43 Anwendung der Partialbruchzerlegung auf die Bestimmung von Stammfunktionen 43. Bestimmung von Stammfunktionen für rationale Funktionen 43.2 Bestimmung von Stammfunktionen für rationale Funktionen in cos und sin 43.4 Bestimmung von Stammfunktionen für rationale Funktionen in und k + q Die Möglichkeit der Triangularisierung von Matrizen A Mat(n, n, C) und die Jordansche Normalform solcher Matrizen werden wir im übernächsten Paragrahen zur Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten benutzen. Beide Ergebnisse beruhen auf dem Fundamentalsatz der Algebra. In diesem Paragrahen werden wir die Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen die ebenfalls auf dem Fundamentalsatz beruht benutzen, um Stammfunktionen von rationalen Funktionen zu berechnen. Wir betrachten in diesem Paragrahen nur reelle rationale Funktionen. Da rationale Funktionen P/Q stetig sind, besitzen sie auf den Intervallen in ihrem Definitionsbereich D = R \ {t R : Q(t) = 0} Stammfunktionen. Wir wollen nun Verfahren zur Bestimmung dieser Stammfunktionen angeben. Ist P = n ν=0 a ν( t) ν, so ist wie man durch Differenzieren bestätigt n ν=0 ν+ a ν( t) ν+ eine Stammfunktion von P. Im folgenden betrachten wir daher rationale Funktionen P/Q mit reellen Polynomen P und Q, wobei (der Grad von Q=) γ(q) sein soll. Nach 6.8 gibt es dann zwei eindeutig bestimmte Polynome R, S mit P Q = S + R Q und γ(r) < γ(q). Da man Stammfunktionen von S nach Vorüberlegung leicht angeben kann, reduziert sich das Problem, für rationale Funktionen Stammfunktionen zu finden, auf den Fall P/Q mit γ(p ) < γ(q). C [43]
Kaitel X Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung 43. Bestimmung von Stammfunktionen für rationale Funktionen Eine jede rationale Funktion P/Q besitzt auf jedem der Definitionsintervalle eine Stammfunktion, die sich als (von den Definitionsintervallen unabhängige) Linearkombination der folgenden Funktionen angeben läßt (n N, t R):, n, ( t) n, ln( t ), ( 2 + b + a) n + b/2 ( 2 + b + a) n, ln(2 + b + a), arctan(c( + b 2 )), wobei b 2 4a < 0 ist. Beweis. Sei P/Q = S + R/Q mit γ(r) < γ(q), dann besitzt S eine Stammfunktion, die sich nach Vorüberlegung als Linearkombination von n, n N 0, darstellen läßt. Es bleibt daher die Aussage für R/Q mit γ(r) < γ(q) zu beweisen. Nach dem Satz über die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen (siehe 42.7) reicht es daher zu zeigen, daß die Stammfunktionen von ( t) n, ( 2 +b+a) n, ( 2 +b+a) n (b 2 4a < 0, n N) sich jeweils als Linearkombination der angegebenen Funktionen berechnen lassen. () Stammfunktion von ( t) ist (auf ], t[, ]t, [) ln( t ) (vgl. auch 27.9(iii)). (2) Stammfunktion von ( t) n ist (auf ], t[, ]t, [) für (n )( t) n n >. Wir werden unten zeigen: Ist b 2 4a < 0 und setzt man (3) f n := ( 2 + b + a) n, so ist F := c arctan(c( + 2 b )) Stammfunktion zu f mit c :=. a (b/2) 2 Ist F n eine Stammfunktion von f n, so ist F n+ () := c2 2n [( + b 2 )f n() + (2n )F n ()] eine Stammfunktion von f n+. Hieraus folgt dann induktiv, daß die Stammfunktion F n von f n Linearkombination von Funktionen der in 43. angegebenen Gestalt ist. Setzt man (4) g n := ( 2 + b + a) n, dann ist { 2 ln( 2 + b + a) 2 b G n () := F () für n =, 2( n) f n () 2 b F n() für n 2, Stammfunktion von g n. [43] 2 C
Anwendung der Partialbruchzerlegung auf die Bestimmung von Stammfunktionen Da F n nach vorangegangener Bemerkung Linearkombination von Funktionen der in 43. angegebenen Gestalt ist, folgt aus (4), daß die Stammfunktion G n von g n ebenfalls eine Linearkombination von Funktionen der in 43. angegebenen Gestalt ist. Wir beweisen (3) und (4) durch Differenzieren von F n bzw. G n. Zu (3): F () = c c +(c(+b/2)) 2 = /c 2 +(+b/2) 2 = 2 +b+(b 2 /4+(a b 2 /4)) = f (). F n+ c2 () = 2n [( + 2 b )f n() + f n () + (2n )f n ()] = c2 2n [( + b 2 )( n)(2 + b + a) n (2 + b) + 2n( 2 + b + a) n ] = c 2 ( 2 + b + a) n ( ( + b 2 )2 + ( 2 + b + a)) = c 2 ( 2 + b + a) n ( b2 4 + a) = f n+(). Zu (4): G () = 2 (2 + b + a) (2 + b) b 2 F () Für n 2 gilt: = + b 2 2 +b+a b 2 f () = G n() = 2( n) f n () b 2 f n() 2 +b+a = g (). = 2( n) ( n + )(2 + b + a) n (2 + b) b 2 (2 + b + a) n = 2+b b 2 ( 2 +b+a) n 2( 2 +b+a) n = g n (). Betrachten wir das Beisiel in 42.8, so ist also eine Stammfunktion von + 4 3 + 2 = + + 2 + über ], 0[, ]0, [, ], [ gegeben durch ln( ) + ln( + ) arctan(). 43.2 Bestimmung von Stammfunktionen für rationale Funktionen in cos und sin Sei R(, y) eine rationale Funktion in und y. Sei ein Intervall I ] π, π[ so gewählt, daß (cos(t), sin(t)) D(R) für alle t I ist. Dann gilt für a, b I: a R(cos(), sin()) d = β R( u2 +u 2, 2u +u 2 ) 2 +u 2 du mit := tan( a 2 ), β := tan( 2 b ). tan( Es ist 2 ) R( u2 2u 2, ) du +u 2 +u 2 +u 2 Stammfunktion von R(cos(), sin()) über I. Beweis. Die Substitution ϕ :<, β > < a, b > ] π, π[, definiert durch ϕ(u) := 2arctan(u) für u <, β > liefert nach 27. (beachte f() := R(cos(), sin()) ist stetig über I) wegen a = ϕ(), b = ϕ(β): () a R(cos(), sin()) d = β R(cos(ϕ(u)), sin(ϕ(u)) ϕ (u) du. C [43] 3
Kaitel X Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung Nun gilt: (2) ϕ (u) = 2 +u 2. Für t ] π, π[ folgt: cos(t) = cos 2 ( 2 t ) sin2 ( 2 t ) = cos2 (t/2) sin 2 (t/2) cos 2 (t/2)+sin 2 (t/2) sin(t) = 2 sin( 2 t )cos( 2 t ) = 2 sin(t/2)cos(t/2) cos 2 (t/2)+sin 2 (t/2) Mit t := ϕ(u) ] π, π[ folgt: (3) cos(ϕ(u)) = tan2 (ϕ(u)/2) +tan 2 (ϕ(u)/2) = u2 +u 2, (4) sin(ϕ(u)) = 2 tan(ϕ(u)/2) +tan 2 (ϕ(u)/2) = 2 u +u 2. = tan2 (t/2) +tan 2 (t/2), = 2 tan(t/2) +tan 2 (t/2). Aus () (4) folgen die Behautungen über die Integrale. Wegen der Stetigkeit von f() = R(cos(), sin()) über I folgt (siehe den Beweis von 27.8(i)): t t a R(cos(v), sin(v)) dv ist Stammfunktion von R(cos()), sin()) über I. Somit folgt die Behautung über die Stammfunktion aus der schon bewiesenen Gleichheit der Integrale in 43.2. 43.3 Beisiel Mit R(, y) := ergibt sich z.b. über ]0, π[ y( + ) a cos(t) sin(t)(+cos(t)) dt = 43.2 mit einer Konstanten c R. tan( 2 ) u 2 +u 2 +u2 2u 2 du + u2 +u 2 +u 2 = tan( 2 ) u 2 2u du = 2 = 2 ln( tan( 2 ) ) 4 tan2 ( 2 ) + c u2 ln( u ) 4 tan( 2 ) 43.4 Bestimmung von Stammfunktionen für rationale Funktionen in und k + q Sei R(, y) eine rationale Funktion in und y. Seien k N, R \ {0}, q R und I ein Intervall mit t + q > 0 für t I. Es sei R(t, k t + q) für t I definiert. Dann ist für a, b I a R(, k + q) d = β R( uk q, u) k uk du mit := k a + q und β := k b + q. Es ist k +q R( uk q, u) k uk du eine Stammfunktion von R(, k + q) über I. [43] 4 C
Anwendung der Partialbruchzerlegung auf die Bestimmung von Stammfunktionen Beweis. Die Substitution ϕ :<, β > < a, b >, definiert durch ϕ(u) = (uk q) für u <, β >, liefert nach 27. (beachte f() := R(, k + q) ist stetig über I) wegen ϕ() = a, ϕ(β) = b: a R(, k + q) d = a R(, ϕ ()) d = 27. β R(ϕ(u), u)ϕ (u) du = β R( uk q Hieraus folgt die Aussage über die Stammfunktion wie in 43.2. 43.5 Beisiel, u) k uk du. Mit R(, y) := y/ ergibt sich für R \ {0}, q R + auf einem Intervall I, auf dem t + q 2 > 0 sowie 0 I gilt, mit geeignetem : +q 2 d = +q 2, u) 2u du R( u2 q 2 = +q 2 u 2 u 2 q 2 u du = 2 +q 2 ( + q ) du u 2 q 2 = 2 + q 2 + 2 +q 2 q u 2 q 2 du + c = 2 + q 2 + +q 2 ( u+q + u q ) du + c = 2 + q 2 + ln( u q u+q ) +q 2 + c +q 2 q = 2 + q 2 + ln( ) + c +q 2. 2 +q C [43] 5