Itegrlrehug kurzgefsst. Flähe uter eiem Grphe Die Eistiegsfrge lutet: Wie k m de Fläheihlt A eies Flähestüks erehe, ds egrezt wird - vom Grphe G f eier (stetige) Fuktio - vo der -Ahse - vo zwei Prllele zur y-ahse = ud = Lösug: Die Streifemethode M zerlegt ds Itervll [; ] i gleihe Teile der Läge =. Üer jedem Teil errihtet m ei Rehtek (Streife) usgehed vo der -Ahse is zum Grphe G f. Summiert m lle Rehteksflähe uf, so ergit sih ei Näherugswert für de Fläheihlt A. Je hdem, o m ls Höhe des Streifes die like oder rehte Begrezug wählt, ist dieser Näherugswert etws kleier ( Utersumme s ) oder etws größer ( Oersumme S ) ls der ttsählihe Fläheihlt. Utersumme Oersumme Es gilt: s = f() + f(+) +... + f(+(-)) 0 = f ( + k ) = f ( + k ) S = f(+) + f(+2) +... + f(+) Weiter gilt: s A S Uter- ud Oersumme werde umso geuer mit A üereistimme, je größer gewählt wird. Deshl gilt für gege : lim s = A = lim S Hiweise: Ei wihtiger Shritt ei der Berehug der Uter- ud Oersumme ist ds Umwdel der Summe i ei Produkt, dmit später die Grezwerterehug durhführr ist. Dzu git es für eifhe Summeusdrüke fertige Formel (siehe Formelsmmlug Seite 5, 4). Für eifhe Fuktioe wie f() =, f() = 2 usw. lsse sih diese Berehug durhführe. Itegrlrehug kurzgefsst zus.gestellt vo R. Mrti, Ehreürg-Gymsium Forhheim / 5
2. Ds estimmte Itegrl Die Üerleguge i Kpitel führe zur Defiitio des estimmte Itegrls. Defiitio: Ds estimmte Itegrl vo h üer f() ist der Grezwert der Summe ller Rehteksflähe uter dem Grphe vo f. f ()d = lim f ( ) mit =. k Bezeihuge: - Itegrdefuktio (= Itegrd) f - Itegrtiosvrile - d ls Shreiweise für für 0 - utere Greze, oere Greze Hiweis: Ds estimmte Itegrl ht ls Ergeis eie reelle Zhl. Zur geometrishe Deutug: Im Allgemeie verläuft ei Grph iht ur oerhl der -Ahse. Der Wert des estimmte Itegrls f ()d stimmt iht uedigt mit dem etsprehede Fläheihlt vo h üerei. Folgede Aussge sid möglih: f ()d > 0, so üerwiegt der Ateil der Flähe, der oerhl der -Ahse liegt. f ()d = 0, so sid die Ateile der Flähe, die oerhl ud uterhl der -Ahse liege, gleih groß. f ()d < 0, so üerwiegt der Ateil der Flähe, der uterhl der -Ahse liegt. I der eestehede Aildug ist die Nullstelle der Fuktio f. M erket: - Die Flähe vo h verläuft uterhl der -Ahse f ()d < 0 - Die Flähe vo h verläuft oerhl der -Ahse f ()d > 0 - Der Ateil der Flähe oerhl der -Ahse ist größer ls der Ateil der Flähe uterhl der -Ahse f ()d > 0 Itegrlrehug kurzgefsst zus.gestellt vo R. Mrti, Ehreürg-Gymsium Forhheim 2 / 5
Eigeshfte des estimmte Itegrls (ud dmit Regle für ds Rehe mit estimmte Itegrle): - Zerlege i Teilitervlle, d. h. es gilt: f ()d = f ()d + f ()d (Vergleihe oige Aildug) - Kostte vor ds Itegrl ziehe, d. h. es gilt: k f ()d = k f ()d - Lierität, d. h. es gilt: ( f () ± g() ) d = f ()d ± Defiitio der itegrierre Fuktio g()d Eie stetige Fuktio heißt itegrierr üer [; ], we ds estimmte Itegrl f ()d eistiert. Folgerug: Es gilt: f differezierr f stetig f itegrierr. Berehug vo Fläheihlte Bei der Berehug vo Fläheihlte gilt grudsätzlih: - Flähestüke, die oerhl der -Ahse verlufe werde positiv gezählt - Flähestüke, die uterhl der -Ahse verlufe werde egtiv gezählt - Ht ei Flähestük sowohl Ateil oerhl der -Ahse ls uh uterhl der -Ahse, so ist die Flähe etsprehed zu zerlege. Dzu sid die Nullstelle der Fuktio zu ermittel. Der Fläheihlt A der isgesmt shrffierte Flähe im eestehede Beispiel ergit sih ls Summe der Fläheihlte A vo h ud A vo h. Die Berehug der Nullstelle (Astz f() = 0) ergit die Nullstelle =. D gilt: A = A + A = f ()d + f () d. Berehug der Flähe zwishe zwei Grphe Der Fläheihlt A eier Flähe, die durh zwei Grphe G f ud G g egrezt wird, ergit sih ls Differez der Flähe uter dem Grphe vo f ud g jeweils vo h, woei ud die Shittstelle der eide Grphe sid. Dmit diese Differez immer positiv ist, ist der Betrg der Differez zu ehme. A = f () g() d = ( f () g() ) ( g() f ()) flls f () > g() ( f () g() ) d = d, flls f () < g() Itegrlrehug kurzgefsst zus.gestellt vo R. Mrti, Ehreürg-Gymsium Forhheim / 5 d,
4. Die Itegrlfuktio Lässt m ei eiem estimmte Itegrl die utere Greze fest ud verädert die oere Greze, so hägt der Wert des estimmte Itegrls vo ud k ls Fuktio vo etrhtet werde. Nh Umee ( t, ) erhält m eie Fuktio vo. Defiitio der Itegrlfuktio Die Fuktio F mit F : F() = f (t)dt heißt Itegrlfuktio vo f. Hiweise: - Eie Itegrlfuktio wird i. d. R. itegrlfrei gemht, d. h. m erehet (prktish) ds estimmte Itegrl vo h. Später verwedet m esser die Itegrtiosregel. - Zu eier Itegrdefuktio f git es mehrere Itegrlfuktio F, je h Whl der utere Greze. - Jede Itegrlfuktio ht midestes eie Nullstelle, ämlih der utere Greze (F(0) = 0). 2 2 0 : t dt 0 2 Zu f() = 2 sid F : t dt =, F = ud F : t dt = + möglihe Itegrlfuktio. Diese wurde uh itegrlfrei gegee. 5. Die Stmmfuktio Betrhtet m lle Itegrlfuktio F zur gleihe Itegrdefuktio f, so erket m: Alle Itegrlfuktio F zur gleihe Itegrdefuktio f he de gleihe Stmm (im ) ud utersheide sih ur durh eie dditive Kostte. Ihre Grphe he somit die gleihe Form ud sid i y- Rihtug vershoe. Bildet m die Aleitug eier Itegrlfuktio F zu f, so erhält m f. Dies führt zur Defitio der Stmmfuktio Eie Fuktio F heißt Stmmfuktio zu f, we ihre Aleitug f ist, lso we gilt: F () = f(). Möglihe Stmmfuktio zu f() = 2 sid: F () = +, F () 2 = + 2, F () 4 = 4 usw., lso llgemei: F() 2 = +, de ( ) + =. Hiweise: - Zwishe Itegrl- ud Stmmfutkio esteht folgeder Zusmmehg: Jede Itegrlfuktio ist eie Stmmfuktio, er iht umgekehrt. - Alle Stmmfuktio F zu f utersheide sih durh eie dditive Kostte. D. h. ket m eie Stmmfuktio, so ket m lle. Itegrlrehug kurzgefsst zus.gestellt vo R. Mrti, Ehreürg-Gymsium Forhheim 4 / 5
Die Fuktio F() = 2 + ist eie Stmmfuktio zu f() = 2, d ( 2 + ) = 2. Sie ist er keie Itegrlfuktio zu f() = 2, d gilt 2 + > 0 für lle ud dmit die Eigeshft, dss jede Itegrlfuktio midestes eie Nullstelle esitzt, iht erfüllt.. Ds uestimmte Itegrl Defiitio des uestimmte Itegrls: Die Mege ller Stmmfuktioe zu eier Fuktio f heißt uestimmtes Itegrl vo f, ls Zeihe f () d. f () d = F() + mit F() = f(). Hiweis: Ds uestimmte Itegrl stellt eie Mege vo Fuktioe dr, iht etw eie Zhlewert wie eim estimmte Itegrl! 7. Itegrtiosformel Es gelte folgede Itegrtiosformel: + d = + + si d = os + os d = si + Beweis durh Aleite der Stmmfuktio. 8. Der Huptstz der Differetil- ud Itegrlrehug (HDI) Die folgede Aussge wird ls Huptstz der Differetil- ud Itegrlrehug (HDI) ezeihet: Jede Itegrlfuktio eier stetige Fuktio f ist differezierr. Ihre Aleitug ist f. ( ) F() = f (t)dt = f () Hiweis: Die Itegrlrehug ist dmit die Umkehrug der Differetilrehug. 9. Berehug estimmter Itegrle mit Hilfe vo Stmmfuktioe Aufgrud des HDI lässt sih die Berehug eies estimmte Itegrls mit Hilfe vo Stmmfuktioe durhführe. Es gilt: f ()d = [ F() ] = F() F() Hiweis: M ermittelt zuähst eie Stmmfuktio F zu f. Der Wert des estimmte Itegrls ist der Wert der Stmmfuktio der oere Greze mius dem Wert der Stmmfuktio der utere Greze. 2 ( ) [ 2 ] ( 2 2 ) ( ) 2 2 + d = + = + + = 2 = 2 Behte: D der Itegrlwert egtiv ist, stellt dieser Wert iht de Fläheihlt uter der Kurve dr. M k ur feststelle, dss vo der gesmte Flähe uter dem Grphe mehr Ateile uterhl der -Ahse liege ls oerhl. Itegrlrehug kurzgefsst zus.gestellt vo R. Mrti, Ehreürg-Gymsium Forhheim 5 / 5