Priv.-Doz. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal,.3.7 Mathematik für Sicherheitsingenieure II MScS, MScQ) Modulteil: Mathematik II Aufgabe. 8+6+6 Punkte) a) Bringen Sie folgende komplexe Zahlen in die Form x + iy mit x, y R: + 4i) 3i), 6 + 6i, e iπ/4 b) Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms z + 5iz 4. c) Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der Gleichung z 3 i, d.h. finden Sie die 3-ten Wurzeln von i. Wieviele verschiedene gibt es? Geben Sie diese in Polarkoordinaten z re iϕ mit r und ϕ [, π) an. a) + 4i) 3i) 3i + 8i i + 5i + 4 + 5i 6 + 6i 6 + 6i) + i 6 + 6i) + 3 8 + i) 3 8 4 + 8i + 4i ) 3 8i 3i 8 e iπ/4 cosπ/4) + i sinπ/4) ) / + i/ ) + i b) Mit der p, q)-formel sind i und 4i die Nullstellen des Polynoms: z, 5i 5i ± 6 5 4 + 4 5 i ± 5 9 4 i ± i 4 5 i ± 3 i Somit ergibt sich die Linearfaktorzerlegung: z + 5iz 4 z + i)z + 4i) c) Es gibt genau drei 3-te Wurzeln. Wegen i e i3π/ sind dies e iϕ mit ϕ π + k π 3 für k,,. Also: e iϕ mit ϕ { π, 7 6 π, 6 π}.
Aufgabe. +3+3+4 Punkte) Sei f : R R die periodische Fortsetzung von f : [, ) R, f x) x. a) Bestimmen Sie die komplexe Fourierreihe von f. b) Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe von f. c) Kann die komplexe Fourierreihe der Ableitung f mit dem Differentiationssatz bestimmt werden? Begründen Sie Ihre Antwort. d) Verwenden Sie partielle Integration zur Berechnung von: π x sinx)dx. a) f hat die Periode T und damit die Kreisfrequenz ω π/t π. Wir dürfen über ein beliebiges Intervall in R der Länge integrieren und erhalten mit partieller Integration die Fourierkoeffizienten: c kf) T i i für k, und fx)e ikωx dx xe ix dx e ix dx x )e ix dx [ xe ix ] i i e ix [ ] e ix i e i i e i + e i + i ) ei i e i e i) ) k i )k + ) k + i ) )k i )k i ) k ) k) c f) T fx)dx x )dx xdx dx Somit ist die komplexe Fourierreihe von f: f c f) + k Z k c kf)e ikωt + i π ) k b) Da die Fourierkoeffizienten für k rein imaginär sind, ist die reelle Fourierreihe: k Z k k e it f c f) + k Re c kf) coskωt) Im c kf) sinkωt) 4 ) k sinπkt) π k k
c) Die komplexe Fourierreihe von f kann nicht mit dem Differentiationssatz bestimmt werden, da f nicht stetig ist. d) Partielle Integration liefert: π x sinx)dx [ x cosx) ] π + π cosx)dx π cosπ) ) + [sinx)] π π + sinπ) sin) ) π 3
Aufgabe 3. +5+3 Punkte) a) Bestimmen Sie die Fouriertransformation von fx) x e x. Geben Sie dabei den vollständigen Lösungsweg an. b) Zeigen Sie, dass die Funktion gx) sinx) e x auf R absolut integrabel ist. c) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral a) Mit partiellen Integrationen ist: dx x nicht existiert. fw) iw fx)e iwx dx xe iw)x dx + [xe iw)x e iw)x iw xe x e iwx dx + xe iw)x dx ] + iw xe x e iwx dx [xe iw)x + e iw)x + iw ] + Wegen x e iw)x x ex, x + e iw)x x + e x und nach dem Satz von l Hospital) xe iw)x x x xex, xe iw)x x + x + xe x folgt weiter iw) + + iw) iw + w + iw w 4iw iw) + iw) + w ). b) Wegen sinx) und e x e x ist sinx)e x dx e x dx e x dx + e x dx [ e x] + [ e x] + x ex x + e x + <. c) Das uneigentliche Integral dx x [ lnx) ] + x + lnx) existiert nicht, da x + lnx) + ist. 4
Aufgabe 4. Punkte) Bestimmen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation die Lösung des Anfangswertproblems f t) 4ft) 4t 9, f) 3. Geben Sie dabei den vollständigen Lösungsweg an. Es sei F s) : Lf ) s) die Laplacetransformierte von f. Damit ist dann: Lf ) s) sf s) f) also Lf ) s) sf s) 3, Ausserdem ist L9 ) s) 9 s und L4t) ) s) 4 s. Damit transformiert die Differentialgleichung unter der Laplacetransformation zu: sf s) 3 4F s) 9 s + 4 s s 4)F s) 3 9 s + 4 s s 4)F s) 9 s + 4 s + 3 F s) 3s 9s + 4 s s 4) Damit ist eine doppelte Nullstelle des Nenners und 4 ist eine einfache Nullstelle. Wir bestimmen die Partialbruchzerlegung F s) A s + B s + C s 4 durch Hilfssatz 4.3.5: A s F s) ) 3s 9s + 4 s s s 4 Damit ist also und s 4)6s 9) 3s 9s + 4) 4) 9) 4 s s 4) 4) B s F s) 4 s 4 C s 4)F s) 3 4 9 4 + 4 9 + s 4 4 4 ) F s) s s + s 4 ft) t + e 4t 5