Operations Research / Datenverarbeitung

Bachelor BW Operations Research / Datenverarbeitung WS 2014/15 Prof. Dr. Dominik Kramer Hochschule Trier Fachbereich Wirtschaft 1

Inhaltsübersicht 1 Einführung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Lineare Optimierung 4 Nichtlineare Optimierung 5 Heuristiken und Simulation 6 Netzplantechnik 2

Inhalt 1 Einführung 1.1 Charakterisierung 1.2 Quantitative Modelle in der Betriebswirtschaft 1.3 Betriebswirtschaftliche Beispiele 1.4 Stellung des OR/DV in der Betriebswirtschaft 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 Einführendes Beispiel 2.2 Formale Darstellung 2.3 Graphische Darstellung 2.4 Lösungsmethoden 2.5 Betriebswirtschaftliche Beispiele 3 Lineare Optimierung 3.1 Einführendes Beispiel 3.2 Formale Darstellung 3.3 Graphische Darstellung 3.4 Lösungsmethoden 3.5 Postoptimale Analysen 3.6 Betriebswirtschaftliche Beispiele 4 Nichtlineare Optimierung 4.1 Charakterisierung 4.2 Betriebswirtschaftliche Beispiele 5 Heuristiken und Simulation 5.1 Heuristische Lösungsverfahren 5.2 Simulation 6 Netzplantechnik 6.1 Charakterisierung 6.2 Strukturplanung 6.3 Zeitplanung 6.4 Kostenplanung 6.5 Kapazitätsplanung 3

Literatur Operations Research Brink, A. u.a. Lineare und ganzzahlige Optimierung mit impac, Vahlen: München 1991 Domschke, W., Drexl, A. Einführung ins OperationsResearch, 8. Aufl., Springer: Berlin u.a. 2011 Domschke, W. u.a. Ellinger, Th. u.a. Übungen und Fallbeispiele zum OperationsResearch, 7. Aufl., Springer: Berlin u.a. 2011 OperationsResearch, Eine Einführung, 6. Aufl., Springer: Berlin u.a. 2003 Müller-Merbach, H. Operations Research, 3. Aufl., Vahlen: München 1973 Neumann, K. Morlock, M. Operations Research, 2. Aufl., Hanser: München, Wien 2002 Zimmermann, H.J. OperationsResearch, Methoden und Modelle, 2. Aufl., Vieweg: Wiesbaden 2007 4

Literaturhinweise Kapitel 1 (Einführung) Domschke, Drexl(2011) Kapitel 1: Einführung, S. 1 11 Kapitel 2 (Lineare Gleichungssysteme) Müller-Merbach(1973) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme, S. 27 53 Kapitel 3 (Lineare Optimierung) Brink u.a. (1991) Kapitel 2: Lineare Optimierung, S. 7 56 Kapitel 4 (Nichtlineare Optimierung) Domschke, Drexl(2011) Kapitel 8: Nichtlineare Optimierung, S. 176 209 Kapitel 5 (Heuristiken und Simulation) Heuristiken Zimmermann (2005) Kapitel 6: Heuristische Verfahren, S. 271 306 Simulation Domschke, Drexl(2011) Kapitel 10: Simulation, S. 225 241 Kapitel 6 (Netzplantechnik) Domschke, Drexl(2011) Kapitel 5: Netzplantechnik & Projektmgnt, S. 97 120 5

Inhalt 1 Einführung 1.1 Charakterisierung 1.2 Quantitative Modelle in der Betriebswirtschaft 1.3 Betriebswirtschaftliche Beispiele 1.4 Stellung des OR in der Betriebswirtschaft 1.5Einführung in die verwendete Software 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Lineare Optimierung 4 Nichtlineare Optimierung 5 Heuristiken und Simulation 6 Netzplantechnik 6

1.1 Einführung: Charakterisierung Planung als Gestaltung der Zukunft Ziele Durchsetzung Problemfeststellung Planung Alternative 1... Alternative n Kontrolle Vorgabe von Sollwerten Ermittlung von Istwerten Steuerung Bewertung und Entscheidung Plansystem (Budget) Realisation Abweichungsanalyse Anpassungsmaßnahmen 7

1.1 Einführung: Charakterisierung Reales Problem Modellgestützte Planung Erkennen & Analysieren d. Problems Ziele & Handlungsmöglichleiten Mathematisches Modell Datenbeschaffung Algorithmus Übertragung der Lösung in Realität Intuition Interpretation der Lösung Qualitative Modelle Lösung Quantitative Modelle 8

1.1 Einführung: Charakterisierung Elemente des Operations Research (OR) Datenermittlung Kennen von Algorithmen Lösungsfindung Modellbildung Lösungsinterpretation Entwicklung von Algorithmen 9

1.2 Einführung: Modelle Elemente von Modellen Zielfunktion Was will der Entscheider? Struktur (Zielfunktion, Restriktionen) Parameter Welche Zusammenhänge gibt es? Welche Rahmendaten gibt es? Variablen Worüber ist zu entscheiden? 10

1.2 Einführung: Modelle Offene und geschlossene Entscheidungsfelder Geschlossene Entscheidungsfelder Alle Komponenten des Entscheidungsfelds sind gegeben: Ziele, Aktionen, Umweltzustände, Ergebnisse Der Informationsstand kann durch Sicherheit, Risiko und Unsicherheit i.e.s. variierten Offene Entscheidungsfelder Entscheidungsfelder können zeitlich oder sachlich offen sein Zeitlich offen: der Planungshorizont ist nicht begrenzt Sachlichoffen: Aktionen, Umweltzustände, Ergebnisse liegen nicht vollständig vor Offene Entscheidungsfelder müssen geschlossen werden 11

1.2 Einführung: Modelle Formale Modelle Zielfunktion maximiere bzw. minimiere z = f(x 1, x 2, x J ) Restriktionen unter g i (x 1, x 2, x J ) = 0 i Wertebereich nichtnegative reelle Zahlen x j R + nichtnegative ganze Zahlen x j Z + binäre Zahlen x j B 12

1.2 Einführung: Modelle Verfahren zur Lösung quantitativer Modelle Berechnungsverfahren Lösung linearer Gleichungssysteme Verfahren der Netzplantechnik Exakte Optimierungsverfahren Lineare Optimierung. Allgemein. Spezielle Modelle (z.b. Transportmodelle). Ganzzahlige lineare Optimierung Dynamische Optimierung Nicht-exakte Optimierungsverfahren Nichtlineare Optimierung Heuristiken Verfahren zur Abbildung von Modellreaktionen Simulation 13

1.2 Einführung: Modelle Möglichkeiten der Modelllösung Komplexitätsklasse P Probleme, die mit polynominalem Aufwand exakt lösbar sind exakt lösbare Probleme Rechenzeit = Problemumfang n Komplexitätsklasse NP-vollständig Probleme, die nicht mit polynominalem Aufwand exakt lösbar sind Nur kleinere Probleme sind exakt lösbar, sonst: heuristische Lösung Rechenzeit = n Problemunfang Komplexitätsklasse NP(Pund NP-vollständig zusammen) Frage: P= NP? Preisgeld: 1.000.000 $ (Clay Mathematics Institute [Cambridge, USA]) 14

1.3 Einführung: Beispiele Modelle in der BWL Zeithorizont strategisch Standortwahl Makeorbuy taktisch operativ Kauf von Rohstoffen Kauf einer Maschine Beschaffung Produktion Einführungs -kampagne Funktionsbereich Schlussverkauf Absatz 15

1.3 Einführung: Beispiele Modelle in dieser Veranstaltung Lineare Gleichungssysteme Auswahl optimaler Produktionsverfahren Teilebedarfsrechnung (Gozinto-Graph) Markow-Ketten Gewinnschwellenanalysen Lineare Optimierung Produktionsprogrammplanung Lagerhaltung und Beschaffung Mischplanung Transportplanung / Zuordnungsplanung Nichtlineare Optimierung Preis-Mengen-Optimierung Standortplanung Portfoliooptimierung Heuristiken und Simulation Lagerhaltung und Beschaffung Netzplantechnik Planung des (zeitlichen) Ablaufs von (Groß-)Projekten 16

1.3 Einführung: Beispiele Standortplanung (I) Verkaufsort Umsatz (Mio. ) Oldenburg 15 Münster 41 Braunschweig 29 Potsdam 53 Erfurt 22 Koblenz 37 Trier 29 Mannheim 38 Stuttgart 22 Regebensburg 19 Münschen 61 Konstanz 22 Verkaufsort Umsatz (Mio. ) Oldenburg 15 Münster 41 Braunschweig 29 Potsdam 53 Erfurt 22 Koblenz 37 Trier 29 Mannheim 38 Stuttgart 22 Regebensburg 19 Münschen 61 Konstanz 22 17

1.3 Einführung: Beispiele Standortplanung (II) Verkaufsort Umsatz (Mio. ) Oldenburg 15 Münster 41 Braunschweig 29 Potsdam 53 Erfurt 22 Koblenz 37 Trier 29 Mannheim 38 Stuttgart 22 Regebensburg 19 Münschen 61 Konstanz 22 18

1.3 Einführung: Beispiele 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Standortplanung (III) 1 2 3 4 5 6 7 8 Verkaufsort Umsatz x y (Mio. ) Oldenburg 15 2,1 1,1 Münster 41 1,8 3,1 Braunschweig 29 4,1 2,9 Potsdam 53 6,2 2,3 Erfurt 22 4,6 4,9 Koblenz 37 1,6 5,8 Trier 29 0,9 6,7 Mannheim 38 2,2 7,2 Stuttgart 22 2,9 8,5 Regebensburg 19 5,5 8,1 Münschen 61 5,1 9,6 Konstanz 22 2,9 10,2 19

1.4 Einführung: Stellung OR Einordnung in die Betriebswirtschaft Steuerung der Funktionen/Prozesse Beschaffung Produktion Absatz Langfristige Entscheidungen (Festlegung der Kapazitäten) Kurzfristige Entscheidungen (bei gegebenen Kapazitäten) Informationen (Daten) Kostenrechnung Investitionsrechnung Bilanzierung Finanzierung Instrumente Operations Research/DV Statistik Mathematik 20

1.4 Einführung: Stellung OR Drei Ebenen zur Problemlösung 1. Ebene der Inhalte 2. Ebene der Methoden 3. Ebene der Umsetzung Daten des Unternehmens Marketing, Rechnungswesen, Produktion, Lagerhaltung, Entscheidungsbedarfe des Unternehmens Marketing, Rechnungswesen, Produktion, Lagerhaltung, Verarbeitung von Daten Statistik, Mathematik Optimierung von Entscheidungen Operations Research Verarbeitung von Daten Datenverarbeitung Berechnung von Entscheidungen Datenverarbeitung 21

1.4 Einführung: Software Software im Operations Research Spezielle Software Software, die speziell auf OR-Probleme zugeschnitten ist Beispiele: IBM CPLEX / LP Solve/ GNU Linear ProgrammingKit Numerische Software Algebraische Software Tabellenkalulation Software zur approximativen Berechnung Beispiele: Matlab/ Octave / Scilab/ R / Python / Julia Software zur exakten, formelgestützten Berechnung Beispiele: Mathematica/ Maxima Software zur integrativen Eingabe und Verarbeitung von Daten Beispiele: Excel/ Calc/ Gnumeric 22

Inhalt 1 Einführung 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 Einführendes Beispiel 2.2 Formale Darstellung 2.3 Graphische Darstellung 2.4 Lösungsmethoden 2.5 Betriebswirtschaftliche Beispiele 3 Lineare Optimierung 4 Nichtlineare Optimierung 5 Heuristiken und Simulation 6 Netzplantechnik 23

2.1 LG: Einführendes Beispiel Gewinnschwellenanalyse Ausgangslage Ein Unternehmen verkauft ein Produkt. Der Umsatz U [GE] ergibt sich als Preis p [GE/ME] mal Menge x [ME]. Die gesamten Kosten K [GE] setzen sich aus variablen Kosten k var [GE/ME] und fixen Kosten K fix [GE] zusammen. Abbildung als Gleichungssystem Umsatz: U = p x Kosten: K = k var x + K fix Ermittlung der Gewinnschwelle Bedingung: U = K (= y) (1)0 = p x 1 y (2)-K fix = k var x 1 y x = K fix /(p k var ) y = (p K fix )/(p k var ) (= U = K) 24

2.2 LG: Formale Darstellung Drei Arten der Darstellung Volle Darstellung a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1j x j + +a 1J x J = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2j x j + +a 2J x J = b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 + +a ij x j + +a ij x J = b i a I1 x 1 + a I2 x 2 + +a Ij x j + +a IJ x J = b I Summendarstellung Matrixdarstellung Σ j a ij x j = b i i A x = b A = a 11 a 21 a I1 a 12 a 1J a 22 a 2J a I2 a IJ x = x 1 x 2 x J b = b 1 b 2 b I 25

2.3 LG: Graphische Darstellung Graphische Darstellung mit zwei Variablen Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 x 2 = b 1 / a 12 (a 11 / a 12 ) x 1 x 2 = b 2 / a 22 (a 21 / a 22 ) x 1 Graphik x 2 x 1 26

2.4 LG: Lösungsmethoden Lösungen linearer Gleichungssysteme Mögliche Lösungen Ein LG hat keine Lösung Ein LG hat genau eine Lösung Ein LG hat unendlich viele Lösungen x 2 x 1 Elementare Zeilenumformungen, die keinen Einfluss auf die Lösung haben Vertauschen zweier kompletten Zeilen Multiplizieren einer Zeile mit einer von null verschiedenen Zahl Addieren einer Zeile oder des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Lösungsverfahren Einsetzmethode Matrixinversion Gaußsches Eliminationsverfahren 27

2.4 LG: Lösungsmethoden Gaußsches Eliminationsverfahren Ausgangspunkt a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1j x j + +a 1J x J = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2j x j + +a 2J x J = b 2 a i1 x 1 + a i2 x 2 + +a ij x j + +a ij x J = b i a I1 x 1 + a I2 x 2 + +a Ij x j + +a IJ x J = b I Transformationsziel Lösung durch rückwärtiges Einsetzen 1 x 1 + a 12 x 2 + +a 1j x j + +a 1J x J = b 1 1 x 2 + +a 2j x j + +a 2J x J = b 2 1 ij x j + +a ij x J = b i 1 x J = b I 28

2.5 LG: Beispiele LG in der Betriebswirtschaft (I) Auswahl des optimalen Produktionsverfahrens Gegeben seinen 5 mögliche Produktionstechnologien Die Technologien führen zu Einrichtungs- sowie variablen Stückkosten Technologie 1 2 3 4 5 Einrichtungskosten [GE] 100 300 400 600 800 Variable Stückkosten [GE/ME] 5 3 2,67 1,5 1 Teilebedarfsrechnung (Gozinto-Graph) Gegeben seinen 5 Produkte Auftragsbestand: V: 180 ME, IV: 400 ME, II: 50 ME V 3 1 I 5 2 2 2 III 2 IV 4 II 29

2.5 LG: Beispiele LG in der Betriebswirtschaft (II) Markov-Ketten Gegeben seinen 3 Produkte Es ist bekannt, wie die Kunden zwischen den Produkten wechseln 0,4 0,3 A 0,4 0,3 0,3 C B 0,1 0,5 0,6 0,1 Gewinnschwellenanalyse(siehe Kapitel 2.1) Innerbetriebliche Leistungsverrechnung(siehe IUR 2: Kostenrechnung) 30

Inhalt 1 Einführung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Lineare Optimierung 3.1 Einführendes Beispiel 3.2 Formale Darstellung 3.3 Graphische Darstellung 3.4 Lösungsmethoden 3.5 Postoptimale Analysen 3.6 Betriebswirtschaftliche Beispiele 4 Nichtlineare Optimierung 5 Heuristiken und Simulation 6 Netzplantechnik 31

3.1 LO: Einführendes Beispiel Lineare Produktionsprogrammplanung Ausgangsdaten Planungsansatz (K-Modell) Ein Unternehmen fertigt zwei Produkte P 1 und P 2. P 1 (P 2 ) kann zu einem Preis von 10 [GE/ME] (12 [GE/ME]) verkauft werden. Die variablen Kosten von P 1 (P 2 ) liegen bei 7 [GE/ME] (8 [GE/ME]). Die Produktion erfolgt auf einer Maschine, die im Planungszeitraum 10 h eingesetzt werden kann. Eine ME von P 1 (P 2 ) muss 1 [h/me] (2 [h/me]) auf der Maschine bearbeitet werden. Für die Produktion wird ein Rohstoff benötigt, von dem die 32 FE zur Verfügung stehen. Die Produktion einer ME von P 1 (P 2 ) erfordert 5 [FE/ME] (4 [FE/ME]). Z = 3 x 1 +4 x 2 max! (Zielfunktion) 1 x 1 +2 x 2 10 (Restriktion Rohstoff) 5 x 1 +4 x 2 32 (Restriktion Maschine) x 1 ; x 2 0 (Nicht-Negativitätsbedingungen) 32

3.2 LO: Formale Darstellung Drei Arten der Darstellung Volle Darstellung Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c j x j + + c J x J max! unter a i1 x 1 + a i2 x 2 + +a ij x j + +a ij x J b i i und x j 0 j Summendarstellung Z = Σ j c j x j max! Σ j a ij x j b i i x j 0 j Matrixdarstellung Z = c T x A x b x 0 a 11 a 12 a 1J A = a 21 a I1 a 22 a 2J a I2 a IJ x = x 1 x 2 x J b = b 1 b 2 b I c = c 1 c 2 c J 33

3.2 LO: Formale Darstellung Anmerkungen zur Darstellung Symbole Indizes j Index der Variablen, j {1, 2,, J) i Index der Restriktionen, i {1, 2,, I) Variablen x j Variablen des Problems (Strukturvariablen), z.b. [ME] Parameterc j Zielbeiträge der Variablen, z.b. [GE/ME] b i Restriktionsgrenzen, z.b. [FE] oder [ZE] a ij Beanspruchungskoeffizienten, z.b. [FE/ME] oder [ZE/ME] Zentrale Aspekte der linearen Optimierung Zwischen den Variablen bestehen nur lineare Verknüpfungen. Die Zielfunktion ist zu maximieren. (min 1 max) Die Restriktionen liegen in -Form vor. ( 1 ) ( = und ) 34

3.3 LO: Graphische Lösung Graphische Lösung des Beispiels x 2 x 2 2. Rohstoff 3. Maschine Z=12 1. 4. x 1 x 1 x 2 x 2 Z=24 Z=20 x 1 x 1 35

3.3 LO: Graphische Lösung Zentrale Erkenntnisse Der Lösungsraum ist konvex x 2 x 2 Konvex: Alle Linearkombinationen von Punkten des Lösungsraums liegen im Lösungsraum x 1 x 1 Nicht Konvex: Nicht alle Linearkombinationen von Punkten des Lösungsraums liegen im Lösungsraum Optimale Lösungen In einem linearen Lösungsraum ist ein Schnitt(Eck)punkt eine optimale Lösung. Weitere optimale Lösungen sind möglich. Wenn die benachbarten Lösungspunkte schlechter sind als der aktuelle, dann ist der aktuelle Punkt das Optimum (gilt nicht bei nicht-konvex). 36

3.4 LO: Lösungsmethoden Vorbereitung des primalen Simplex Erzeugung eines Gleichungssystems Z = Σ j c j x j max! Σ j a ij x j b i i x j 0 j Σ j a ij x j + 1 y i = b i i -Σ j c j x j +1 Z = 0 x j, y i 0 j, i x j : Strukturvariablen y i : Schlupfvariablen Überführung des Gleichungssystems in Tableauform BV x 1 x 2 x J y 1 y 2 y I RS y 1 a 11 a 12 a 1J 1 0 0 b 1 y 2 a 21 a 22 a 2J 0 1 0 b 2 y I a I1 a I2 a IJ 0 0 1 b I z -c 1 -c 2 -c J 0 0 0 0 37

3.4 LO: Lösungsmethoden Schritte des primalen Simplex Ziel des primalen Simplex-Algorithmus Verbesserung der aktuellen Lösung durch Basistausch (Iteration) Voraussetzung: Zulässige Basislösung (RS 0) 1. Festlegung der Pivotspalte Festlegung einer neuen Basisvariablen j: Wähle die Variable mit dem kleinsten negativen ZF-Wert -c j aus 2. Festlegung der Pivotzeile Festlegung der die Basis verlassenden Variable i: Wähle die Variable mit dem kleinsten positiven Quotienten b i /a ij aus 3. Pivottausch 3.1.Pivotelementa ij = 1: Dividiere die Pivotzeiledurch a ij 3.2. Andere Elemente der Pivotspalte = 0: Ziehe die neue Pivotzeilea nj mal von der Zeile n ab 4. Optimalitätsprüfung Wenn alle Werte der Zielfunktionszeile größer-gleich null sind, ist die Lösung optimal, sonst ist eine neue Iteration durchzuführen 38

3.4 LO: Lösungsmethoden Berechnung (Tableaus) Tableau 1 BV x 1 x 2 y 1 y 2 RS y 1 1 2 1 0 10 y 2 5 4 0 1 32 Z -3-4 0 0 0 Tableau 2 BV x 1 x 2 y 1 y 2 RS y 1 0,5 1 0,5 0 5 y 2 3 0-2 1 12 Z -1 0 2 0 20 Tableau 3 BV x 1 x 2 y 1 y 2 RS y 1 0 1 0,8333-0,167 3 y 2 1 0-0,667 0,3333 4 Z 0 0 1,3333 0,3333 24 39

3.4 LO: Lösungsmethoden Besonderheiten bei Rechnung und Lösung 1. Normaler Lösungsraum Zulässige Ausgangslösung x 2 2. Normaler Lösungsraum Unzulässige Ausgangslösung x 2 3. Kein Lösungsraum Keine zulässige Lösung x 2 x 1 x 1 x 1 4. Unbeschränkter L-Raum Keine optimale Lösung 5. Duale Degeneration Mehrere optimale Lösungen 6. Primale Degeneration Eine Basisvariable ist null x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 40

3.5 LO: Postoptimale Analysen Frage und Vorgehen der Sensitivitätsanalyse Frage Wie stabil ist eine Lösung in Bezug auf die Änderung von Daten? In welchen Grenzen dürfen die Daten schwanken? Was passiert an den Grenzen? Isolierte Sensitivitätsanalyse Variation nur eines Parameters -Variation eines Zielfunktionswertes c j -Variation einer rechten Seite b i -Variation eines Tableaukoeffizientena ij * - Einfügen einer neuen Restriktion* - Einfügen einer neuen Spalte* Simultane Sensitivitätsanalyse Variation mehrerer Parameter* * Nicht Gegenstand der Veranstaltung 41

3.6 LO: Standardmodelle Standardmodelle der linearen Optimierung Produktionsprogrammplanung Maximiere den gesamten Deckungsbeitrag der zu fertigenden Produkte. Dabei sind beschränkte Kapazitäten (Maschinen, Rohstoffe, Absatz) zu berücksichtigen. Mischprobleme Maximiere das Verhältnis zwischen bewertetem In- und Output. Dabei sind gewisse Relationen zwischen den Inputfaktoren zu berücksichtigen. Ferner ist ggf. Schwund zu berücksichtigen. Lagerhaltung und Beschaffung Minimiere die durch Einkauf und Lagerhaltung bedingten Kosten, um einen vorgegebenen Bedarf zu decken. Dynamische Modelle mit Lagerbilanzgleichungen. 42

3.6 LO: Standardmodelle Lineare Modelle mit spezieller Struktur Transportprobleme Ein Gut soll von mehreren Anbieterorten zu mehreren Nachfrageorten gebracht werden ( von nach ). Dabei sind die Transportkosten zu minimieren. Wenn Angebote und Nachfragen ganzzahlig sind, ergibt sich automatisch eine ganzzahlige Lösung. Alternative Methoden der Optimierung: (1) Eröffnungsverfahren (z.b. Nord-West-Ecken-Regel, Vogelsche Aporximation, Spaltenminimummethode) (2) Optimierungsverfahren (z.b. Stepping stone oder Modi-Methode) Zuordnungsprobleme Wie Transportprobleme, jedoch sind die Angebots- und Nachfragemengen je Standort immer eins. Umladeprobleme Wie Transportprobleme, jedoch gibt es nun Orte, in denen das Gut umgeladen wird ( von über nach ). 43

Inhalt 1 Einführung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Lineare Optimierung 4 Nichtlineare Optimierung 4.1 Charakterisierung 4.2 Betriebswirtschaftliche Beispiele 5 Heuristiken und Simulation 6 Netzplantechnik 44

4.1 NLO: Charakterisierung Überblick nicht-lineare Optimierung Allgemeine Charakterisierung Ein nicht-lineares Problem liegt vor, wenn gilt: -die Zielfunktion ist nicht linear und / oder - die Restriktionen sind nicht linear Beispiele für nicht-lineare Ausdrücke: a x 1 2 a x 1 x 2 Graphische Darstellung (Beispiele) Lineare Optimierung x 2 Nichtlineare Optimierung (Randlösung) x 2 Z 1 Z 2 x 2 Nichtlineare Optimierung (Optimum im Lösungsraum) Z 3 x 1 x 1 x 1 45

4.1 NLO: Charakterisierung Problemlösungen Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kriterien für ein Extremum Bei einer Variable: f = 0; f 0 Bei mehreren Variablen: f(x) = 0; H(x) 0 (Gradient, Hesse-Matrix) Probleme Bestimmbarkeit (z.b. x 6 3 x 5 + 2 x 4 7 x 3 + 4 x 2 5 x + 8= 0) Lokale vs. globales Optimum Einfacher zu handhaben sind konvexe Probleme Nichtlineare Optimierung mit Nebenbedingungen Lagrange Funktionen maxz = f(x 1, x 2 x J ) unter g i (x 1, x 2 x J ) 0 i und x j 0 j maxl = f(x 1, x 2 x J ) Σ i u i g i (x 1, x 2 x J ) Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen für ein Optimum, kein Rechenweg 46

4.2 NLO: Beispiele Modelle der nichtlinearen Optimierung Preis-Mengen-Optimierung Analog zur linearen Produktionsprogrammplanung, jedoch gibt es einen Zusammenhang zwischen Preis und Menge bzw. zwischen einzelnen Produkten. Dabei sind beschränkte Kapazitäten (Maschinen, Rohstoffe, Absatz) zu berücksichtigen. Standortplanung Bestimmung eines optimalen Standorts im zweidimensionalen Raum. Einführendes Beispiel. Portfoliooptimierung Bestimmung der optimalen Zusammensetzung eines Portfolios. Berücksichtigung von Rendite und Risiko. Optimierung einer nichtlinearen Produktionsfunktion Bestimmung der optimalen Steuerung von Fertigungsanalgen. Simultane Bestimmung von zeitlichem Einsatz und Arbeitsgeschwindigkeit. Berücksichtigung ergänzender Aspekte (z.b. Emissionen). 47

Inhalt 1 Einführung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Lineare Optimierung 4 Nichtlineare Optimierung 5 Heuristiken und Simulation 5.1 Heuristische Lösungsverfahren 5.2 Simulation 6 Netzplantechnik 48

5.1 HuS: Lösungsverfahren Charakterisierung von Heuristiken Ausgangslage Komplexe Probleme (NP-vollständig) können ab einer gewissen Größenordnung nicht exakt gelöst werden Für solche Probleme kommen in der Praxis Heuristiken zum Einsatz Beispiele: Maschinenbelegung, TSP, Ganzzahligkeit Charakterisierung von heuristischen Lösungsverfahren Ausschluss potentieller Lösungen. nur so kann man NP-vollständig handhaben Nicht willkürliche Suchprozesse. Die Suche nach Lösungen folgt bestimmten Regeln. Die Regeln zielen auf einen guten Zielfunktionswert ab Fehlende Lösungsgarantie. Nicht immer wird eine zulässige Lösung bestimmt (sollte aber!). Keine Optimalitätsgarantie Subjektive Stoppregeln. Willkürliche Begrenzung des Rechenaufwandes Problemstrukturabhängige Ausgestaltung 49

5.1 HuS: Lösungsverfahren Typen von Heuristiken Allgemein anwendbare Heuristiken Dekomposition Zerlegung eines Problems in (lösbare) Teilprobleme, Zusammenführung der Lösungen der Teilprobleme Induktives VorgehenVon der Lösung eines verkleinerten Modells wird auf die Lösung des Gesamtmodells geschlossen AnalogschlüsseAusnutzen der Strukturen von Teillösungen für die Gesamtlösung InkrementalanalyseVerbesserung einer Lösung durch Variation nur einer oder weniger Variablen, der Rest wird eingefroren Stufenweise Verfeinerung der Modellstrukturz.B. Einziehen von Stützstellen bei nicht linearen Funktionen, die Anzahl der Stützstellen wird schrittweise erhöht Modellmanipulation Veränderung der Zielfunktion (z.b. Linearisierung) Relaxation von Nebenbedingungen (z.b. Ganzzahligkeit) Approximation von Verteilungen (z.b. Arbeiten mit Mittelwerten) Aggregation von Variablen oder Nebenbedingungen Beschränkung des Lösungsraums (z.b. untere, obere Schranken) Spezielle Heuristiken (problemabhängig) 50

5.1 HuS: Lösungsverfahren Beurteilung von Heuristiken Rechenaufwand Anzahl der benötigten Rechenschritte Laufzeit im Test Lösungsgüte Zulässige Lösungen Durchschnittliche Lösungen. im Vergleich zu anderen Heuristiken. Im Vergleich zur Optimallösung Extremlösungen (z.b. schlechteste Werte) Grad der Allgemeinheit Beeinflussung von Lösungsgüte und Rechenaufwand durch Variation der Modellstruktur (mathematische Struktur, Besetztheitsgrad, Verteilung von Parametern, spezielle Verläufe z.b. Nachfragekurve) Benutzerfreundlichkeit Verstehen, steuern, implementieren der Heuristiken 51

5.1 HuS: Lösungsverfahren Beispiele für Heuristiken Ganzzahlige lineare Optimierung Erzeuge eine Lösung unter Vernachlässigung der Ganzzahligkeit Runde die Entscheidungsvariablen auf oder ab Vorliegen einer zulässigen Lösung als Ausgangslösung Variiere einzelne Variablen Verbesserung der Ausgangslösung Maschinenbelegungsplanung Prioritätsregeln, z.b. FCFS, KOZ, Traveling Salesman Problem Verfahren des besten Nachfolgers Erzeugt eine Ausgangslösung Iterative Verbesserung durch Tausch Verbesserung der Ausgangslösung Lagerhaltungspolitiken Wann bestellen: Bei Erreichen eines Mindestbestandes oder in gewissen Zeitabständen Wie viel bestellen: Eine bestimmte Menge oder bis zu einer vorgegebenen Grenze 52

5.2 HuS: Simulation Charakterisierung der Simulation Begrifflichkeit Simulieren: sich verstellen, vortäuschen, Vorgänge wirklichkeitstreu nachahmen Nachahmung der Realität durch Modelle auf einem Rechner Keine analytische Aufbereitung, sondern Lösung des Problems durch experimentelles Ausprobieren einer Vielzahl von Möglichkeiten Einsatz Ein Optimierungsmodell ist nicht verfügbar Eine analy sche Lösung ist nicht möglich ( Heuris ken) Reale Experimente sind zu teuer oder zu gefährlich Ziele Vorhersage des Systemverhaltens Testen von Heuristiken 53

5.2 HuS: Simulation Ablauf einer Simulationsstudie Problemformulierung Beschreibung Untersuchungsgegenstand Abgrenzung der zu berücksichtigenden Elemente und Zusammenhänge Untersuchungsziele Entwurf des Simulationsmodells und Datenbeschaffung Entwurf des Simulationsmodells. Abbildung der Elemente und Zusammenhänge über (Un-) Gleichungen. Abbildung der Zeitorientierung. Umsetzung im Computer Datenbeschaffung. Analyse der realen Daten. Abbildung über Verteilungen u.a. Untersuchung des Problems mit dem Simulationsmodell Festlegung Versuchsplan. Variation der Inputdaten. Auswahl der Optimierungsverfahren Auswertung und Interpretation der Ergebnisse mit Hilfe statistischer Verfahren 54

5.2 HuS: Simulation Grundlegende Arten der Simulation Deterministische vs. stochastische Simulation Deterministisch. Parameter des Problems sind bekannt und gegeben. Durchrechnen alternativer Lösungen (z.b. Tourenplanung mit eine unterschiedlichen Anzahl von LKWs) Stochastisch (Monte Carlo-Simulation). Analyse von stochastischen Systemen durch Stichprobenexperimente. Erzeugen mehrerer Szenarien durch Kombination zufällig bestimmter Parameterausprägungen (z.b. stochastische Netzpläne) Statische vs. dynamische Simulation Statisch Der Zeitablauf spielt keine besondere Rolle (z.b. Tourenplanung, Netzpläne)) Dynamisch. Explizite Abbildung des Zeitablaufs. Diskrete Simulation: Betrachtung einzelner Zeitpunkte.. Periodenorientierte Zeitführung.. Ereignisorientierte Zeitführung. Kontinuierliche Simulation: Differentialgleichungen 55

5.2 HuS: Simulation Pseudo-Zufallszahlen z i+1 z i+1 Zufälligkeit nicht gegeben: Bildungsmuster erkennbar z i Zufälligkeit gegeben: Bildungsmuster nicht erkennbar z i 56

5.2 HuS: Simulation Beispiel: Lagerhaltung (I) Problemformulierung Für ein Produkt ist eine stochastisch verteilte Nachfrage [ME/ZE] bekannt. Frage: Wann soll wie viel bestellt werden? Heuristik Zielgrößen Festlegen eines Bestellzeitpunktes Festlegen einer Bestellmenge Testen im Simulationsmodell Durchschnittlicher Bestand Kosten (Lagerhaltung / Bestellung) 57

5.2 HuS: Simulation Beispiel: Lagerhaltung (II) Initialisierung Bestimme die Nachfrage im Zeitablauf Lege die Regeln für Bestellpunkt (Bestelle, wenn der Lagerbestand kleiner bp ist) und Bestellmenge (bm) fest Bestimme den Lagerbestand in t = 0 sowie die Zugangsdauer t z Simulationsablauf von t = 1 bis t = T Bestimme die Nachfrage N t Prüfe, ob eine Bestellung ausgelöst wird (LB t-1 < bp?) Prüfe, ob ein Zugang vorliegt (Bestellung in t t z ausgelöst? Wenn ja, dann x t = bm, sonst null) Schreibe den Lagerbestand fort, berücksichtige dabei Fehlmengen (Wenn LB t-1 + x t N t, dann LB t = LB t-1 + x t N t und FM t = 0; sonst LB t = 0 und FM t = LB t-1 + x t N t ) Bestimme die Kosten der Periode Auswertung Durchschnittlicher Bestand Kosten (Lagerhaltung / Bestellung / Fehlmengen) 58

Inhalt 1 Einführung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Lineare Optimierung 4 Nichtlineare Optimierung 5 Heuristiken und Simulation 6 Netzplantechnik 6.1 Charakterisierung 6.2 Strukturplanung 6.3 Zeitplanung 6.4 Kostenplanung 6.5 Kapazitätsplanung 59

6.1 NPT: Charakterisierung Allgemeines und Vorgehen der Netzplantechnik Allgemeines Teil des Projektmanagements Planung großer Projekte, z.b. -FuE - Bauvorhaben (Kernkraftwerk, Staudamm) - Großkampagnen (Olympische Spiele, Wahlkampf) Vorgehen Strukturplanung Zeitplanung Kostenplanung Kapazitätsplanung 60

6.1 NPT: Charakterisierung Methoden der Netzplantechnik Zentrale Begriffe Vorgang Zeitforderndes Geschehen mit Anfang und Ende Ereignis Eintritt eines bestimmten Projektzustandes Reihenfolgebeziehung Beziehung zwischen den Vorgängen Methoden Deterministisch Vorgangsknotennetz (z.b. Metra Potential Methode) Vorgangspfeilnetz (z.b. Critcal Path Method) Stochastisch 61

6.2 NPT: Strukturplanung Phase 1 Phase 2 Phasen der Strukturplanung Zerlegen des Projekts in Vorgänge und Ereignisse Bestimmung der Abhängigkeiten zwischen den Vorgängen Ende Anfang, Ende Ende, Anfang Anfang, Anfang Ende Bestimmung der Vorgangsdauern Bestimmung sonstiger Zeitgrößen Keine weiteren, Mindestabstand, Maximalabstand Abbildung der Struktur in einem Netzplan Struktur Vorgangsknotennetz Vorgangspfeilnetz A vor B vor C A B C A B C Vorgang Vorgänger A B A A C A D B,C B C D A B D C Scheinvorgang 62

6.2 NPT: Strukturplanung Beispiel: Installation einer neuen Maschine Vorgang Vorgänger Dauer Erläuterung A -- 10 Demontage alte Maschine B -- 3 Bestellung neue Maschine C A 7 Aushub Fundament D B 8 Entfernung alte Steuerleitungen E A 20 Lieferung neue Anlage F C, D 14 Errichtung Fundament G E, F 3 Installation Maschine H G 2 Testläufe I E 7 Nacharbeiten K H, I 1 Abnahme 63

6.2 NPT: Strukturplanung Darstellung der Knoten und Überführung Knotendarstellung Vorgangsknotennetz Vorgangspfeilnetz Vorgang Dauer FAZ SAZ FEZ SEZ # FZ SZ Vorgang / Dauer # FZ SZ FAZ: Frühester Anfangszeitpunkt SAZ: Spätester Anfangszeitpunkt FEZ: Frühester Endzeitpunt SEZ: Spätester Endzeitpunkt FZ: Frühester Zeitpunkt SZ: Spätester Zeitpunkt #: Knotennummer Überführung Vorgangsknotennetz Vorgangspfeilnetz 2 4 1 2 4 5 2 3 3 4 64

6.2 NPT: Strukturplanung Beispiel: Vorgangsknotennetz E 20 I 7 A 10 C 7 G 3 H 2 K 1 -- 0 F 14 B 3 D 8 65

6.3 NPT: Zeitplanung Zeitplanung im Vorgangsknotennetz 1. Vorwärtsrechnung FAZ i = max FEZ j j V(i) FEZ i = FAZ i + d i 2. Rückwärtsrechnung SEZ n = FEZ n SEZ i = min SAZ j j N(i) SAZ i = SEZ i d i 3. Kritischer Weg FAZ i = SAZ i bzw. FEZ i = SEZ i Neue Symbole Index: Vorgang V(i): Menge der Vorgänger N(i): Menge der Nachfolger 4. Pufferzeiten - Gesamter Puffer GP i = SAZ i FAZ i - Freier Puffer FP i = min FAZ j FEZ i j N(i) - Bedingter Puffer BP i = GP i FP i - Unabhängiger Puffer UP i = max 0 min FAZ j maxsez k d i j N(i) k V(i) 66

6.3 NPT: Zeitplanung Graphische Analyse der Pufferzeiten FAZ j SEZ i FEZ j FAZ k SEZ j d j GP j d j FP j BP j d j UP j Index: Vorgang Reihenfolge der Vorgänge: i j k 67

Beispiel: Vorgangsknotennetz 6.3 NPT: Zeitplanung 68 -- 0 0 0 0 0 A 10 0 0 10 10 B 3 0 7 3 10 C 7 10 11 17 18 D 8 3 10 11 18 E 20 10 10 30 30 F 14 17 18 31 32 G 3 31 32 34 35 H 2 34 35 36 37 I 7 30 30 37 37 K 1 37 37 38 38

6.3 NPT: Zeitplanung Zeitplanung mit Linearer Optimierung Bestimmung der frühesten Zeitpunkte (Vorgangsknotennetz) Zielfunktion Z = Σ i FAZ i min! Restriktionen FAZ 1 = 0 FAZ h + d h FAZ i i h V(i) Bestimmung der spätesten Zeitpunkte (Vorgangsknotennetz) Zielfunktion Z = Σ i SEZ i max! Restriktionen SEZ n = FEZ n SEZ h SEZ i d i i h V(i) 69

6.4 NPT: Kostenplanung Vorüberlegungen zur Kostenplanung Aufgaben der Struktur- und Zeitplanung Strukturplanung Ermittlung und Darstellung der Elemente eines Projekts Zeitplanung Berechnung von Zeitpunkten Berechnung von Pufferzeiten Keine Op mierung! Aufgabe der Kostenplanung Minimierung der Kosten eines Projekts Vorgangsdauerabhängige Kosten Bei einer Beschleunigung der Vorgänge steigen die Kosten Projektdauerabhängige Kosten Je länger das Projekt dauert, umso höher sind diese Kosten (z.b. Konventionalstrafen) 70

6.4 NPT: Kostenplanung Einfache Kostenplanung Kostenermittlung Aufgabe Ermittlung der zeitlichen Verteilung der Kosten eines Projekts Vorgehen Ausgehend von der Struktur-und Zeitplanung werden die Kosten ermittelt und festgehalten Problematik Nur Berechnung, keine Optimierung Beschleunigung entlang des kritischen Wegs Aufgabe Vermeidung einer Konventionalstrafe Vorgehen Verkürzung der Projektdauer durch Beschleunigung der Vorgänge auf dem kritischen Weg Problematik Es entstehen mehrere kritische Wege, dann wird dieses Vorgehen schnell unübersichtlich 71

6.4 NPT: Kostenplanung Modellgestützte Kostenplanung Prämissen des Modells Eine vorgegebene Projektdauer T [ZE] ist einzuhalten. Die Bearbeitungszeiten der Vorgänge i können im Intervall d i min d i d i max [ZE] variiert werden. Bei einer Bearbeitungsdauer von d i max entstehen Kosten von k i [GE]. Bei einer Beschleunigung um eine Zeiteinheit entstehen zusätzliche Kosten von b i [GE/ZE]. Modell Zielfunktion Z = Σ i (k i dmax i + b i (dmax i d i )) min! Restriktionen FAZ 1 = 0 FAZ h + d h FAZ i i h V(i) FAZ n + d n T dmin i d i d i dmax i i i Z = Σ i (k i dmax i + b i (dmax i d i )) min! = Σ i ((k i + b i ) dmax i b i d i )) min! = Σ i (b i d i ) max! 72

6.4 NPT: Kostenplanung Modellerweiterung Prämissen des Modells (Ergänzung I) Nun ist die Projektdauer T [ZE] eine Variable. g [GE/ZE] stellt den Kostensatz dar, denn der Unternehmen verliert, je länger das Projekt dauert (Opportunitätskostensatz). Modell Zielfunktion (neu) Z = Σ i (k i dmax i + b i (dmax i d i )) + g T min! Restriktionen (identisch) Prämissen des Modells (Ergänzung II) g [GE/ZE] stellt den Kostensatz dar, denn der Unternehmen verliert, wenn das Projekt eine Dauer von T vorgabe [ZE] überschreitet. Modell Zielfunktion (neu) Z = Σ i (k i d i max + b i (d i max d i )) + g T über min! Restriktionen (identisch zuzüglich) T über T T vorgabe T über 0 73

6.5 NPT: Kapazitätsplanung Kapazitätsplanung am Beispiel Beispielhafte Daten Vorgang A B C D E Ende Dauer 5 10 2 8 5 0 Vorgänger -- -- A A B D, E, C Benötigte Mitarbeiter3 4 3 5 2 0 Aufgaben I. Erstellen Sie ein Belastungsprofil der Mitarbeiter, wenn alle Vorgänge so früh wie möglich anfangen. II. Gleichen Sie das Profil soweit wie möglich aus, indem Sie die Pufferzeiten verplanen. 74