ahrscheinlichkeitsrechnung (mit em Zufall rechnen) Zufallsgerät ürfel: Jeer Schüler wirft mit einem ürfel 2-mal, er Tischnachbar führt eine Strichliste für ie gewürfelten Ergebnisse in er folgenen Tabelle: 2 6 Bezeichnungen Summe Die Ergebnisse von allen Schülerversuchen weren in einer gemeinsamen Tabelle gesammelt: 2 6 Bezeichnungen Summe ahrscheinlichkeitsrechnung (mit em Zufall rechnen) Zufallsgerät ürfel: Jeer Schüler wirft mit einem ürfel 2-mal, er Tischnachbar führt eine Strichliste für ie gewürfelten Ergebnisse in er folgenen Tabelle: 2 6 Bezeichnungen Summe Die Ergebnisse von allen Schülerversuchen weren in einer gemeinsamen Tabelle gesammelt: 2 6 Bezeichnungen Summe Seite von
ahrscheinlichkeitsrechnung Jeer Schüler wirft mit einem ürfel 2 Mal, er Tischnachbar führt eine Strichliste für ie gewürfelten Ergebnisse in er folgenen Tabelle: 2 6 Bezeichnungen Summe Strichliste 2 Absolute Häufigkeit 2 2 2 2 2 2 2 6 20 6 20 6 2 Relative Häufigkeit (als Bruch) Relative Häufigkeit (in Prozent) 00 Die Ergebnisse von allen Schülerversuchen (6 x 2 = 00) weren in einer gemeinsamen Tabelle gesammelt: 2 6 Bezeichnungen Summe 9 2 7 Absolute Häufigkeit 00 9 2 7 Relative Häufigkeit 00 00 00 00 00 00 (als Bruch) 6 7 6,7 7, 7,7,7 Relative Häufigkeit (in Prozent) 00 Die Schüler sollen erkennen: Bei einem urf mit einem ürfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse, 2,,,, 6. Diese 6 Ergebnisse bilen E=,2,,,,6 ie Ergebnismenge { } Bei einer großen Anzahl von Versuchen sieht man, ass alle Zahlen es ürfels in etwa gleich oft vorkommen. Man sagt: Alle Ergebnisse besitzen ie gleiche ahrscheinlichkeit, nämlich /6. Das beeutet: in /6 oer 6,7 aller ürfe kann man zum Beispiel ie Augenzahl 6 erwarten. Ein Ergebnis oer mehrere Ergebnisse weren zu einem Ereignis zusammengefasst. Beispiel: Aus welchen Ergebnissen besteht as Ereignis eine Zahl größer als 2 zu würfeln? Die azugehörigen Ergebnisse lauten {,,,6} Aufgabe: otiere ie jeweiligen Ergebnisse für folgene Ereignisse: () Die geworfene Augenzahl ist gerae. { 2,,6} Ergebnisse (2) Die geworfene Augenzahl ist ohne Rest urch teilbar. {,6} 2 Ergebnisse () Die geworfene Augenzahl ist eine 6. { 6 } Ergebnisse () Die geworfene Augenzahl ist keine 6. {, 2,,,} Ergebnisse () Die geworfene Augenzahl ist kleiner als. {, 2,,} Ergebnisse (6) Die geworfene Augenzahl ist kleiner als 7 {, 2,,,, 6 } 6 Ergebnisse (7) Die geworfene Augenzahl ist größer als 6. { } 0 Ergebnisse Seite 2 von
Die ahrscheinlichkeit für ein Ereignis MERE: Alle Ergebnisse, ie zu einem Ereignis gehören, heißen günstige Ergebnisse. Sin alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, so gilt: Anzahl er günstigen Ergebnisse (g) g ahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(E) = P(E) = Anzahl er möglichen Ergebnisse (m) m un lassen sich leicht ie ahrscheinlichkeiten für ie zuvor gestellten Aufgaben finen: zu (): günstigen Ergebnisse: { 2,,6} möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E= {,2,,,,6} Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit: g = = = 0 m 6 2 E=,2,,,,6 zu (2): günstigen Ergebnisse: {,6} möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: { } 2 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit: 2 = =, 6 E=,2,,,,6 zu (): günstigen Ergebnisse: { 6 } möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: { } Ergebnis günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit: 6,6 6 = zu (): günstigen Ergebnisse: {, 2,,,} möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E= {,2,,,,6} Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit:, 6 = zu (): günstigen Ergebnisse: {, 2,,} möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E= {,2,,,,6} Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit: 2 = = 66,6 6 E=,2,,,,6 zu (6): günstigen Ergebnisse: {, 2,,,, 6 } möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: { } 6 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit: (sicheres Ereignis) 6 00 6 = = zu (7): günstigen Ergebnisse: { } möglichen Ergebnisse: Ergebnismenge: E= {,2,,,,6} 0 Ergebnisse günstig, 6 Ergebnisse möglich: ahrscheinlichkeit: (unmögliches Ereignis) 0 0 0 6 = = Buch, S. 6- Seite von
Mehrstufige Zufallsversuche Aufgabe: In einem Gefäß befinen sich rote, blaue un grüne ugel. Es wir eine ugel gezogen, ie Farbe notiert un ann wieer zurückgelegt. Dann wir wieer eine ugel gezogen un eren Farbe notiert. Bestimme ie ahrscheinlichkeit, ass man erst eine blaue un ann eine grüne ugel zieht. Um eine bessere Übersicht über iesen 2-stufigen Zufallsversuch zu erhalten, zeichnet man ein sogenanntes Baumiagramm: S 9 P( Rot, Rot) =,062 = 6 = 2 P( Rot, Blau ) = = = =,7 6 6 P( Rot, Grün ) = = =,67 6 2 P( Blau, Rot) = = = =,7 6 6 6 P( Blau, Blau) = = = = 2 6 P( Blau, Grün ) = = = = 6,2 6 6 P( Grün, Rot) = = =,67 6 P( Grün, Blau ) = = = = 6,2 6 6 P( Grün, Grün ) = = =,62 6 Die Ergebnismenge für as zweimalige Ziehen einer ugel wäre also: E= { rr ; rb ; rg ; br ; bb ; bg ; gr ; gb ; gg} Achtung: Da es unterschielich viele ugeln sin, ist nicht jees ieser 9 Ergebnisse gleich wahrscheinlich! Um ie ahrscheinlichkeit es Ereignisses. ugel blau, 2. ugel grün zu bekommen, muss man ie Einzelwahrscheinlichkeiten es Pfaes multiplizieren, also: P(bg) = = 6 = 6 = 6,2 MERE: Multiplikationsregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist ie ahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gleich em Proukt er ahrscheinlichkeiten entlang es zugehörigen Pfaes Seite von
eitere Beispielaufgaben zu iesem 2-stufigen Zufallsexperiment un zur Multiplikationsregel: Bestimme ie ahrscheinlichkeit:.) e.) Erst eine grüne ugel un ann noch einmal eine grüne ugel zu ziehen. P( Grün, Grün ) = = =,62 6 Erst eine blaue ugel un ann eine rote ugel zu ziehen. 2 P( Blau, Rot) = = = =,7 6 6 Erst eine rote ugel un ann eine blaue ugel zu ziehen. 2 P( Rot, Blau ) = = = =,7 6 6 Zwei blaue ugeln zu ziehen. 6 P( Blau, Blau) = = = = 2 6 Zwei rote ugeln zu ziehen. 9 P( Rot, Rot) =,062 = 6 = Buch, S. 20 Aitionsregel: Aufgabe: Ein Gefäß enthält rote un schwarze ugeln. Es weren nacheinaner 2 ugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechne ie ahrscheinlichkeit afür, ass beie gezogenen ugeln ie gleiche Farbe besitzen. Zeichne azu auch ein Baumiagramm. 2 P(Schwarz, Schwarz) = = = 9,062 6 Das Ereignis beie gezogene ugeln besitzen ie gleiche Farbe hat folgene Ergebnismenge: E= { rr ; ss} Multipliziert man jetzt entlang er Pfae ie ahrscheinlichkeiten für ie einzelnen Ergebnisse, so erhält man: 9 P( Rot, Rot) =,062 = 6 = 2 P(Schwarz, Schwarz) = = = 9,062 6 P(Schwarz, Rot) = = = 2,7 6 P( Rot, Schwarz) = = = 2,7 6 9 P( Rot, Rot) =,062 = 6 = Seite von
Um ie Gesamtwahrscheinlichkeit für beie Ergebnisse zu erhalten, muss man ie Einzelwahrscheinlichkeiten er Ergebnisse aieren, also: 9 2 P( rr, ss) = + = + = =,2 6 6 6 MERE: Aitionsregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist ie ahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich er Summe er ahrscheinlichkeiten entlang es zugehörigen Pfaes eitere Beispielaufgaben zu iesem 2-stufigen Zufallsexperiment un zur Aitionsregel: Bestimme ie ahrscheinlichkeit: Beie ugeln besitzen eine unterschieliche Farbe. 0 P( rs, s r) = + 6,7 = + = 6 6 6 = Minestens eine ugel ist rot. 9 9 P( rs, s r, rr) = + + = + + = = 60,97 6 6 6 6 Minestens eine ugel ist schwarz. 2 P( rs, s r, ss) =,9 + 7 + = + + = 6 6 6 6 = Buch, S. 2, S. 2, S. 2 Seite 6 von
Ziehen einer ugel mit bzw. ohne Zurücklegen Aufgabe:.) In einem Gefäß befinen sich schwarze un 2 weiße ugeln. Tim zieht nacheinaner 2 ugeln. Bevor er ie zweite ugel zieht, legt er ie zuerst gezogene ugel wieer in as Gefäß zurück. Zeichne ein Baumiagramm. Trage ie ahrscheinlichkeiten an ie Äste es Baumiagramms an. Bestimme ie Ergebnismenge. Berechne jetzt ie ahrscheinlichkeit für folgene Ereignisse:.) e.) Beie ugeln sin schwarz. Beie ugeln sin weiß. Die erste ugel ist schwarz, ie zweite ugel weiß. Minestens eine ugel ist schwarz. eine ugel ist weiß. 2.) Auch Ina zieht nacheinaner 2 ugeln. Sie legt aber ie zuerst gezogene ugel nicht wieer in as Gefäß zurück. Zeichne ein Baumiagramm. Trage ie ahrscheinlichkeiten an ie Äste es Baumiagramms an. ie viele Ergebnisse sin möglich? Bestimme jetzt ie ahrscheinlichkeit für folgene Ereignisse:.) e.) Beie ugeln sin schwarz. Beie ugeln sin weiß. Die erste ugel ist schwarz, ie zweite ugel weiß. Minestens eine ugel ist schwarz. eine ugel ist weiß. Seite 7 von
Ziehen einer ugel mit bzw. ohne Zurücklegen Aufgabe:.) In einem Gefäß befinen sich schwarze un 2 weiße ugeln. Tim zieht nacheinaner 2 ugeln. Bevor er ie zweite ugel zieht, legt er ie zuerst gezogene ugel wieer in as Gefäß zurück. Zeichne ein Baumiagramm. Trage ie ahrscheinlichkeiten an ie Äste es Baumiagramms an. Bestimme ie Ergebnismenge. Berechne jetzt ie ahrscheinlichkeit für folgene Ereignisse:.) e.) Beie ugeln sin schwarz. Beie ugeln sin weiß. Die erste ugel ist schwarz, ie zweite ugel weiß. Minestens eine ugel ist schwarz. eine ugel ist weiß. Die Ergebnismenge lautet: E= { ss ; sw ; ws ; ww} 9 zu P(E) = = = 6 2 2 2 2 zu P(E) = = = 6 2 2 6 zu P(E) = = = 2 2 2 2 9 6 6 2 zu.) P(E) = + + = + + = = (Aitonsregel) 2 2 2 2 9 zu e.) P( E) = = = 6 2 2 2 Ziehen mit Zurücklegen 2.) Auch Ina zieht nacheinaner 2 ugeln. Sie legt aber ie zuerst gezogene ugel nicht wieer in as Gefäß zurück. Zeichne ein Baumiagramm. Trage ie ahrscheinlichkeiten an ie Äste es Baumiagramms an. ie viele Ergebnisse sin möglich? Bestimme jetzt ie ahrscheinlichkeit für folgene Ereignisse:.) e.) Beie ugeln sin schwarz. Beie ugeln sin weiß. Die erste ugel ist schwarz, ie zweite ugel weiß. Minestens eine ugel ist schwarz. eine ugel ist weiß. Die Ergebnismenge lautet: E= { ss ; sw ; ws ; ww} 2 2 2 Seite von
2 6 zu P(E) = = = 0 20 2 2 zu P(E) = = = 0 20 2 6 2zu P(E) = = = 0 20 2 2 2 6 6 6 zu.) P(E) = + + = + + = = 90 20 20 20 20 2 6 zu e.) P( E) = = = 0 20 Ziehen ohne Zurücklegen (Aitionsregel) Seite 9 von
Zahlenbingo Arbeitsauftrag: Beim Zahlenbingo wir mit zwei unterschielichen ürfeln gewürfelt un ann ie Augensumme gebilet. Taucht as Ergebnis in einem Bingo-Fel auf, arf man es urchstreichen. Das Fel, bei em zuerst alle Zahlen gestrichen wuren, hat gewonnen. Fülle nun as. Bingofel mit vier verschieenen Zahlen aus. Spiele ann mit en Schülern einer Gruppe Zahlenbingo (Einer aus er Gruppe würfelt, ie aneren streichen urch, anach echsel). Spiele ann as 2. Fel un anschließen as. Fel. () (2) () elches Bingofel ist am erfolgreichsten? elche Zahlen habt ihr eingetragen un warum? Ist ein Bingofel besser als ein aneres? elches Bingofel ist as Beste un warum? Die beste Strategie ählt neue Zahlen für as Bingofel un spielt noch einmal Zahlenbingo. Diskutiert: elche Zahlen wähle ich für as optimale Bingofel, um eine möglichst hohe Gewinnwahrscheinlichkeit zu haben? Gibt es ein Bingofel, as garantiert gewinnt? Jetzt zurück zu er ahrscheinlichkeitsrechnung. Versuche ie folgene Tabelle auszufüllen: mögliche Augensumme Anzahl Möglichkeiten ahrscheinlichkeit als Bruch ahrscheinlichkeit in Prozent Zeichne nun für ie Prozentangaben ein passenes Säuleniagramm (Blockiagramm). Seite 0 von
Zahlenbingo (Lösungen) Jetzt zurück zu er ahrscheinlichkeitsrechnung. Versuche ie folgene Tabelle auszufüllen: mögliche Augensumme Anzahl Möglichkeiten ahrscheinlichkeit als Bruch ahrscheinlichkeit in Prozent 2 6 7 9 0 2 2 6 2 6 2,,6 2, 9, 6,9 6 6,7 6,9 9, 2,,6 6 2, Zeichne nun für ie Prozentangaben ein passenes Säuleniagramm (Blockiagramm). (2) () () () (6) (7) () (9) (0) () (2) Seite von
ahrscheinlichkeit mit Prozentsätzen.) Eine Spielgelmünze zeigt Zahl (Z) mit er ahrscheinlichkeit von 70. Die Münze wir zweimal geworfen. ie groß ist ie ahrscheinlichkeit es Ereignisses, ass: zweimal Zahl geworfen wir? zweimal appen geworfen wir? unterschieliche Seiten oben liegen?.) ie gleiche Seite oben liegt? Zeichne ein Baumiagramm! P(E) = 0,7 0,7 = 0,9 = 9 0,7 Z 0,7 0, Z P(E) = 0, 0, = 0,09 = 9 S P(E) = 0,7 0, + 0, 0,7 = 0,2 = 2.) P(E) = 0,7 0,7+ 0, 0, = 0, = 0, 0,7 Z 0, 2.) Die ahrscheinlichkeit für ie Geburt eines schwarzen Lammes bei einer bestimmten Schafhere beträgt 2. In einer Here sin Lämmer geboren woren. Zeichne ein Baumiagramm un bestimmte ie ahrscheinlichkeit für folgene Ereignisse:.) e.) f.) Das. Lamm ist schwarz, as 2. weiß, as. schwarz un as. weiß Lämmer sin weiß un Lamm ist schwarz. 2 Lämmer sin weiß un 2 Lämmer schwarz. Lämmer schwarz un Lamm weiß. Lämmer sin weiß. ein Lamm ist weiß wwww 0,7 wwws wwsw 0,7 0,2 wwss wsww 0,7 0,2 0,7 wsws wssw S 0,2 0,7 wsss swww swws 0,2 0,7 0,2 swsw swss ssww 0,2 0,7 ssws sssw 0,2 ssss Seite 2 von
P(wsws) = 0,7 0,2 0,7 0,2 0,02,2 P(wwws; wwsw ; wsww ; swww) = 0,7 07 0,7 0,2 = 0,0 = 0,22 = 2,2 P(wwss ; wsws ; wssw ; swsw ; ssww ; swws) = 0,7 0,7 0,2 0,2 6= 0,02 6= 0,22 = 2,2.) P(sssw ; ssws ; swss ; wsss) = 0,2 0,2 0,2 0,7 = 0,07 = 0,06 =,6 e.) P(wwww) = 0,7 0,7 0,7 0,7 = 0,6 =,6 f.) P(ssss) = 0,2 0,2 0,2 0,2 = 0,009 = 0, 9 Seite von
ahrscheinlichkeitsrechnung.) Annahme: Die ahrscheinlichkeit für ie Geburt eines Jungen ist etwa genauso groß wie für ie Geburt eines Mächens. Ein Ehepaar wünscht sich iner. Zeichne ein Baumiagramm un bestimme ie ahrscheinlichkeiten er folgenen Ereignisse:.) Alle iner sin Mächen. Alle iner haben as gleiche Geschlecht. Das erste in ist ein Mächen, as zweite in ein Junge. Das Ehepaar bekommt minestens ein Mächen. 2.) Eine Münze wir reimal nacheinaner geworfen. Zeichne ein Baumiagramm un bestimme für jees er angegebenen Ereignisse ie ahrscheinlichkeit seines Auftretens:.) e.) f.) g.) h.) i.) j.) zuerst appen, ann zweimal Zahl. nicht reimal appen. er letzte urf ist Zahl. minestens einmal appen. mehr appen als Zahl. gleich oft appen un Zahl. rei gleiche Ergebnisse. höchstens zweimal Zahl. erster urf ist appen. höchstens reimal appen..) Julian zieht aus einem gut gemischten Skatblatt zwei arten. achem er ie erste arte gezogen hat, steckt er sie wieer zurück. ie groß ist ie ahrscheinlichkeit afür, ass er folgene arten zieht:.) e.) zwei Herzkarten zwei schwarze arten zwei Asse zwei Bilkarten en reuz-buben un en Pik-Buben.) In einer Fabrik weren elektronische Geräte hergestellt. Auswertungen über einen längeren Zeitraum haben ergeben, ass er Teile einen Fehler am Bauteil A un 2 einen Fehler an Bauteil B aufweisen. Zeichne ein Baumiagramm un bestimme ie ahrscheinlichkeit afür, ass: beie Bauteile efekt sin. minestens ein Bauteil efekt ist. as Gerät ohne efekt ist..) In einer Lostrommel sin 0 Lose, arunter Gewinnlose, er Rest sin ieten. Zuerst zieht Dirk ein Los, ann zieht Leonie ein Los. Zeichne ein Baumiagramm un bestimme ie ahrscheinlichkeit für folgene Ereignisse: Dirk zieht ein Gewinnlos (eine iete). Beantworte ie gleiche Frage für Leonie. 6.) Bei er Herstellung von Stühlen können unabhängig voneinaner rei verschieene Fehlertypen auftreten. Man weiß, ass aller Stühle Fehler am Gestell aufweisen, 6 am Polster un 2 in er Lackierung. Ist ein Stuhl fehlerfrei, wir er regulär zum Preis von 20 ausgeliefert, hat er genau einen Fehler, wir er als 2. ahl verkauft (0 ), weist er mehr als einen auf, wir er für 20 abgegeben. Berechne mit Hilfe eines Baumiagramms ie ahrscheinlichkeit, ass: () er Stuhl regulär verkauft wir, (2) er als 2. ahl verkauft wir, () ein Stuhl mit mehreren Fehlern billiger abgegeben wir. Die Firma stellt in einer Serie 00 Stühle her. Mit welchen Einnahmen kann ie Firma rechnen? Seite von
ahrscheinlichkeitsrechnung (Lösungen) zu.) J S J J M J M J M J = 2 2 2 2 2= = 2 2 2 = 2 2 7.) = M M J M M zu 2.) S 7 7 =.) 2 e.) f.) 0 g.) 2 = h.) i.) 2 j.) zu.) 7 7 6 = = = 2 2 2 62 2 2.) 2 = e.) = 2 2 2 992 Seite von
zu.) 0,9 0,0 0,02 = 0,0006 = 0,06 0,97 0,02+ 0,0 0,9+ 0,0 0,02 = 0,09 =, 9 0,97 0,02 0,97 0, 9= 0,906 = 9,06 S 0,0 0,9 0,02 zu.) 2/9 G 7 G= = 0 0 /0 G 7/9 2 7 zuerst Gewinn : G= = 9 9 6 2 zuerst iete : G= = = = 9 9 S 7/0 /9 G 6/9 Seite 6 von
zu 6.) G P L 0,9 () P(E) = 0,96 0,9 0,9 = 0, =, 0,9 0,02 0,9 (2) P(E) = 0,96 0,9 0,02+ 0,96 0,06 0,9+ 0,0 0,9 0,9 = 0, =, S 0,96 0,06 0,02 0,9 () P(E) = 0,96 0,06 0,02+ 0,0 0,9 0,02+ 0,0 0,06 0,9 + 0,0 0,06 0,02 = 0, 00= 0, 0,0 0,9 0,06 0,02 0,9 E= 00 0, 20+ 00 0, 0 + 00 0,00 20 E= 9.209 0,02 Seite 7 von
b r b s g w b r r s g w b r s s g w Seite von