und x ' & p & p & q sind also die Lösungen. x % px % q ' x, ' & p ± p & q
Prolog 7 Wir betrachten i Folgenden nur Funktionen, die beliebig differenzierbar sind. Zur Funktion f it der Definitionsenge D sollen also auch f, f,... auf D existieren. Dies ist z.b. für alle Polynofunktionen (ganzrationale Funktionen) erfüllt. Auch die trigonoetrischen Funktionen, die i zweiten Kapitel behandelt werden, haben diese angenehe Eigenschaft. Definition: Die Funktionswerte von f haben genau dann an einer Stelle x E ein relatives Maxiu, wenn es eine Ugebung von x E gibt, in der kein Funktionswert von f größer als f(x E) ist. (Entsprechend wird der Begriff relatives Maxiu definiert.) Satz: Wenn f auf ganz ú definiert ist, können die Funktionswerte von f nur dann an der Stelle x E ein relatives Extreu (relatives Maxiu oder relatives Miniu) haben, wenn der Graph von f an der Stelle x E eine waagerechte Tangente hat. Wenn f auf ganz ú definiert ist, uss also f (x E ) = gelten, wenn die Funktionswerte von f... Es ist notwendig, dass f (x E ) = gilt, wenn an der Stelle x E ein relatives... Wenn nicht f (x E ) = gilt, wird f an der Stelle x E sicherlich kein relatives Extreu haben. Wenn aber f (x E ) = gilt, kann ich nicht sicher sein, dass die Funktionswerte von f an der Stelle x E ein rel. Extru haben: Vielleicht lautet die Funktionsgleichung f(x) = x 3 und es wird der x-wert Null betrachtet. f (x E ) = ist keine hinreichende Bedingung dafür, dass die Funktionswerte von f an der Stelle x E ein relatives Extreu haben.
Prolog 8 Wir betrachten wieder den einfachen Fall, dass f auf ganz ú definiert ist: Satz: Wenn f (x E ) = und f (x E ) > gilt, kann ich sicher sein, dass f an der Stelle x E ein relatives Miniu hat. Es reicht aus zu wissen, dass f (x E ) = und f (x E ) > gilt, u sicher zu sein, dass... Es ist hinreichend zu wissen, dass f (x E ) = und f (x E ) > gilt, u sagen zu können, dass f an der Stelle x E ein relatives Miniu hat. Es uss aber nicht unbedingt f (x E ) = und f (x E ) > gelten, dait ich sicher bin,... Diese Bedingung ist nicht notwendig: Die Funktion f könnte ja durch f(x) = x 4 definiert sein. Wenn aber f (x E ) = und f (x E ) > gilt, bin ich absolut sicher, dass an der Stelle x E ein relatives Extreu liegt. Beweis: Aus f (x E ) > folgt, dass f in einer ganzen Ugebung von x E streng onoton steigt. ( Die Werte von f geben die Steigung von f an!!!) Monotoniesatz! Wir haben zwar nur vorausgesetzt, dass f an der Stelle x E positiv ist, doch für die Funktionen, die wir hier betrachten, lässt sich zeigen (auf diesen Beweis verzichten wir, weil er etwas kopliziert ist), dass für alle Werte x, die etwas kleiner und alle Werte x, die etwas größer als x E sind, f (x) auch noch positiv sein uss. Da f (x E ) = vorausgesetzt war, uss also f (x) links von x E negativ und rechts von x E positiv sein. (Zeichenwechsel von f!) Dait uss der Graph von f links von x E fallen und rechts von x E steigen. Dait bleibt den Funktionswerten von f nichts anderes übrig, als an der Stelle x E ein relatives Miniu zu haben.
Prolog 9 Entsprechende Aussagen lassen sich über Wendepunkte achen, wenn an sich verdeutlicht, dass Wendestellen solche Stellen sind, an denen die Steigung von f ein relatives Extreu hat. Wenn also eine Polynofunktion an einer Stelle x W einen Wendepunkt haben soll, uss an dieser Stelle f (x W ) = gelten. Es uss aber nicht f (x W ) = und f (x W ) gelten, wenn an der Stelle x W ein Wendepunkt liegen soll!!! Achten Sie auf einen korrekten Gebrauch der Vokabel uss!
Bestiung von Flächeninhalten Flächeninhalte von ebenen Figuren, die durch Strecken begrenzt werden, lassen sich eleentar bestien. Inhalte von Quadraten und Rechtecken kann wohl jeder ausrechnen, bei Dreiecken uss an sich an al Länge der Grundseite al Länge der zugehörigen Höhe erinnern, Vielecke lassen sich in Dreiecke unterteilen,... (Bei rechtwinkligen Dreiecken sucht an sich hoffentlich ier geschickt eine Grundseite aus!?) Wie sieht es it Flächen aus, die nicht nur durch Strecken begrenzt sind? Dieses Proble ist für uns nicht ganz neu, denn in Klasse 9 wurde eine Forel zur Bestiung des Inhalts eines Kreises erittelt. Es gilt: A Kreis = π @ r. Man kann den Radius eines Kreises in fünf gleiche Teile unterteilen. Dann lassen sich de Viertelkreis it de Radius r vier gleichbreite Rechtecke einbeschreiben. Gleichzeitig werden fünf Rechtecke ubeschrieben. Der Flächeninhalt der ubeschriebenen Rechtecke ist u r²/5 größer als der Inhalt der einbeschriebenen Rechtecke. Der Inhalt des Viertelkreises liegt zwischen de Inhalt der einbeschriebenen und de der ubeschriebenen Rechtecke: A einb < A Viertelkreis < A ub Einen genaueren Wert für den Inhalt des Viertelkreises erhält an, wenn der Radius nicht in fünf gleiche Teile unterteilt wird, sondern in zehn, in tausend... Wir erhalten bei diese Vorgehen eine Intervallschachtelung für den Inhalt des Viertelkreises! Den Inhalt eines einzelnen Rechtecks berechnen wir it Hilfe des Satzes des Pythagoras: Die Breite der Rechtecke beträgt jeweils r 5 (unterteilen wir den Radius in n gleiche Teile, hat ein einzelnes Rechteck die Breite r n ), die Höhe des dritten Rechtecks kann aus der r 5 ) % h ' r Gleichung (3@ erittelt werden.
I Folgenden werden wir versuchen, das Vorgehen zur Bestiung des Kreisinhalts auf andere Flächen zu übertragen. Aufagbe : Bestie Scheitel und Nullstellen der durch f(x) = - x + 6x definierten Parabel und fertige eine Skizze i Intervall [ - / 7 ] an. (Tipp: Bitte hier nicht die p-q-forel zur Nullstellenberechnung anwenden. Nutze bei der Scheitelbestiung die Syetrie der Parabel aus!) Links ist ein Ausschnitt der Parabel dargestellt, die in der vorigen Aufgabe gezeichnet wurde. Gesucht ist der Flächeninhalt A derjenigen Fläche, die von - der x-achse - den beiden Parallelen zur y-achse - und de Graphen von f begrenzt wird. Unterteilt an ein Intervall in gleichlange Teilintervalle, spricht an von einer äquidistanten Unterteilung / Zerlegung des Intervalls. Aufgabe : a) Unterteile das Intervall [ / ] äquidistant in fünf Teilintervalle und zeichne die zugehörigen einbeschriebenen und ubeschriebenen Rechtecke in die Zeichnung von Aufgabe ein. Berechne die Höhen aller Rechtecke. b) Berechne den Gesatinhalt aller einbeschriebenen ( U 5 ) und aller ubeschriebenen Rechtecke ( O 5 ). U welchen Wert ist O 5 größer als U 5? Zeige, dass O 5 - U 5 =, @ ( f() - f() ) gilt. Wie lässt sich dieser Sachverhalt veranschaulichen? e) Bilde das arithetische Mittel von U 5 und O 5 und begründe, waru dieser Wert etwas kleiner sein uss als A. (Tipp: Veranschauliche in der Zeichnung aus Aufgabe die Fläche, deren Inhalt U 5 % O 5 ist.) aequus, lat. = gleich; distantia, lat. = Abstand Die Bezeichnungen U 5 und O 5 leiten sich von den Begriffen Untersue und Obersue ab.
Definition: Ist eine äquidistante Zerlegung (eine Unterteilung) eines Intervalls [ a / b ] in n Teilintervalle vorgegeben, so versteht an unter der zu dieser Zerlegung gehörenden Untersue den Wert b & a n b & a n f(x k ) @ + f(x k ) @ +... +f(x kn ) @ b & a n Dabei ist x k die Stelle, an der die Funktion f ihren kleinsten Funktionswert i Intervall b & a [a / a + ] hat, x k ist die Stelle, an der die Funktion f ihren kleinsten Funktionswert i n b & a n b & a n Intervall [a + / a + @ ] hat,.... Der Begriff Obersue wird entsprechend definiert: Man uss nun lediglich aus jede Intervall diejenigen Stellen x g,... wählen, an denen f jeweils den größten Wert annit. 3 3 In der nebenstehenden Graphik wird dargestellt, wie der gesuchte Flächeninhalt durch U 5 und O 5 eingeschachtelt wird. Der Inhalt der fünf kleinen Rechtecke, die auf den Rechtecken sitzen, deren Inhalt gleich U 5 ist, gibt den Unterschied zwischen U 5 und O 5 an. Wird das Intervall [ / ] nun äquidistant in zehn, zwanzig,... Teilintervalle zerlegt, erhält an eine Intervallschachtelung für den gesuchten Flächeninhalt. 3 Bei noralen / vernünftigen Funktionen (die Matheatiker sagen: bei stetigen Funktionen ) gibt es diese Stellen x k,..., x kn und x g,... ier. Da in unsere Beispiel f eine onotone Funktion ist, sind diese Stellen ier die Randpunkte der einzelnen Teilintervalle.
4 Die beiden Bilder (links) veranschaulichen die zu n= bzw. n= gehörenden Unter- und Obersuen. Aufgabe: Berechne (natürlich darf die vorgegebene Wertetabelle benutzt werden) die Werte von U, O, U, O. U wie viel Prozent kann der gesuchte Flächeninhalt höchstens vo arithetischen Mittel der Zahlen U und O abweichen? x f(x) 5,5 5,975, 5,39,5 5,5775, 5,76,5 5,9375,3 6,,35 6,775,4 6,44,45 6,5975,5 6,75,55 6,8975,6 7,4,65 7,775,7 7,3,75 7,4375,8 7,56,85 7,6775,9 7,79,95 7,8975 8 Tabelle für die obige Aufgabe ( f (x) = - x + 6x ) Man kann sich freuen, wenn an folgende Ergebnisse erhalten hat: U = 6,55 O = 6,85 Die nächsten beiden Werte sind auf vier Nachkoastellen gerundet: U. 6,59 O. 6,74 Es gilt 6,59 < A < 6,74.
Das arithetische Mittel,5 @ ( 6,59 + 6,74 ) weicht absolut 4 von 6,59 und von 6,74 u,75 ab. Die relative Abweichung 5 des Wertes 6,666 von 6,59 und von 6,74 beträgt rund %. Da A zwischen den Werten U und O liegt, kann A nicht u ehr als ca. % von 6,666 abweichen. 6 5 Aufgabe 3: Gesucht ist der Inhalt A der Fläche die von der x-achse, der Noralparabel und der Parallelen zur y-achse durch den Punkt ( / ) begrenzt wird. - Fertige eine Skizze der Noralparabel i Intervall [ -, /, ] an und wähle dabei einen sinnvollen Maßstab. - Unterteile das Intervall [ / ] äquidistant in n = 5 Teilintervalle und zeichne die zu U 5 und O 5 gehörenden Rechtecke ein. - Ist das arithetische Mittel von U 5 und O 5 größer oder kleiner als der gesuchte Flächeninhalt? - Gib einen Näherungswert für A an. Aufgabe 4: Gesucht ist der Inhalt A der Fläche, die von der x-achse, der Noralparabel und der Parallelen zur y-achse durch den Punkt ( / ) begrenzt wird. Berechne U 8 und bestie einen Näherungswert für A. 4,5 @ ( 6,59 + 6,74 ) = 6,666. Absolute Abweichung: - 6,666-6,74 -. 5 6,666 & 6,75 Relative Abweichung des Wertes 6,666 von 6,75: =,.... 6,75 6 Ich bin ir sicher, dass wir it de Wert 6,666 den tatsächlichen Flächeninhalt A schon viel besser als auf % angenähert haben. Später lässt sich leicht nachprüfen, dass der gesuchte Inhalt A schon auf, Proille genau bestit wurde.
Wir haben a Beispiel onoton wachsender Funktionen 7 gesehen, wie sich über die zunehende Unterteilung eines Intervalls [ a / b ] eine konvergente Folge 8 von Untersuen und eine konvergente Folge von Obersuen eritteln lässt, die eine Intervallschachtelung 9 zur Bestiung von Flächeninhalten liefert. Selbstverständlich gelingt dies genau so einfach (?), wenn eine onoton fallende Funktion untersucht wird. Dies soll an eine weiteren Beispiel deonstriert werden: Gegeben sei die durch f(x) = - x 3 definierte Funktion f. Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen der x- Achse, de Graphen von f und den beiden Parallelen zur y-achse durch die Punkte ( - / ) und ( - / ). 6 Die in der rechten Grafik veranschaulichten Untersuen und Obersuen haben die Werte 3,8 und 4,48. Aufgabe 5: Bestätigen Sie die oben angegebenen Werte und geben Sie einen Näherungswert für den Inhalt A an. 7 8 9 Def.: Eine Funktion f heißt in eine Intervall [a/b] genau dann onoton wachsend, wenn it zunehenden x-werten die Funktionswerte auf keinen Fall kleiner werden. Matheatisch foruliert: Aus x < x folgt f( x ) # f( x ). Bei der Noralparabel wachsen die Funktionswerte beispielsweise für alle x, die nicht negativ sind, onoton. Aber auch eine Parallele zur x-achse gehört nach der obigen Definition zu einer onoton wachsenden Funktion - sie ist gleichzeitig onoton fallend! Konvergente Folgen sind gerade die Folgen, die einen Grenzwert (Lies) haben. Ggf. uss an hier i Ordner der Klasse nachschauen und sich Vergangenes ins Gedächtnis zurückrufen! Unter einer Intervallschachtelung versteht an eine Folge ( I n ) von Intervallen, die alle ineinander enthalten sind, für die also I ei ei 3 e...gilt, wobei zusätzlich die Länge der Intervalle gegen Null konvergiert. Jede Intervallschachtelung definiert in der Menge der reellen Zahlen genau eine Zahl: Dies ist gerade diejenige Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Die Klasse 9 liegt zwar lange zurück, aber vielleicht erinnert an sich trotzde noch an die Intervallschachtelung für die Wurzel aus Zwei?!
Bezeichnet an die Unterteilungspunkte des Intervalls [ - / - ] it x o, x,... x 5 (dabei gilt x o = - und x 5 = - ), ist der Wert der Untersue U 5 die Sue f(x )@( x -x o ) + f(x )@( x - x ) + f(x 3)@( x 3 - x ) + f(x 4)@( x 4 - x 3 ) +f(x 5)@(x 5 - x 4) Da die Differenzen x - x o,..., x 5 - x 4 alle denselben Wert haben, bezeichnet an ihn üblicherweise als x. Es gilt also: x = x - x o =... = x 5 - x 4. U 5 lässt sich dann in abgekürzter For darstellen: 7 i'n j i' U 5 = f ( x i ) @ x (n = 5) Für die Obersue ergibt sich analog i'n& j i' O 5 = f ( x i ) @ x (n - = 4) Betrachten wir noch einal das Ausgangsbeispiel (f(x) = - x + 6x): Es wurden U 5, U, U, O 5, O und O berechnet. Vergrößert an fortlaufend die Anzahl der (gleichlangen) Teilintervalle von [ / ], erhält an eine onoton wachsende Folge von Untersuen und eine onoton fallende Folge von Obersuen: U 5 # U # U #... # O # O # O 5 [U 5 /O 5 ], [U /O ], [U /O ],... liefert uns eine Intervallschachtelung, die den gesuchten Flächeninhalt A definiert. Das gesuchte A ist also Grenzwert der Folge ( U n ) und selbstverständlich auch Grenzwert der Folge ( O n ). Daher ist: A ' li n! 4 dar: n j f(x i ) @ i ' b & a n. Diesen Grenzwert stellt an sybolisch in folgender For A ' b a f(x)dx
8 b a f(x)dx wird Integral von a bis b eff von iks de iks gelesen. Dait ist erklärt, was an unter eine Integral versteht. Etwas salopp könnte an forulieren: Ein Integral ist ein Grenzwert von Obersuen (bzw. von Untersuen). In unsere Beispiel gilt a = und b = sowie f(x) = - x + 6x. Der gesuchte Flächeninhalt A wird also foral folgenderaßen angegeben: A ' (& x % 6x)dx Fassen wir zusaen: Der Flächeninhalt A der Fläche, die zwischen de Graphen von f, der x-achse und den beiden Parallelen zur y-achse durch die Punkte (/) und (/) liegt, wurde it Hilfe von Obersuen und Untersuen bestit. Wir haben Näherungsrechnungen stets an onoton fallenden bzw. onoton wachsenden Funktionen durchgeführt. Ohne Beweis soll noch ergänzt werden, dass unser Verfahren auch funktioniert, wenn der Graph wellenförig verläuft: Der links dargestellte Graph gehört zu der durch f(x) = x 4 +,5x 3 - x + 4 definierten Funktion f. Der Flächeninhalt A ist gleich &,5 f(x)dx und lässt sich wie gehabt durch Ober- bzw. Untersuen beliebig genau annähern. integrare, lat. = heil, unversehrt achen, zusaenfassen. Diese Darstellung wurde in ähnlicher For erstalig von Herrn G.W. Leibniz (646-76) gewählt. (Siehe Anhang.)
9 Definition: Für jede vernünftige (stetige, siehe S.3) Funktion f, die auf eine Intervall b [a/b] definiert ist, gilt: f(x)dxist der Grenzwert der Folge von a Untersuen (bzw. Obersuen, das ist egal), die ittels äquidistanter Zerlegungen bestit werden. Hinweis: Die Länge der Teilintervalle, in die [a/b] zerlegt wird, konvergiert bei diese Vorgehen autoatisch gegen Null. Jetzt uss aber aufgepasst werden, denn it der Definition des Integrals über Untersuen und Obersuen haben wir uns etwas eingehandelt : Betrachten wir einal die Fläche, die von der x-achse, der y-achse und der durch f(x) = - @(x - 3) + 8 definierten Parabel eingeschlossen wird. Diese Fläche hat fast die For eines Dreiecks und ihr Inhalt wird also etwas kleiner als 5 sein. Aufgabe 6: Skizziere die durch f(x)=- @(x - 3) + 8 definierte Parabel für x[-,5/5,5]. Wenn uns die Aufgabe gestellt wird, (- @(x - 3) + 8) dx zu berechnen, werden wir wie gewohnt vorgehen: Wir schachteln die oben beschriebene Fläche wieder durch Rechtecke ein (das Intervall [ / ] wird äquidistant in fünf Teilintervalle unterteilt) und erhalten dann folgende Bilder: Aufgabe 7: In welche Bild wird die Untersue U 5, in welche Bild wird die Obersue O 5 veranschaulicht? (Wichtiger Hinweis: Man öge die Definition beachten, dass an bei Bilden der Untersue jeweils das Eleent aus de Teilintervall wählen uss,...)
Ich habe vo Coputer (ich bin gerne faul) die beiden Werte berechnen lassen: U 5 = - 5,68 und O 5 = - 3,68!!!! Berechnen wir,5 @ ( - 5,68 + ( - 3,68 ) ), ergibt sich der Näherungswert f(x)dx. - 4,68 I obigen Beispiel liefert Integrale können negative Werte haben!!! f(x)dx also nicht direkt den Flächeninhalt, den wir gesucht haben (Flächeninhalte können wohl kau negativ sein). Da der Graph i Intervall [/] nie oberhalb der x-achse verläuft, hat f in diese Intervall keine positiven Funktionswerte und die Obersuen und Untersuen üssen wegen der negativen Funktionswerte von f innerhalb von [/] negative Werte haben. Ganz offensichtlich ist aber in unsere Beispiel * de gesuchten Flächeninhalt. f(x)dx * (der Betrag des Integrals) gleich Integrale sind nützlich zu Berechnen von Flächeninhalten! Aber bitte ier darauf achten, ob der Graph oberhalb bzw. unterhalb der x-achse verläuft!!! @ π Aufgabe 8: Berechne sin(x) dx. (Die Lösung hat an in t = Nullkoanix Sekunden. Mit eine Coputer dauert es deutlich länger.) Links ein Angebot für alle, denen der Graph der Sinusfunktion nicht ehr geläufig ist. Die Flächen, die der Graph in den Intervallen [ / π] und [π / @π] it der x-achse einschließt, haben denselben Inhalt. Es ist hoffentlich offensichtlich, dass sich bei der näherungsweisen Berechnung von @ π sin(x) dx die Untersuen/ Obersuen über de Intervall [/π] gegen die Untersuen/Obersuen über de Intervall [π/@π] wegheben.
Anschaulich ist der folgende Satz klar (auf einen nur langweilenden Beweis, der keinerlei wirklich atheatische Ansprüche stellt, verzichten wir): Die Additivität des Integrals Ist f auf de Intervall [ a / b ] definiert (und dort natürlich stetig = vernünftig ) und ist c eine Zahl zwischen a und b, so gilt: b a f(x)dx ' c a f(x)dx% b c f(x)dx Zur Veranschaulichung des obigen Satzes: Der links gezeichnete Graph gehört zur Funktionsgleichung f(x) = - x 3 + 4x. Die Fläche, die der Graph i Intervall [/4] it der x-achse einschließt, hat den Inhalt 4 ( - x 3 + 4x ) dx. Diesen Inhalt kann ich natürlich auch häppchenweise durch ( - x 3 + 4x ) dx + ( - x 3 + 4x ) dx 4 berechnen (was kein vernünftiger Mensch acht, was aber nichtsdestotrotz dasselbe Ergebnis liefern würde). Ohne also überhaupt zu wissen, wie groß nun π sin(x) dx tatsächlich ist, ergibt sich wegen @ π π sin(x)dx = sin(x) dx + sin(x) dx : @ π π @ π sin(x)dx =.
So trivial der Additionssatz erscheint (er ist hoffentlich jederann und jeder Frau zugänglich), so nützlich kann er sein. Eine erste Anwendung haben wir i Zusaenhang it der Sinusfunktion studiert. Wesentlicher wird der Additionssatz, wenn wir z.b. den Flächeninhalt derjenigen Fläche bestien wollen, die der zu f(x) = x 3 + x - 6x gehörende Graph it der x-achse einschließt: Die Gesatfläche, deren Inhalt A bestit werden soll, liegt teilweise oberhalb der x-achse (i zweiten Quadranten) und teilweise unterhalb der x-achse (i vierten Quadranten). A ist also die Sue der beiden Inhalte A* und A**. Aufgabe 9: Waru ist A nicht gleich ( x 3 + x - 6x) dx? Lösung: Wenn wir einen Näherungswert für A über Untersuen (Obersuen) berechnen, stellen wir fest, dass sich i Bereich von - 3 bis positive Werte und i Bereich von bis negative Werte ergeben. Addiert an nun alle Werte, wie das bei Berechnen der Untersuen über de Intervall [- 3/] getan werden uss, erhalten wir einen falschen Näherungswert für A, denn & 3 ( x 3 + x - 6x) dx ist negativ!!!! Lieblingswort der Matheatiker und auch der Matheatikerinnen; sie benutzen es für alle atheatischen Sachverhalte, die sie verstanden haben, wobei völlig unerheblich ist, ob der Gesprächspartner den Sachverhalt auch verstanden hat. Schüler benutzen in diese Zusaenhang das Wort logisch : Alle Dinge, die sie nicht verstehen, werden zu gerne als unlogisch bezeichnet, wobei wiederu völlig gleichgültig ist, ob der Sachverhalt nun logisch einwandfrei ist oder nicht. trivialis, lat. = jederann zugänglich, allbekannt; Ursprung: Das lateinische triviu setzt sich aus tri (drei) und via (Weg) zusaen und bedeutet Ort, wo drei Wege zusaenstoßen = Wegkreuzung = öffentlicher Weg. Siehe auch Ende dieses Kapitels. studere, lat. = etwas eifrig betreiben
3 Mit Hilfe des Additionssatzes lässt sich A nun folgenderaßen berechnen: & 3 ( x 3 + x - 6x) dx = ( x 3 + x - 6x) dx + ( x 3 + x - 6x) dx & 3 Da ( x 3 + x - 6x) dx nur das falsche Vorzeichen hat, erhalten wir A = ( x 3 + x - 6x) dx - ( x 3 + x - 6x) dx & 3 Noch einal: A** ist positiv und ( x 3 + x - 6x) ist negativ. Aufgabe : Tabelle und Graph gehören zu f(x) = -,5x @ ( x - 4 ). x f(x),5-3,65-4,5,5-4,6875-4,5 -,85 3 -,5 3,5 -,4375. Bestie den Funktionswert des relativen Minius von f.. Berechne für n = 8 über de Intervall [ / 4 ] unter Benutzung der Tabelle und des Ergebnisses von. die zugehörige Untersue und Obersue. 3. Vergleiche die Ergebnisse it der Zeichnung. 4. Gib nun einen Näherungswert für f(x) dx an. 4
4 Aufgabe : Der Graph gehört zu f(x) = x 4 +,5x 3 - x + 4. Bestie aus der Graphik durch Ablesen (Abessen) die Höhen der einzelnen Rechtecke und berechne dann U 7 und O 7. Vergleiche it den angegebenen Werten und gib einen Näherungswert für &,5 f(x)dx an. Prinzipiell 3 haben wir einen Weg gefunden, Flächeninhalte beliebig genau zu berechnen, doch wird an einer Meinung sein, dass dieser Weg sehr rechenintensiv ist. Geht s nicht etwas schneller? Ja, aber dazu uss noch etwas Gedankenarbeit verrichtet werden! 3 grundsätzlich; principialis, lat. = ursprünglich
5 Betrachten wir einal die durch f(x) = x - x definierte Parabel: Es sollen nun ehrere Integrale zu dieser Funktion f berechnet werden: &,5 & & f(x)dx, f(x)dx, f(x)dx,..., & &,5 & 4 & f(x)dx. U etwas Zeit zu sparen, habe ich den Coputer viele viele Untersuen (es wurde jedes Intervall in 5 Teilintervalle unterteilt) ausrechnen lassen. Die Ergebnisse findet an in der folgenden Tabelle. Zusätzlich wurden die Untersuen für & & f(x)dx und & f(x)dx veranschaulicht. Bevor die Tabelle ausgedruckt wird, soll bitte noch folgendes Proble gelöst werden: Aufgabe : Waru wundert sich die Fachfrau nicht, wenn sie feststellt, dass sie für die Integrale & & f(x)dx und & f(x)dx fast dieselben Näherungswerte erhält, obwohl die erste (schraffierte) Fläche doch einen wesentlich kleineren Inhalt hat als die zweite? Lösung: Der Graphik entnit an unittelbar, dass & f(x)dx. - f(x)dx gilt. negativ!) (Die Untersuen über de Intervall [/] sind
6 Ich schreibe jetzt, das ist einfacher für ich, I - (b) statt b & f(x)dx: b - -,5 - -,5,5,5,5 3 3,5 4 I - (b) 3,9 5,33 6,36 6,65 6,44 5,97 5,5 5,9 5,57 6,6 8,6,9 I - (- ) = & & f(x)dx habe ich natürlich nicht ausrechnen lassen: Es gilt, das brauchen wir nicht zu beweisen, selbstverständlich ier a a f(x)dx ' Auf Anweisung hat der Coputer für ich noch für wesentlich ehr bees die zugehörigen Integrale (natürlich nur Näherungswerte) berechnet. Danach habe ich ih gesagt, dass er alle Werte der obigen Tabelle und die Werte für b = -,999; b = -,998; b = -,997;... ; b = 3,999 und b = 4 zusätzlich zur Parabel einzeichnen soll: Der Coputer hat oben gepunktet den Graphen einer neuen Funktion I - gezeichnet. (Noch fängt ihr Graph erst bei - an!!!)
7 Aufgabe 3: - Waru uss I - an der Stelle ein relatives Maxiu haben? - Waru uss I - an der Stelle ein relatives Miniu haben? - Waru gilt I - (,5). I - (,5)? Definition: Ist das Integral b a f(x)dx zu berechnen, so nennt an a die untere Grenze des Integrals und b heißt obere Grenze des Integrals. Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass an ausgehend von der unteren Grenze a = - zur Funktion f (f(x) = x - x) eine neue Funktion - die zur unteren Grenze - gehörende Integralfunktion von f - gewinnen kann: Für jeden Wert x, den an für die obere Grenze b einsetzt, liefert I - genau einen Wert I - (x). I - ( x ) = x & f(t)dt ist die Funktionsgleichung einer Integralfunktion von f. De auferksaen Leser wird aufgefallen sein, dass hinter de Integralzeichen die Variable 4 x einen neuen Naen erhalten hat. Da in der obigen Funktionsgleichung x die Bezeichnung für die obere Grenze ist, ist dieser Buchstabe verbraucht. Ich uss deshalb i Funktionster des Integranden 5 den Variablennaen ändern. Ich hätte statt t auch z oder u oder... wählen können, doch hat sich an dieser Stelle in den eisten Büchern das t durchgesetzt. 6 Ich uss ich wiederholen: Die Integralfunktion I - ist bis jetzt nur für x $ - definiert!! Waru wurde aber oben (...die Funktionsgleichung einer... ) das Wort einer hervorgehoben? Die Tabelle auf S. 6 ergab sich durch Berechnung vieler Integrale, die alle dieselbe untere Grenze a = - hatten. Man kann natürlich statt - auch die untere Grenze a = wählen: 4 5 variare, lat. = verändern, wechseln Die Funktion, die hinter de Integralzeichen vor de de iks steht, bezeichnet an als Integrand. 6 In anchen älteren Büchern kann an auch noch die falsche Schreibweise x & f(x)dx finden. Diese Darstellung ist schlicht unsinnig, da sich die Variable x doch nicht von - bis x (also zu sich selbst) verändern kann.
Es ist völlig gleichgültig, welche untere Grenze a ich ir wähle; nach de geübten Verfahren lassen sich stets zu eine speziell gewählten a die Werte von 8 bestien. I a (x) = x a f(t)dt Bevor unterschiedliche Integralfunktionen zu eine vorgegebenen Integranden betrachtet werden, soll aber zuerst geklärt werden, wie I - (x) auch für x < - definiert werden kann. Bei der Berechnung der Untersuen zur näherungsweisen Bestiung von b a f(x)dx wurde stets a # b vorausgesetzt und x = x - x o (=...) war stets positiv, da a =x o < x <... < x n = b (siehe Seite 7). (Der Wert von x war gleich der Breite der einzelnen Rechtecke!) Ich versuche nun, für b < a das Integral b a f(x)dx auf de inzwischen gewohnten Weg zu berechnen. Ausgehend von der Stelle x o =a uss ich ich dann auf der x-achse nach links (in Richtung kleinerer x-werte) bewegen: U also beispielsweise & 3 & (x & x ) dx näherungsweise zu berechnen, unterteile ich das Intervall [-3/-] in vier gleich lange Teilintervalle. Es ergeben sich die Intervallendpunkte (a=) x o= - ; x = -,5; x = -,5; x 3 =,75 und (b =) x 4 = - 3. Noch einal: Da a = - vereinbarungsgeäß die untere Grenze ist, uss auch dort gestartet werden!!! Als Wert für die Untersue U 4 ergibt sich dann: U 4 = f(-)@(-,5-(-))+f(-,5)@(-,5-(-,5))+f(-,5)@(-,75-(-,5))+f(-,75)@(-3-(-,75)) U 4 = ( f(-) + f(-,5) + f(-,5) + f(-,75) ) @ ( -,5 ) U 4 ist negativ!
Wir haben nichts falsch geacht. (Es wurde nach Vorschrift aus jede Intervall diejenige Stelle gewählt, an der f jeweils den kleinsten Funktionswert hat.) Es ist offensichtlich, dass sich diese letzte konkrete Rechnung auf analoge 7 Beispiele übertragen lässt. Die Rechtecke, die sich durch die gewählte Zerlegung ergaben, sehen genauso aus wie bei 9 der Berechnung von & & 3 (x & x ) dx. Es gibt nur den Unterschied, dass & 3 & (x & x ) dx negativ und & & 3 (x & x ) dx positiv ist. Vo Betrag her haben beide Integrale denselben Wert. Wir sehen also folgenden Satz ein: Satz: Für alle stetigen Funktionen, die keine negativen Funktionswerte haben, gilt b a f(x)dx ' & a b f(x)dx Dieser Satz gilt natürlich auch, wenn f negative Funktionswerte hat. Bei der Berechnung der Funktionswerte ist unerheblich, ob von links nach rechts oder von rechts nach links integriert wird. Die Änderung der Integrationsrichtung bewirkt lediglich einen Vorzeichenwechsel bei x. 7 analog = entsprechend, gleichartig; análogos, gr.-lat. = der Vernunft entsprechend
Aufgabe 4: Berechne jeweils einen Näherungswert (U 4 ) für ( & x & ) dx und & & ( & x & ) dx und veranschauliche die Untersuen in einer Zeichnung. (Bitte einen sinnvollen Maßstab für die x-achse wählen.) Zusaenfassung: Durch die Funktionsgleichung I - (x) = x & (t - t)dt wird jetzt jede x ú (also jeder reellen Zahl x) genau eine Zahl aus ú zugeordnet. Es ist unerheblich, ob x größer oder kleiner als - ist. Dait ist eine neue Funktion auf ganz ú definiert. Der vervollständigte Graph von I - ist unten dargestellt. (Vergleiche bitte auch it de Graphen auf S. 6.) I - ist die zur unteren Grenze - gehörende Integralfunktion von f.
Es hatte keinen besonderen Grund, sich - als untere Grenze zu wählen: Zu jeder unteren Grenze a kann eine Integralfunktion von f erittelt werden. Das nächste Bild zeigt den Graphen von f und der zu f gehörenden Integralfunktion I. Aufgabe 5: - Gib die Funktionsgleichung von I an. - Waru uss I an der Stelle eine Nullstelle haben? - Waru uss I () positiv sein? - Der Anschauung (de Verlauf des Graphen der Integralfunktion ) entnit an, dass I (- )= gilt. Welche beiden Flächen üssen denach denselben Inhalt haben? Rate gezogen werden. (Es wird nicht gerechnet!) In den drei folgenden Aufgaben soll die Anschauung zu Aufgabe 6: Die Parabel schließt it der x-achse i Intervall [/] ein Flächenstück ein. Wie lässt sich aus der obigen Graphik der Inhalt dieses Flächenstücks ablesen? Gib nun einen Näherungswert für (x - x) dx an. Aufgabe 7: - Waru ist (x - x) dx sicherlich positiv?,5 4 - Ist (x - x) dx positiv oder negativ? - Waru ist I (x) für negative x-werte stets negativ? - Skizziere den Verlauf des Graphen der Integralfunktion I. - Was fällt bei Vergleich der Graphen von I -, I und I auf? Aufgabe 8: - Zeichne die durch f(x) = - x + 4x definierte Parabel. - Gib auf Grund der Zeichnung einen Schätzwert für (-x +4x)dx an. - Gib nun einen Schätzwert für den Flächeninhalt der Fläche an, den die Parabel it der x-achse einschließt.
Links sind der zu f(x) = - x +4x gehörende Graph und der Graph der Integralfunktion I dargestellt. Aufgabe 9: Überprüfe die Ergebnisse aus Aufgabe 8 an Hand des Graphen von I. Waru hat I an der Stelle x = 4 ein relatives Maxiu? Waru uss I an den Stellen x=,5 und x = -,5 jeweils einen positiven Funktionswert haben? Auch hier wurde der Graph der Integralfunktion I gezeichnet, die zu der durch f(x)= x @ (x-) definier-ten Funktion f gehört. An der Stelle x = hat der Graph von I übrigens einen Wendepunkt it waagerechter Tangente. Zur Kontrolle sollte die nächste Aufgabe bearbeitet werden: Aufgabe : Waru kann x@(x-) dx für keine obere Grenze a negativ sein? a Es wurden bis jetzt ehrere Integralfunktionen zu vorgegebenen Funktionen erittelt. (Ausgehend von f wurde untersucht, wie der Graph einer zu f gehörenden Integralfunktion bei vorgegebener unterer Grenze a verlaufen uss.) Wechseln wir einal die Blickrichtung und betrachten den Verlauf der letzten Integralfunktion: Ihr Graph hat an den Stellen x= und x= waagerechte Tangenten. f hat gerade dort Nullstellen. Die Tangenten an den Graphen von I haben i Intervall [-/-,5] (natürlich nicht nur dort) nur negative Steigungen. f hat in diese Bereich nur negative Funktionswerte. Untersuchen wir nun in den anderen Beispielen die Steigungen der Integralfunktionen und des zugehörigen Integranden f, stellen wir fest, dass in allen Fällen die Steigung von I an einer beliebigen Stelle x offenbar gleich f(x ) ist. (Der Schein kann natürlich trügen, doch dieser offensichtliche Zusaenhang zwischen I und f kann doch kein Zufall sein.) Verutung: Ist f eine auf eine Intervall [ a / b ] definierte stetige Funktion und I a eine (beliebige) Integralfunktion von f, so gilt I a ( x o ) = f ( x o )
Wir betrachten der Einfachheit halber eine Funktion f, die streng onoton steigt. Für andere Funktionen gilt der Beweis entsprechend. Außerde wählen wir eine beliebige untere Grenze a. 3 U I a (x) berechnen zu können, uss an sich an die Definition (siehe Ordner Klasse ) der Ableitung erinnern. Für eine Funktion g gibt z.b. g () die Steigung von g an der Stelle x= an. Diese Tangentensteigung wurde näherungsweise durch Sekantensteigungen approxiiert 8. Die Sekantensteigungen berechnet an it Hilfe von Differenzenquotienten. Ist g eine nicht zu hässliche Funktion (alle ganzrationalen Funktionen sind nicht hässlich ) und h eine Zahl, die sich nur wenig von Null unterscheidet 9, so gilt: g (x). g(x% h)& g(x) h und g ( x ) ' li h! g(x% h)& g(x) h Die Ableitung von I a erhalten wir also über den Grenzwert des Differenzenquotienten I a (x% h) & I a (x) h Das sieht sehr abstrakt aus!! Konkreter, anschaulicher, wird dieser Quotient, wenn wir uns die Bedeutung der Tere i Zähler ins Gedächtnis rufen: 8 9 appropinquatio, lat. = die Annäherung Gleich Null darf h natürlich nicht sein, weil durch Null nicht dividiert werden darf. abstrahere, lat. = fortschleppen; abstrakt = vo Dinglichen gelöst concrescere, lat. = zusaenwachsen
4 I a (x) ist nur eine andere (abkürzende) Schreibweise für das Integral x f(t)dt a und gibt den Flächeninhalt der Fläche an, die vo Graphen von f, der x-achse und den beiden Parallelen zur y-achse (durch die Punkte (a/) und (x/)) begrenzt wird. I a (x% h) & I a (x) x % h x = f(t)dt - f(t)dt a a gibt den Inhalt der Fläche an, die vo Graphen von f, der x-achse und den beiden Parallelen zur y-achse durch die Punkte ( x / ) und ( x+h / ) begrenzt wird. Man erkennt an der Zeichnung, dass dieser Flächeninhalt zwischen de des großen ubeschriebenen und de des kleinen einbeschriebenen Rechtecks liegt: h @ f(x) # I a ( x + h ) - I a ( x ) # h @ f ( x + h ) (Den Flächeninhalt eines Rechtecks bestit an durch Länge al Breite!) Für positive h erhält an aus dieser Ungleichheitskette unittelbar: I f ( x ) # a (x% h) & I a (x) # f ( x + h ) h Für vernünftige Funktionen gilt: (Es wurde durch h dividiert und h sollte positiv sein!) li h! f(x% h) ' f(x) Dait ist der Differenzenquotient eingesperrt! Es uss gelten: I a (x) ' li h! I a (x% h) & I a (x) h ' f(x) Dies ist für anche Menschen eine Trivialität, doch kann an sich leicht (wirklich!) Beispiele verschaffen, bei denen li h! f(x% h) f(x) gilt.
Die bisher geleistete Gedankenarbeit ist wirklich einen Siley wert! ( 5 Aufgabe: Berechne I a (x+h) - I a (x), wenn f(x) = x gilt. Fertige eine Skizze an und arguentiere geoetrisch. Wir üssen zwar festhalten, dass an einigen Stellen die Anschauung beüht wurde, dass wir den Beweis nur für eine streng onoton wachsende Funktion geführt haben, oben h > vorausgesetzt haben,... aber: Wir haben Einsicht in einen ganz fundaentalen 3 atheatischen Satz bekoen: Flächeninhaltsbestiungen haben etwas it Ableitungen zu tun. Integration und Differentiation sind eng iteinander verknüpft. Kurz foruliert: Integralfunktionen haben die schöne Eigenschaft, dass ihre Ableitung (die Variable ist die obere Grenze) gleich de Integranden ist. Diese Tatsache wird uns die Möglichkeit geben, Flächeninhalte ohne den rechenaufwendigen Weg über Unter- und Obersuen zu bestien. Nach einer letzten atheatischen Überlegung wird uns eine nicht zu koplizierte 4 Forel zur Verfügung stehen, it der vor alle schnell) berechnet werden kann. 4 (- x + 4x) dx exakt (und Definition: F heißt genau dann eine Stafunktion von f, wenn F = f gilt. 5 Integralfunktionen einer Funktion f sind Stafunktionen von f. 3 4 5 fundare, lat. = den Grund legen coplicare, lat. = zusaenfalten, verwickeln Ich hoffe, es ist einsichtig geworden, waru die Matheatiker diesen Begriff eingeführt haben.
Auf den Seiten / wurden zwei verschiedene Integralfunktionen zu ein und derselben Funktion f betrachtet. Die Graphen dieser Integralfunktionen sehen sich sehr ähnlich : Sie gehen durch Parallelverschiebung in Richtung der y-achse auseinander hervor. 6 Aufgabe : Wie erhalte ich aus der Funktionsgleichung einer Funktion f diejenige Funktionsgleichung einer Funktion g, deren Graph u drei (Einheiten) gegenüber de Graphen von f in Richtung der positiven y-achse verschoben ist? Bestie näherungsweise eine Gleichung, die den Zusaenhang zwischen I - (x) und I (x) darstellt (siehe S./!). Satz: Alle zu einer Funktion f gehörenden Integralfunktionen unterscheiden sich nur in einer additiven Konstanten. ( Sind also I und J zwei Integralfunktionen von f, so gibt es eine Zahl C it der Eigenschaft I(x) = J(x) + C.) (Auf den Beweis wird hier verzichtet, obwohl an sich auch i Grundkurs daran versuchen kann, weil an den Unterschied zwischen zwei Integralfunktionen anschaulich durch Flächeninhalte interpretieren kann.) I Leistungskurs wird üblicherweise bewiesen, dass sich alle Stafunktionen einer Funktion f nur in einer additiven Konstanten unterscheiden. Wir können das hier aus Zeitgründen nicht leisten. Aber ein Hinweis soll noch hinzugefügt werden: Wir haben gezeigt, dass alle Integralfunktionen von f Stafunktionen von f sind. Die Ukehrung dieses Satzes gilt nicht. Eine Stafunktion von f braucht keine Integralfunktion von f zu sein. Der nächste Satz (der berühte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) wird zeigen, dass die Flächeninhaltsbestiung it Hilfe von Stafunktionen unabhängig davon gelingt, ob eine Stafunktion von f auch eine Integralfunktion von f ist oder nicht: Wir werden Integrale it de Integranden f leicht berechnen können, wenn wir nur überhaupt eine Stafunktion von f finden. Die folgenden Übungen sollen uns den Begriff Stafunktion vertrauter achen, danach geht s an den Hauptsatz! Aufgabe : Waru ist die durch F(x) =,5x 3 - x definierte Funktion eine Stafunktion der durch f(x) =,5x - x definierten Funktion f? Waru sagt an F ist eine Stafunktion von f (und nicht...die... )?