laminare Grenzschichten Wofür Grenzschichttheorie? mit der Potentialtheorie können nur Druckverteilungen berechnet werden Auftriebskraft Die Widerstandskräfte können nicht berechnet werden. Reibungskräfte müssen berücksichtigt werden Die Druckverteilung an schlanken Körpern stimmt gut mit der theoretischen Verteilung aus der Potentialtheorie überein, wenn Re. Der Einfluss der Reibungskräfte ist auf einen sehr dünnen Bereich in der Nähe der Wand beschränkt Grenzschicht
laminare Grenzschichten Beispiel u a u a Grenzschichtrand.99 u a δ Haftbedingung 2
Grenzschichttheorie Die Aufteilung der Strömung in 2 Teile (die reibungsfreie Außenströmung und die Grenzschicht) erlaubt eine komplette Beschreibung des Strömungsfeldes. Die Grenzschichttheorie gilt nicht in der Nasenregion! 3
Grenzschichttheorie Durch die Verzögerung in der Grenzschicht werden die Stromlinien von der Wand abgedrängt. Sie sind nicht mehr parallel zur Wand Die Linie δ(x), die den Rand der Grenzschicht (Grenzschichtdicke) ist keine Stromlinie. Sie kennzeichnet die Linie, bei der die Geschwindigkeit einen bestimmten Anteil der Außengeschwindigkeit erreicht, normalerweise 99 %. u(y) u a =.99 willkürlich 4
Grenzschichtdicke In der Grenzschicht: O(Trägheit) O(Reibungskräfte) ρu u x η 2 u y 2 dimensionslose Werte O() ū = u u x = x L ȳ = y δ ρu u L ηu δ 2 δ L u ρl η = L ReL δ L 5
Grenzschichtdicke Einführen dimensionsloser Werte in die Navier-Stokes-Gleichungen für 2-d, stationäre, inkompressible Strömungen. Dimensionslose Variablen sind O(). Vernachlässigung aller Terme mit dem Faktor oder kleiner. Re Grenzschichtgleichungen gelten für Re ohne starke Krümmung. 6
Konti: u x + v y = x-impuls: ρu u x + ρv u y = p }{{} x = dp dx y-impuls: p y = +η 2 u y 2 y-imp.: Der Druck ist senkrecht zur Hauptströmungsrichtung konstant. Er wird von der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt 7
Grenzschichtrand für die ebene Platte (y = δ) u = U u y = 2 u y 2 = reibungsfreies äußeres Srömungsfeld x-imp: ρu U x = p x Eulergleichung für y = δ 8
3 Fälle abhängig vom Druckgradienten dp dx = U x = U = konst ebene Platte, Grenzschicht (Blasius) U= konst 9
dp 2 dx < U x > = beschleunigte Strömung konvergenter Kanal (Düse) U < U 2 2
dp 3 dx > U x < = verzögerte Strömung divergenter Kanal (Diffusor) U > U 2 2 Separation
An der Wand (y = ) Haftbedingung: u = v = x-imp.: dp dx = u η 2 y 2 y= τ w = τ(y = ) = η u y dp dx = τ y y= ebene Platte: dp dx = (kein Druckgradient, U = konst.) 2 u y 2 y= = keine Krümmung an der Wand ( u y y= = konst) 2
Verdrängungs-/Impulsverlustdicke δ (Verdrängungsdicke): charakteristisches Maß für die Auslenkung einer ungestörten Stromlinie y u U δ δ δ y u U Flaechen sind gleich Massenstrom = konst Breite 3
Verdrängungs-/Impulsverlustdicke δ δ δ aus ṁ = konst. δ = δ U(δ δ ) = δ ( u(y) U )dy in dimensionsloser Form δ δ = u dy δ U u dy = Uδ ( u(y) U )dy δ 4 (δ, δ f(y))
Verdrängungs-/Impulsverlustdicke Durch die Reibung entstehen Verluste gegenüber der ungestörten Strömung Aus einer Impulsbilanz δ 2 = δ 2 δ = u U ( u U ) dy u U ( u U ) dy δ Um den Widerstand zu berechnen werden diese beiden Maße + die von Kàrmàn-Integral-Beziehung verwendet. 5
Verdrängungs-/Impulsverlustdicke Integration der x-impulsgleichung d dx (U2 δ 2 ) + δ U du dx = τ w ρ oder dδ 2 dx + U du dx (2δ 2 + δ ) = τ w ρu 2 Annehmen einer Funktion (Polynom,... ) für die Geschwindigkeit Verwendung der Randbedingungen um die Koeffizienten zu berechnen Berechnung von δ und δ 2 Verwendung der von Kàrmàn-Integral-Gleichung zur Berechnung von τ w (x) oder δ(x). 6
Ansatz: Polynom für die Geschwindigkeitsprofile u(x, y) n U(x) = ( y ) i y a i = f(x, δ δ ) i= selbstähnliches Profil a i (x),δ(x) Randbedingung. Haftbedingung (Stokes) für y δ = u = v = (u B = u w ) 2. Grenzschichtrand y δ = u = U 7
3. aus x-impuls η 2 u y 2 y= = p (= für die ebene Platte) x p aus Eulergleichung (Bernoullli) x Nur: Wenn der Grad des Polynoms > 2, werden andere Randbedinungen nötig 8
aus der Stetigkeit am Grenzschichtrand 4. y δ u y = kontinuierlicher Übergang von der Grenzschicht zur äußeren Strömung 5. y δ = 2 u y 2 = reibungsfreie Außenströmung 9
Beispiel 2
Beispiel verschiedene Schreibwei- Bemerkung: u a = U a = U = u e =... sen ) a, a =? Haftbedingung u(y = ) = a = am Grenzschichtrand: u U y δ = = a = u(x,y) U(x) = y δ 2
Beispiel 2) Verdrängungsdicke: = Impulsverlustdicke: δ 2 δ = δ δ = δ [ y ( ) ] y 2 δ 2 = 2 ( y δ ) 2 3 ( u(y) U )dy δ = 2 u U ( u U ) dy δ ( y δ ) 3 δ = 2 δ = 6 δ 2 = 6 δ 22
Beispiel Wandschubspannung: τ w = η u y von Kàrmàn-Integral-Beziehung δ 2 δ = 6 = konst δ 2 x = y/δ= τ w = η U δ ( u U ) ( y δ ) = ηu δ du dx = U ρu 2 η U δ 2 U(x) = η ρδ 2 ( ) = η 6 ρδ 2 5 2 6 + 2 6 x (üblich δ = δ(x)) 5 23
Beispiel 3) F = L τ(x)b dx = 6 5 η ρδ 2 η δ B L xdx F = 3 5 η 2 ρ BL 2 δ 3 24
5.3 Nach Aufgabe 5. läßt sich der Widerstand einer einseitig benetzten Platte der Länge x und der Breite B durch: W = x τ w (x)bdx = ρ δ(x) u(u u)bdy bestimmen. Mit Hilfe dieser Gleichung und der Näherung für das Geschwindigkeitsprofil u(x, y) u y ( y ) 2 = a + a δ + a 2 δ soll die Grenzschichtdicke δ(x) bestimmt und mit der Blasius Lösung νx δ(x) = 5.2 verglichen werden. u 25
5.3 Gegeben: ν, u Bestimmung der Koeffizienten a, a, a 2 durch einsetzen von Randbedingungen: R.B.: Haftbedingung u(x,y = ) = R.B.2: Grenzschichtrand u(x,y = δ) = u R.B 3: Wandbindungsgleichung (aus x-impuls) η 2 u(x,y = ) y 2 = p x = 26
5.3 Falls weitere Randbedingungen notwendig sind, dann kann man annehmen, daß am Grenzschichtrand y = ein glatter Übergang zur δ Außenströmung vorhanden ist, d.h. n u y n = mit n y=δ = aus R.B. folgt a = aus R.B.2 folgt a + a 2 = aus R.B.3 folgt 2 u y 2 = u 2 (u/u ) δ 2 (y/δ) 2 = 2u δ 2a 2 = 27
5.3 = a 2 =, a = = u(x,y) = y linearer Verlauf. u δ Hätte man die Reihenfolge der Randbedingungen vertauscht, z. B. R.B. u(x,y = ) = R.B.2 u(x,y = δ) = u R.B.3 u y = y=δ = a = ; a = 2; a 2 = parabolischer Verlauf 28
5.3 Da die angegebene Näherung des Geschwindigkeitsprofils keine exakte Lösung der Grenzschichtgleichungen darstellt, sind die Randbedingungen nicht für alle Näherungen erfüllbar. Deshalb ist darauf zu achten, die Reihenfolge der R.B. so zu wählen, dass die physikalischen Randbedingungen zuerst erfüllt werden. Bestimmung der Grenzschichtdicke δ(x): τ w = η u y = η u u/u y= δ y/δ = η u y= δ u(u u) = u y δ ( y ) u u δ = u 2 ( y ( y ) ) 2 δ δ 29
5.3 mit der Gleichung B x τ w (x)dx = Bρ δ(x) u(u u)dy = x η u δ(x) dx = ρu2 δ ( y ( y ) ) 2 ( y δ d δ δ) ηu x dx δ(x) = ρu2 δ(x) ( ( y ) 2 ( y ) ) 3 2 δ 3 δ = ρu 2 δ(x) 6 3
5.3 Durch differenzieren erhält man δ(x) = ρ 6η u dδ(x) dx = dx = ρ 6η u δ(x)dδ(x) Integration: x = ρ 2η u δ 2 (x) 2νx = δ(x) = u = δ(x) = νx νx 2 3, 5 u νx Vgl. Blasius Lösung: δ(x) = 5.2 u 3 u
5.5 In einer Plattengrenzschicht werden Geschwindigkeitsprofile und Druckverlauf vermessen. Der auf der Platte gemessene Druckverlauf wird durch die Beziehung p(x) ( x ) 2, = k mit k = konst < p l und die Geschwindigkeitsprofile werden durch u(x, y) u a (x) = ( y δ ) 2 wiedergegeben, wobei die Grenzschichtdicke δ konstant ist. 32
5.5 Bestimmen Sie die Wandschubspannung τ w mit Hilfe der von Kármánschen Integralbeziehung Gegeben: p, k, δ, l dδ 2 dx + u a du a dx (2δ 2 + δ ) + Grenzschichtgleichung (x-impuls): τ(y = ) ρu 2 a = u u x + v u y = ρ p x + η ρ 2 u y 2 33
5.5 a) δ δ = dδ 2 dx + du a u a dx (2δ 2 + δ ) + ) ( uua ( y d δ) = τ(y = ) ρu 2 a = ( ) y δ 2 ( y )3 2 3 δ δ 2 δ = u u a = δ = 3 δ ) ( uua ( ( y 2 ( y ) 3/2 ( y ) ) 2 d = δ) 3 δ 2 δ = δ 2 = 6 δ dδ 2 dx =, da δ = konst. 34
5.5 oben angesetzt: ρ u a du a dx (2δ 2 + δ ) = τ w aus der x-impulsgleichung für y = δ : mit ρu a du a dx = dp dx = τ w = dp dx (2δ 2 + δ ) ( dp dx = p d ( x ) ) 2 k = p dx l k 2x l 2 = τ w = p k 2x 2 l 2 3 δ = 4 3 p k δ x l 2 35
5.7 Das Geschwindigkeitsprofil in der laminaren Grenzschicht einer längs angeströmten ebenen Platte (Länge L) läßt sich durch ein Polynom vierten Grades u ( y ) ( y ) 2 ( y ) 3 ( y 4 = a u + a + a a δ 2 + a3 + a4 δ δ δ) annähern. 36
5.7 a) Bestimmen Sie die Koeffizienten des Polynoms! b) Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Beziehungen: δ δ = 3/ δ 2 δ = 37/35 δ x = 5.84/ Re x c w =.37/ Re L 37
5.7 a) Randbedingungen: y δ = : y δ = : u u a =, u u a = v u a = aus Grenzschichtgleichung ( ρ u u ) x + v u y = η 2 u y 2 : y δ = : u = v = : 2 (u/u a ) (y/δ) 2 = y δ = : u x = u y = : 2 (u/u a ) (y/δ) 2 = 38
5.7 reibungsfreie Außenströmung: y δ = : τ (u/u a) (y/δ) = u y ) ( y ) 3 ( y 4 = 2( 2 + u a δ δ δ) b) δ δ = δ 2 δ = ) ( uua ( y d = δ) 3 ) u ( uua ( y d δ) u a = 37 35 39
5.7 von Kármánsche Integralbeziehung: dδ 2 dx τ(y = ) = ηu a δ Integration: δ x = 5.84 Rex + τ(y = ) ρu 2 a d(u/u a ) d(y/δ) = = 2 ηu a y/δ = δ c w = 2 L L τ w ρu 2 adx = 2 L L τ(y = ) ρu 2 dx =.37 a ReL 4