Streichholzgeschichten von Dieter Ortner. 1. Streichholzgeschichte Nr. 1 Aus vier n kann man ein Quadrat bilden. Mit diesem Verfahren sollst du nun selber herausfinden, wie viele es braucht, wenn das grosse Quadrat eine Seitenlänge von 10 hat. Das erste Quadrat hat eine Seitenlänge von einem Streichholz. n 1 Das zweite Quadrat hat eine Seitenlänge von zwei n. Es enthält vier kleine Quadrate. Es braucht 1 insgesamt. n Das dritte Quadrat hat eine Seitenlänge von drei n. Es enthält neun kleine Quadrate. Es braucht 4 insgesamt. n 10 Hast du richtig gerechnet? Für n 10 braucht es 0. Es wäre keine echte Mathematik, wenn wir uns nun nicht die Frage stellten, wie viele braucht es denn, wenn das grosse Quadrat die Seitenlänge n hat? Dabei kann n jede natürliche Zahl sein, also n 1,, 3, 4,, auch n 800. Das Quadrat mit vier n Seitenlänge enthält 4 4 16 kleine Quadrate. Wie viele insgesamt? Wenn du die der nicht einfach zählen willst, dann denkst du dir die horizontal liegende getrennt von den senkrecht liegenden. Insgesamt braucht es 5 4 0 horizontal liegende und 5 4 0 senkrecht liegende, insgesamt also 40. 5 4 0 5 4 0 Bei einer Seitenlänge von n erhält man n n Quadrate mit. Es braucht dazu n (n + 1). (4) Testen wir unsere Formel (4): n 1: 1 (1 + 1) 1 4 n : ( + 1) 3 1 : 3 (3 + 1) 3 4 4 : 4 (4 + 1) 4 5 40 n 10: 10 (10 + 1) 10 11 0 Auch diese Formel bewährt sich. Übungsaufgabe 1) Denk dir ein Quadrat mit n 800. Wie viele Meter Seitenlänge hätte dieses Quadrat, falls ein Streichholz eine Länge von 5 cm hat? Wie viele würde man brauchen? Wie viele Streichholzschachteln, wenn jede Schachtel 50 enthält? 1
. Streichholzgeschichte Nr. Auch hier müssen wir eine Formel suchen für ein beliebiges n. Aus drei n kann man ein Dreieck bilden. n 1 Das erste Dreieck hat eine Seitenlänge von einem Streichholz. Es braucht drei. Das zweite Dreieck hat eine Seitenlänge von n. Das Dreieck mit n setzt sich aus drei Dreiecken mit je drei n zusammen, es braucht also 9. 1 Dreieck Dreiecke 3 Dreiecke n - 1 Dreiecke n Dreiecke n Das dritte Dreieck hat eine Seitenlänge von 3 n. Das Dreieck setzt sich aus 6 Dreiecken zusammen. Jedes braucht drei. Es braucht also insgesamt 18. Die unterste Reihe enthält n Dreiecke. Die darüber liegende Reihe um eines weniger, also n 1 Dreiecke. Die darüber liegende Reihe wieder um eines weniger, also n Dreiecke. So geht es weiter bis ganz oben mit Reihen von 4, 3, und zuletzt einem Dreieck. Es sind insgesamt 1 + + 3 + 4 + + n n (n+1) Dreiecke. Jedes Dreieck benötigt drei. 3 n (n+ 1) Es braucht also. (5) Wie viele kleine Dreiecke? Wie viele? Das Dreieck setzt sich aus 10 Dreiecken zusammen. Jedes braucht drei. Es braucht also insgesamt 30. Testen wir auch diese Formel (5): n 1: n : : n 8: 3 1(1 + 1) 3 ( + 1) 3 3(3 + 1) 3 8(8 + 1) Die Formel hat sich bewährt. 3 1 3 3 3 34 3 89 3 9 18 108 Man kann auch auf einem etwas anderem Weg zur Formel (5) kommen. Wir wollen uns das zunächst im Fall von ansehen. Führe nun die Rechnung durch für n 8: 1 + + 3 6 1 + + 3 6 1 + + 3 6 Für beliebiges n erhält man: 3 [1 + + 3 + + (n 1) + n] Das Ergebnis ist dasselbe. 3 n (n+ 1) Ergebnis für n 8: 1 + + 3 + 4 + + 8 36 Dreiecke brauchen 108. Übungsaufgabe ) Wie viele braucht es für ein Dreieck mit n 100?
3. Streichholzgeschichte Nr. 3 Nun arbeiten wir im Raum und bauen Würfel. Wie viele Würfel mit enthält ein Würfel mit vier n Kantenlänge? Wie viele braucht es? Überlege erst selber. Es braucht 1 für diesen Würfel. n 1 Der grosse Würfel besteht aus 3 8 Würfeln mit. Es braucht 54. n Der grosse Würfel besteht aus 3 3 7 kleinen Würfeln mit der Seite 1. Wie viele braucht es? Ich hoffe du hast richtig gerechnet: Der Würfel mit vier n Kantenlänge enthält 4 3 64 Würfel mit. Es braucht 3 4 5 5 300. Nun allgemein: Wir betrachten einen Würfel mit n Kantenlänge. Das ist gar nicht einmal so schwierig herauszufinden, wie viele es braucht. Wir denken uns den ganzen Würfel in drei Gruppen von zerlegt. Jede Gruppe besteht aus 3 4 4 48 n. Es braucht 3 n (n + 1). (6) Testen wir wieder unsere Formel (6): n 1: 3 1 (1 + 1) (1 + 1) 3 1 1 n : 3 ( + 1) ( + 1) 3 3 3 54 : 3 3 (3 + 1) (3 + 1) 3 3 4 4 144 : 3 4 (4 + 1) (4 + 1) 3 4 5 5 300 Die Formel bewährt sich. Gruppe1 Übungsaufgaben 3) Wie viele braucht es für einen Würfel mit n 9? Wie viele Streichholzschachteln würde man benötigen, wenn jede Schachtel 50 enthält? 4) Wie viele braucht es für einen Würfel mit n 10? Gruppe Gruppe 3 Für einen Würfel mit drei n Seitenlänge braucht es also 3 48 144. 3
4. Streichholzgeschichte Nr. 4 Nun die Pyramide mit : Das ist nun eine etwas schwierigere Geschichte. Wir bauen dreiseitige Pyramiden. Für diese Pyramide braucht es 6. n 1 Wie viele? n Die findet man heraus, wenn man die ganze Pyramide in Stockwerke zerlegt: Das untere Stockwerk besteht aus drei Pyramiden, im ersten Stock ist noch eine Pyramide. Die ganze Pyramide besteht also aus insgesamt 1 + 3 4 Pyramiden zu je 6 n, es braucht also 4 6 4. Für gibt es drei Stockwerke. Für gibt es vier Stockwerke. Das sind insgesamt 1 + 3 + 6 + 10 0 Pyramiden. Es braucht 6 0 10. Die allgemeine Formel für die ist schwierig herzuleiten. Ich gebe sie dir an: Es braucht n (n + 1) (n + ). (7) Das unterste Stockwerk enthält 6 Pyramiden, im ersten Stock sind 3 Pyramiden und im dritten Stock ist noch eine Pyramide. Insgesamt also 1 + 3 + 6 10 Pyramiden zu je 6. Es braucht 10 6 60. Testen wir auch diese Formel: n 1: 1 (1 + 1) (1 + ) 1 3 6 n : ( + 1) ( + ) 3 4 4 : 3 (3 + 1) (3 + ) 3 4 5 60 : 4 (4 + 1) (4 + ) 4 5 6 10 Die Formel bewährt sich. Übungsaufgaben 5) Wie viele braucht es für eine Pyramide mit n 9? 6) Wie viele braucht es für eine Pyramide mit n 10? Lösungen der Übungsaufgaben 1) 140 m, 15'685'600, 313'71 Schachtel ) 15150 3) 700, 54 Schachtel 4) 3630 5) 990 6) 130 4
Arbeitsblatt 1 Seitenlänge n 1 n n Quadrate Seitenlänge n 1 n n Dreiecke 5
Arbeitsblatt Seitenlänge n 1 n n Würfel 6
Arbeitsblatt 3 Seitenlänge n 1 n n Pyramiden 7