Druck, Tankreinigung Ein Tank soll gereinigt und anschließend mit einem flüssigem Lebensmittel befüllt werden. Für die Reinigung wird ein Schlauch über den Rand des Tanks gehängt. An der Pumpe, mit der die Flüssigkeit in den Tank befördert werden soll, wird der Druck gemessen. Das Wasser für die Reinigung hat eine Dichte ρ = 1.000 kg/m 3. a) Zum Reinigen wird Wasser durch den Schlauch über Lösungsidee Lösung den 10 m hohen Rand in den Tank gepumpt. Die zur Verfügung stehende Pumpe kann einen Druck von maximal 3 bar erzeugen. Reicht dieser Druck aus, um das Wasser in den Tank zu bekommen? Vernachlässigen sie, das im Schlauch auch Wasser strömen muss. b) Der Vertreter der mit der Reinigung beauftragten Unternehmens bezweifelt die Höhe des Tanks. Seiner Meinung nach ist er mindestens 12 m hoch, denn er möchte entsprechend die Rechnung erhöhen. Wie können Sie ihm durch eine Druckmessung an der Pumpe das Gegenteil beweisen? Nehmen Sie dazu an, dass die Druckmessung den in Aufgabenteil a) berechneten Wert ergibt! Lösungsidee Hilfestellung Lösung Tankreinigung 1
c) Nach der Reinigung wird der Tank aus einer gerade mit einem Tankwagen eingetroffenen Lieferung neu befüllt. Dies geschieht über einen Anschluss am Tank. Wie hoch müsste die Druckerzeugung der Pumpe mindestens sein, wenn der Tank bis zum Rand mit Wasser gefüllt werden soll? Lösungsidee Lösung d) Um welchen Faktor ist der Druck im Tank größer als Lösungsidee Lösung der gemessene Luftdruck? e) Nachdem der Tank vollständig befüllt ist, stellt sich heraus, das die Lieferpapiere durcheinander gekommen sind. Eine Recherche ergibt, dass alle in der Tabelle unten aufgeführten Flüssigkeiten sich jetzt im Tank befinden könnten. Der Lagermeister will eine Probe entnehmen und sie im Labor untersuchen lassen. Ihnen fällt eine einfachere Möglichkeit ein: Der Druck am unteren Ende des Tanks beträgt etwa 2.200 hpa und der Luftdruck 1.000 hpa. Wie groß ist also die Dichte der unbekannten Flüssigkeit und um welche Flüssigkeit handelt es sich demnach? Flüssigkeit Dichte in kg/m 3 Wasser 1.000 Spezialmix 14 1.550 Leichtmischung 23 1.223 Lösungsidee Hilfestellung Lösung Häufig gemachte Fehler zum Anfang der Aufgabe Hinweis: Bei der Aufgabe gehen wir von einem Schlauch mit großem Querschnitt aus und vernachlässigen deshalb die Reibung in ihm. Tankreinigung 2
Lösungsidee a): Die Formel (1) für die Bestimmung des Drucks muss hier verwendet werden. (1) zurück zur Aufgabe Lösung Tankreinigung 3
Lösungsidee b): Die Formel (2) muss nach der Höhe h des Tanks umgestellt werden. (2) Dann ergibt sich Formel (3) h= p p 0 g (3) Zu beachten ist, dass der Wasserdruck p und der Luftdruck p 0 in hpa angegeben sind. zurück zur Aufgabe Hilfestellung Lösung Tankreinigung 4
Lösungsidee c): Es ist egal, ob der Tanks über einen Anschluss oder einen Schlauch gefüllt wird. Sie können die Aufgabe somit genauso lösen wie Aufgabenteil a) Lösungsidee a) zurück zur Aufgabe Hilfestellung Lösung Tankreinigung 5
Lösungsidee d): Zur Bestimmung des Drucks muss die Formel (4) verwendet werden. (4) Anschielßend wir der Faktor mit Formel (5) berechnet p 0 p ges Tank (5) zurück zur Aufgabe Hilfestellung Lösung Tankreinigung 6
Lösungsidee e): Die Formel (6) muss nach ρ umgeformt werden. (6) Daraus ergibt sich dann Formel (7) = p p 0 h g (7) zurück zur Aufgabe Hilfestellung Lösung Tankreinigung 7
Hilfestellung: Umformen der Gleichung (8): (8) Nach h: p 0 p p 0 = h g : g h= p p 0 g (9) Nach ρ: p 0 p p 0 = h g : h g = p p 0 h g (10) Umrechnung von Pa: 1 Pa=1 N / m 2 =1 kg m s 2 (11) Umrechnen von Pa in bar 1 bar=1.000 hpa (12) zurück zur Aufgabe Lösungsidee b) Lösungsidee d) Lösungsidee e) Lösung b) Lösung d) Lösung e) Tankreinigung 8
Lösung a): Gegeben: p 0 =1.013 hpa g =9,81 m s 2 Gesucht: Ansatz: H 2 O=1.000 kg m 3 h=10m p (13) Die gegebenen Größen können in die Formel (13) eingesetzt werden. p=1.013 hpa 1.000 kg m 3 10m 9,81 m s 2 p=1.994 hpa (14) Zum Berechnen der korrekten Einheiten in der Hilfestellung nach schauen. Der Druck der Pumpe beträgt 3 bar. Diese müssen zum Vergleichen in hpa umgerechnet werden. 1 bar =1.000 hpa 3 bar =3.000 hpa (15) Ergebnis: Der Druck der Pumpe ist ausreichend. Hilfestellung zurück zur Aufgabe Tankreinigung 9
Lösung b): Gegeben: p 0 =1.013 hpa g =9,81 m s 2 Gesucht: Ansatz: H 2 O=1.000 kg m 3 p=1.994 hpa h (16) Die Formel (16) muss nach der Höhe h umgestellt werden. h= p p 0 g 199.400 Pa 101.300 Pa h= 1.000 kg m 9,81 m 3 s 2 h=10 m (17) Ergebnis: Mit Hilfe der Druckmessung und der Formel für die Druckberechnung kann dem Vertreter der Reinigungsfirma das Gegenteil bewiesen werden. Die Höhe des Tanks beträgt tatsächlich 10m. zurück zur Aufgabe Tankreinigung 10
Lösung c): Gegeben: p 0 =1.013 hpa g =9,81 m s 2 Gesucht: Ansatz: H 2 O=1.000 kg m 3 h=10m p (18) Die gegebenen Größen können in die Formel (19) eingesetzt werden. p=1.013 hpa 1.000 kg m 3 10m 9,81 m s 2 p=1.994 hpa (19) Ergebnis: Der Druck der Pumpe muss mindestens 1.994hPa betragen. zurück zur Aufgabe Tankreinigung 11
Lösung d): Gegeben: =1.000 kg / m 3 h=10m g =9,81 m/s 2 Gesucht: p 0 p ges Tank p 0 =1.013 hpa=101.300 Pa Ansatz: p gestank = p 0 h g (20) Die gegebenen Werte werden in Formel (20) eingesetzt. p ges Tank = p 0 h g p ges Tank =101.300 Pa 1.000 kg m 3 10 m 9,81m s 2 p ges Tank =101.300 Pa 98.100 Pa p gestank =199.400 Pa (21) Zum Berechnen der korrekten Einheiten in der Hilfestellung nach schauen. Der Faktor wird berechnet wie in der Berechnung (22) p 0 101.300 Pa = p gestank 199.400 Pa =0,5 (22) Ergebnis: Der Druck im Tank ist um den Faktor 0,5 größer als der Luftdruck. Hilfestellung zurück zur Aufgabe Tankreinigung 12
Lösung e): Gegeben: p 0 =1.000 hpa p=2.200 hpa g =9,81 m/s 2 h=10m Gesucht: Ansatz: (23) Die Formel (23) muss nach ρ umgestellt werden = p p 0 h g 2.200 hpa 1.000 hpa = 10m 9,81 m/ s 2 = 120.000Pa 10m 9,81 m/s 2 = 120.000 kg / m s2 10m 9,81 m/ s 2 =1.223 kg /m 3 Ergebnis: Die Dichte entspricht der Leichtmischung 23. Im Tank befindet sich demnach die Leichtmischung 23. zurück zur Aufgabe Tankreinigung 13
Häufig gemachte Fehler: falsche Umformung der Formel falsche Umformung der Einheiten Tankreinigung 14