6 Symmetrische und hermitesche Matrizen

$Id: quadrat.tex,v 1.26 215/6/3 1:3:3 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v 1.13 215/7/1 1:57:5 hk Exp $ 6 Symmetrische und hermitesche Matrizen 6.4 Definite Matrizen Wir hatten eine symmetrische reelle beziehungsweise eine komplexe hermitesche n n-matrix A positiv definit genannt wenn für jeden von Null verschiendenen Vektor x R n beziehungsweise x C n stets (Ax) x > gilt. Entsprechend waren dann negativ definite, positiv semidefinite und negativ semidefinite Matrizen definiert. Ist A weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit, so heißt A indefinit. Man kann die Definitheit einer Matrix an ihren Eigenwerten ablesen. Satz 6.12 (Charakterisierung definiter Matrizen über Eigenwerte) Sei A eine symmetrische n n Matrix über K = R oder eine hermitesche n n Matrix über K = C. Bezeichne λ 1,..., λ n R die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte von A. Dann ist A genau dann 1. positiv definit wenn λ 1,..., λ n > ist, 2. negativ definit wenn λ 1,..., λ n < ist, 3. positiv semidefinit wenn λ 1,..., λ n ist, 4. negativ semidefinit wenn λ 1,..., λ n ist und 5. indefinit wenn es 1 i, j n mit λ i > und λ j < gibt- Beweis: Nach Korollar 9 existiert im reellen Fall eine orthogonale Matrix S R n n und im komplexen Fall eine unitäre Matrix S C n n mit λ 1 D := S AS =.... Wir behaupten das A dasselbe Defininiheitsverhalten wie D hat, also genau dann positiv definit, negativ definit, positiv semidefinit, negativ semidefinit oder indefinit ist wenn D dies ist. Da S insbesondere invertierbar ist, ist nämlich jeder Vektor y K n von der Form y = Sx mit x K n, und für jedes x K n gilt weiter λ n (ASx) (Sx) = (S ASx) x = (Dx) x, 2-1

und die Zwischenbehauptung ist eingesehen. Für alle x K n gilt nun (Dx) x = n λ i x i 2, i=1 und damit sind alle Aussagen klar. Wir wollen jetzt zeigen das die Determinante einer positiv definiten Matrix stets positiv ist. Etwas allgemeiner trifft dies sogar auf alle quadratischen Unterdeterminanten zu. Lemma 6.13 (Determinanten positiv definiter Matrizen) Seien K {R, C}, n N mit n 1 und A = (a ij ) 1 i,j n K n n eine positiv definite Matrix. Weiter seien 1 r n und Indizes 1 k 1 < k 2 <... < k r n gegeben. Dann gilt a k1,k 1 a k1,k r..... >. a kr,k1 a kr,kr Beweis: Wir zeigen zunächst das det A > ist. Nach Satz 12 sind die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte λ 1,..., λ n > von A alle positiv und nach 5.Korollar 8 ist det A = λ 1... λ n >. Nun sei eine Untermatrix B := a k1,k 1 a k1,k r..... a kr,k1 a kr,kr von A gegeben. Dann ist auch B symmetrisch beziehungsweise hermitesch und wir behaupten das B auch positiv definit ist. Sei hierzu x K r gegeben, und definiere den Vektor x K n durch Auffüllen der fehlenden Stellen mit Nullen, also x k i := x i für 1 i r und x i := für i {1,..., n}\{k 1,..., k r }. Dann ist auch x und (Bx) x = (Ax ) x >. Damit ist B positiv definit, und wie bereits gezeigt folgt hieraus auch det B >. Zum Rechnen mit kleineren konkreten Matrizen kann Satz 12 etwas mühsam sein, da wir zu seiner Anwendung ja erst einmal die Eigenwerte von A ausrechnen müssen. Manchmal praktischer ist eine Umkehrung des vorigen Lemmas, die wir nun formulieren wollen. Satz 6.14 (Determinantenkriterium für positive Definitheit) Sei A = (a ij ) 1 i,j n eine symmetrische n n Matrix über R. Dann ist A genau dann 2-2

positiv definit, wenn a 11 >, a 11 a 12 a 21 a 22 >, a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 >,... und a 11 a 1n..... a n1 a nn > gelten. Beweis: = Klar nach Lemma 13. = Diese Implikation beweisen wir durch vollständige Induktion nach n. Im Induktionsanfang n = 1 haben wir ein reelle Zahl a > und A = (a) so gilt für alle x R stets (Ax) x = ax 2 >, d.h. A ist positiv definit. Nun sei n N mit n 2 und nehme an das die behauptete Implikation für n 1 gilt. Dann schreiben wir ( ) B u A = u t c mit einer symmetrischen (n 1) (n 1)-Matrix B, einem Vektor u R n 1 und einem c R. Da dann auch B unsere Determinantenbedingung erfüllt, ist B nach der Induktionsannahme positiv definit. Die Determinantenbedingung besagt insbesondere det B >, also ist B invertierbar und wir können v := B 1 u R n 1 setzen. Sind dann b 1,..., b n 1 die Spalten von B, so gilt u = Bv = v 1 b 1 + + v n 1 b n 1, subtrahieren wir also für 1 j < n das v j -fache der j-ten Spalte von A von der n-ten Spalte von A, so ergibt sich mit I. 8.Korollar 5 < det A = B u u t c = B u t c u v = (c u v) det B, es ist also u v < c. Sei nun y R n gegeben und schreibe ( ) x y = s mit x R n 1 und s R. Wegen y ist dann x oder s. Es gilt ( ) ( ) ( ) B u x Bx + su (Ay) y = y t Ay = (x t s) u t = (x t s) c s cs + u x = (Bx) x + 2s(u x) + cs 2. Ist s =, so ist x und somit (Ay) y = (Bx) x > da B positiv definit ist. Ist s, so haben wir (Ay) y > (Bx) x + 2s(u x) + s 2 (u v) = (Bx) x + 2s(Bv) x + s 2 (Bv) v = (Bx) x + s(bv) x + s(bx) v + s 2 (Bv) v = B(x + sv) (x + sv) 2-3

wieder da B positiv definit ist. Also gilt in beiden Fällen (Ay) y > und A ist positiv definit. Beispielsweise haben wir damit für symmetrische 2 2 Matrizen ( ) a b positiv definit a > und ad b 2 >. b d Das Determinantenkriterium ist in der Literatur unter eine Vielfalt von Namen zu finden, gängige Bezeichnungen sind Hadamard Kriterium, Frobenius Kriterium und Jakobi Kriterium. Für eine positiv semidefinite Matrix A ergibt sich analog zu Lemma 13 das die in diesem Lemma betrachteten Determinanten alle nichtnegativ sind, die Umkehrung dieser Tatsache gilt aber nicht, es gibt also kein Determinantenkriterium für positiv semidefinite Matrizen. Betrachten wir zum Beispiel die symmetrische Matrix 1 A = so sind = = 1 1 1 = aber mit dem Vektor 1 x := gilt Ax = 1 1 1 sowie (Ax) x = 2 <, die Matrix A ist also nicht positiv semidefinit. Analog zum Induktionsschritt im Beweis des Determinantenkriteriums Satz 14 kann man immerhin zeigen das A positiv semidefinit ist wenn die ersten n 1 Hauptunterdeterminanten alle positiv sind und det A ist, dies ist allerdings nur eine hinreichende und keine notwendige Bedingung. Durch Anwendung der bisherigen Ergebnisse auf A ergeben sich analoge Kriterien für die negative Definitheit. Rechnen wir einige Beispiele: 1. Sei 2. Sei A = ( 1 2 2 3 Dann ist a 11 = 1 > aber det A = 1 <, d.h. A ist nicht positiv definit. A := Diesmal haben wir a 11 = 1 >, 1 2 2 5 >, aber ). 1 2 1 2 5 2 1 2 3. 1 2 1 2 5 2 1 2 3 d.h. auch diese Matrix ist nicht positiv definit. 2-4 = 1 2 1 1 4 = 4,

3. Schließlich sei Diesmal haben wir a 11 = 1 >, 1 2 2 5 A = = 1 > und d.h. die Matrix A ist positiv definit. 1 2 1 2 5 2 1 2 3. 1 2 1 2 5 2 1 2 3 = 1 2 1 1 2 = 2 >, 7 Orthogonale und unitäre Matrizen Bereits in 6.2 hatten wir den Begriff einer orthogonalen Matrix im reellen Fall und einer unitären Matrix im komplexen Fall eingeführt. Wir hatten auch verschiedene Beschreibungen für die Orthogonalität einer Matrix A gesehen A ist orthogonal A t A = 1 AA t = 1 und entsprechend im komplexen Fall A ist unitär A A = 1 AA = 1 Die Spalten von A sind eine Orthonormalbasis des R n Für alle x, y R n gilt (Ax) (Ay) = x y Die Spalten von A sind eine Orthonormalbasis des C n Für alle x, y C n gilt (Ax) (Ay) = x y. In diesem Abschnitt interessiert uns vor allem der letztgenannte Aspekt. Mit x = y folgt für eine orthogonale beziehungsweise unitäre n n Matrix A auch Ax = (Ax) (Ax) = x x = x für jedes x im R n beziehungsweise C n, d.h. die Matrix A erhält die Länge von Vektoren. Weiter folgt, dass eine orthogonale Matrix A auch den Winkel φ zwischen Vektoren x, y R n erhält, denn dieser bestimmt sich ja durch die Formel x y = x y cos φ, und da A Länge und Skalarprodukt nicht ändert, haben wir auch (Ax) (Ay) = Ax Ay cos φ. 2-5

Orthogonale Matrizen sind also die linearen Abbildungen, die Längen und Winkel erhalten. Nehmen wir Verschiebungen hinzu, so ergeben sich die sogenannten Bewegungen, dies sind die Abbildungen der Form f : R n R n ; x Ax + u mit einer orthogonalen n n Matrix A und einem Vektor u R n. Wir halten zwei Grundtatsachen über orthogonale und unitäre Matrizen fest: Satz 7.1 (Eigenwerte und Determinante orthogonaler und unitärer Matrizen) Sei A eine orthogonale n n Matrix über K = R oder eine unitäre n n Matrix über K = C. Dann gelten: (a) Ist λ C ein komplexer Eigenwert von A, so ist λ = 1. (b) Ist K = R so gilt det A = 1 oder det A = 1. (c) Ist K = C so gilt det A = 1. (d) Ist K = R und ist die Dimension n ungerade und det A = 1, so ist 1 ein Eigenwert von A. (e) Ist K = R und ist die Dimension n gerade und det A = 1, so ist 1 ein Eigenwert von A. Beweis: (a) Da eine orthogonale Matrix als komplexe Matrix unitär ist, können wir uns auf den Fall K = C beschränken. Sei u C n ein Eigenvektor zu λ, also Au = λu. Dann erhalten wir also wegen u = auch λ = 1. (c) Es gilt u = Au = λu = λ u, det A 2 = det(a) det A = det(a) det(a) = det(a) det(a t ) = det(a) det(a ) = det(aa ) = 1, also ist auch det A = 1. (b) Da A als komplexe Matrix unitär ist, gilt nach (c) zunächst det A = 1 und wegen det A R ist det A { 1, 1}. (d,e) Es ist χ A (1) = det(1 A) = det(aa t A) = det(a) det(a t 1) = det(a) det(a 1) = ( 1) n det(a) det(1 A) = ( 1) n det(a)χ A (1). 2-6

In den beiden Fällen n ungerade, det A = 1 und n gerade, det A = 1 ist ( 1) n det A = 1, also χ A (1) = χ A (1), und dies bedeutet χ A (1) =, d.h. 1 ist ein Eigenwert von A. Die Bewegungen f(x) = Ax + u bei denen A eine orthogonale Matrix mit det A = 1 ist nennt man auch eigentliche Bewegungen. Dies sind diejenigen Bewegungen, die sich tatsächlich physikalisch realisieren lassen. Die Bewegungen mit det A = 1 haben immer einen Spiegelungsanteil. Wir führen jetzt eine Bezeichnung für die Menge aller orthogonalen beziehungsweise unitären Matrizen ein. Hierzu sei n N mit n 1 gegeben. Dann seien O n R := {A R n n A ist orthogonal} (Orthogonale Gruppe), SO n R := {A O n R det A = 1} (Spezielle orthogonale Gruppe), U n C := {A C n n A ist unitär} (Unitäre Gruppe), SU n C := {A U n C det A = 1} (Spezielle unitäre Gruppe). Oft verwendete alternativen Schreibweisen für diese Mengen sind O(n) = O n R für die orthogonale Gruppe, SO(n) = SO n R für die spezielle orthogonale Gruppe, U(n) = U n C für die unitäre Gruppe und SU(n) = SU n C für die spezielle unitäre Gruppe. Das Wort Gruppe hatten wir schon einmal in I. 8.1 im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe bei der Einführung von Determinanten verwendet. Genau wie damals wollen wir hier keine abstrakte Definition einer Gruppe geben, gemeint ist das Produkte und Inverse von Elementen aus einer Mengen O n R, SO n R, U n C, SU n C wieder in der entsprechenden Menge sind. In der Vorlesung wurde dies nur mitgeteilt, aber an dieser Stelle wollen wir es kurz vorrechnen. Angenommen A, B O n R sind zwei orthogonale Matrizen derselben Größe. Dann ist auch das Produkt AB invertierbar mit (AB) 1 = B 1 A 1 = B t A t = (AB) t, d.h. es ist auch AB O n R. Außerdem ist auch (A 1 ) 1 = A = A tt = (A 1 ) t, d.h. A 1 O n R. Für die unitäre Gruppe U n C ist die Rechnung analog und die Aussagen über die beiden speziellen Gruppen SO n R und SU n C folgen dann aus den Eigenschaften der Determinante. Sind beispielsweise A, B SO n R, so wissen wir bereits AB, A 1 O n R und zusätzlich sind also AB, A 1 SO n R. det(ab) = det(a) det(b) = 1 und det(a 1 ) = 1 det A = 1, 2-7

7.1 Spiegelungen Wir werden jetzt einen speziellen Typ orthogonaler Abbildungen untersuchen, die Spiegelung an einer Hyperebene. Im zweidimensionalen Fall n = 2 sind dies Geradenspiegelungen und im dreidimensionalen Fall n = 3 handelt es sich um Ebenenspiegelungen. Da die Dimension für diese Überlegungen keine Rolle spielt, wollen wir hier gleich den n-dimensionalen Fall behandeln, und eine Hyperebene des R n war dann definitionsgemäß ein (n 1)-dimensionaler affiner Teilraum des R n. Im letzten Semester hatten wir im Abschnitt I. 1.3 bereits eine auch hier nützliche Beschreibung von Hyperebenen kennengelernt. Jede solche Hyperebene E ließ sich in Hessescher Normalform als E = {x R n u x = c} schreiben, wobei c R ist und u ein senkrecht auf E stehender Vektor der Länge u = 1 ist, ein sogenannter Normalenvektor auf E. Da wir hier an orthogonalen Matrizen, also an linearen Abbildungen, interessiert sind, brauchen wir Hyperebenen durch den Nullpunkt, also c =. Eine Hyperebene durch den Nullpunkt läßt sich somit in der Form E = {x R n u x = } beschreiben, wobei u ein Normalenvektor auf E ist. Wir wollen die Spiegelung S an der Hyperebene E berechnen. Sei also x R n. Dann schreiben wir x = x + λu mit einem Vektor x E und einem λ R. Beim Spiegeln an E bleibt der Anteil x von x in E erhalten während der zu E senkrechte Sx Anteil λu zu λu wird, d.h. insgesamt wird der Punkt x auf Sx = x λu abgebildet. Den zu u parallelen Anteil λu hatten wir auch bereits im I. 1.3 des letzten Semesters ausgerechnet, wegen u = 1 ist λ = u x, also λu = (u x)u. Für das Bild von x unter der Spiegelung folgt die Spiegelungsformel x λ u Sx = x λu = x + λu 2λu = x 2λu = x 2(u x)u. Damit haben wir die Spiegelung an E berechnet. Auch als Matrix bezüglich der kanonischen Basis des R n läßt sich S leicht berechnen, es ist ja Sx = x 2(u x)u = x 2u(u x) = x 2uu t x = (1 2uu t )x, x u E als Matrix ist also S = 1 2uu t. 2-8

Beachte dabei das das Produkt eines Spaltenvektors mit n Einträgen und eines Zeilenvektors mit n Einträgen eine n n-matrix ist. Wir wollen zwei Beispiele rechnen. Sei g die Gerade g := ( 3 4 ) = {( 3t 4t ) t R} im R 2. Senkrecht auf dem Richtungsvektor steht beispielsweise ( ) 4 v = und normiert u = v 3 v = 1 ( 4 5 v = 5 3 5 Für die Spiegelungsmatrix ergibt sich S = 1 2uu t = 1 2 25 vvt = 1 2 ( 4 25 3 Als ein zweites Beispiel betrachte die Ebene ) (4 3) = 1 2 ( 16 12 25 12 9 E := {(x, y, z) R 3 x + 2y 2z = } ). ) = ( 7 24 25 25 im R 3. Dann steht der Vektor v = (1, 2, 2) senkrecht auf E, und wegen v = 3 ist u := 1 3 v = 1 1 2 3 2 ein Normalenvektor von E. Als die Spiegelungsmatrix an der Ebene E ergibt sich S = 1 2uu t = 1 2 1 2 2 2 4 4 = 1 7 4 4 4 1 8. 9 9 2 4 4 4 8 1 Die Formel für Spiegelungen an Ebenen die nicht durch den Nullpunkt gehen läßt sich auf unsere Spiegelungsformel zurückführen. Angenommen die Hyperebene E R n ist in Hessescher Normalform als E = {x R n u x = c} gegeben, wobei u ein Normalenvektor auf E ist und c R ist. Wähle dann irgendeinen Punkt x E, also u x = c. Die Spiegelung kann man dann realisieren, indem zuerst x nach verschoben wird, dann an der zu E parallelen Hyperebene durch gespiegelt wird, und anschließend wieder nach x zurückgeschoben wird. Die zu E parallele Hyperebene durch hat dabei auch den Normalenvektor u. Wie sieht das als Formel aus? Sei x R n. Beim Verschieben geht x auf x x, und beim Spiegeln an der parallelen Hyperebene geht dieser Punkt auf x x 2(u (x x ))u = 2-9 24 25 7 25 ).

x x 2(u x)u + 2(u x )u = x x 2(u x)u + 2cu. Dann wird zurückgeschoben und als Spiegelung ergibt sich S c x = x (u x)u + 2cu = Sx + 2cu, wobei S = 1 2uu t ist. Wir wollen nun einen Satz angeben der die besondere Bedeutung von Spiegelungen für die orthogonale Gruppe herausstellt, überhaupt jede orthogonale Matrix läßt sich als ein Produkt von Spiegelungen schreiben. Satz 7.2: Jede orthogonale n n Matrix läßt sich als ein Produkt von höchstens n Spiegelungen schreiben. Dies kann man etwa durch Induktion nach n beweisen, man überlegt sich zunächst das es für je zwei u, v R n mit u = v = 1 stets eine Spiegelung S mit Su = v gibt, hiermit kann man sich dann auf den Fall reduzieren das es für die betrachtete orthogonale Matrix A einen Vektor u R 3 mit u = 1 und Au = u gibt und die Induktionsannahme in u führt zum Ziel. Wir wollen hier darauf verzichten dies wirklich vorzuführen. Beachten wir das eine Spiegelung offenbar die Determinante 1 hat, so hat ein Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen die Determinante 1 und ein Produkt einer ungeraden Anzahl von Spiegelungen hat die Determinante 1. Schauen wir uns einmal an was der Satz für die Ebene n = 2 sagt. Nach dem Satz ist jede orthogonale 2 2 Matrix entweder eine Spiegelung oder das Produkt von zwei Spiegelungen. Produkte von zwei Spiegelungen im R 2 stellen sich als Drehungen heraus, d.h. jede orthogonale 2 2-Matrix ist eine Spiegelung oder eine Drehung. Für unitäre Matrizen gibt es einen ähnlichen Satz, anstelle von Spiegelungen muss man aber auch die etwas allgemeineren Quasispiegelungen erlauben. Diese Dinge wollen wir hier aber nicht näher ausführen. 7.2 Drehungen Die wohl wichtigste Sorte othogonaler Matrizen sind die Drehungen. Wir werden diese im zwei und im dreidimensionalen Fall behandeln. In Dimension 2 kennen wir uns dabei bereits bestens aus, die Drehung um einen Winkel φ wird durch die Matrix ( ) cos φ sin φ D(φ) = sin φ cos φ beschrieben, wie wir schon in Abschnitt I. 1.2 im letzten Semester eingesehen haben. Im zweidimensionalen Fall kennen wir damit bereits alle orthogonalen Matrizen, es gilt nämlich, wie schon oben angedeutet: Satz 7.3 (Orthogonale 2 2 Matrizen) Ist A eine orthogonale 2 2 Matrix, so ist A im Fall det A = 1 eine Drehung und im Fall det A = 1 eine Spiegelung. Beweis: Auf den folgenden Beweis hatten wir in der Vorlesung verzichtet. Sei ( ) a b A = O c d 2 R. 2-1

Zunächst nehmen wir ad bc = det A = 1 an. Dann ist A invertierbar mit ( ) ( ) a c d b = A t = A 1 = b d c a es müssen also a = d und c = b gelten. Damit wird 1 = ad bc = a 2 + b 2, es gibt also einen Winkel φ mit a = cos( φ) = cos φ und b = sin( φ) = sin φ. Folglich sind auch d = a = cos φ und c = b = sin φ und wir haben A = D(φ). Damit ist der Fall det A = 1 vollständig behandelt. Nun nehme ad bc = det A = 1 an. In diesem Fall haben wir ( ) ( ) a c d b = A t = A 1 = b d c a also d = a und c = b sowie 1 = ad bc = a 2 b 2, also ist wieder c 2 +d 2 = a 2 +b 2 = 1. Somit gibt es einen Winkel φ mit c = sin(2φ) und d = cos(2φ), also auch a = cos(2φ) und b = sin(2φ). Ist nun u = ( cos φ sin φ ) ( ) cos, so ist S u = 1 2uu t = 1 2 2 φ sin φ cos φ sin φ cos φ sin 2 φ ( cos(2φ) sin(2φ) = sin(2φ) cos(2φ) also ist A die Spiegelung an R u. ) = A Wir wollen uns jetzt mit Drehungen im dreidimensionalen Raum beschäftigen. Hier reicht es zur Beschreibung einer Drehung nicht mehr aus, einen Winkel anzugeben. Neben dem Winkel benötigen wir auch noch die Drehachse, also die Ursprungsgerade um die herum die Drehung stattfindet. Die Achse sei dabei durch einen Vektor u der Länge 1 gegeben. Es seien also ein u R 3 mit u = 1 und ein Winkel φ R gegeben. Wir wollen die Drehung D u (φ) mit Drehachse in Richtung von u und Drehwinkel φ berechnen. Sei x R 3 und wir müssen das Bild D u (φ)x von x unter unserer Drehung bestimmen. Ist x u, liegt x also auf der Drehachse, so ist sofort D u (φ)x = x, wir können also x / u annehmen. Unsere Strategie ist es zu einer anderen Orthonormalbasis u 1, u 2, u 3 des R 3 überzugehen, in der D u (φ) eine möglichst einfache Gestalt hat. Es ist naheliegend diese Basis mit der Drehachse selbst zu beginnen, also u 1 := u. Den zweiten Basisvektor u 2 wählen wir jetzt zum Argument x passend. Den Punkt x selbst können wir leider nicht verwenden, da dieser weder normiert noch senkrecht zu u ist. Dies ist aber kein großes Problem, wir wenden einfach die uns schon bekannte Gram Schmidt Orthonormalisierung auf u, x an, d.h. wir setzen y := x (u x)u und u 2 := y y. 2-11

Zur Bestimmung des dritten Basisvektors verwenden wir das in I. 1.4 eingeführte Vektorprodukt, der Vektor u 1 u 2 steht senkrecht auf u 1 und u 2 und hat die Länge u u 1 u 2 = ( u 1 2 u 2 2 (u 1 u 2 ) 2 ) 1/2 = 1. Die gesuchte Orthonormalbasis wird somit vervollständigt durch u 3 := u 1 u 2 = 1 y u (x (u x)u) = u x y φ da u u = ist. Beachte außerdem das die Basis u 1, u 2, u 3 dann positiv orientiert ist, der Umlaufsinn unseres Drehwinkels ist also bezüglich dieser Basis genau derselbe wie bezüglich der Standardbasis. Bezüglich der Basis u 1, u 2, u 3 wird x jetzt zu x = (u x)u + y = (u x)u 1 + y u 2 = u x y In dieser Basis berechnet sich das Bild von x unter unserer Drehung als 1 u x u x D u (φ)x = cos φ sin φ y = y cos φ. sin φ cos φ y sin φ Bezüglich der Standardbasis haben wir damit das Ergebnis D u (φ)x = (u x)u 1 + y cos(φ)u 2 + y sin(φ)u 3 = (u x)u + cos(φ)y + sin(φ)u x. = (u x)u + cos(φ)x (u x) cos(φ)u + sin(φ)(u x) = cos(φ)x + (1 cos φ)(u x)u + sin(φ)(u x). Dies ist bereits eine für praktische Zwecke nützliche Drehungsformel. Wir können die Formel auch noch in Matrixform umschreiben, hierzu müssen wir uns nur überlegen wie die Matrix der linearen Abbildung f(x) = u x aussieht. Dies ist schnell berechnet u e 1 = u 1 u 2 u 3 1 = u 3 u 2, u e 2 = u e 3 = u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 1 1 u 3 =, u 2 u 1 = u 1, 2-12

die Matrix von f ist also û := Die Drehmatrix wird damit insgesamt zu u 3 u 2 u 3 u 1 u 2 u 1. D u (φ) = cos φ + (1 cos φ)uu t + sin(φ)û. Damit können wir nun Drehmatrizen berechnen. Wir können den Drehwinkel φ auch direkt aus der Matrix D u (φ) ablesen, es ist ja tr û =, tr uu t = u 2 1 + u 2 2 + u 2 3 = 1 und somit tr D u (φ) = 3 cos φ + 1 cos φ = 1 + 2 cos φ. Auch die von u aufgespannte Gerade können wir an der Matrix D u (φ) ablesen. Es ist ja (uu t ) t = uu t aber û t = û, also D u (φ) + D u (φ) t = 2 cos φ + 2(1 cos φ)uu t = tr D u (φ) 1 + 2(1 cos φ)uu t. Ist also φ kein Vielfaches von 2π, so ist cos φ 1 und es folgt u = Bild(D u (φ) + D u (φ) t tr(d u (φ)) + 1). Ist φ dagegen ein Vielfaches von 2π, also cos φ = 1, so findet überhaupt keine Drehung statt, und daher ist es nicht überraschend das wir keine Drehachse bestimmen können. Beachte übrigens das die Formel für die Drehachse nur den Teilraum u liefert, aber nicht u selbst, d.h. wir können auf diese Weise nicht zwischen u und u unterscheiden. Wenn man aber φ und ±u kennt, so ist ein leichtes durch Einsetzen in die Matrixform der Drehformel abzulesen welchen der beiden wir nehmen müssen. Wir wollen die Matrixformel einmal auf das Beispiel von Drehungen um u = (1/ 3)(1, 1, 1) anwenden. Es gelten uu t = 1 3 1 1 1 (1, 1, 1) = 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Die Drehung um u mit dem Winkel φ wird damit zu und û = 1 3 1 1 1 1 1 1 D u (φ) = cos φ + (1 cos φ)uu t + sin(φ)û = 1 1 + 2 cos φ 1 cos φ 3 sin φ 1 cos φ + 3 sin φ 1 cos φ + 3 sin φ 1 + 2 cos φ 1 cos φ 3 sin φ 3 1 cos φ 3 sin φ 1 cos φ +. 3 sin φ 1 + 2 cos φ In zwei Dimensionen sind Drehungen und Spiegelungen die einzigen orthogonalen Matrizen. In drei Dimensionen ist es auch noch möglich alle auftretenden Typen orthogonaler Matrizen aufzulisten, und wie im zweidimensionalen Fall sind die Drehungen genau die orthogonalen Matrizen mit Determinante 1. Satz 7.4 (Orthogonale 3 3 Matrizen) Sei A eine orthogonale 3 3 Matrix. 2-13.

(a) Ist det A = 1, so ist A eine Drehung um den Winkel ( ) tr(a) 1 φ = arccos 2 mit der Drehachse Bild(A + A t tr(a) + 1). (b) Ist det A = 1, so ist A ein Spiegelung oder das Produkt einer Spiegelung und einer Drehung wobei die Drehachse senkrecht auf der Spiegelungsebene steht. Beweis: (a) Nach Satz 1.(d) ist 1 ein Eigenwert von A, es gibt also ein u R 3 mit u = 1 und Au = u. Weiter betrachten wir die Ebene E := {x R 3 u x = } zum Normalenvektor u. Für jedes x E gilt auch u (Ax) = (Au) (Ax) = u x =, also Ax E. Damit ist A E eine lineare Abbildung, und es bezeichne B die Matrix dieser Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis von E. Dann ist B SO 2 R, also ist A E eine Drehung in E um einen Winkel φ. Damit ist A = D u (φ). Die Formeln für Drehwinkel und Drehachse folgen aus unseren obigen Überlegungen. (b) Wir haben ( A) 1 = A 1 = A t = ( A) t, d.h. auch A ist orthogonal mit det( A) = det A = 1. Also ist A SO 3 R nach (a) eine Drehung. Insbesondere existiert ein Vektor u R 3 mit u = 1 und Au = u, also Au = u und u ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 von A. Für jeden zu u senkrechten Vektor x folgt damit auch u (Ax) = (Au) (Ax) = u x =, d.h. A erhält die zu u senkrechte Ebene E. Damit ist A E orthogonal mit Determinante 1, also eine Drehung. Es können jetzt zwei Fälle auftreten, entweder ist A E die identische Abbildung, und dann ist A die Spiegelung S u an der Ebene E oder A E ist die Drehung um einen Winkel φ und dann ist A das Produkt A = D u (φ)s u der Drehung D u (φ) mit der Spiegelung S u. Produkte von Spiegelungen und Drehungen nennt man gelegentlich auch Drehspiegelungen. Diese spielen für uns keine Rolle, und daher wollen wir sie auch nicht untersuchen. Der Satz besagt insbesondere das SO 3 R = {D u (φ) u R 3, φ R, u = 1} die Menge aller Drehungen um Achsen durch den Nullpunkt ist, daher nennt man SO 3 R auch die Drehgruppe. Ab Dimension 4 werden die Verhältnisse komplizierter, es gibt dann auch orthogonale Matrizen mit Determinante 1 die keine Drehungen sind. Da auch dies für uns keine Rolle spielt, wollen wir dies hier nicht näher ausführen. Zusammen mit Satz 2 besagt der eben bewiesen Satz, dass Drehungen im R 3 genau die Produkte von zwei Spiegelungen sind. Dies kann man auch leicht explizit sehen. Seien u, v R 3 mit u = v = 1. Wir können u, v R 3 als linear unabhängig annehmen, 2-14

denn sonst ist S u = S v und somit S u S v = 1. Wegen S u S v SO 3 R muss S u S v eine Drehung mit S u S v 1 sein. Die Ebenen an denen gespiegelt wird sind E u := {x R 3 u x = } und E v := {x R 3 u v = } mit E u E v und ihr Schnitt g := E u E v ist eine Gerade die von S u S v punktweise fixiert wird, dies meint S u S v x = x für alle x g. Insbesondere muss g die Drehachse sein. Explizit ist g = {x R 3 x u und x v} = u v. Zur Bestimmung des Drehwinkels φ wollen wir die Formel aus Satz 4 verwenden. Beachte hierzu das für je zwei Vektoren x, y R n stets tr(xy t ) = n x i y i = x y i=1 gilt, also ergibt sich wegen der Drehwinkel φ als S u S v = (1 2uu t )(1 2vv t ) = 1 2(uu t + vv t ) + 4(u v)uv t cos φ = 1 2 (tr(s us v ) 1) = 1 2 (3 2 u 2 2 v 2 + 4(u v) 2 1) = 2(u v) 2 1. Bezeichnet ψ den Winkel zwischen u und v, so ist u v = u v cos ψ = cos ψ, also cos φ = 2 cos 2 ψ 1 = cos(2ψ). Als Drehachse von S u S v haben wir also u v und der Drehwinkel ist das Doppelte des Winkels zwischen u und v. Zum Abschluß wollen wir noch eine eine weitere Beschreibung von Drehungen besprechen, die sogenannten Eulerwinkel. Wir hatten bereits mehrfach die Drehungen um die x-achse verwendet, und entsprechend haben auch die Drehungen um y- und z-achse eine sehr einfache Form, nämlich D 1 (φ) := 1 cos φ sin φ sin φ cos φ, D 2 (φ) := cos φ sin φ 1 sin φ cos φ D 3 (φ) :=, cos φ sin φ sin φ cos φ 1 Aus diesen drei speziellen Drehungen kann man alle anderen Drehungen zusammensetzen, d.h. zu einer beliebigen Drehmatrix A gibt es immer drei Winkel α, β, γ, die 2-15.

sogenannten Euler Winkel von A, so, dass A = D 1 (α)d 2 (β)d 3 (γ) = cos β cos γ cos β sin γ sin β sin α sin β cos γ + cos α sin γ sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin α cos β cos α sin β cos γ + sin α sin γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β gilt. Aus dieser Formel lassen sich die Euler Winkel bei gegebener Matrix A berechnen. Aus dem Eintrag a 13 ergibt sich β durch sin β = a 13 und wegen a 13 1 kann β auf β π/2 also β = arcsin(a 13 ) normiert werden. Dann wird also auch 1 = a 2 11 + a 2 12 + a 2 13 also a 2 11 + a 2 12 = 1 a 2 13 = 1 sin 2 β = cos 2 β ( ) 2 ( ) 2 a11 a12 + = 1 cos β cos β und somit erhalten wir einen bis auf Vielfache von 2π eindeutigen Winkel γ mit a 11 = cos β cos γ und a 12 = cos β sin γ. Analog ist auch α bis auf Vielfache von 2π eindeutig festgelegt. Wir wollen dies einmal am Beispiel der Drehmatrix D = 1 3 2 1 2 2 2 1 1 2 2 vorführen. Es ist sin β = 2/3, also insbesondere sin β <. Damit ist π/2 < β <. Außerdem ist cos 2 β = 1 sin 2 β = 5/9, also cos β = 5/3. Explizit ist β = arcsin(2/3). Wegen 1/3 = cos β sin γ = ( 5/3) sin γ ist sin γ = 1/ 5 und weiter 2/3 = cos β cos γ = ( 5/3) cos γ, d.h. cos γ = 2/ 5. Also ist < γ < π/2 und γ = arcsin(1/ 5). Analog folgt α = γ = arcsin(1/ 5). 2-16